（最新最全）2024年全國各地中考數學解析匯編（按章節考點整理）三十四章概率初步

34.1隨機事務與概率

（2024山東省聊城，3,3分）“拋一枚勻稱硬幣，落地后正面朝上”這一事務是（）

A.必定事務B.隨機事務C.確定事務D.不行能事務

解析：拋一枚勻稱硬幣，落地后有可能正面朝上、也有可能反面朝上.

答案：B

點評：必定事務與不行能事務屬于確定事務，事先可以確定是否發生；而隨機事務事先無法

預料能否發生.

（2024四川省資陽市，2,3分）下列事務為必定事務的是

A.小王參與本次數學考試，成果是150分

B.某射擊運動員射靶一次，正中靶心

C.打開電視機，CC7V第一套節目正在播放新聞

D.口袋中裝有2個紅球和1個白球，從中摸出2個球，其中必有紅球

【解析】必定事務是指確定會發生的事務，A是隨機事務，B是隨機事務，C是隨機事務，

D是必定事務.

【答案】D

【點評】本題考查了必定事務和隨機事務的概念.要留意必定事務和隨機事務屬于可能事務，

還有一類是不行能事務.難度較小.

（2024江蘇泰州市，5,3分）有兩個事務，事務A：367人中至少有兩人生日相同；事務B：

拋擲一枚勻稱的骰子，朝上的面點數為偶數.下列說法正確的是

A.事務A、B都是隨機事務

B.事務A、B都是必定事務

C.事務A是隨機事務，事務B是必定事務

D.事務A是必定事務，事務B是隨機事務

【解析】必定事務是確定會發生的事務，A是必定事務，事務B是隨機事務

【答案】D

【點評】本題考杳了必定事務和隨機事務的概念.要留意必定事務和隨機事務屬于可能事務,

還有一類是不行能事務.

（2024年四川省德陽市，第8題、3分.）下列事務中，屬于確定事務的個數是

⑴打開電視，正在播廣告；

⑵投擲一枚一般的骰子，擲得的點數小于10；

⑶射擊運動員射擊一次，命中10環；

⑷在一個只裝有紅球的袋中摸出白球.

A.OB.1C.2D.3

【解析】＜1）和（3）都是不確定事務；（2）是確定會發生的，（4）是確定不會發生的；所

以（2）和（4）是確定事務。

【答案】C.

【點評】必定事務和不行能事務統稱為確定事務。確定事務就是100%會發生的事務。而隨

機事務是指有確定幾率發生，但不確定發生的事務

（2024湖南淅潭，6,3分）“湘潭是我家，愛惜靠大家”.自我市開展整治“六亂”行動以

來，我市學生更加自覺遵守交通規則.某校學生小明每天騎自行車上學時都要經過一個十字

路口，該十字路口有紅、黃、綠三色交通信號燈，他在路口遇到紅燈的概率為,，遇到黃燈

3

的概率為:，那么他遇到綠燈的概率為

【解析】遇到綠燈的概率為1一,一'=3。

399

【答案】選D。

【點評】此題考查概率的概念。全部狀況的概率只和為1,用1減去其它狀況的概率就是遇

到綠燈的概率。

（2024湖南益陽,12,4分）有長度分別為20〃，3cm,4cm,7a〃的四條線段，任取其中

三條能組成三角形的概率是.

【解析】以3cm,4cmt7cm四條線段能組成三角形的狀況只有一種:2cm,3cm,4cm

而2c〃?，3cm,4cm,四條線段共有4種可能結果，依據概率定義得P（A）=■!"

4

【答案】-

4

【點評】主要考查以2cm,3cm,4az,7cm四條線段能組成三角形的狀況有幾種，這是關

鍵；其次是概率的定義：P（A）=-,共有幾種可能的垢果，此題和中學的組合學問有點關

m

聯，具有承上啟下之功效，

（2024貴州銅仁，16,4分一個不透亮的口袋中，裝有紅球6個，臼球9個，黑球3個，這

些球除顏色不同外沒有任何區分，從中隨意摸出一個球，則摸到黑球的概率為

【解析】口袋中共有6+9+3=18個球，而黑球有3個，所以依據概率的計算公式，可得

31

P（摸到黑球）=—

6+9+36

【解答】7-

6

【點評】此題考查了概率公式。假如一個事務有n種可能，而且這些事務的可能性相同，其

中事務A出現m種結果，那么事務A的概率P（A）=-

n

34.2用列舉法求概率

（2024安徽，8,4分）給甲乙丙三人打電話，若打電話的依次是隨意的，則第一個打電話

給甲的概率為（）

解析：第I個打電話給甲、乙、丙（因為次序是隨意的）的可能性是相同的，所以第一個打

電話給甲的概率是L.

3

解答：故選B.

點評：概率的計算一般是利用樹狀圖或列表把全部等可能性的狀況列出，然后再計算某一事

務的概率.其關鍵是找出仝部的等可能性的結果，本題不要受“打電話次序是隨意的”影響，

而排列打電話的依次，把問題困難化.

（2024浙江麗水3分，6題）分別寫有數字0,-1,-2,1,3的五張卡片，除數字不同外其

他均相同，從中任抽一張，那么抽到負數的概率是（）

3

【解析】：五張卡片中，有2張卡片是負數，故P（抽到負數）=1.

5

【答案】:C

【點評】：等可能性事務的概率的計算公式：P（A）=2,其中m是總的結果數，n是該

m

事務成立包含的結果數.

（2024山東省臨沂市，6,3分）在四張完全相同的卡片上，分別畫有圓、菱形、等腰三角

形、等腰梯形，現從中隨機抽取一張，卡片上的圖形是中心對稱圖形的概率是（）

【解析】???四張完全相同的卡片中只有圓和菱形是中心對稱圖形，二共4種等可能的結果，

所以產生卡片上的圖形是中心對稱圖形的概率是2+4=」.

2

【答案】B

【點評】此題考查了概率公式的應用.留意用到的學問點為：概率=所求狀況數與總狀況數

之比.

（2024山東泰安，15,3分）一個不透亮的布袋中有分別標著數字I、2、3、4的四個乒乓

球，現從袋中隨機摸出兩個乒乓球，則這兩個乒乓球上的數字之和大于5的概率為（）

1234

【解析】可用列表或畫樹狀圖的方法求概率，共有9種狀況，之和大于51\345

312354

有3種狀況，所以，P（和大于5）二-二一。\

93345\7

【答案】B.4567\

【點評】列表和畫樹狀圖是求概率常用的方法需駕馭，留意本題是摸出球

不放回問題。

5.（2024山東泰安，5,3分）從下列四張卡片中任取一張，卡片上的圖形是中心對稱圖形

的概率為（）

岫畫也回

311

A.0B.—C.—D.一

424

【解析】依據在同一平面內，假如把一個圖形繞某一點旋轉180°,旋轉后的圖形能和原圖

形完全重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形，四張卡片中只有第四張為中心對稱圖形，

所以任取一張是中心對稱圖形的概率是

4

【答案】D

【點評】軸對稱圖形、中心對稱圖形是歷年來各地必考的考點，判定圖形是否是中心對稱圖

形，實質就是看圖形能否繞某一點旋轉180度后與本身重合，若重合，則是；否則不是中心

對稱圖形.

4.（2024連云港，3,3分）向如圖所示的正三角形區域扔沙包（區域中每一個小正三角形

除顏色外完全相同），假設沙包擊中每一個小正三角形是等可能的，扔沙包一次，擊中陰影

區域的概率等于

【解析】只要找出圖中陰影部分的面積占整個圖形面積的比即可;

【答案】擊中陰影區域的概率為一二二，答案為C。

168

【點評】本題用到的學問點為：概率=所求狀況數與總狀況數之比.

9.（2024浙江省義烏市，9,3分）義烏國際小商品博覽會某志愿小組有五名翻譯,其中一

名只會翻譯阿拉伯語，三名只會翻譯英語，還有一名兩種語言都會翻譯.若從中隨機選擇兩名

組成一組，則該組能夠翻譯上述兩種語言的概率是（）

【解析】全部可能性為：（阿拉伯，英語1）（阿拉伯，英語2）（阿拉伯，英語3）（阿

拉伯，阿拉伯英語）（英語1,英語2）（英語1,英語3）（英語1,阿拉伯語英語）；（英

語2,英語3）（英語2,阿拉伯語英語）（英語3,阿拉伯語英語），該組能夠翻譯上述兩

7

種語言的概率是正

【答案】B

【點評】此題考查概率的計算，可用列表法或樹狀圖列出全部可能的結果，然后得出結論.

16.（2024山東省聊城，16,3分）我市初中畢業男生體育測試成果有四項，其中“立定跳

遠”“100米跑”“肺活量測試”為必測項目，另一項為“引體向上”和“推鉛球”中選擇

一項測試.小亮、小明和大剛從“引體向上”和“推鉛球”中選擇同一個項目的概率是.

解析：首先分別用A,B代表“引體向上”與“推鉛球”，然后依據題意畫樹狀圖，繼而求

得全部等可能的結果與小亮、小明和大剛從“引體向上”或“推鉛球”中選擇同一個測試項

目的狀況，利用概率公式即可求得答案.

解：分別用A,B代表“引體向上”與“推鉛球”，畫梃狀圖得：

???共有8種等可能的結果，小亮、小明和大剛從“引體向上”或“推鉛球”中選擇同一個測

試項目的有2種狀況，

???小亮、小明和大剛從“引體向上”或“推鉛球”中選擇同一個測試項目的概率是：-

4

開始

AB

/\/\

ABAB

AAAA

ABABABAB

點評：此題考查了樹狀圖法求概率的學問.留意樹狀圖法可以不重復不遺漏的列出全部可能

的結果，適合兩步或兩步以上完成的事務；留意概率二所求狀況數與總狀況數之比.

13.（2024江蘇鹽城，13,3分）小勇第一次拋一枚質地勻稱的硬幣時正面對上，他其次次

再拋這枚硬幣時，正面對上的概率是.

【解析】本題考會了概率的定義及計算方法.駕馭求概率的公式是關鍵.求解時只要分清事務

發生的可能結果，運用概率的定義即得.

【答案】其次次再拋這枚硬幣時，正面對上的概率是L.

2

【點評】本題考查簡潔事務概率計算.一般地，假如某個試驗共有n種可能出現結果，某種

m

事務A包含的結果共有m種，那么事務A發生概率P（A）=-（OWP（A）W1）.這是新課

n

標新增內容.

13.（2024四川省南充市,13,4分）如圖，把一個圓形轉盤按1:2:3:4的比例分成A、B、C、

D四個扇形區域，自由轉動轉盤，停止后指針落在B區域的概率為.

（第13題出）

解析：：因為圓被等分成10份，其中B區域占2份，所以落在B區域的概率:2已=0.2.

10

答案：0.2

點評：本題考查幾何概率的求法：首先依據題意將各部分面積的比例，轉化為待求區域

的面積在總面積中占的比例，即得到該事務發生的概率。

12.(2024福州，12,4分，)一個袋子中裝有3個紅球和2個綠球，這些球除了顏色外都

相同，從袋子中隨機摸出一個球，則摸到紅球的概率為o

解析：一共5個球，隨機摸出一個球，其中每個球出現的概率相等，均為有3個紅球,

5

13

故摸到紅球的概率為《'3二子

答案：-

5

點評：本題設計以摸球的模型，讓學生感受不確定事務中事務的發生可能性及考查學生求概

率的基本方法，難度較小，

(2024江蘇泰州市，21,本題滿分8分)小明有2件上衣，分別為紅色和藍色，有3條褲

子，其中2條為藍色、1條為棕色.小明隨意拿出1件上衣和1條褲子穿上.請用畫樹狀圖

的方法列出全部可能出現的結果，并求小明穿的上衣和褲子恰好都是藍色的概率.

【解析】分2步試驗列舉出全部狀況即可；看小明穿的上衣和褲子恰好都是藍色的狀況數占

總狀況數的多少即可.總狀況6種，小明穿的上衣和褲子恰好都是藍色占2種，所以小明

穿的上衣和褲子恰好都是藍色的概率是

3

【答案】

3

【點評】考查概率的求法；用到的學問點為：概率=所求狀況數與總狀況數之比：得到所求

的狀況數是解決本題的易錯點.

(2024連云港，21,10分)現有5根小木棒，長度分別為:2,3,4,5,7(單位：cm),從中隨意

取出3根。

(1)列出所選的3根小木棒的全部可能狀況；

(2)假如用這3根小木棒首尾順次相接，求它們能搭成三角形的概率。

【解析】不要遺漏或重復可能的狀況，只有較小的兩條線段的和,最大的線段的三條線段才

能組成三角形

【答案】(1)選的3根小木棒的全部可能狀況有全部取出的可能是(2,3,4)(2,3,5)(2,3,7)

(,3,4,5)(3,4,7)(4,5,2)(4,5,7)(5,7,2)(5,7,3)(5,7,2)共10種狀況。

(2)由三角形三邊關系可知只有(3,4,5)(2,3,4)(4.5,2)(4,5,7)(5,7,3)這5

種能構成三角形

所以能構成三角形的概率是▲二!。

102

【點評】確定三角形的三條邊時，可以先確定其中的兩條，再確定第三條，依據三邊從小到

大的依次來確定.留意要做到不重不漏，主要檢驗是否滿意三邊關系定理確定能否組成三角

形.

(2024四川成都，23,4分)有七張正面分別標有數字-3,-2,-1,0,1,2,3的卡片，

它們除數字不同外其余全部相同.現將它們背面朝上，洗勻后從中隨機抽取一張，記卡片上

的數字為。，則使關于X的一元二次方程￡-2(l)x+-3)=()有兩個不相等的實數

根，且以X為自變量的二次函數丁=/一(/+]"一。+2的圖象不繪建點(1,0)的概率是

解析：“方程有兩個不相等的是實數根”等價于“△>()"，于是可得到關于a的不等式，解

不等式可求出a的取值范圍結合上面的卡片上的數字，可求出a的可能的值為

“0,1,2,3”；然后用“且以工為自變量的二次函數y=/—(/+l)x—。+2的圖象不經

過點(1,0)”進行解除，即可得到a的可能值為“023”，最終再計算其所占概率等于之。

?7

3

答案：填一

7

點評：本題考查了概率計算、一元二次方程的根的狀況的相關學問、函數的相關學問，是一

道綜合題，其思維實力要求較高。屬于一道難度較大的題目。

(2024浙江省紹興，13,5分)箱子中裝有4個只有顏色不同的球，其中2個白球，2個紅

球，4個人依次從箱子中隨意摸出一個球，不放回，則其次個人摸出紅球且第三個人摸出白

球的概率是一▲.

【解析】由袋子中裝有2個紅球和2個白球，第一個人隨機摸出一個球后，剩下3個球，其

次個人摸出紅球且第三個人摸出白球的概是,.

3

【答案】《

3

【點評】此題考查概率的求法：假如一個事務有n種可能，而且這些事務的可能性相同，其

中事務A出現m種結果，那么事務A的概率P(A)考.

(2024四川內江，15,5分)如圖7所示，A、B是邊長為1的小正方形組成的網格的兩個

格點，在格點中隨意放置點C,恰好能使aABC的面積為I的概率是.

【解析】依據三角形面積公式可知，欲使4ABC的面積為I,且頂點C也在網格格點

上，那么，此三角形的底邊、高的值應當分別為2、1或&、V2,結合題目所給圖形，可

以找到全部符合條件的點如圖所示:

圖形中有36個格點，其中有8個可以使AABC的面積為1,所以P（Z\ABC的面積為

1I、）=-8=—2

369

【答案】:

【點評】以網格為背景，將三角形與概率學問綜合考查，意蘊豐富.簡易概率求法公式:

P（A）=-,其中OWP（A）<1.此題簡潔漏解，或者選取了不在網格格點上的點作為點

n

C造成錯解.

（2024山東省荷澤市，12,3）口袋內裝有大小、質量和材質都相同的紅色1號、紅色2號、

黃色1號、黃色2號、黃色3號的5個小球，從中摸出兩球:這兩球都是紅色的概率是

【解析】由于是從口袋中摸兩個球，用表格或樹狀圖來表示事務全部發生的可能

紅色1號紅色2號黃色1號黃色2號黃色3號

紅色1號紅1,紅2紅1,黃1紅1,黃2紅1,黃3

紅色2號紅2,紅1紅2,黃1紅2,黃2紅2,黃3

黃色1號黃1,紅1黃1,紅2黃1,黃2黃1,黃3

黃色2號黃2,紅1黃2,紅2黃2,黃1黃2,黃3

黃色3號黃3,紅1黃3,紅2黃3,黃1黃3,黃2

共20種狀況，其中兩次都是紅球有2種，所以概率為P（兩個都是紅球）

10

【答案】—

10

【點評】】本題考查了簡潔隨機事務的概率.一般地，假如在一次試驗中，有〃種可能的結

果，并且它們發生的可能性相等，事務A包含其中的用種結果，那么事務A發生的概率

P（>4）=—,對于兩次或兩次以上的隨機事務，采納樹狀圖或列表的方式來表示全部可能的狀

N

況.

（2024湖南湘潭，23,8分）節約能源，從我做起.為響應長株潭“兩型社會”建設要求，

小李確定將家里的4只白熾燈全部換成節能燈;商場有功率為10卬和5卬兩種型號的節能燈

若干個可供選擇.

（1）列出選購4只節能燈的全部可能方案，并求出買到的節能燈都為同一型號的概率；

（2）若要求選購的4只節能燈的總功率不超過3（）w,求買到兩種型號的節能燈數量相等

的概率.

【解析】用樹狀圖或列表找出全部可能方案，干脆看出買到的節能燈都為同一型號的概率為

9

買到兩種型號的節能燈數量相等的是2只10W和2只5W的，總功率不超過30卬，其概

5

率為

【答案】

4只

（1）選購4只節能燈的全部可能方案：4只5Ml只10W和3只5W；2只5W和2只10W；3

2

只10W和1只5W；4只IGWo買到的節能燈都為同一型號的概率為一。

（2）買到兩種型號的節能燈數量相等的是2只10W和2只5W的，總功率不超過30卬，其

概率為L

5

【點評】本題考查了等能事務概率求法，在解題要留意把全部可能結果都列出。假如一個事

務有〃種可能，而且這些事務的可能性相同，其中事務A出現，〃種結果，那么事務4的概

率P（A）券.

從大量的等可能事務的結果中求任一事務發生的概率是計算概率的基本題型之一，也是中

考考查的重要內容之一.在計算概率時，關鍵是確定全部可能的結果數和可能出現的結果數,

確定要把全部存在的狀況找到，且每種狀況結果出現的可能性相等，再用某個事務的可能出

現的結果數除以全部可能出現的結果數。

21.（2024廣州市，21,12分）甲、乙兩個袋中均有三張除所標數值外完全相同的卡片,

甲袋中的三張卡片上所標的數值分別為-7,—1,3,乙袋中的三張卡片上所標的數值分別為一

2,1,6.先從甲袋中隨機取出一張卡片，用x表示取出的卡片上標的數值，再從乙袋中隨機取

出一張卡片，用y表示取出的卡片上標的數值，把x、y分別作為點A的橫坐標、縱坐標。

（1）用適當的方法寫出點A（x,y）的全部狀況；

（2）求點A落在第三象限的概率。

【解析】用列舉法（包括畫表格或畫樹狀圖）求等可能事務的概率是中考必考的內容之一,

而本題將概率與點的坐標，考查的學問綜合性強，作為試卷的中檔題的確不錯.

【答案】解：（1）用列表法:

-7-13

-2(-7,-1)(-1,-2)(3,—2)

1(-7,1)(-1,1)(3,1)

6(-7,6)(—1,6)(3,6)

可知，點A共有9種狀況。

（2）由1知點A的坐標共有9種等可能的狀況，點A落在第三象限（事務A）共有（一7,

2

一1）、（-1,-2）2種狀況。所以P（A）=一。

9

【點評】本題易錯點，一是在列舉時，會將全部等可能的結果遺漏導致計算出錯；二是在點

的坐標的處理上對橫縱坐標表示有誤；三是解題時不太規范而丟分.

（2024江蘇鹽城，21,8分）現有形態、大小和顏色完全一樣的三張卡片，上面分別標有數

字“1”、“2”，“3”，第一次從這三張卡片中隨機抽取一張，登記數字后放回，其次次再從這

三張卡片中隨機抽取一張并登記數字，請用列表或畫樹狀圖的方法表示出上述試驗全部可能

的結果，并求其次次抽取的數字大于第一次抽取的數字的概率.

【解析】本題考查了概率的概念及意義.駕馭概率的計算方法是關鍵.由于是放回再抽，所

以第一次抽到某張卡片后，其次次都有三種狀況，所以共有9種等可能的結果.然后看看其

次次抽取的數字大于第一次抽取的數字有多少種，就可以求出概率了.

【答案】樹狀圖如圖列表如下:

起先123

1

-1、

1(1,1)(1,2)(1,3)

1次23

2(2,1)(2,2)(2,3)

2次123123123

3(3,1)(3,2)(3,3)

由樹狀圖或表格可知，共有9種可能的結果，且每種結果出現的可能性相同，其次次抽取的

數字大于第一次抽取的數字有3種，所以P（其次次抽取的數字大于第一次抽取的數字有多

少種）=

93

【點評】為了找出全部等可能的結果，通常所用的方法是列表法、畫樹狀圖法或枚舉法。本

題主要考行利用樹狀圖列出全部等可能的結果，再求出概率，這里要留意分清兩次是''有放

回”還是“無放回”.

（2024四川省南充市，16,6分）在一個口袋中有4個完全相同的小球，把它們分別標號為

1、2、3、4,隨機地摸取一個小球，然后放回，再隨機地摸出一個小球，求下列事務的概率:

（1）兩次取得小球的標號相同；

（2）兩次取得小球的標號的和等于4.

解析：（1）依據題意畫出數形圖，兩次取的小球的標號相同的狀況有4種，再計算概率；

（2）先畫樹狀圖展示全部16種等可能的結果數，其中兩次摸出的小球標號的和等于4的占

3種，然后依據概率的概念計算即可.

答案：全部狀況如下表所示：

結果1234

1(1,1)(2,1)(3,1)(4,1)

2(1,2)(2,2)(3,2)(4,2)

3(1,3)(2,3)(3,3)(4,3)

4(1,4)(2,4)(3,4)(4,4)

或如下圖所示:

開始

（1）由上表知，共有16種結果，且每種結果發生的可能性相同.其中兩次取出的標號

41

相同的有4次.所以兩次取出的標號相同的概率是一二一.

164

（2）由上表知，共有16種結果，且每種結果發生的可能性相同.其中兩次取的小球的

3

標號的和等于4的有3次所以次取的小球的標號的和等于4的概率是士.

16

點評；本題考查了列表法或樹狀圖法：利用列表法或樹狀圖法展示全部等可能的結果數

n,再找出某事務所占有的結果數m,然后利用概率的概念求得這個事務的概率

n

18.（2024四川省資陽市，18,7分）（本小題滿分7分）為了確定誰將獲得僅有的一張科普

報告入場券，甲和乙設計了如下的一個嬉戲：口袋中有編號分別為I、2、3的紅球三個和編

號為4的白球一個，四個球除了顏色或編號不同外，沒有任何別的區分，摸球之前將小球攪

勻，摸球的人都蒙上眼睛.先甲摸兩次，每次摸出一個球；把甲摸出的兩個球放回口袋后,

乙再摸，乙只摸一個球.假如甲摸出的兩個球都是紅色，甲得I分，否則，甲得0分；假如

乙摸出的球是白色，乙得I分，否則，乙得。分；得分高的獲得入場券，假如得分相同，

嬉戲重來.

（1）（4分）運用列表或畫樹狀圖求甲得1分的概率；

（2）（3分）這個嬉戲是否公允？請說明理由.

【解析】（1）列表或樹狀圖如下：....................................................3

分

開始

得\第2

1234

第2次234134124123

I1分I分。分得分110110110000

21分1分。分

31分1分。分

40分0分0分

P（甲得1

八61

分）=77=7........................................................4分

122

（2）不公

允.....................................................................5分

???P（乙得1分戶’.............................................................6

4

分

，P（甲得1分）（乙得I分），，不公允.......................................7分

【答案】（1）P（甲得1分戶9...................................................................................4分

122

（2）不公

允.....................................................................5分

【點評】當一次試驗涉及到兩個因素時，用列表法較簡便，當一次試驗涉及到三個或更多的

因素時，用樹形圖較簡便，本題兩種方法均可選用.與摸球有關的概率問題要留意首次摸出

的球是否放回對所求概率的影響，而對于本題中每人摸兩次可理解為先摸一次不放回再摸一

次.難度較小.

（2024四川成都，19,10分）某校將舉辦“心，懷感恩?孝敬父母”的活動,為此,校學生

會就全校1000名同學暑假期間平均每天做家務活的時間，隨機抽取部分同學進行調

（1）本次調查抽取的人數為______，估計全校同學在暑假期間平均每天做家務活的時

間在40分鐘以上（含40分鐘）的人數為______；

（2）校學生會擬在表現突出的甲、乙、丙、丁四名同學中，隨機抽取兩名同學向全校

匯報.請用樹狀圖或列表法表示出全部可能的結果，并求恰好抽到甲、乙兩名同學

的概率.

解析：抽查的人數就是各組人數之和，時間在40分鐘以上（含40分鐘）的人數就是最終兩組

的人數之和。本題中，因為事務由兩個因素構成，所以，可以用樹狀圖法也可以用列

表法，用列表法時，要留意不要出現重復的狀況。

答案：（1）50：16：

（2）列表給出全部可能的結果：

其次人

甲乙丙T

甲甲、乙甲、丙甲、丁

乙乙、甲乙、丙乙、丁

丙丙、甲丙、乙丙、丁

T丁、甲丁、乙丁、丙

共12種；其中恰好抽到甲、乙兩名同學的狀況有2種,

所以恰好抽到甲、乙兩名同學的概率是一。

6

點評：在本題中，給出了方法“請用樹狀圖或列表法表示出全部可能的結果”，這樣能夠較

好地實現所列狀況不重不漏。列表時，要留意條例性，要工整美觀，這樣有利于自己

后面統計各種狀況出現的次數。

22.（2024湖北隨州，22,9分）（本小題滿分9分）如圖所示，一個大正方形地面上，

編號為123,4的地塊，是四個全等的等腰直角三角形空地，中間是小正方形綠色草坪，一

名訓練有素的跳傘運動員，每次跳傘都落在大正方形底面上。

（1）求跳傘運動員一次跳傘落在草坪上的概率；

（2）求跳傘運動員兩次跳傘都落在草坪上的概率。

第22題圖

解析：（1）將大正方形分成8塊等腰直角三角形，則一次跳傘落在草坪上的概率是

4I

（2）由于每次落在8個等腰直角三角形中的可能性是相等的，所以共有64中可能,

82

用樹狀圖可分析出兩次跳傘都落在草坪上的概率。

答案：（1）一次跳傘落在草坪上的概率P（一次跳傘落在草坪上）=?4=_1!_（將大正方形

82

分成8塊等腰直角三角形）

（2）每次跳傘落在8個等腰直角三角形的可能性是相等的，

用樹狀圖

共有8X8=64個不同結果

其中兩次落在草坪上有：

共有4X4=16個不同結果.

4x41

所以兩次跳傘都落在草坪上的概率為P（兩次跳傘都落在草坪上）=-L—=-.

8x84

點評：此題主要考查了概率的求法：概率=所求狀況數與總狀況數之比.求解概率類問

題，關鍵是要找準兩點：①全部狀況的總數；②符合條件的狀況數目；二者的比值就是其發

生的概率.運用樹狀圖分析時，確定要做到不重不漏.

34.3嬉戲的公允性

13.（2024浙江省衢州，13,4分）如圖，“石頭、剪刀、布”是民間廣為流傳的嬉戲.嬉戲

時，雙方每次隨意出“石頭”、“剪刀”、“布”這三種手勢中的一種，那么雙方出現相同

手勢的概率P=.

第13題圖，

【解析】列舉出全部狀況，讓雙方出現相同手勢的狀況數除以總狀況數即為所求的概率.

解：將“石頭”、“剪刀”、“布”這三種手勢記作1,2,3,則列表得：

(1,3)（2,3）（3,3）

(1,2)（2,2）（3,2）

(1,1)(2,1)(3,1)

可得共有9種狀況，兩人出現相同手勢的有3種狀況，

???雙方出現相同手勢的概率為士3I.

93

【答案M

3

【點評】本題考查概率的基小計算，明確概率的意義是解答的關鍵，狀況較少可用列舉法求

概率，采納列舉法解題的關鍵是找到全部存在的狀況.用到的學問點為：概率等于所求狀況

數與總狀況數之比.

20.（2024山東德州中考,20,10,）若一個三位數的十位數字比個位數字和百位數字都大，則稱

這個數為“傘數現從1,2,3,4這四個數字中任取3個數，組成無重復數字的三位

數.

（1）請畫出樹狀圖并寫出全部可能得到的三位數；

（2）甲、乙二人玩一個嬉戲，嬉戲規則是：若組成的三位數是“傘數”，則甲勝；否則乙勝.你

認為這個嬉戲公允嗎？試說明理由.

20.【解析】（I）畫樹狀圖要做到有條理，按部就班，不重不漏.（2）數出全部三位數的個

數和其中傘數的個數，則易求出傘數的比例，再和比較即可.

2

解：（1）樹狀圖如下：

1234

Zl\Zl\Zl\Zl\

3Z4卜33z4A卜3A^22vA卜2

全部得到的三位數有24個,分別為：123,12數132,134,142,143,213,214,231,234,

241,243,312,314,321,324,341,342,412?413,421,423,431,432.....（5分）

（2）這個嬉戲不公允.......................（6分）

理由如下:組成的三位數中是“傘數”的有：132,142,143,231,241,243,341,342,

QI

共有8個，所以，甲勝的概率為一=一，..............（8分）

243

而乙勝的概率為一二一，這個嬉戲不公允........................（10分）

243

【點評】對于兩步以上概率的求法主要是列表法和樹狀圖.概率經常結合嬉戲的公允性進行

考查.概率基本是中考中的必考問題.

20.（2024貴州貴陽，20,10分）在一個不透亮的口袋里裝有分別標注2、4、6的3

個小球（小球除數字外，其余都相同），另有3張背面完全一樣、正面分別寫有數字6、7、

8的卡片?.現從口袋中隨意摸出一個小球，再從這3張背面朝上的卡片中隨意摸出一張卡片?.

（1）請你用列表或畫樹狀圖的方法，表示出全部可能出現的結果；（5分）

（2）小紅和小莉做嬉戲，制定了兩個嬉戲規則：

規則1：若兩次摸出的數字，至少有一次是“6”，小紅贏；否則，小莉贏.

規則2：若摸出的卡片上的數字是球上數字的整數倍時，小紅贏；否則，小莉贏.

小紅想要在嬉戲中獲勝，她會選擇哪一條規則，并說明理由.（5分）

解析：（1）列表（或畫樹狀圖）表示出全部可能出現的結果即可；（2）分別求出兩種規

則下小紅獲勝的概率，選擇概率較大的規則.

解：（1）列表（或畫樹狀圖）如下：

小諭、678

2(2,6)(2,7)(2,8)

4(4,6)(4,7)(4,8)

6(6,6)(5,7)(6,8)

(2,6)(2,7)(2,8X4,6)(4,7)(4,8/6,6)e,7)(6,8)

54

（2）規則1：P（小紅贏）:一；規則2：P（小紅贏）=

99

???5士》—4,???小紅選擇規則1.

99

點評：本題考查了枚舉法以及概率計算。枚舉全部可能出現的結果時，要做到不重不漏,

在計算概率時，關鍵是確定全部可能的結果數和可能出現的結果數，再用某個事務的可能出

現的結果數除以全部可能出現的結果數，列表法只能解決2個事務的問題，畫樹狀圖可以解

決2個以上事務的問題.

34.4用頻率估計概率

5.（2024貴州貴陽，5,3分）一個不透亮的盒子里有n個除顏色外其他完全相同的小

球，其中有6個黃球.每次摸球前先將盒子里的球搖勻，隨意摸出一個球登記顏色后再放回

盒子，通過大量重復摸球試驗后發覺，摸到黃球的頻率穩定在30%,那么可以推算出n人

約是（）

A.6B.10C.18D.20

解析：由已知可估計，摸到黃球的概率是30%,所以n=6+30%=20.

解答：選D.

點評：本題考查了頻率與概率的關系，以及幾何概率的意義.一般地，對于古典概型，

假如試驗的基本領件為n,隨機事務A所包含的基本領件數為m,我們就用來描述事務A

出現的可能性大小，稱它為事務A的概率，記作P（A）,即有P（A）=-.

n

20.（2024浙江省紹興，20,8分）一分鐘投籃測試規定，得6分及以上為合格，得9分及

以上為優秀。甲、乙兩組同學的一次測試成果統計如下：

成果（分）456789

甲組（人）125214

乙組（人）114522

（!）請你依據上述統計數據，把下面的圖和表補充完整:

一分鐘投籃測試成果統計圖

*20?B

一分鐘投籃測試成果統計分析表

統計量平均分方差中位教合格率優秀率

甲組▲2.56680.0%26.7%

乙組6.81.76▲86.7%13.3%

第20題表

（2）下面是小明和小聰的一段對話，請你依據（I）中的表，寫出兩條支持小聰的觀點的理

由.

明：我認為，因為甲組的優秀率高于乙組，所以甲組的成果要

好于乙組

小聰：我認為，乙組的成果要好

于甲組。

【解析】（I）由甲、乙兩組同學的一次測試成果統計表可知：乙組得7分的有5人，得7分的有2

人.甲組的平均分6.8,乙組中位數7.

（2）可以從方差、合格率、中位數等方面來說明，答案不唯一。

【答案】（1）補全統計圖（見右圖）.

補全分析表：甲組平均分6.8,乙組中位數7.

（2）不唯?.如：甲乙兩組平均數?樣，乙組的方差低F甲組，說明

乙組成果比甲組穩定，乂乙組合格率比甲組高，所以乙組成果好于甲組.

【點評】本題考查的是條形統計圖和統計表的綜合運用.讀懂統計圖、表，從統計圖、表中得到必

要的信息是解決問題的關鍵.條形統計圖能清晰地表示出每個項目的數據.

（2024江蘇泰州市，5,3分）有兩個事務，事務A：367人中至少有兩人生日相同；事務B：拋擲一

枚勻稱的微子，朝上的面點數為偶數.下列說法正確的是

A.事務A、B都是隨機事務

B.事務A、B都是必定事務

C.事務A是隨機事務，事務B是必定事務

D.事務A是必定事務，事務B是隨機事務

【解析】必定事務是確定會發生的事務，A是必定事務，事務B是隨機事務

【答案】D

【點評】本題考查了必定事務和隨機事務的概念.要留意必定事務和隨機事務屬于可能事務，還有

一類是不行能事務.

（2024湖南湘潭，6,3分）“湘潭是我家，愛惜靠大家”.自我市開展整治“六亂”行動以來，我

市學生更加自覺遵守交通規則.某校學生小明每天騎自行車上學時都要經過一個十字路口，該十字路

口有紅、黃、綠三色交通信號燈，他在路口遇到紅燈的概率為工，遇到黃燈的概率為,，那么他遇

39

到綠燈的概率為

【解析】遇到綠燈的概率為】一，一

399

【答案】選D。

【點評】此題考查概率的概念。全部狀況的概率只和為1,用1減去其它狀況的概率就是遇到綠燈

的概率。

（2024湖南益陽,12,4分）有長度分別為2°〃，3cm,4加,7c/n的四條線段,任取其中三條能組

成三角形的概率是.

【解析】以2cm,3cm,4cmt7cm四條線段能組成三角形的狀況只有一種：2cm,3cm,4cm

而2w,3cm,4cm,四條線段共有4種可能結果，依據概率定義得尸（A）=

4

【答案】-

4

【點評】主要考查以25?，3（切，4（7〃，7a〃四條線段能組成三角形的狀況有幾種，這是關鍵；其次

是概率的定義：P（A）=-,共有幾種可能的結果，此題和中學的組合學問有點關聯，具有承上啟

m

下之功效C

（2024安徽，8,4分）給甲乙丙三人打電話，若打電話的依次是隨意的，則第一個打電話給甲的概

率