高級中學名校試題PAGEPAGE1河南省商丘市2025屆高三下學期3月教學質量檢測數學試卷一?單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為，所以，，所以，所以.故選：D.2.已知復數滿足，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】依題意，，則，所以.故選：A3.已知等差數列的前8項和為48；，則的公差為（）A.1 B.2 C.4 D.8【答案】B【解析】依題意，即，假設等差數列的首項為，公差為，則，解得,故選：B.4.下列函數中，是奇函數的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】A選項，函數定義域為，，函數不是奇函數，A選項錯誤；B選項，函數定義域為，，函數不是奇函數，B選項錯誤；A選項，函數定義域為，，函數是奇函數，C選項正確；D選項，函數定義域為，不關于原點對稱，函數不是奇函數，D選項錯誤.故選：C.5.已知平面向量滿足，且，則（）A.2 B. C. D.1【答案】A【解析】由，得，則，由，得，因此，所以.故選：A6.把函數的圖象向左平移個單位長度后，得到函數的圖象，則的圖象的一條對稱軸方程為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】依題意，，則，由，解得，因此函數的圖象的對稱軸方程為，取，得，C正確，不存在整數使得ABD成立.故選：C7.甲每個周末都跑步或游泳，每天進行且僅進行其中的一項運動.已知他周六跑步的概率為0.6，且如果周六跑步，則周日游泳的概率為0.7，如果周六游泳，則周日跑步的概率為0.9.若甲某個周日游泳了，則他前一天跑步的概率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】用事件分別表示“周六跑步”，“周日跑步”，則分別表示“周六游泳”，“周日游泳”，于是，因此，所以.故選：D8.已知是定義域為的非常值函數，且，，是的導函數，且的定義域為．若設，，則曲線在點處的切線方程為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】令，則，則函數關于點中心對稱，令，則，則或，當時，令，則，即，不合題意，舍去.故，則令，即，即函數關于軸對稱，，令，則，又∵，∴，則，即函數是周期為的周期函數，∴，∵函數關于點中心對稱和軸對稱，∴導數關于對稱和點中心對稱，同理可得，∴，∴切線方程為：，即.故選：D二?多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.記數列的前項和為，則下列條件使一定為等比數列的是（）A. B. C. D.【答案】AD【解析】對于A，由等比數列定義知，一定為等比數列，A是；對于B，當時，成立，不成等比數列，B不是；對于C，由，得，不成等比數列，C不是；對于D，由，得，是公比為1的等比數列，D是.故選：AD10.已知是拋物線的焦點，點在圓上，圓在點處的切線與只有一個公共點，動直線，則下列說法正確的是（）A.B.與和圓各恰有一個公共點的直線有6條C.若圓上僅有一個點到的距離為2，則滿足條件的的值有4個D.若上一點到的距離為，則的最小值為【答案】ABC【解析】對于A，因為點在圓上，所以，解得，所以圓的方程為，所以圓心，所以直線的斜率，所以圓在點處的切線的斜率，所以切線方程為，即，代入拋物線的方程中，得，由，解得，(舍去），故項正確；對于B，如圖所示，在軸右側，當直線斜率不存在時，有一條直線與和圓各恰有一個公共點，當斜率存在時，有兩條這樣直線.根據對稱，總共有6條直線與和圓各恰有一個公共點，故B正確；對于C，若圓上僅有一個點到的距離為2，則圓心到直線的距離為3或1，當圓心到直線的距離為3時，，解得或；當圓心到直線的距離為1時，，解得或；故項正確；對于D，因為，所以，當點與原點重合時等號成立，此時取得最小值，故D錯誤．故選：ABC.11.如圖，正方體的棱長為1，點分別在棱上（與端點不重合），過點作平面，垂足為，則下列說法正確的是（）A.可能為直角三角形B.若為的外接圓的圓心，則三棱錐為正三棱錐C.若，則四面體的棱與面所成角的正弦值的集合是D.【答案】BCD【解析】對于A，設，其中，所以，由余弦定理得，所以為銳角，同理其它兩角也是銳角，故A錯誤；對于B，因為為的外心，所以，再由平面，結合勾股定理易知，又三個側面都是直角三角形，易證全等，所以，故三棱錐為正三棱錐，正確；對于C，若棱在面內，則棱與面所成的角為0，正弦值為0；若棱不在面內，考察側棱與底面所成的角，以為例，（一樣），設，則，則的面積為，由等體積，三棱錐的體積,所以，所以，即以為頂點，為底面的三棱錐的側棱與底面所成角的正弦值為，以或或為頂點的三棱錐的側棱與底面所成角,以點例，（或一樣），因為平面,所以與平面所成角為，正弦值為1，由線面角的定義可知：為與平面所成角，易知，正弦值為，所以四面體的棱與面所成角的正弦值的集合是故C正確；對于D，若，又，即，所以，則，即，所以，即，D正確；故選：BCD三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.甲同學自進入高三以來，前四次數學考試的分數逐次遞增，第一次的分數為116，第四次的分數為132，且中位數為120，則甲同學這四次數學考試的平均分為_______．【答案】122【解析】設甲第二、第三次的分數分別為，由中位數為120，得，即，所以甲同學這四次數學考試的平均分為.故答案為：12213.過雙曲線的右焦點作直線的垂線，垂足為與的右支交于點，若，則的離心率_____．【答案】【解析】設雙曲線的半焦距為c，，，設，由，得是線段的中點，過作于，則∽，，因此，解得，由點在雙曲線上，得，即，所以.故答案為：14.記，若，則實數_______．【答案】8【解析】當均不為0時，由，得，由，因此，即，所以.故答案為：8四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.在中，內角的對邊分別為，已知．（1）求；（2）若為的中點，且的長為2，求的最大值，并求此時的值．解：（1）在中，由及正弦定理得，由余弦定理得，而，所以.（2）在中，由余弦定理得，則，即，當且僅當時取等號，此時，所以的最大值為8，.16.如圖，四棱錐的底面是邊長為2的菱形，且是正三角形，為的中點．（1）求證：平面；（2）求二面角的正弦值．解：（1）在四棱錐中，連接，由四邊形是邊長為2的菱形，，得是正三角形，又為的中點，則，而是正三角形，則，于是，，又平面，所以平面（2）由（1）知，直線兩兩垂直，以為原點，直線分別為軸建立空間直角坐標系，則，，設平面的法向量，則，取，得，設平面的法向量，則，取，得，，所以二面角的正弦值為.17.口袋中有編號分別為1，2，3，…，10的10個小球，所有小球除了編號外無其他差別．（1）從口袋中任取3個小球，求取到的小球編號既有奇數又有偶數的概率；（2）從口袋中任取5個小球，設其中編號的最小值為，求的分布列及期望．解：（1）從口袋中任取3個小球有種方法，編號全為奇數的取法有種，全為偶數的取法有種，因此編號既有奇數又有偶數的取法種數為，所以取到的小球編號既有奇數又有偶數的概率為.（2）依題意，的所有可能值為1，2，3，4，5，6，從口袋中任取5個小球有種取法，，，，，，，所以的分布列為123456期望.18.已知橢圓的離心率為，點在上，直線與交于兩點，點關于軸的對稱點為為坐標原點．（1）求的方程；（2）證明：的面積為定值；（3）若點在直線的右側，求直線在軸上的截距的最小值．解：（1）由橢圓的離心率為，得，即，由點在上，得，聯立解得，所以的方程為.（2）設，則，由消去并整理得，，，，所以△的面積為定值.（3）由點在直線的右側，得，設直線與軸的交點為，當時，點中有一個點與橢圓的上頂點重合，此時即為的上頂點，，當時，由共線，得，即，整理得，而，當且僅當時取等號，，所以直線在軸上的截距的最小值為.19.若函數的圖象上存在三點，且，使得直線與的圖象在點處的切線平行，則稱為在區間上的“中值點”．（1）若函數在區間上的中值點為，證明：成等差數列．（2）已知函數，存在，使得．（?。┣髮崝档娜≈捣秶?；（ⅱ）當時，記在區間上所有可能的中值點之和為，證明：．解：（1）由題意知.因為，又，所以，即，所以成等差數列.（2）（i），設，則，當時，單調遞增，當時，單調遞減.故，且當時，，當時，.若，則恒有，所以在上單調遞減，不符合題意；若，則在和上分別存在一個零點，記為，當時，，即單調遞減，當時，，即單調遞增，當時，，即單調遞減，故存在，滿足.所以的取值范圍是.（ii）因為，所以中值點滿足，由（i）知當時，即有兩個零點，所以在區間上所有可能的中值點即.先證明：由，得.要證，即證.設，則設，當時，，所以在上單調遞增，所以，所以當時，，所以在上單調遞減.所以當時，，即.因為，所以，即，又，再結合在上單調遞減，可得，從而.令，得，所以.河南省商丘市2025屆高三下學期3月教學質量檢測數學試卷一?單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為，所以，，所以，所以.故選：D.2.已知復數滿足，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】依題意，，則，所以.故選：A3.已知等差數列的前8項和為48；，則的公差為（）A.1 B.2 C.4 D.8【答案】B【解析】依題意，即，假設等差數列的首項為，公差為，則，解得,故選：B.4.下列函數中，是奇函數的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】A選項，函數定義域為，，函數不是奇函數，A選項錯誤；B選項，函數定義域為，，函數不是奇函數，B選項錯誤；A選項，函數定義域為，，函數是奇函數，C選項正確；D選項，函數定義域為，不關于原點對稱，函數不是奇函數，D選項錯誤.故選：C.5.已知平面向量滿足，且，則（）A.2 B. C. D.1【答案】A【解析】由，得，則，由，得，因此，所以.故選：A6.把函數的圖象向左平移個單位長度后，得到函數的圖象，則的圖象的一條對稱軸方程為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】依題意，，則，由，解得，因此函數的圖象的對稱軸方程為，取，得，C正確，不存在整數使得ABD成立.故選：C7.甲每個周末都跑步或游泳，每天進行且僅進行其中的一項運動.已知他周六跑步的概率為0.6，且如果周六跑步，則周日游泳的概率為0.7，如果周六游泳，則周日跑步的概率為0.9.若甲某個周日游泳了，則他前一天跑步的概率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】用事件分別表示“周六跑步”，“周日跑步”，則分別表示“周六游泳”，“周日游泳”，于是，因此，所以.故選：D8.已知是定義域為的非常值函數，且，，是的導函數，且的定義域為．若設，，則曲線在點處的切線方程為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】令，則，則函數關于點中心對稱，令，則，則或，當時，令，則，即，不合題意，舍去.故，則令，即，即函數關于軸對稱，，令，則，又∵，∴，則，即函數是周期為的周期函數，∴，∵函數關于點中心對稱和軸對稱，∴導數關于對稱和點中心對稱，同理可得，∴，∴切線方程為：，即.故選：D二?多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.記數列的前項和為，則下列條件使一定為等比數列的是（）A. B. C. D.【答案】AD【解析】對于A，由等比數列定義知，一定為等比數列，A是；對于B，當時，成立，不成等比數列，B不是；對于C，由，得，不成等比數列，C不是；對于D，由，得，是公比為1的等比數列，D是.故選：AD10.已知是拋物線的焦點，點在圓上，圓在點處的切線與只有一個公共點，動直線，則下列說法正確的是（）A.B.與和圓各恰有一個公共點的直線有6條C.若圓上僅有一個點到的距離為2，則滿足條件的的值有4個D.若上一點到的距離為，則的最小值為【答案】ABC【解析】對于A，因為點在圓上，所以，解得，所以圓的方程為，所以圓心，所以直線的斜率，所以圓在點處的切線的斜率，所以切線方程為，即，代入拋物線的方程中，得，由，解得，(舍去），故項正確；對于B，如圖所示，在軸右側，當直線斜率不存在時，有一條直線與和圓各恰有一個公共點，當斜率存在時，有兩條這樣直線.根據對稱，總共有6條直線與和圓各恰有一個公共點，故B正確；對于C，若圓上僅有一個點到的距離為2，則圓心到直線的距離為3或1，當圓心到直線的距離為3時，，解得或；當圓心到直線的距離為1時，，解得或；故項正確；對于D，因為，所以，當點與原點重合時等號成立，此時取得最小值，故D錯誤．故選：ABC.11.如圖，正方體的棱長為1，點分別在棱上（與端點不重合），過點作平面，垂足為，則下列說法正確的是（）A.可能為直角三角形B.若為的外接圓的圓心，則三棱錐為正三棱錐C.若，則四面體的棱與面所成角的正弦值的集合是D.【答案】BCD【解析】對于A，設，其中，所以，由余弦定理得，所以為銳角，同理其它兩角也是銳角，故A錯誤；對于B，因為為的外心，所以，再由平面，結合勾股定理易知，又三個側面都是直角三角形，易證全等，所以，故三棱錐為正三棱錐，正確；對于C，若棱在面內，則棱與面所成的角為0，正弦值為0；若棱不在面內，考察側棱與底面所成的角，以為例，（一樣），設，則，則的面積為，由等體積，三棱錐的體積,所以，所以，即以為頂點，為底面的三棱錐的側棱與底面所成角的正弦值為，以或或為頂點的三棱錐的側棱與底面所成角,以點例，（或一樣），因為平面,所以與平面所成角為，正弦值為1，由線面角的定義可知：為與平面所成角，易知，正弦值為，所以四面體的棱與面所成角的正弦值的集合是故C正確；對于D，若，又，即，所以，則，即，所以，即，D正確；故選：BCD三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.甲同學自進入高三以來，前四次數學考試的分數逐次遞增，第一次的分數為116，第四次的分數為132，且中位數為120，則甲同學這四次數學考試的平均分為_______．【答案】122【解析】設甲第二、第三次的分數分別為，由中位數為120，得，即，所以甲同學這四次數學考試的平均分為.故答案為：12213.過雙曲線的右焦點作直線的垂線，垂足為與的右支交于點，若，則的離心率_____．【答案】【解析】設雙曲線的半焦距為c，，，設，由，得是線段的中點，過作于，則∽，，因此，解得，由點在雙曲線上，得，即，所以.故答案為：14.記，若，則實數_______．【答案】8【解析】當均不為0時，由，得，由，因此，即，所以.故答案為：8四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.在中，內角的對邊分別為，已知．（1）求；（2）若為的中點，且的長為2，求的最大值，并求此時的值．解：（1）在中，由及正弦定理得，由余弦定理得，而，所以.（2）在中，由余弦定理得，則，即，當且僅當時取等號，此時，所以的最大值為8，.16.如圖，四棱錐的底面是邊長為2的菱形，且是正三角形，為的中點．（1）求證：平面；（2）求二面角的正弦值．解：（1）在四棱錐中，連接，由四邊形是邊長為2的菱形，，得是正三角形，又為的中點，則，而是正三角形，則，于是，，又平面，所以平面（2）由（1）知，直線兩兩垂直，以為原點，直線分別為軸建立空間直角坐標系，則，，設平面的法向量，則，取，得，設平面的法向量，則，取，得，，所以二面角的正弦值為.17.口袋中有編號分別為1，2，3，…，10的10個小球，所有小球除了編號外無其他差別．（1）從口袋中任取3個小球，求取到的小球編號既有奇數又有偶數的概率；（2）從口袋中任取5個小球，設其中編號的最小值為，求的分布列及期望．解：（1）從口袋中任取3個小球有種方法，編號全為奇數的取法有種，全為偶數的取法有種，因此編號既有奇數又有偶數的