高級中學(xué)名校試題PAGEPAGE1河南省名校學(xué)術(shù)聯(lián)盟2025屆高三下學(xué)期模擬沖刺數(shù)學(xué)試題（五）一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.命題“”的否定為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】命題“”是全稱量詞命題，其否定是存在量詞命題，所以所求的否定是：.故選：A2.已知，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】依題意，，則所以.故選：C3.已知向量，則在上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由向量，得，所以在上的投影向量為.故選：C4.已知均為正數(shù)，則的最小值為（）A.4 B. C.6 D.【答案】D【解析】由均為正數(shù)，得，當且僅當時取等號，所以的最小值為.故選：D5.同時滿足：①偶數(shù)；②沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)；③個位數(shù)不為0，這三個條件的數(shù)有（）A.64個 B.128個 C.196個 D.256個【答案】D【解析】個位數(shù)的選擇：由于是偶數(shù)且個位不能為0，個位只能是2、4、6、8中的一個，共有4種選擇.百位數(shù)的選擇：百位不能為0，且不能與個位數(shù)字重復(fù).因此，對于每個個位數(shù)，百位有8種選擇（1-9中排除個位數(shù)）.十位數(shù)的選擇：十位可以是0-9中排除百位和個位已經(jīng)使用的數(shù)字，剩下的8種選擇.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理同時滿足題設(shè)三個條件得數(shù)得總個數(shù)為種.故選：D.6.設(shè)，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】.故選：C7.已知過原點且斜率存在的直線與圓交于，兩點（為圓心），當?shù)拿娣e最大時，直線的斜率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設(shè)直線l的方程為：，圓心到直線距離，弦長，所以，當時，面積S最大，這時，整理得，解得，所以直線的斜率為．故選：B8.已知橢圓與雙曲線的公共焦點分別為，離心率分別為是的一個公共點．若點滿足，則（）A. B.2 C. D.3【答案】A【解析】由，得，，由，得，在中，，由余弦定理得，由橢圓定義得，即，由雙曲線定義得，即，所以.故選：A二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.近些年食品安全問題日益突出，為了達到宣傳食品安全防范意識的目的，某市組織全市中學(xué)生食品安全知識競賽活動．某高中采用分層抽樣的方式從該校的高一?二?三年級中抽取10名同學(xué)作為代表隊參賽，已知該校高一?二?三年級的人數(shù)比例為，統(tǒng)計并記錄抽取到的10名同學(xué)的成績（滿分100分）為：，則（）A.中位數(shù)為90 B.分位數(shù)為92C.方差為58 D.代表隊中高三同學(xué)有4人【答案】AC【解析】將10名同學(xué)的成績從小到大排列為：70，85，86，88，90，90，92，94，95，100，對于A，中位數(shù)為，A正確；對于B，由，得分位數(shù)為，B錯誤；對于C，平均數(shù)為，方差，C正確；對于D，由分層抽樣，得高三年級的同學(xué)有人，D錯誤.故選：AC10.已知函數(shù)，則（）A.的最小正周期為2B.為圖象的一條對稱軸C.在區(qū)間上先單調(diào)遞增后單調(diào)遞減D.在區(qū)間上恰有8個零點【答案】BCD【解析】對于A，的最小正周期為，A錯誤；對于B，，則為圖象的一條對稱軸，B正確；對于C，當時，，函數(shù)在上遞增，在上遞減，因此在區(qū)間上先單調(diào)遞增后單調(diào)遞減，C正確；對于D，由，得，解得，由，解得，而，，因此的整數(shù)值有8個，D正確.故選：BCD11.已知函數(shù)的定義域為，滿足，則（）A.B.是奇函數(shù)C.當時，D.（，且）【答案】ACD【解析】A：令，則，對；B：令，則，故，而且，若，則，錯；C：當，則，若，，則，所以，即，即是首項為，公比為2的等比數(shù)列，故，所以，對；D：令，，則，即，所以，令，則，所以且，則，所以，即是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以，則，所以，又且，則，，所以，對.故選：ACD三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.拋物線的焦點坐標為__________．【答案】【解析】拋物線化為：，所以拋物線的焦點坐標為.故答案為：13.在中，角所對的邊分別為，且，則__________．【答案】【解析】在中，由及余弦定理，得，由正弦定理得故答案為：14.光學(xué)是物理學(xué)的重要研究領(lǐng)域，點光源是抽象化的物理概念，指從一個點向周圍空間均勻發(fā)光的光源.如圖1所示，有一點光源在垂直于水平地面的屏幕平面上映出長方形的影像，此時點光源發(fā)光所形成的空間圖形是以為頂點，以長方形為底面的四棱錐.已知，，，直線平行于屏幕邊界.如圖2所示，將圖1的屏幕以直線為旋轉(zhuǎn)軸向箭頭方向旋轉(zhuǎn)時，屏幕上映出的影像從長方形變成了梯形，則四棱錐的體積為______.【答案】72【解析】重新作出棱錐，如圖，分別在上且，平面與平面所成二面角是，，因為，是矩形，則是中點，也是中點，所以，又因為平面，，所以平面，取中點，中點，連接，則，，，，又因為，平面，所以平面，而平面，所以，設(shè)，連接，所以是平面與平面所成二面角的平面角，即，易得，，，，，所以，，即，，所以，從而，中由正弦定理有，，所以，解得，同理得，所以是中點，所以是的中位線，，又平面，平面，所以平面平面，又平面平面，過作平面的垂直，則垂足在上，，所以，從而到平面的距離為，，所以，故答案為：72．四?解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程和解題步驟．15.在幾何體中，為等邊三角形，底面為等腰梯形，為的中點，記平面和平面的交線為．（1）證明：直線平面；（2）若平面平面，求平面與平面夾角的余弦值．（1）證明：在等腰梯形中，由，得，而為的中點，則，四邊形為平行四邊形，于，又平面平面，因此平面，而平面，平面平面，則，又平面，所以直線平面.（2）解：取的中點，連接，則，由平面平面，平面平面，平面，得平面，而平面，則，由為等邊三角形，得，以為原點，直線分別為軸建立空間直角坐標系，則，，設(shè)平面的法向量，則，取，得，平面的法向量為，設(shè)平面與平面的夾角為，因此，所以平面與平面夾角的余弦值為.16.已知函數(shù).（1）當時，求曲線在點處的切線方程；（2）若，求的取值范圍.解：（1）當時，，，，，故曲線在點處的切線方程為.（2）當時，的定義域為，，令，解得或（舍去），所以當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增，所以，解得，即；當時，的定義域為，，令，解得（舍去）或，所以當時，單調(diào)遞增；當時，單調(diào)遞減，所以，解得，即.綜上所述，的取值范圍是.17.已知甲和乙配合做壓軸題，從4道壓軸題（每題均為2問）中隨機選擇3道，甲做第一問，乙做第二問.4道題中甲會做其中3道題的第一問，若甲能做出第一問，則乙做出第二問的概率是；若甲做不出第一問，則乙也做不出第二問．（1）求甲和乙配合做出2道題的概率；（2）記甲和乙配合做出題目的個數(shù)為，求的分布列和期望．解：（1）甲乙配合做出2道題的事件為，則需要抽中2個或3個甲會做的題，且乙做對其中2道，因此，所以甲和乙配合做出2道題的概率為．（2）依題意，隨機變量可能的取值為，可得，，，．所以的分布列為0123數(shù)學(xué)期望.18.已知數(shù)列滿足，且．（1）證明：；（2）證明：；（3）證明：．（附：當時，）證明：（1）由題意可得.構(gòu)造函數(shù)，則，在單調(diào)遞增.所以，即任意時，.，，且，且，故.（2）下面用數(shù)學(xué)歸納法證明.①當時，成立；當時，成立；②假設(shè)當時，，，則當時，，且，所以，綜合①②可知，對任意，成立.，，由，則，即，，數(shù)列為遞增數(shù)列，，即.（3）要證，由，故即證.當時，成立；當時，由題附結(jié)論可知，當時，，所以，即，由，故在式兩邊同除以得，所以，即，，，由，可得數(shù)列是正項遞減數(shù)列，又數(shù)列為正項遞增數(shù)列，所以，則，又，，，綜上所述，對任意，都有，故，得證.19.給定平面上一些點的集合D及若干個點若對于為定值，我們就稱為一個穩(wěn)定點集.（1）判斷集合與點構(gòu)成的是不是穩(wěn)定點集，并說明理由；（2）判斷集合以及點構(gòu)成的是不是穩(wěn)定點集，并說明理由；（3）若集合及單位圓中的內(nèi)接2024邊形的頂點，，，構(gòu)成的是一個穩(wěn)定點集，求的值.解：（1）不是穩(wěn)定點集，理由如下：取，則；取，則，故不是穩(wěn)定點集.（2）是穩(wěn)定點集，理由如下：設(shè)，，則，則，為定值，故是穩(wěn)定點集.（3）因為是穩(wěn)定點集，設(shè)是單位圓上任意一點，所以為定值，所以，因為，故，因為為定值，所以為定值，因為是單位圓上任意一點，所以，故.河南省名校學(xué)術(shù)聯(lián)盟2025屆高三下學(xué)期模擬沖刺數(shù)學(xué)試題（五）一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.命題“”的否定為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】命題“”是全稱量詞命題，其否定是存在量詞命題，所以所求的否定是：.故選：A2.已知，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】依題意，，則所以.故選：C3.已知向量，則在上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由向量，得，所以在上的投影向量為.故選：C4.已知均為正數(shù)，則的最小值為（）A.4 B. C.6 D.【答案】D【解析】由均為正數(shù)，得，當且僅當時取等號，所以的最小值為.故選：D5.同時滿足：①偶數(shù)；②沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)；③個位數(shù)不為0，這三個條件的數(shù)有（）A.64個 B.128個 C.196個 D.256個【答案】D【解析】個位數(shù)的選擇：由于是偶數(shù)且個位不能為0，個位只能是2、4、6、8中的一個，共有4種選擇.百位數(shù)的選擇：百位不能為0，且不能與個位數(shù)字重復(fù).因此，對于每個個位數(shù)，百位有8種選擇（1-9中排除個位數(shù)）.十位數(shù)的選擇：十位可以是0-9中排除百位和個位已經(jīng)使用的數(shù)字，剩下的8種選擇.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理同時滿足題設(shè)三個條件得數(shù)得總個數(shù)為種.故選：D.6.設(shè)，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】.故選：C7.已知過原點且斜率存在的直線與圓交于，兩點（為圓心），當?shù)拿娣e最大時，直線的斜率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設(shè)直線l的方程為：，圓心到直線距離，弦長，所以，當時，面積S最大，這時，整理得，解得，所以直線的斜率為．故選：B8.已知橢圓與雙曲線的公共焦點分別為，離心率分別為是的一個公共點．若點滿足，則（）A. B.2 C. D.3【答案】A【解析】由，得，，由，得，在中，，由余弦定理得，由橢圓定義得，即，由雙曲線定義得，即，所以.故選：A二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.近些年食品安全問題日益突出，為了達到宣傳食品安全防范意識的目的，某市組織全市中學(xué)生食品安全知識競賽活動．某高中采用分層抽樣的方式從該校的高一?二?三年級中抽取10名同學(xué)作為代表隊參賽，已知該校高一?二?三年級的人數(shù)比例為，統(tǒng)計并記錄抽取到的10名同學(xué)的成績（滿分100分）為：，則（）A.中位數(shù)為90 B.分位數(shù)為92C.方差為58 D.代表隊中高三同學(xué)有4人【答案】AC【解析】將10名同學(xué)的成績從小到大排列為：70，85，86，88，90，90，92，94，95，100，對于A，中位數(shù)為，A正確；對于B，由，得分位數(shù)為，B錯誤；對于C，平均數(shù)為，方差，C正確；對于D，由分層抽樣，得高三年級的同學(xué)有人，D錯誤.故選：AC10.已知函數(shù)，則（）A.的最小正周期為2B.為圖象的一條對稱軸C.在區(qū)間上先單調(diào)遞增后單調(diào)遞減D.在區(qū)間上恰有8個零點【答案】BCD【解析】對于A，的最小正周期為，A錯誤；對于B，，則為圖象的一條對稱軸，B正確；對于C，當時，，函數(shù)在上遞增，在上遞減，因此在區(qū)間上先單調(diào)遞增后單調(diào)遞減，C正確；對于D，由，得，解得，由，解得，而，，因此的整數(shù)值有8個，D正確.故選：BCD11.已知函數(shù)的定義域為，滿足，則（）A.B.是奇函數(shù)C.當時，D.（，且）【答案】ACD【解析】A：令，則，對；B：令，則，故，而且，若，則，錯；C：當，則，若，，則，所以，即，即是首項為，公比為2的等比數(shù)列，故，所以，對；D：令，，則，即，所以，令，則，所以且，則，所以，即是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以，則，所以，又且，則，，所以，對.故選：ACD三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.拋物線的焦點坐標為__________．【答案】【解析】拋物線化為：，所以拋物線的焦點坐標為.故答案為：13.在中，角所對的邊分別為，且，則__________．【答案】【解析】在中，由及余弦定理，得，由正弦定理得故答案為：14.光學(xué)是物理學(xué)的重要研究領(lǐng)域，點光源是抽象化的物理概念，指從一個點向周圍空間均勻發(fā)光的光源.如圖1所示，有一點光源在垂直于水平地面的屏幕平面上映出長方形的影像，此時點光源發(fā)光所形成的空間圖形是以為頂點，以長方形為底面的四棱錐.已知，，，直線平行于屏幕邊界.如圖2所示，將圖1的屏幕以直線為旋轉(zhuǎn)軸向箭頭方向旋轉(zhuǎn)時，屏幕上映出的影像從長方形變成了梯形，則四棱錐的體積為______.【答案】72【解析】重新作出棱錐，如圖，分別在上且，平面與平面所成二面角是，，因為，是矩形，則是中點，也是中點，所以，又因為平面，，所以平面，取中點，中點，連接，則，，，，又因為，平面，所以平面，而平面，所以，設(shè)，連接，所以是平面與平面所成二面角的平面角，即，易得，，，，，所以，，即，，所以，從而，中由正弦定理有，，所以，解得，同理得，所以是中點，所以是的中位線，，又平面，平面，所以平面平面，又平面平面，過作平面的垂直，則垂足在上，，所以，從而到平面的距離為，，所以，故答案為：72．四?解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程和解題步驟．15.在幾何體中，為等邊三角形，底面為等腰梯形，為的中點，記平面和平面的交線為．（1）證明：直線平面；（2）若平面平面，求平面與平面夾角的余弦值．（1）證明：在等腰梯形中，由，得，而為的中點，則，四邊形為平行四邊形，于，又平面平面，因此平面，而平面，平面平面，則，又平面，所以直線平面.（2）解：取的中點，連接，則，由平面平面，平面平面，平面，得平面，而平面，則，由為等邊三角形，得，以為原點，直線分別為軸建立空間直角坐標系，則，，設(shè)平面的法向量，則，取，得，平面的法向量為，設(shè)平面與平面的夾角為，因此，所以平面與平面夾角的余弦值為.16.已知函數(shù).（1）當時，求曲線在點處的切線方程；（2）若，求的取值范圍.解：（1）當時，，，，，故曲線在點處的切線方程為.（2）當時，的定義域為，，令，解得或（舍去），所以當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增，所以，解得，即；當時，的定義域為，，令，解得（舍去）或，所以當時，單調(diào)遞增；當時，單調(diào)遞減，所以，解得，即.綜上所述，的取值范圍是.17.已知甲和乙配合做壓軸題，從4道壓軸題（每題均為2問）中隨機選擇3道，甲做第一問，乙做第二問.4道題中甲會做其中3道題的第一問，若甲能做出第一問，則乙做出第二問的