高級中學名校試題PAGEPAGE1河北省邢臺市2025屆名校協作高三一模試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，又，所以.故選：B.2.若，則復數z的虛部是（）A B. C. D.【答案】B【解析】因為，則，所以復數z的虛部是.故選：B.3.已知焦點在x軸上的橢圓的離心率為，且它的長軸長等于4，則橢圓的標準方程是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由題意得，解得，所以橢圓方程為：，故選：A.4.已知為等比數列，為數列的前n項和，，則（）A.3 B.18 C.54 D.152【答案】C【解析】由題設得，作差可得，即，又為等比數列，故其公比為3，且，即，所以.故選：C5.已知，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】∵，∴.∵，∴，∴，即，解得或（舍），∴.故選：C.6.設函數，則不等式的解集為（）.A. B.C. D.【答案】B【解析】函數的定義域為，且，即為偶函數，當時與，與均在上單調遞增，所以與均在上單調遞增，所以在上單調遞增，則不等式等價于，即，解得或，即不等式的解集為.故選：B.7.已知，若，則（）A. B. C.15 D.35【答案】A【解析】令，可得，解得，，展開式中的系數為.故選：A.8.存在使不等式成立，則實數a的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】存在,不等式成立，變形即成立，由于，因此有，兩邊平方，解得或.故選：A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知雙曲線的左、右焦點分別為，，若（為的離心率），則（）A. B.的虛軸長為C. D.的一條漸近線的斜率為【答案】AB【解析】由，知，，，由，得，即，，所以的虛軸長為，故A，B正確，C錯誤；由的漸近線方程為，得兩條漸近線的斜率分別為，，故D錯誤．故選：AB．10.將函數的圖象向左平移個單位后得到函數的圖象，則（）A.為函數圖象的一條對稱軸B.C.函數在上單調遞增D.函數的圖象與函數的圖象交點個數為5【答案】ACD【解析】對于A，將函數的圖象向左平移個單位，可得到函數的圖象，則，所以為函數圖象的一條對稱軸，故A正確；對于B，，故B錯誤；對于C，當時，，而在上單調遞增，所以在上單調遞增，故C正確；對于D，對于，其周期為，最大值為，令，則，令，則，且，因為的定義域為，且，作出與在上的大致圖象，如圖，結合圖象可知，的與函數的圖象交點個數為5，故D正確.故選：ACD.11.如圖，曲線是一條“雙紐線”，其上的點滿足：到點與到點的距離之積為4，則下列結論正確的是（）A.點在曲線上B.點在上，則C.點在橢圓上，若，則D.過作軸的垂線交于兩點，則【答案】ACD【解析】對于A，，由定義知，A正確；對于B，由點在上，得，化簡得，解得，，B錯誤；對于C，橢圓的焦點坐標恰好為與，則，由，得，則，，C正確；對于D，設，則，而，則，又，則，化簡得，解得，，因此1，，D正確.故選：ACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.若向量，滿足，，則_______．【答案】【解析】因為，，所以，所以，所以，所以．故答案為：．13.已知底面半徑為3的圓錐，其軸截面是正三角形，它的一個內接圓柱的底面半徑為1，則此圓柱的側面積為__________.【答案】【解析】如圖作出圓錐的軸截面，根據題意可知,,所以可得,根據三角形相似可得,所以,可求得,根據圓柱側面積公式可得.故答案為：14.已知，則的最大值為_______．【答案】【解析】因為，所以，故.又因為，故，從而，這就得到.而當，時，有，且.所以的最大值為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.某社區組織居民開在垃圾分類知識競賽活動.隨機對該社區名居民的成績進行統計，成績均在內，將成績分成組進行統計分析：第組有人，第組有16人，第組有人，第組有人，第組有人.現使用分層隨機抽樣的方法在第，組共選取人參加垃圾分類志愿者工作.（1）對該社區名居民進行問卷調查，部分數據如下表所示，補全表格數據，并依據小概率值的獨立性檢驗，分析能否認為居民喜歡垃圾分類與性別有關；不喜歡垃圾分類喜歡垃圾分類合計男女合計（2）若從參加垃圾分類志愿者工作的人中隨機選取人參加垃圾分類知識宣講工作，記來自第組的人數為，求的分布列及數學期望.附：，.解：（1）補充列聯表如下所示，

不喜歡垃圾分類喜歡垃圾分類合計男女合計零假設：居民喜歡垃圾分類與性別無關，則，所以依據小概率值的獨立性檢驗，推斷不成立，即認為喜歡垃圾分類與性別有關；（2）用分層隨機抽樣的方法在第，組抽取的人數分別是，，所以可能的取值為，，，，，，所以的分布列為：.16.已知函數．（1）時，求的極值；（2）若不等式恒成立，求實數的取值范圍．解：（1）當時，，，，得，當，，單調遞增，當，，單調遞減，所以當時，函數取得極大值，無極小值；（2）由題意可知，，即恒成立，即，恒成立，設，，設，，，設，所以，得（負值舍去），當時，，單調遞增，當時，，單調遞減，所以的最大值為，即恒成立，所以單調遞減，且，所以當時，，即，單調遞增，當時，，即，單調遞減，所以最大值為，所以.17.在直三棱柱中，，分別為，的中點，且，．（1）求證：；（2）求二面角的正弦值．（1）證明：因為為直棱柱，所以平面，又因為平面，所以，因為，為中點，所以，又因為，平面，所以平面，又因為平面，所以．（2）解：以為坐標原點建立如圖所示空間直角坐標系，則，，，所以，，設平面的法向量，則，取，又平面的法向量，記二面角為，則，則，即二面角的正弦值為．18.已知動點M與兩個定點O(0，0)，A(3，0)的距離的比為，動點M的軌跡為曲線C．（1）求C的軌跡方程，并說明其形狀；（2）過直線x＝3上的動點P(3，p)(p≠0)分別作C的兩條切線PQ、PR(Q、R為切點)，N為弦QR的中點，直線l：3x＋4y＝6分別與x軸、y軸交于點E、F，求△NEF的面積S的取值范圍．解：（1）設M(x，y)，由＝，得＝，化簡得x2＋y2＋2x－3＝0，即(x＋1)2＋y2＝4，故曲線C是以(－1，0)為圓心，2為半徑的圓．（2）由（1）知C(－1，0)，又P(3，p)，(p≠0)，則線段CP的中點的坐標為，|CP|＝，故以線段CP為直徑的圓的方程為(x－1)2＋＝，整理得x2＋y2－2x－py－3＝0①．由題意知，Q、R在以CP為直徑的圓上，又Q、R在圓x2＋y2＋2x－3＝0②上，由②－①，得4x＋py＝0，所以弦QR所在直線的方程為4x＋py＝0，可得QR恒過坐標原點O(0，0)．由得(16＋p2)y2－8py－48＝0，設Q(x1，y1)，R(x2，y2)，則y1＋y2＝，所以點N的縱坐標＝＝，因為p≠0，所以≠0，所以點N與點C(－1，0)，O(0，0)均不重合．因為N為弦QR的中點，且C(－1，0)為圓C的圓心，所以CN⊥QR，即CN⊥ON，所以點N在以OC為直徑的圓上，該圓的圓心為G，半徑為．因為直線3x＋4y＝6分別與x軸、y軸交于點E、F，所以E(2，0)，F，因此|EF|＝，圓心G到直線3x＋4y＝6的距離d＝＝．設△NEF的邊EF上的高為h，則點N到直線3x＋4y＝6距離h的最小值為d－r＝－＝1；點N到直線3x＋4y＝6的距離h的最大值為d＋r＝＋＝2．所以S的最小值＝××1＝，最大值＝××2＝．因此△NEF的面積S的取值范圍是．19.已知函數．（1）若，證明：；（2）記數列的前項和為．（i）若，證明：．（ii）已知函數，若，，，證明：.（1）證明：設，當時，，所以在上為增函數，故當時，，所以當時，設，當時，，所以在上單調遞增，故當時，，所以當時，故當時，因為，當時，，所以在上為增函數，因為當時，，且由，可得，所以，即，所以（2）解：（i）因為，所以，則，所以，即，所以（ii）函數，因為當時，，所以當時，，所以當時，，因此，故，即因為，所以當時，，綜上，，所以，所以，即.河北省邢臺市2025屆名校協作高三一模試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，又，所以.故選：B.2.若，則復數z的虛部是（）A B. C. D.【答案】B【解析】因為，則，所以復數z的虛部是.故選：B.3.已知焦點在x軸上的橢圓的離心率為，且它的長軸長等于4，則橢圓的標準方程是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由題意得，解得，所以橢圓方程為：，故選：A.4.已知為等比數列，為數列的前n項和，，則（）A.3 B.18 C.54 D.152【答案】C【解析】由題設得，作差可得，即，又為等比數列，故其公比為3，且，即，所以.故選：C5.已知，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】∵，∴.∵，∴，∴，即，解得或（舍），∴.故選：C.6.設函數，則不等式的解集為（）.A. B.C. D.【答案】B【解析】函數的定義域為，且，即為偶函數，當時與，與均在上單調遞增，所以與均在上單調遞增，所以在上單調遞增，則不等式等價于，即，解得或，即不等式的解集為.故選：B.7.已知，若，則（）A. B. C.15 D.35【答案】A【解析】令，可得，解得，，展開式中的系數為.故選：A.8.存在使不等式成立，則實數a的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】存在,不等式成立，變形即成立，由于，因此有，兩邊平方，解得或.故選：A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知雙曲線的左、右焦點分別為，，若（為的離心率），則（）A. B.的虛軸長為C. D.的一條漸近線的斜率為【答案】AB【解析】由，知，，，由，得，即，，所以的虛軸長為，故A，B正確，C錯誤；由的漸近線方程為，得兩條漸近線的斜率分別為，，故D錯誤．故選：AB．10.將函數的圖象向左平移個單位后得到函數的圖象，則（）A.為函數圖象的一條對稱軸B.C.函數在上單調遞增D.函數的圖象與函數的圖象交點個數為5【答案】ACD【解析】對于A，將函數的圖象向左平移個單位，可得到函數的圖象，則，所以為函數圖象的一條對稱軸，故A正確；對于B，，故B錯誤；對于C，當時，，而在上單調遞增，所以在上單調遞增，故C正確；對于D，對于，其周期為，最大值為，令，則，令，則，且，因為的定義域為，且，作出與在上的大致圖象，如圖，結合圖象可知，的與函數的圖象交點個數為5，故D正確.故選：ACD.11.如圖，曲線是一條“雙紐線”，其上的點滿足：到點與到點的距離之積為4，則下列結論正確的是（）A.點在曲線上B.點在上，則C.點在橢圓上，若，則D.過作軸的垂線交于兩點，則【答案】ACD【解析】對于A，，由定義知，A正確；對于B，由點在上，得，化簡得，解得，，B錯誤；對于C，橢圓的焦點坐標恰好為與，則，由，得，則，，C正確；對于D，設，則，而，則，又，則，化簡得，解得，，因此1，，D正確.故選：ACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.若向量，滿足，，則_______．【答案】【解析】因為，，所以，所以，所以，所以．故答案為：．13.已知底面半徑為3的圓錐，其軸截面是正三角形，它的一個內接圓柱的底面半徑為1，則此圓柱的側面積為__________.【答案】【解析】如圖作出圓錐的軸截面，根據題意可知,,所以可得,根據三角形相似可得,所以,可求得,根據圓柱側面積公式可得.故答案為：14.已知，則的最大值為_______．【答案】【解析】因為，所以，故.又因為，故，從而，這就得到.而當，時，有，且.所以的最大值為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.某社區組織居民開在垃圾分類知識競賽活動.隨機對該社區名居民的成績進行統計，成績均在內，將成績分成組進行統計分析：第組有人，第組有16人，第組有人，第組有人，第組有人.現使用分層隨機抽樣的方法在第，組共選取人參加垃圾分類志愿者工作.（1）對該社區名居民進行問卷調查，部分數據如下表所示，補全表格數據，并依據小概率值的獨立性檢驗，分析能否認為居民喜歡垃圾分類與性別有關；不喜歡垃圾分類喜歡垃圾分類合計男女合計（2）若從參加垃圾分類志愿者工作的人中隨機選取人參加垃圾分類知識宣講工作，記來自第組的人數為，求的分布列及數學期望.附：，.解：（1）補充列聯表如下所示，

不喜歡垃圾分類喜歡垃圾分類合計男女合計零假設：居民喜歡垃圾分類與性別無關，則，所以依據小概率值的獨立性檢驗，推斷不成立，即認為喜歡垃圾分類與性別有關；（2）用分層隨機抽樣的方法在第，組抽取的人數分別是，，所以可能的取值為，，，，，，所以的分布列為：.16.已知函數．（1）時，求的極值；（2）若不等式恒成立，求實數的取值范圍．解：（1）當時，，，，得，當，，單調遞增，當，，單調遞減，所以當時，函數取得極大值，無極小值；（2）由題意可知，，即恒成立，即，恒成立，設，，設，，，設，所以，得（負值舍去），當時，，單調遞增，當時，，單調遞減，所以的最大值為，即恒成立，所以單調遞減，且，所以當時，，即，單調遞增，當時，，即，單調遞減，所以最大值為，所以.17.在直三棱柱中，，分別為，的中點，且，．（1）求證：；（2）求二面角的正弦值．（1）證明：因為為直棱柱，所以平面，又因為平面，所以，因為，為中點，所以，又因為，平面，所以平面，又因為平面，所以．（2）解：以為坐標原點建立如圖所示空間直角坐標系，則，，，所以，，設平面的法向量，則，取，又平面的法向量，記二面角為，則，則，即二面角的正弦值為．18.已知動點M與兩個定點O(0，0)，A(3，0)的距離的比為，動點M的軌跡為曲線C．（1）求C的軌跡方程，并說明其形狀；（2）過直線x＝3上的動點P(3，p)(p≠0)分別作C的兩條切線PQ、PR(Q、R為切點)，N為弦QR的中點，直線l：3x＋4y＝6分別與x軸、y軸交于點E、F，求△NEF的面積S的取值范圍．解：（1）設M(x，y)，由＝，得＝，化簡得x2＋y2＋2x－3＝0，即(x＋1)2＋y2＝4，故曲線C是以(－1，0)為圓心，2為半徑的圓．（2）由（1）知C(－1，0)，又P(3，p)，(p≠0)，則線段CP的中點的坐標為，|CP|＝，故以線段C