高級中學名校試題PAGEPAGE1河北省邢臺市2025屆高三下學期3月調研考試數學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，其中是圓周率，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】或，或.故選：C.2.已知等差數列的前項和為，則公差（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】A【解析】在等差數列中，，解得，而，所以公差.故選：A3.已知，且，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】所以.可得.由可得，解得或.當時，；當時，.逐一分析選項，對于A選項：當，時，；當，時，，所以該選項不一定正確.對于B選項：當，時，；當，時，，所以該選項不一定正確.對于C選項：當，時，；當，時，，所以該選項不一定正確.對于D選項：當，時，；當，時，，所以該選項正確.故選：D.4已知向量，當時，有最小值，則（）A. B. C.1 D.2【答案】C【解析】由已知，即，解得.故選：C．5.定義在上的奇函數滿足當時，，且，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】當時，，則，且，又，則，，，又是上的奇函數，所以.故選：D6.在中，的對邊分別為，且滿足，則的面積（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由余弦定理，即，，.故選：C.7.已知與在函數的同一個周期區間內，且，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由得，所以①或②；由得所以③或④；由①③得由①④得由②③得由②④得又因為，所以時，.故選：A.8.已知離心率為的橢圓的左、右焦點分別為、，點為第一象限內橢圓外一點，且，，線段交橢圓于，設，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】連接，如下圖所示：因為，則，所以，，設，由橢圓的定義可得，且，由余弦定理可得，由余弦定理可得，即，解得，即，，因為，故.故選：B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知函數，則下列結論正確的是（）A.時，曲線的切線斜率最小值為B.時，有最大值C.時，有兩個零點D.時，有最小值【答案】AD【解析】函數的定義域為，且，對于A選項，當時，，當且僅當時，即當時，等號成立，所以，時，曲線的切線斜率最小值為，A對；對于B選項，當時，對任意的恒成立，所以，當時，函數在上為增函數，則無最大值，B錯；對于CD選項，當時，，，由可得，由可得，此時，函數的減區間為，增區間為，則，所以，，所以，當時，函數有最小值，函數無零點，C錯D對.故選：AD.10.已知，圓與直線交于兩點，為坐標原點，則（）A.時， B.過點向圓所引的切線長為C.時，中點的軌跡長度為 D.【答案】BCD【解析】圓的圓心，半徑，對于A，當時，點到直線的距離，則，A錯誤；對于B，切線長為，B正確；對于C，當時，點，令弦中點為，則，點的軌跡是以為直徑的半圓（不含端點），軌跡長度為，C正確；對于D，由消去得，設，則，，D正確.故選：BCD11.如圖，在正三棱柱中，，，是的中點，則下列結論正確的是（）A.若，則與平面成角 B.若，則平面平面C.若，則 D.若，則三棱柱有內切球【答案】ACD【解析】對于選項A，取中點，連接.因為正三棱柱中平面，所以就是與平面所成的角.已知，則，.當時，，所以，選項A正確.對于選項B，以為原點，分別以所在直線為、、軸建立空間直角坐標系.當時，，，，，.可得，，設平面的法向量為，則，令，解得.又，，設平面的法向量為，則，令，解得.計算，所以平面與平面不垂直，選項B錯誤.對于選項C，，.已知，，，，，.當時，，故，選項C正確.對于選項D，若正三棱柱有內切球，則內切球的半徑等于底面正三角形的內切圓半徑且等于側棱長的一半，即，此時，選項D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.在拋物線上點的縱坐標比橫坐標大，且點到焦點的距離為，則______．【答案】或【解析】設點，其中，拋物線的焦點為，則，由題意可得，解得或，因此，或.故答案為：或.13.已知角，滿足，，則______．【答案】【解析】注意到，，展開整理得：，，解得．故答案為：.14.已知正實數，滿足，則的最小值為______．【答案】6【解析】正實數，，令，當時，，函數在上單調遞增，又，于是，，當且僅當，即時取等號，所以時，取得最小值6.故答案為：6四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15.如圖，在四棱錐中，，是的中點，點在線段上，且，點在線段上（不與點重合），與交于點．（1）證明：平面；（2）設平面，，求二面角的余弦值．（1）證明：因為四邊形是正方形，所以，且，因為為的中點，則，又因為，則，所以，，因為平面，平面，因此，平面.（2）解：因為平面，，四邊形為正方形，以點為坐標原點，、、的方向分別為、、軸的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標系，設，則、、、，設平面的一個法向量為，，，則，取，可得，設平面的法向量為，，，則，取，可得，所以，.由圖可知，二面角的平面角為銳角，故二面角的余弦值為.16.已知函數．（1）時，曲線在處的切線與處的切線平行，求的值；（2）若函數是增函數，求實數的取值范圍；（3）若，求函數的單調區間與極值．解：（1）當時，，則，所以，，由，即，即，解得或，由題意可知，，所以，.（2）因為，則，因為函數在上為增函數，故對任意的，，可得，因為，當且僅當時，即當時，等號成立，故，即，因此，實數的取值范圍是.（3）當時，，則，令可得或，列表如下：增極大值減極小值增所以，函數的增區間為、，減區間為，函數的極大值為，極小值為.17.將標號為1，2，3，4，5，6的6個小球放入標號為的四個小盒中，使每個小盒都不空．（1）求盒子中放入小球個數的分布列和數學期望；（2）在1號小球放入盒子的前提下，求2號小球不放入盒子的概率．解：（1）的所有可能值為1，2，3，當時，放入盒子中一個小球的放法總數，當時，放入盒子中兩個小球的放法總數，當時，放入盒子中三個小球的放法總數，因此，，所以的分布列為123數學期望.（2）在1號小球放入盒子的前提下，盒子中小球個數是時放法數為，，在1號小球放入盒子的前提下，2號小球沒放入盒子，盒子中小球個數是時放法數為，，所以2號小球不放入盒子的概率為.18.已知圓與雙曲線右支交于，兩點，且是圓的直徑，過向圓引切線，切點為，，．（1）求的值；（2）若為坐標原點，求的面積．解：（1）設，則，，即，，又，.（2）由（1）可得，設，則，，又，，，設直線的方程為，代入雙曲線方程整理得：，因為點是的中點，且在雙曲線右支內，所以當時，，則，，，，代入整理得，即，，，解得，所以直線的方程為，所以點到直線的距離，所以的面積.19.定義集合，.（1）求與；（2）設集合中元素的個數為，是否存在，使得成立？若存在，求出一組，，的值；若不存在，說明理由；（3）記表示不超過的最大整數，且，求的值．解：（1）對于，，，在不大于16的所有正整數中，即不能被3整除又不能被4整除的數有，；同理，在中，，，在不大于27的所有正整數中，即不能被3整除又不能被4整除的數有，.（2）因為在不大于的所有正整數中，能被3整除的有個，被4整除的有個，被12整除的有個，所以，若，則，即，，，等式左邊為奇數，右邊為偶數，矛盾，故不存在，，使得成立.（3）由（2）知，當時，，，當時，，所以當時，，所以當時，，則，.河北省邢臺市2025屆高三下學期3月調研考試數學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，其中是圓周率，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】或，或.故選：C.2.已知等差數列的前項和為，則公差（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】A【解析】在等差數列中，，解得，而，所以公差.故選：A3.已知，且，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】所以.可得.由可得，解得或.當時，；當時，.逐一分析選項，對于A選項：當，時，；當，時，，所以該選項不一定正確.對于B選項：當，時，；當，時，，所以該選項不一定正確.對于C選項：當，時，；當，時，，所以該選項不一定正確.對于D選項：當，時，；當，時，，所以該選項正確.故選：D.4已知向量，當時，有最小值，則（）A. B. C.1 D.2【答案】C【解析】由已知，即，解得.故選：C．5.定義在上的奇函數滿足當時，，且，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】當時，，則，且，又，則，，，又是上的奇函數，所以.故選：D6.在中，的對邊分別為，且滿足，則的面積（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由余弦定理，即，，.故選：C.7.已知與在函數的同一個周期區間內，且，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由得，所以①或②；由得所以③或④；由①③得由①④得由②③得由②④得又因為，所以時，.故選：A.8.已知離心率為的橢圓的左、右焦點分別為、，點為第一象限內橢圓外一點，且，，線段交橢圓于，設，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】連接，如下圖所示：因為，則，所以，，設，由橢圓的定義可得，且，由余弦定理可得，由余弦定理可得，即，解得，即，，因為，故.故選：B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知函數，則下列結論正確的是（）A.時，曲線的切線斜率最小值為B.時，有最大值C.時，有兩個零點D.時，有最小值【答案】AD【解析】函數的定義域為，且，對于A選項，當時，，當且僅當時，即當時，等號成立，所以，時，曲線的切線斜率最小值為，A對；對于B選項，當時，對任意的恒成立，所以，當時，函數在上為增函數，則無最大值，B錯；對于CD選項，當時，，，由可得，由可得，此時，函數的減區間為，增區間為，則，所以，，所以，當時，函數有最小值，函數無零點，C錯D對.故選：AD.10.已知，圓與直線交于兩點，為坐標原點，則（）A.時， B.過點向圓所引的切線長為C.時，中點的軌跡長度為 D.【答案】BCD【解析】圓的圓心，半徑，對于A，當時，點到直線的距離，則，A錯誤；對于B，切線長為，B正確；對于C，當時，點，令弦中點為，則，點的軌跡是以為直徑的半圓（不含端點），軌跡長度為，C正確；對于D，由消去得，設，則，，D正確.故選：BCD11.如圖，在正三棱柱中，，，是的中點，則下列結論正確的是（）A.若，則與平面成角 B.若，則平面平面C.若，則 D.若，則三棱柱有內切球【答案】ACD【解析】對于選項A，取中點，連接.因為正三棱柱中平面，所以就是與平面所成的角.已知，則，.當時，，所以，選項A正確.對于選項B，以為原點，分別以所在直線為、、軸建立空間直角坐標系.當時，，，，，.可得，，設平面的法向量為，則，令，解得.又，，設平面的法向量為，則，令，解得.計算，所以平面與平面不垂直，選項B錯誤.對于選項C，，.已知，，，，，.當時，，故，選項C正確.對于選項D，若正三棱柱有內切球，則內切球的半徑等于底面正三角形的內切圓半徑且等于側棱長的一半，即，此時，選項D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.在拋物線上點的縱坐標比橫坐標大，且點到焦點的距離為，則______．【答案】或【解析】設點，其中，拋物線的焦點為，則，由題意可得，解得或，因此，或.故答案為：或.13.已知角，滿足，，則______．【答案】【解析】注意到，，展開整理得：，，解得．故答案為：.14.已知正實數，滿足，則的最小值為______．【答案】6【解析】正實數，，令，當時，，函數在上單調遞增，又，于是，，當且僅當，即時取等號，所以時，取得最小值6.故答案為：6四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15.如圖，在四棱錐中，，是的中點，點在線段上，且，點在線段上（不與點重合），與交于點．（1）證明：平面；（2）設平面，，求二面角的余弦值．（1）證明：因為四邊形是正方形，所以，且，因為為的中點，則，又因為，則，所以，，因為平面，平面，因此，平面.（2）解：因為平面，，四邊形為正方形，以點為坐標原點，、、的方向分別為、、軸的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標系，設，則、、、，設平面的一個法向量為，，，則，取，可得，設平面的法向量為，，，則，取，可得，所以，.由圖可知，二面角的平面角為銳角，故二面角的余弦值為.16.已知函數．（1）時，曲線在處的切線與處的切線平行，求的值；（2）若函數是增函數，求實數的取值范圍；（3）若，求函數的單調區間與極值．解：（1）當時，，則，所以，，由，即，即，解得或，由題意可知，，所以，.（2）因為，則，因為函數在上為增函數，故對任意的，，可得，因為，當且僅當時，即當時，等號成立，故，即，因此，實數的取值范圍是.（3）當時，，則，令可得或，列表如下：增極大值減極小值增所以，函數的增區間為、，減區間為，函數的極大值為，極小值為.17.將標號為1，2，3，4，5，6的6個小球放入標號為的四個小盒中，使每個小盒都不空．（1）求盒子中放入小球個數的分布列和數學期望；（2）在1號小球放入盒子的前提下，求2號小球不放入盒子的概率