高級中學名校試題PAGEPAGE1河北省滄州市2025屆高三模擬預測數學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，集合，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】，故或，則或，又，則.故選：C.2.已知復數滿足，則的虛部為（）A. B. C.3 D.【答案】D【解析】由，得．所以的虛部為，故選：D．3.已知，，則的取值范圍（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為，得，，所以．故選：B．4.的值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】．故選：A．5.定義在上的函數其導函數為，若為偶函數，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因為為偶函數，則，兩邊同時求導得，將代入上式得，，得．故選：A.6.已知為等差數列，若，則（）A.36 B.48 C.60 D.72【答案】D【解析】已知為等差數列，．故選：D．7.某測試需測試者先后抽取三道題目回答，一旦某次答對抽到的題目，則測試通過，否則就一直抽題到第三次為止，已知甲答對該測試中每道題目的概率都是，若甲最終通過測試，則甲回答兩次的概率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意甲最終通過測試包括，第一次答對，其概率為，第二次答對，其概率為，第三次答對，概率為，記事件甲最終通過測試，事件甲回答兩次，則，，由條件概率公式可得.故選：B．8.已知橢圓，以原點為圓心，橢圓的短軸長為直徑作圓，以橢圓右頂點為圓心，以長軸長為直徑作圓，過動點作直線與圓切于點，作直線與圓切于點，若，則實數的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題意得圓，圓，設圓，的圓心分別為，．直線與圓切于點，作直線與圓切于點，在和中，，，則得，，整理得，所以的軌跡是以為圓心，為半徑的圓落在圓，外面的部分．利用得，故實數取值范圍為．故選：A．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.據網絡平臺最新數據，截止到2025年3月14日14時10分，電影《哪吒之魔童鬧?！房偲狈浚êc映、預售及海外票房）已超149.81億元，成為首部進入全球票房榜前六，登頂動畫票房榜榜首的亞洲電影．一團隊隨機抽取觀看該電影的某場觀眾中的100人為樣本，統計他們年齡并繪制了如圖所示頻率分布直方圖，則（）A.B.該場觀眾年齡平均數的估計值為30C.該場觀眾年齡眾數的估計值為35D.該場觀眾年齡60%分位數的估計值為34【答案】ACD【解析】∵，∴，A選項正確；，B選項錯誤；由頻率分布直方圖可知該場觀眾年齡眾數的估計值為35，C選項正確；∵，，∴該場觀眾年齡60%分位數的估計值為，∴，∴，D選項正確.故選：ACD.10.平面內由滿足的點形成曲線（）A.上的點與原點的最近距離為 B.上的點與原點的最遠距離為C.的周長為 D.圍成區域的面積為【答案】BD【解析】由在曲線：上，故均在曲線上，故曲線關于坐標原點以及軸對稱，由對稱性，當，時，知曲線為，故為以為圓心，以為半徑的圓在第一象限和軸軸上部分．由于經過坐標原點，所以最遠距離為，因此，上的點與原點的最近距離為1，最遠距離為，故A錯，B正確，滿足的點組成如圖，可求得圍成的圖形的周長為四個半圓的周長，故長度為，圍成區域面積為，故C錯誤，D正確，故選：BD．11.如圖設二面角的大小為，在平面內有一條射線，它和棱的夾角為，和平面所成的角為，射線在面內射影和棱的夾角為，則（）A.B.C.D.【答案】AD【解析】依題意，平面，平面，則，作于，連，因平面，于是平面，而平面，則，故是二面角的平面角，，，因此，，，，，，所以，，AD正確，BC錯誤故選：AD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.展開式中的常數項為________．【答案】15【解析】由題意知，二項式定理展開式的通項公式為：，令，得，則常數項為：.故答案為：1513.已知函數，函數，且，則的最小值為________．【答案】【解析】由題意，設，，，故．設，，，在時，，所以在單調遞減．在時，，所以在單調遞增．所以，的最小值為．則的最小值為．故答案為：．14.若按照某對應法則，平面點集中的每一點都有唯一的實數與之對應，則稱為上的二元函數．且稱為的定義域，點對應的為在點的函數值，記作．若點的橫，縱坐標，均為整數，稱點為整數點．現有，則函數的最小值為________，方程的整數點為________．【答案】①.②.，【解析】，因為，，所以的最小值為，此時，．又，若有解，故存在實數使有解，需滿足，整理得，滿足條件的整數，所以的整數解的，，解得或，則的整數解有，．故答案為：；；.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.某AI公司為了解用戶對于公司手機APP軟件使用的滿意情況，在五個不同地區隨機抽取用戶進行調研，調查結果如表：地區I區II區III區IV區V區調研用戶（人數）250100200500350滿意率0.50.30.70.60.5（某區滿意率是指：該區調研用戶中滿意人數與該區調研用戶總人數的比值）假設用戶是否滿意相互獨立．（1）從所有的調研用戶中隨機抽取1人，求這個用戶滿意的概率；（2）用上表數據中每地區使用軟件的滿意率估計該地區某用戶使用軟件滿意的概率．從I區所有使用該軟件的用戶和II區所有使用該軟件的用戶中各隨機抽取1人，設其中滿意的人數為，求的分布列和期望；解：（1）由題意知，樣本中五個地區的回訪用戶的總數是：，滿意的用戶人數，故所求概率為．（2）根據題意，．設事件為“從I區所有使用該軟件的用戶中隨機抽取的人滿意”，事件為“從II區所有使用該軟件的用戶中隨機抽取的人滿意”，且、為獨立事件．根據題意，估計為0.5，估計為0.3.則；；．的分布列為0120.350.50.15的期望．16.已知函數在點處的切線斜率為．（1）求在點處的切線方程；（2）若，求證：．（1）解：因為，則,，又在點處的切線斜率為，則，即，解得，所以，則，故在處的切線方程為．（2）證明：由（1）知，則，要證，即證，即，設，得，令，則，因為，故恒成立，所以在上單調遞增，又，所以時，，時，，則在區間上單調增減，在區間上單調增增，所以的最小值為，所以．即.17.在中，角，，所對的邊分別為，，，且．（1）求證：；（2）若為銳角三角形，且，求周長的取值范圍．（1）證明：由得，由正弦定理得．，得，即．因為，為三角形內角，所以，或（舍去），∴．（2）解：∵，由正弦定理，得，，∴．又∵，∴，得．因為為銳角三角形，則，且，則，，解得，．∴．所以周長的取值范圍為．18.如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，為直角，側面為等腰直角三角形，平面平面，且，．（1）求證：；（2）求平面與平面夾角的余弦值；（3）在內（不含邊界）是否存在點，使直線與直線、所成的角均為，若存在，求點到點的距離；若不存在，請說明理由．（1）證明：∵底面為直角梯形，，為直角，，，∴，，得，所以，又∵平面平面，平面平面，平面，則平面，又平面，∴，又∵側面為等腰直角三角形，，∴，，∴平面，又平面，所以．（2）解：（法一）由題意可知四邊形為直角梯形，延長，交與點，連接．則平面平面，過點作，垂足為，連接，由（1）知平面，平面，則，又，，所以平面，平面，則．所以為平面與平面夾角．在直角梯形中，，，，得，，，可解得，所以在中，，則平面與平面夾角的余弦值為．（法二）∵平面平面，平面平面，可過點作垂足為，由題意知為等腰直角三角形，故點為線段的中點，且，分別以過點與直線，平行的直線為軸，軸，以所在直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，，所以，，，設平面的一個法向量為，則，即，取，所以，設平面的一個法向量為，則，即，取，則，設平面與平面的夾角為，則，所以平面與平面夾角的余弦值為．（3）解：因點在內（不含邊界），可設，，由（2）知，，，，則，，又直線與直線、均成角，則，又由題意知，所以，即，得，整理得，即或．又由，得，即，①當時，由，得到，解得或，當時，，因為點在內（不含邊界），得，，．故，舍去．當時，，此時符合題意，，得到，②當時，得，所以，解得．此時．因為點在內（不含邊界），得，，，故，舍去．綜上存在點在內（不含邊界），使得直線與直線、均成角，且點到點的距離為．19.雙曲線過點，離心率，，為雙曲線的左右焦點．（1）雙曲線上一動點到右焦點的距離和點到直線的距離的比為定值，求的值；（2）當點在雙曲線右支上時，求內切圓的標準方程；（3）作直線與的左支交于點，得到，然后作直線交雙曲的右支于，得到，再作直線與的左支交于點，得到，再作直線交雙曲的右支于，得到，依此方法一直繼續下去．設的內切圓為，的內切圓為，的內切圓為，的內切圓為，證明圓的周長和小于．（1）解：由題意可知，解得，，．所以雙曲線方程為．動點到右焦點距離和點到直線的距離的比為定值，得．兩邊平方得①又代入①得，解得．（2）解：的圓心記為，分別過點作垂直于于點，垂直于與點，垂直于與點，由題意可知，，，所以，∴，即是雙曲線的右頂點．可知的內切圓圓心橫坐標均為2．由（1）知到右焦點的距離和點到直線的距離的比為定值．，則．設的內切圓半徑為，由等面積法得，得，所以的內切圓圓心為，半徑為．圓的方程為．（3）證明：由（2）知的內切圓方程為，且右支上的點與，構成的三角形內切圓圓心橫坐標均為2．則由雙曲線對稱性，得左支上的點與，構成的三角形內切圓圓心橫坐標均為．設為奇數，如圖設為按題意中方法依次所作兩個三角形，的內切圓圓心，設圓，的半徑分別為，，可得，，且，與點共線，均在的角平分線上，所以，由雙曲線的對稱性，為偶數時，同樣得到，又，所以的半徑構成以2為首項，為公比的等比數列．即．則圓的周長和為．河北省滄州市2025屆高三模擬預測數學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，集合，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】，故或，則或，又，則.故選：C.2.已知復數滿足，則的虛部為（）A. B. C.3 D.【答案】D【解析】由，得．所以的虛部為，故選：D．3.已知，，則的取值范圍（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為，得，，所以．故選：B．4.的值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】．故選：A．5.定義在上的函數其導函數為，若為偶函數，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因為為偶函數，則，兩邊同時求導得，將代入上式得，，得．故選：A.6.已知為等差數列，若，則（）A.36 B.48 C.60 D.72【答案】D【解析】已知為等差數列，．故選：D．7.某測試需測試者先后抽取三道題目回答，一旦某次答對抽到的題目，則測試通過，否則就一直抽題到第三次為止，已知甲答對該測試中每道題目的概率都是，若甲最終通過測試，則甲回答兩次的概率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意甲最終通過測試包括，第一次答對，其概率為，第二次答對，其概率為，第三次答對，概率為，記事件甲最終通過測試，事件甲回答兩次，則，，由條件概率公式可得.故選：B．8.已知橢圓，以原點為圓心，橢圓的短軸長為直徑作圓，以橢圓右頂點為圓心，以長軸長為直徑作圓，過動點作直線與圓切于點，作直線與圓切于點，若，則實數的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題意得圓，圓，設圓，的圓心分別為，．直線與圓切于點，作直線與圓切于點，在和中，，，則得，，整理得，所以的軌跡是以為圓心，為半徑的圓落在圓，外面的部分．利用得，故實數取值范圍為．故選：A．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.據網絡平臺最新數據，截止到2025年3月14日14時10分，電影《哪吒之魔童鬧?！房偲狈浚êc映、預售及海外票房）已超149.81億元，成為首部進入全球票房榜前六，登頂動畫票房榜榜首的亞洲電影．一團隊隨機抽取觀看該電影的某場觀眾中的100人為樣本，統計他們年齡并繪制了如圖所示頻率分布直方圖，則（）A.B.該場觀眾年齡平均數的估計值為30C.該場觀眾年齡眾數的估計值為35D.該場觀眾年齡60%分位數的估計值為34【答案】ACD【解析】∵，∴，A選項正確；，B選項錯誤；由頻率分布直方圖可知該場觀眾年齡眾數的估計值為35，C選項正確；∵，，∴該場觀眾年齡60%分位數的估計值為，∴，∴，D選項正確.故選：ACD.10.平面內由滿足的點形成曲線（）A.上的點與原點的最近距離為 B.上的點與原點的最遠距離為C.的周長為 D.圍成區域的面積為【答案】BD【解析】由在曲線：上，故均在曲線上，故曲線關于坐標原點以及軸對稱，由對稱性，當，時，知曲線為，故為以為圓心，以為半徑的圓在第一象限和軸軸上部分．由于經過坐標原點，所以最遠距離為，因此，上的點與原點的最近距離為1，最遠距離為，故A錯，B正確，滿足的點組成如圖，可求得圍成的圖形的周長為四個半圓的周長，故長度為，圍成區域面積為，故C錯誤，D正確，故選：BD．11.如圖設二面角的大小為，在平面內有一條射線，它和棱的夾角為，和平面所成的角為，射線在面內射影和棱的夾角為，則（）A.B.C.D.【答案】AD【解析】依題意，平面，平面，則，作于，連，因平面，于是平面，而平面，則，故是二面角的平面角，，，因此，，，，，，所以，，AD正確，BC錯誤故選：AD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.展開式中的常數項為________．【答案】15【解析】由題意知，二項式定理展開式的通項公式為：，令，得，則常數項為：.故答案為：1513.已知函數，函數，且，則的最小值為________．【答案】【解析】由題意，設，，，故．設，，，在時，，所以在單調遞減．在時，，所以在單調遞增．所以，的最小值為．則的最小值為．故答案為：．14.若按照某對應法則，平面點集中的每一點都有唯一的實數與之對應，則稱為上的二元函數．且稱為的定義域，點對應的為在點的函數值，記作．若點的橫，縱坐標，均為整數，稱點為整數點．現有，則函數的最小值為________，方程的整數點為________．【答案】①.②.，【解析】，因為，，所以的最小值為，此時，．又，若有解，故存在實數使有解，需滿足，整理得，滿足條件的整數，所以的整數解的，，解得或，則的整數解有，．故答案為：；；.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.某AI公司為了解用戶對于公司手機APP軟件使用的滿意情況，在五個不同地區隨機抽取用戶進行調研，調查結果如表：地區I區II區III區IV區V區調研用戶（人數）250100200500350滿意率0.50.30.70.60.5（某區滿意率是指：該區調研用戶中滿意人數與該區調研用戶總人數的比值）假設用戶是否滿意相互獨立．（1）從所有的調研用戶中隨機抽取1人，求這個用戶滿意的概率；（2）用上表數據中每地區使用軟件的滿意率估計該地區某用戶使用軟件滿意的概率．從I區所有使用該軟件的用戶和II區所有使用該軟件的用戶中各隨機抽取1人，設其中滿意的人數為，求的分布列和期望；解：（1）由題意知，樣本中五個地區的回訪用戶的總數是：，滿意的用戶人數，故所求概率為．（2）根據題意，．設事件為“從I區所有使用該軟件的用戶中隨機抽取的人滿意”，事件為“從II區所有使用該軟件的用戶中隨機抽取的人滿意”，且、為獨立事件．根據題意，估計為0.5，估計為0.3.則；；．的分布列為0120.350.50.15的期望．16.已知函數在點處的切線斜率為．（1）求在點處的切線方程；（2）若，求證：．（1）解：因為，則,，又在點處的切線斜率為，則，即，解得，所以，則，故在處的切線方程為．（2）證明：由（1）知，則，要證，即證，即，設，得，令，則，因為，故恒成立，所以在上單調遞增，又，所以時，，時，，則在區間上單調增減，在區間上單調增增，所以的最小值為，所以．即.17.在中，角，，所對的邊分別為，，，且．（1）求證：；（2）若為銳角三角形，且，求周長的取值范圍．（1）證明：由得，由正弦定理得．，得，即．因為，為三角形內角，所以，或（舍去），∴．（2）解：∵，由正弦定理，得，，∴．又∵，∴，得．因為為銳角三角形，則，且，則，，解得，．∴．所以周長的取值范圍為．18.如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，為直角，側面為等腰直角三角形，平面平面，且，．（1）求證：；（2）求平面與平面夾角的余弦值；（3）在內（不含邊界）是否存在點，使直線與直線、所成的角均為，若存在，求點到點的距離；若不存在，請說明理由．（1）證明：∵底面為直角梯形，，為直角，，，∴，，得，所以，又∵平面平面，平面平面，平面，則平面，又平面，∴，又∵側面為等腰直角三角形，，∴，，∴平面，又平面，所以．（2）解：（法一）由題意可知四邊形為直角梯形，延長，交與點，連接．則平面平面，過點作，垂足為，連接，由（1）知平面，平面，則，又，，所以平面，平面，則．所以為平面與平面夾角．在直角梯形中，，，，得，，，可解得，所以在中，，則平面與平面夾角的余弦值為．（法二）∵平面平面，平面平面，可過點作垂足為，由題意知為等腰直角三角形，故點為線段的中點，且，分別以過點與直線，平行的直線為軸，軸，以所在直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，，所以，，，設平面的一個法向量為，則，即，取，所以，設平面的一個法向