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高級中學名校試題PAGEPAGE1廣西玉林市重點中學2025屆高三第二次聯考數學試卷一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1.若復數(為虛數單位),則()A. B. C. D.【答案】B【解析】,,故選:B2.做拋擲一枚骰子的試驗,當出現1點或2點時,就說這次試驗成功,假設骰子是質地均勻的.則在3次這樣的試驗中成功次數X的期望為()A. B. C.1 D.2【答案】C【解析】每一次成功的概率為,服從二項分布,故.故選:.3.將函數的圖象沿軸向左平移個單位長度后,得到函數的圖象,則“”是“是偶函數”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】將函數的圖象沿軸向左平移個單位長度,得到的圖象對應函數的解析式為,若函數為偶函數,則,解得,當時,.因此,“”是“是偶函數”的充分不必要條件.故選:A.4.已知的部分圖象如圖所示,則的表達式是A. B.C. D.【答案】D【解析】由圖象可得,函數的最小正周期為,.將點代入函數的解析式得,得,,,則,,因此,.故選:D.5.已知邊長為4的菱形,,為的中點,為平面內一點,若,則()A.16 B.14 C.12 D.8【答案】B【解析】取中點,連接,,,即.,,,則.故選:.6.設為虛數單位,為復數,若為實數,則()A. B. C. D.【答案】B【解析】設,則.由題意有,所以.故選:B7.三棱柱中,底面邊長和側棱長都相等,,則異面直線與所成角的余弦值為A. B. C. D.【答案】B【解析】設棱長為1,,,由題意得:,,,又即異面直線與所成角的余弦值為:本題正確選項:8.平行四邊形中,已知,,點、分別滿足,,且,則向量在上的投影為()A.2 B. C. D.【答案】C【解析】,得,則向量在上的投影為.故選:C.9.已知實數滿足約束條件,則的最小值為A.-5 B.2 C.7 D.11【答案】A【解析】由約束條件,畫出可行域如圖變為為斜率為-3的一簇平行線,為在軸的截距,最小的時候為過點的時候,解得所以,此時故選A項10.設,則,則()A. B.C. D.【答案】A【解析】,,.,顯然.,即,,即.綜上,.故選:.11.已知函數若對區間內的任意實數,都有,則實數的取值范圍是A. B. C. D.【答案】C【解析】由題得.當a<1時,,所以函數f(x)在單調遞減,因為對區間內的任意實數,都有,所以,所以故a≥1,與a<1矛盾,故a<1矛盾.當1≤a<e時,函數f(x)在[0,lna]單調遞增,在(lna,1]單調遞減.所以因為對區間內的任意實數,都有,所以,所以即令,所以所以函數g(a)在(1,e)上單調遞減,所以,所以當1≤a<e時,滿足題意.當a時,函數f(x)在(0,1)單調遞增,因為對區間內的任意實數,都有,所以,故1+1,所以故綜上所述,a∈.故選C12.若x,y滿足約束條件且的最大值為,則a的取值范圍是()A. B. C. D.【答案】A【解析】作出約束條件表示的可行域,如圖所示.因為的最大值為,所以在點處取得最大值,則,即.故選:A二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分.13.已知矩形,,,以,為焦點,且過,兩點的雙曲線的離心率為____________.【答案】【解析】因為,為焦點,所以,解得,因為是矩形,所以為直角三角形,,又因為在雙曲線上,所以,解得,所以故答案為:14.如圖,棱長為2的正方體中,點分別為棱的中點,以為圓心,1為半徑,分別在面和面內作弧和,并將兩弧各五等分,分點依次為、、、、、以及、、、、、.一只螞蟻欲從點出發,沿正方體的表面爬行至,則其爬行的最短距離為________.參考數據:;;)【答案】【解析】棱長為2的正方體中,點分別為棱的中點,以為圓心,1為半徑,分別在面和面內作弧和.將平面繞旋轉至與平面共面的位置,如下圖所示:則,所以;將平面繞旋轉至與平面共面的位置,將繞旋轉至與平面共面的位置,如下圖所示:則,所以;因為,且由誘導公式可得,所以最短距離為,故答案為:.15.下圖是一個算法流程圖,則輸出的S的值是______.【答案】【解析】第一次運行,;第二次運行,;第三次運行,;第四次運行;所以輸出的S的值是.故答案為:16.復數(其中i為虛數單位)共軛復數為________.【答案】【解析】由,則故答案為:三、解答題:共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知函數,.(1)若時,解不等式;(2)若關于的不等式在上有解,求實數的取值范圍.解:(1)若時,,當時,原不等式可化為,解得,所以,當時,原不等式可化為,解得,所以,當時,原不等式可化為,解得,所以,綜上述:不等式的解集為;(2)當時,由得,即,故得,又由題意知:,即,故的范圍為.18.已知函數f(x)=ex-x2-kx(其中e為自然對數的底,k為常數)有一個極大值點和一個極小值點.(1)求實數k的取值范圍;(2)證明:f(x)的極大值不小于1.(1)解:,由,記,,由,且時,,單調遞減,,時,,單調遞增,,由題意,方程有兩個不同解,所以;(2)證明:解法一:由(1)知,在區間上存在極大值點,且,所以的極大值為,記,則,因為,所以,所以時,,單調遞減,時,,單調遞增,所以,即函數的極大值不小于1.解法二:由(1)知,在區間上存在極大值點,且,所以的極大值為,因為,,所以.即函數的極大值不小于1.19.已知函數,.(1)若,,求實數的值.(2)若,,求正實數的取值范圍.解:(1)由題意,得,,由,…①,得,令,則,因為,所以在單調遞增,又,所以當時,,單調遞增;當時,,單調遞減;所以,當且僅當時等號成立.故方程①有且僅有唯一解,實數的值為0.(2)解法一:令(),則,所以當時,,單調遞增;當時,,單調遞減;故.令(),則.(i)若時,,在單調遞增,所以,滿足題意.(ii)若時,,滿足題意.(iii)若時,,在單調遞減,所以.不滿足題意.綜上述:.解法二:先證明不等式,,,…(*).令,則當時,,單調遞增,當時,,單調遞減,所以,即.變形得,,所以時,,所以當時,.又由上式得,當時,,,.因此不等式(*)均成立.令(),則,(i)若時,當時,,單調遞增;當時,,單調遞減;故.(ii)若時,,在單調遞增,所以.因此,①當時,此時,,,則需由(*)知,,(當且僅當時等號成立),所以.②當時,此時,,則當時,(由(*)知);當時,(由(*)知).故對于任意,.綜上述:.20.已知函數和的圖象關于原點對稱,且.(1)解關于的不等式;(2)如果對,不等式恒成立,求實數的取值范圍.解:(1)∵函數和的圖象關于原點對稱,∴,∴原不等式可化為,即或,解得不等式的解集為;(2)不等式可化為:,即,即,則只需,解得,的取值范圍是.21.如圖所示,直角梯形ABCD中,,AD垂直AB,,四邊形EDCF為矩形,,平面平面ABCD.(1)求證:∥平面ABE;(2)求平面ABE與平面EFB所成二面角的正弦值;(3)在線段DF上是否存在點P,使得直線BP與平面ABE所成角的正弦值為,若存在,求出線段BP的長,若不存在,請說明理由.(1)證明:取為原點,所在直線為軸,過點且平行于直線的直線為軸,所在直線為軸建立空間直角坐標系,則,,,,,,設平面的一個法向量為,由得,不妨設,則,,又,,,又平面,平面.(2)解:,,設平面一個法向量為,由得,不妨設,則,,,則,,平面與平面所成二面角的正弦值為.(3)解:存在,理由如下,設,則,所以,又平面的一個法向量為,即直線與平面所成角為,則,整理得,解得或,當時,,則;當時,,則;綜上,即在線段上存在點,使得直線與平面所成角的正弦值為,此時線段的長為.22.在直角坐標系中,已知曲線的參數方程為(為參數).以坐標原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標系,直線的極坐標方程為.(1)求曲線的普通方程和直線的直角坐標方程;(2)若射線的極坐標方程為.設與相交于點,與相交于點,求.解:(1)已知曲線的參數方程為(為參數).消去參數,得,所以曲線的普通方程為.直線的極坐標方程為.轉換為直角坐標方程為.(2)曲線的極坐標方程為.將代入,解得,將代入,解得.故.廣西玉林市重點中學2025屆高三第二次聯考數學試卷一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1.若復數(為虛數單位),則()A. B. C. D.【答案】B【解析】,,故選:B2.做拋擲一枚骰子的試驗,當出現1點或2點時,就說這次試驗成功,假設骰子是質地均勻的.則在3次這樣的試驗中成功次數X的期望為()A. B. C.1 D.2【答案】C【解析】每一次成功的概率為,服從二項分布,故.故選:.3.將函數的圖象沿軸向左平移個單位長度后,得到函數的圖象,則“”是“是偶函數”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】將函數的圖象沿軸向左平移個單位長度,得到的圖象對應函數的解析式為,若函數為偶函數,則,解得,當時,.因此,“”是“是偶函數”的充分不必要條件.故選:A.4.已知的部分圖象如圖所示,則的表達式是A. B.C. D.【答案】D【解析】由圖象可得,函數的最小正周期為,.將點代入函數的解析式得,得,,,則,,因此,.故選:D.5.已知邊長為4的菱形,,為的中點,為平面內一點,若,則()A.16 B.14 C.12 D.8【答案】B【解析】取中點,連接,,,即.,,,則.故選:.6.設為虛數單位,為復數,若為實數,則()A. B. C. D.【答案】B【解析】設,則.由題意有,所以.故選:B7.三棱柱中,底面邊長和側棱長都相等,,則異面直線與所成角的余弦值為A. B. C. D.【答案】B【解析】設棱長為1,,,由題意得:,,,又即異面直線與所成角的余弦值為:本題正確選項:8.平行四邊形中,已知,,點、分別滿足,,且,則向量在上的投影為()A.2 B. C. D.【答案】C【解析】,得,則向量在上的投影為.故選:C.9.已知實數滿足約束條件,則的最小值為A.-5 B.2 C.7 D.11【答案】A【解析】由約束條件,畫出可行域如圖變為為斜率為-3的一簇平行線,為在軸的截距,最小的時候為過點的時候,解得所以,此時故選A項10.設,則,則()A. B.C. D.【答案】A【解析】,,.,顯然.,即,,即.綜上,.故選:.11.已知函數若對區間內的任意實數,都有,則實數的取值范圍是A. B. C. D.【答案】C【解析】由題得.當a<1時,,所以函數f(x)在單調遞減,因為對區間內的任意實數,都有,所以,所以故a≥1,與a<1矛盾,故a<1矛盾.當1≤a<e時,函數f(x)在[0,lna]單調遞增,在(lna,1]單調遞減.所以因為對區間內的任意實數,都有,所以,所以即令,所以所以函數g(a)在(1,e)上單調遞減,所以,所以當1≤a<e時,滿足題意.當a時,函數f(x)在(0,1)單調遞增,因為對區間內的任意實數,都有,所以,故1+1,所以故綜上所述,a∈.故選C12.若x,y滿足約束條件且的最大值為,則a的取值范圍是()A. B. C. D.【答案】A【解析】作出約束條件表示的可行域,如圖所示.因為的最大值為,所以在點處取得最大值,則,即.故選:A二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分.13.已知矩形,,,以,為焦點,且過,兩點的雙曲線的離心率為____________.【答案】【解析】因為,為焦點,所以,解得,因為是矩形,所以為直角三角形,,又因為在雙曲線上,所以,解得,所以故答案為:14.如圖,棱長為2的正方體中,點分別為棱的中點,以為圓心,1為半徑,分別在面和面內作弧和,并將兩弧各五等分,分點依次為、、、、、以及、、、、、.一只螞蟻欲從點出發,沿正方體的表面爬行至,則其爬行的最短距離為________.參考數據:;;)【答案】【解析】棱長為2的正方體中,點分別為棱的中點,以為圓心,1為半徑,分別在面和面內作弧和.將平面繞旋轉至與平面共面的位置,如下圖所示:則,所以;將平面繞旋轉至與平面共面的位置,將繞旋轉至與平面共面的位置,如下圖所示:則,所以;因為,且由誘導公式可得,所以最短距離為,故答案為:.15.下圖是一個算法流程圖,則輸出的S的值是______.【答案】【解析】第一次運行,;第二次運行,;第三次運行,;第四次運行;所以輸出的S的值是.故答案為:16.復數(其中i為虛數單位)共軛復數為________.【答案】【解析】由,則故答案為:三、解答題:共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知函數,.(1)若時,解不等式;(2)若關于的不等式在上有解,求實數的取值范圍.解:(1)若時,,當時,原不等式可化為,解得,所以,當時,原不等式可化為,解得,所以,當時,原不等式可化為,解得,所以,綜上述:不等式的解集為;(2)當時,由得,即,故得,又由題意知:,即,故的范圍為.18.已知函數f(x)=ex-x2-kx(其中e為自然對數的底,k為常數)有一個極大值點和一個極小值點.(1)求實數k的取值范圍;(2)證明:f(x)的極大值不小于1.(1)解:,由,記,,由,且時,,單調遞減,,時,,單調遞增,,由題意,方程有兩個不同解,所以;(2)證明:解法一:由(1)知,在區間上存在極大值點,且,所以的極大值為,記,則,因為,所以,所以時,,單調遞減,時,,單調遞增,所以,即函數的極大值不小于1.解法二:由(1)知,在區間上存在極大值點,且,所以的極大值為,因為,,所以.即函數的極大值不小于1.19.已知函數,.(1)若,,求實數的值.(2)若,,求正實數的取值范圍.解:(1)由題意,得,,由,…①,得,令,則,因為,所以在單調遞增,又,所以當時,,單調遞增;當時,,單調遞減;所以,當且僅當時等號成立.故方程①有且僅有唯一解,實數的值為0.(2)解法一:令(),則,所以當時,,單調遞增;當時,,單調遞減;故.令(),則.(i)若時,,在單調遞增,所以,滿足題意.(ii)若時,,滿足題意.(iii)若時,,在單調遞減,所以.不滿足題意.綜上述:.解法二:先證明不等式,,,…(*).令,則當時,,單調遞增,當時,,單調遞減,所以,即.變形得,,所以時,,所以當時,.又由上式得,當時,,,.因此不等式(*)均成立.令(),則,(i)若時,當時,,單調遞增;當時,,單調遞減;故.(ii)若時,,在單調遞增,所以.因此,①當時,此時,,,則需由(*)知,,(當且僅當時等號成立),所以.②當時,此時,,則當時,(由(*)知);當時,(由(*)知).故對于任意,.綜上述:.20.已

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