高級中學名校試題PAGEPAGE1廣東省部分學校2025屆高三下學期2月聯考數學試題一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為集合，得.故選：C.2.已知函數為偶函數，則（）A.4 B.5 C.6 D.1【答案】C【解析】由題意可知函數的定義域為，因為是偶函數，所以，整理得，故，得.故選：C.3.已知小明和小王從5張編號為的卡牌中依次不放回各抽取2張卡牌，設甲：小明手中的兩張卡牌編號和為3，乙：小王手中的兩張卡牌編號均不小于3，則（）A.甲是乙的充分條件但不是必要條件B.甲是乙的必要條件但不是充分條件C.甲是乙的充要條件D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件【答案】A【解析】由小明手中的兩張卡牌編號和為3，可知小明手中的兩張卡牌編號分別為1，2，根據題意此時小王手中的兩張卡牌編號可能為中的兩個，均滿足編號不小于3，充分性成立，若小王手中的兩張卡牌編號均不小于3，例如3，4，此時小明手中的卡牌編號可能有5，不滿足小明手中的兩張卡牌編號和為3，故必要性不成立，故甲是乙的充分條件但不是必要條件.故選:A.4.已知，則的最小值為（）A.1 B. C. D.2【答案】A【解析】設，則，而.故由可解得，故，于是，故的最小值為1.故選：A.5.人工智能技術（簡稱AI技術）已成為引領世界新一輪科技革命和產業改革戰略性技術，AI技術加持的電腦（以下簡稱AI電腦）也在全國各地逐漸熱銷起來.下表為市統計的2024年10月至2025年2月這5個月該市AI電腦的月銷量，其中為月份代號，（單位：萬臺）代表AI電腦該月銷量.月份2024年10月2024年11月2024年12月2025年1月2025年2月月份代號12345月銷量萬臺0.50.911.21.4經過分析，與線性相關，且其線性回歸方程為，則預測2025年3月該市AI電腦的月銷量約為（）A.1.63萬臺 B.1.57萬臺 C.1.61萬臺 D.1.72萬臺【答案】A【解析】因為.所以，所以關于的線性回歸方程為，令，故此時萬臺.故選：A.6.已知拋物線，點，直線，記關于的對稱點為，且在上，則的準線方程為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】設，因為的斜率為，所以直線的斜率為，故直線的方程為4，將直線的方程與聯立，設兩直線的交點為，則，所以，解得，將的坐標代入的方程，有，解得，故的準線方程為.故選:B.7.中，點滿足，且，則（）A.1 B. C. D.2【答案】C【解析】由題意可得，，，因為，所以，即，故，于是.故選：C.8.已知函數在區間上單調，則的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由的定義域為，時，，結合正切函數的單調性可知，解得，由可知，由可知，即，即，而，故只能為0或1，時，結合可知；時，，于是.故選：D二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.記為等差數列前項和，已知，則（）A.的公差為3 B.C.有最小值 D.數列為遞增數列【答案】BC【解析】對于A，由題意可得，解得，故A錯誤；對于B，，故，故B正確；對于C，，所以當時，取到最小值，故C正確；對于D，，且，故D錯誤.故選：BC.10.已知為圓上的動點，點滿足，記的軌跡為，則（）A.始終關于原點對稱B.圓與關于原點對稱C.與上的點的最小距離為6D.與上的點的最大距離為12【答案】BC【解析】圓的圓心為，半徑為2，對于A，設，由，得，則關于原點不一定對稱，A錯誤；對于B，由在圓上，則，化簡得到，是以為圓心，2為半徑的圓，圓與關于原點對稱，B正確；對于C，由選項B知，兩圓的圓心距離為，即兩圓外離，與上的點的最小距離是的圓心距離再減去兩圓半徑和的差，即，C正確；對于D，與上的點的最大距離是的圓心距離再加上兩圓半徑和，即，D錯誤.故選：BC11.中，，則（）A. B.C. D.【答案】ABC【解析】對于，因，故，故是銳角三角形.由，于是，故A正確；對于，由可知，故，故B正確；對于C，設函數，則，故在區間上單調遞增，故當時，，即.于是，故，故C正確；對于D，當時，，此時，又因為，此時，故D錯誤.故選：ABC.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.雙曲線的實軸長與焦距之積為__________.【答案】【解析】由知雙曲線的焦點在軸上，且，故其焦距為，故雙曲線實軸長與焦距之積為.故答案為：.13.已知函數在上單調遞增，則的取值范圍為__________.【答案】【解析】解法一：由題意可得，而恒成立，故僅有時滿足題意.解法二：令，由復合函數單調性可知外層函數在上單調遞增，故內層函數在上也要單調遞增，故時滿足，其他情況均不滿足，故的取值范圍為.故答案為：.14.已知某圓錐的頂點和底面圓周上的點均在球的表面上，且球的表面積與體積相等，則該圓錐側面積的最大值為__________.【答案】【解析】由可知，故球半徑為3，由題意可知，為使該圓錐側面積取得最大值，此時球心在該圓錐的高上，作出該圓錐的軸截面，如圖其中，分別表示該圓錐的母線長，底面圓半徑，球心到底面圓的距離，球心可能在圓錐內或圓錐外，故，，故圓錐側面積，記函數，則.當時，單調遞增；當時，單調遞減.故，于是.故答案為:.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟.15.為了調查小鼠的日均睡眠時長（單位：小時），某科研團隊隨機抽取了90只小鼠的日均睡眠時長作為樣本，整理數據如下表.已知抽取的90只小鼠的樣本極差為5.現從日均睡眠時長在的小鼠中抽取5只進行藥物測試，已知抽取所得的小鼠的日均睡眠時長分別為.日均睡眠時長56789小鼠數量61925168（1）求；（2）求參與藥物測試的小鼠的日均睡眠時長的方差；（3）從參與藥物測試的小鼠中隨機抽取2只，求其日均睡眠時長之差的絕對值的分布列.解：（1）因為樣本極差為，.（2）求得參與藥物測試的小鼠的日均睡眠時長的平均數為，所以方差.（3）因為抽取所得的小鼠的日均睡眠時長分別為，故可能值為.則的情況下，抽取到的兩只小鼠日均睡眠時長均為7，的情況下，抽取到的兩只小鼠日均睡眠時長分別為6，8，故，，，故的分布列為01216.如圖，在幾何體中，互相平行，四邊形與四邊形是全等的等腰梯形，平面平面，，點分別為的中點.（1）證明：平面平面;（2）求直線與平面所成角的正弦值.（1）證明：如圖，因為四邊形是等腰梯形，點G為的中點，點H為的中點，所以，又平面平面，平面平面，所以平面，平面，所以，取BE的中點M，連接，則四邊形是邊長為2的菱形，所以，又，所以，因為且都在面內，所以平面，因為平面，所以平面平面.（2）解：由（1）知，兩兩垂直，以H為原點，所在的直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標系，則，所以，設平面的法向量為，則，取，得，設直線與平面所成的角為θ，則，所以直線與平面所成角的正弦值為.17.設函數.（1）當時，求曲線在原點處的切線方程；（2）若存在零點且與極值點相等，求的最小值.解：（1）因為，所以，.當時，，且，.故曲線在原點處的切線方程為，即.（2）設既是的零點，也是的極值點，則有，，解方程，解得或.①當時，，解得，又，故；②當時，，且易知，又，故只有，結合，同①解得.綜上，，當時，取最小值，經檢驗，符合題意.18.已知動點在橢圓上，且的左、右焦點分別為.設直線為上不重合的兩點.（1）求的離心率；（2）已知；（i）證明：點在軸的異側；（ii）證明：當的面積取最小值時，存在常數使得，并求的值.解：（1）由題設，.則，即，且，即.則的離心率為.（2）（i）由（1）可得，設.則由，得，即0.故必存在一點在第一象限，另一點在第四象限，即點在軸的異側.（ii）記的面積為，點到的距離為，則.要使最小，則必須使與同時達到最小值.顯然當運動至的右頂點時最小，此時，而，當且僅當或時取等號，最小值為.此時.且，故，解得.19.若正整數數列滿足：存在連續項之和為正整數，則稱數列為“—和數列”.已知項數為的正整數數列對于任意整數，有.（1），寫出一個滿足條件的2—和數列；（2）時，證明：是4—和數列；（3）對于任意，證明：是既為—和數列，也為—和數列.（1）解：取滿足題意.（2）證明：記為的前項和，則有，另一方面，要考慮存在兩個不相等的，使得，則對于，有：，則與是1到39中的40個整數，因此其必存在兩個數相同，又，則必存在，使得，因此，即，因此是4—和數列.（3）證明：①記為的前項和，則有，對于，有：，則與是1到中的個整數，因此其必存在兩個數相同，又，則必存在，使得，因此，即，因此是—和數列.②若存在的倍數，由于，則存在必為，則是—和數列，若其中沒有的倍數，則必然是除以余的數，其中共有種不同的可能，而是個不同的數，因此必存在，使得除以的余數相同，因此存在，使得是的倍數，又，則，則，故為—和數列.廣東省部分學校2025屆高三下學期2月聯考數學試題一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為集合，得.故選：C.2.已知函數為偶函數，則（）A.4 B.5 C.6 D.1【答案】C【解析】由題意可知函數的定義域為，因為是偶函數，所以，整理得，故，得.故選：C.3.已知小明和小王從5張編號為的卡牌中依次不放回各抽取2張卡牌，設甲：小明手中的兩張卡牌編號和為3，乙：小王手中的兩張卡牌編號均不小于3，則（）A.甲是乙的充分條件但不是必要條件B.甲是乙的必要條件但不是充分條件C.甲是乙的充要條件D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件【答案】A【解析】由小明手中的兩張卡牌編號和為3，可知小明手中的兩張卡牌編號分別為1，2，根據題意此時小王手中的兩張卡牌編號可能為中的兩個，均滿足編號不小于3，充分性成立，若小王手中的兩張卡牌編號均不小于3，例如3，4，此時小明手中的卡牌編號可能有5，不滿足小明手中的兩張卡牌編號和為3，故必要性不成立，故甲是乙的充分條件但不是必要條件.故選:A.4.已知，則的最小值為（）A.1 B. C. D.2【答案】A【解析】設，則，而.故由可解得，故，于是，故的最小值為1.故選：A.5.人工智能技術（簡稱AI技術）已成為引領世界新一輪科技革命和產業改革戰略性技術，AI技術加持的電腦（以下簡稱AI電腦）也在全國各地逐漸熱銷起來.下表為市統計的2024年10月至2025年2月這5個月該市AI電腦的月銷量，其中為月份代號，（單位：萬臺）代表AI電腦該月銷量.月份2024年10月2024年11月2024年12月2025年1月2025年2月月份代號12345月銷量萬臺0.50.911.21.4經過分析，與線性相關，且其線性回歸方程為，則預測2025年3月該市AI電腦的月銷量約為（）A.1.63萬臺 B.1.57萬臺 C.1.61萬臺 D.1.72萬臺【答案】A【解析】因為.所以，所以關于的線性回歸方程為，令，故此時萬臺.故選：A.6.已知拋物線，點，直線，記關于的對稱點為，且在上，則的準線方程為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】設，因為的斜率為，所以直線的斜率為，故直線的方程為4，將直線的方程與聯立，設兩直線的交點為，則，所以，解得，將的坐標代入的方程，有，解得，故的準線方程為.故選:B.7.中，點滿足，且，則（）A.1 B. C. D.2【答案】C【解析】由題意可得，，，因為，所以，即，故，于是.故選：C.8.已知函數在區間上單調，則的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由的定義域為，時，，結合正切函數的單調性可知，解得，由可知，由可知，即，即，而，故只能為0或1，時，結合可知；時，，于是.故選：D二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.記為等差數列前項和，已知，則（）A.的公差為3 B.C.有最小值 D.數列為遞增數列【答案】BC【解析】對于A，由題意可得，解得，故A錯誤；對于B，，故，故B正確；對于C，，所以當時，取到最小值，故C正確；對于D，，且，故D錯誤.故選：BC.10.已知為圓上的動點，點滿足，記的軌跡為，則（）A.始終關于原點對稱B.圓與關于原點對稱C.與上的點的最小距離為6D.與上的點的最大距離為12【答案】BC【解析】圓的圓心為，半徑為2，對于A，設，由，得，則關于原點不一定對稱，A錯誤；對于B，由在圓上，則，化簡得到，是以為圓心，2為半徑的圓，圓與關于原點對稱，B正確；對于C，由選項B知，兩圓的圓心距離為，即兩圓外離，與上的點的最小距離是的圓心距離再減去兩圓半徑和的差，即，C正確；對于D，與上的點的最大距離是的圓心距離再加上兩圓半徑和，即，D錯誤.故選：BC11.中，，則（）A. B.C. D.【答案】ABC【解析】對于，因，故，故是銳角三角形.由，于是，故A正確；對于，由可知，故，故B正確；對于C，設函數，則，故在區間上單調遞增，故當時，，即.于是，故，故C正確；對于D，當時，，此時，又因為，此時，故D錯誤.故選：ABC.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.雙曲線的實軸長與焦距之積為__________.【答案】【解析】由知雙曲線的焦點在軸上，且，故其焦距為，故雙曲線實軸長與焦距之積為.故答案為：.13.已知函數在上單調遞增，則的取值范圍為__________.【答案】【解析】解法一：由題意可得，而恒成立，故僅有時滿足題意.解法二：令，由復合函數單調性可知外層函數在上單調遞增，故內層函數在上也要單調遞增，故時滿足，其他情況均不滿足，故的取值范圍為.故答案為：.14.已知某圓錐的頂點和底面圓周上的點均在球的表面上，且球的表面積與體積相等，則該圓錐側面積的最大值為__________.【答案】【解析】由可知，故球半徑為3，由題意可知，為使該圓錐側面積取得最大值，此時球心在該圓錐的高上，作出該圓錐的軸截面，如圖其中，分別表示該圓錐的母線長，底面圓半徑，球心到底面圓的距離，球心可能在圓錐內或圓錐外，故，，故圓錐側面積，記函數，則.當時，單調遞增；當時，單調遞減.故，于是.故答案為:.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟.15.為了調查小鼠的日均睡眠時長（單位：小時），某科研團隊隨機抽取了90只小鼠的日均睡眠時長作為樣本，整理數據如下表.已知抽取的90只小鼠的樣本極差為5.現從日均睡眠時長在的小鼠中抽取5只進行藥物測試，已知抽取所得的小鼠的日均睡眠時長分別為.日均睡眠時長56789小鼠數量61925168（1）求；（2）求參與藥物測試的小鼠的日均睡眠時長的方差；（3）從參與藥物測試的小鼠中隨機抽取2只，求其日均睡眠時長之差的絕對值的分布列.解：（1）因為樣本極差為，.（2）求得參與藥物測試的小鼠的日均睡眠時長的平均數為，所以方差.（3）因為抽取所得的小鼠的日均睡眠時長分別為，故可能值為.則的情況下，抽取到的兩只小鼠日均睡眠時長均為7，的情況下，抽取到的兩只小鼠日均睡眠時長分別為6，8，故，，，故的分布列為01216.如圖，在幾何體中，互相平行，四邊形與四邊形是全等的等腰梯形，平面平面，，點分別為的中點.（1）證明：平面平面;（2）求直線與平面所成角的正弦值.（1）證明：如圖，因為四邊形是等腰梯形，點G為的中點，點H為的中點，所以，又平面平面，平面平面，所以平面，平面，所以，取BE的中點M，連接，則四邊形是邊長為2的菱形，所以，又，所以，因為且都在面內，所以平面，因為平面，所以平面平面.（2）解：由（1）知，兩兩垂直，以H為原點，所在的直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標系，則，所以，設平面的法向量為，則，取，得，設直線與平面所成的角為θ，則，所以直線與平面所成角的正弦值為.17.設函數.（1）當時，求曲線在原點處的切線方程；（2）若存在零點且與極值點相等，求的最小值.