高級中學名校試題PAGEPAGE1陜西省漢中市某校2024-2025學年高一下學期第一次月考數學試卷一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一個是正確的，請把正確的選項填涂在答題卡相應的位置上.1.設全集，集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】令，解得，則，故，因，所以，故A正確.故選：A.2.設，則的大小關系為（

）A.B.C.D.【答案】D【解析】因為，，，所以.故選：D.3.設為等差數列的前項和，已知，則（）A.12 B.14 C.16 D.18【答案】B【解析】由等差數列的片段和性質知，成等差數列，由，得該數列首項為4，公差為2，所以.故選：B.4.已知函數，則函數的圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因為定義域為，且，所以為偶函數，故排除A，D；當時，，故排除B.故選：C.5.2022年第二十四屆北京冬奧會開幕式上由96片小雪花組成的大雪花驚艷了全世界，數學中也有一朵美麗的雪花——“科赫雪花”．它的繪制規則是：任意畫一個正三角形（圖1），并把每一條邊三等分，再以中間一段為邊向外作正三角形，并把這“中間一段”擦掉，形成雪花曲線（圖2），如此繼續下去形成雪花曲線（圖3），直到無窮，形成雪花曲線．設雪花曲線的邊長為，邊數為，周長為，面積為，若，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意知，邊長，邊數，周長，面積，所以得：，，所以得：，，因為：，當時，，所以得：，，當時，，也適用，所以：，所以得：，故A項錯誤；所以得：，故B項正確；所以得：，故C項錯誤；所以得：，故D項錯誤.故選：B.6.二次函數在區間上為減函數，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】∵二次函數在上為減函數，.故選：D.7.設函數的最小正周期為.若，且對任意，恒成立，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，且，故，即有，解得，又，，故，即，綜上，.故選：B.8.已知是數列的前n項和，，，不等式對任意的恒成立，則實數的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】∵，∴，又，∴數列是首項為1、公差為1的等差數列，∴，∴，∴①，∴②，①－②得，∴，∴不等式，即，即，∵，當且僅當，即時等號成立，∴.故選：A．二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列說法中正確的是（）A.B.第一象限角都是銳角C.在半徑為2的圓中，弧度的圓心角所對的弧長為D.終邊在直線上的角的集合是【答案】AC【解析】，A正確；角也是第一象限角，不是銳角，B錯誤；在半徑為的圓中，弧度的圓心角所對的弧長為，C正確；終邊在上的角的集合是，D錯誤．故選：AC.10.已知是數列的前項和，且，，則下列結論正確的是（）A.數列為等比數列 B.數列為等比數列C. D.【答案】ABD【解析】因為，所以，又，所以是等比數列，A正確；同理，而，所以是等比數列，B正確；若，則，但，C錯；由A是等比數列，且公比為2，因此數列仍然是等比數列，公比為4，所以，D正確．故選：ABD．11.已知函數，若方程有三個不同的零點，且，則（）A.實數的取值范圍為B.函數在單調遞增C.的取值范圍為D.函數有個零點【答案】BCD【解析】作出函數的圖像如圖所示：對于A，由圖像可知，實數的取值范圍是，故A錯誤；對于B，由圖像可知，函數在上單調遞增，在上單調遞減，故B正確；對于C，由圖像可知，，由，即，解得，所以的取值范圍是，故C正確；對于D，由，令，則，解得或，由圖象可知當時，方程有1個解，當時，方程有3個解，所以函數有4個零點，故D正確.故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.函數的值域為__________．【答案】【解析】因，所以，，所以，即的值域為．13.已知，則________.【答案】【解析】因為，q，已知，將其代入可得：.因為，所以.14.已知各項均為正數的等比數列，若，則的取值范圍為________.【答案】.【解析】設等比數列的公比為，因為，可得，所以，則，因為，所以，當且僅當時，等號成立，所以，可得，則，所以，即的取值范圍為.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知，求下列各式的值.（1）；（2）.解：（1）.（2）.16.已知數列是單調遞增等比數列，數列是等差數列，且.（1）求數列與數列的通項公式；（2）求數列的前項和.解：（1）設等比數列的公比為，等差數列的公差為，由得即即，解得或.當時，，不滿足單調遞增，當時，，滿足單調遞增，故，所以.又，所以，所以，即數列與數列的通項公式為.（2）利用等比數列前項和公式可得，數列的前項和為，數列的前項和為，所以數列的前項和，即.17.已知函數.（1）求的最小正周期和單調遞增區間；（2）將的圖象先向左平移個單位，再將所有點的橫坐標縮短為原來的倍，得到函數的圖象，求在區間上的最值及取得最值時的值.解：（1）已知，根據二倍角公式，可得：，所以的最小正周期.令，，解這個不等式可得，.即得到，.所以的單調遞增區間是，.的最小正周期是，單調遞增區間是，.（2）先根據圖象變換規則求的表達式：將的圖象向左平移個單位，根據“左加右減”的原則，得到的圖象.再將所有點的橫坐標縮短為原來的倍，根據“橫坐標伸縮”的原則，得到的圖象.因為，所以，.當，即時，取得最大值，此時取得最大值.當，即時，取得最小值，此時取得最小值.綜上所得，在區間上的最大值是，此時；最小值是，此時.18.已知函數，不等式解集，（1）設函數在上存在零點，求實數的取值范圍；（2）當時，函數的最小值為，求實數的值．解：（1）因為，則，解得，即，又因為，且，在內單調遞增，則在內單調遞增，若函數在上存在零點，則，解得，所以實數的取值范圍．（2）因為，令，由可知，則，令，，則在內的最小值為，由的圖象開口向上，對稱軸為，可得，解得，即實數的值為1．19.已知數列的前項和滿足.（1）求數列的通項公式；（2）記，是數列的前項和，若對任意的，不等式都成立，求實數的取值范圍；（3）記，是否存在互不相等正整數，，，使，，成等差數列，且，，成等比數列？如果存在，求出所有符合條件的，，；如果不存在，請說明理由.解：（1）因為數列的前項和滿足，所以當時，，兩式相減得：，即，又時，，解得：，所以數列是以3為首項，3為公比的等比數列，從而.（2）由（1）知：，所以，對任意的，不等式都成立，即，化簡得：，令，因為，故單調遞減，所以，故，所以，實數的取值范圍是.（3）由（1）知：，假設存在互不相等的正整數，，滿足條件，則有.由與得，即，因為，所以.因為，當且僅當時等號成立，這與，，互不相等矛盾.所以不存在互不相等的正整數，，滿足條件.陜西省漢中市某校2024-2025學年高一下學期第一次月考數學試卷一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一個是正確的，請把正確的選項填涂在答題卡相應的位置上.1.設全集，集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】令，解得，則，故，因，所以，故A正確.故選：A.2.設，則的大小關系為（

）A.B.C.D.【答案】D【解析】因為，，，所以.故選：D.3.設為等差數列的前項和，已知，則（）A.12 B.14 C.16 D.18【答案】B【解析】由等差數列的片段和性質知，成等差數列，由，得該數列首項為4，公差為2，所以.故選：B.4.已知函數，則函數的圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因為定義域為，且，所以為偶函數，故排除A，D；當時，，故排除B.故選：C.5.2022年第二十四屆北京冬奧會開幕式上由96片小雪花組成的大雪花驚艷了全世界，數學中也有一朵美麗的雪花——“科赫雪花”．它的繪制規則是：任意畫一個正三角形（圖1），并把每一條邊三等分，再以中間一段為邊向外作正三角形，并把這“中間一段”擦掉，形成雪花曲線（圖2），如此繼續下去形成雪花曲線（圖3），直到無窮，形成雪花曲線．設雪花曲線的邊長為，邊數為，周長為，面積為，若，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意知，邊長，邊數，周長，面積，所以得：，，所以得：，，因為：，當時，，所以得：，，當時，，也適用，所以：，所以得：，故A項錯誤；所以得：，故B項正確；所以得：，故C項錯誤；所以得：，故D項錯誤.故選：B.6.二次函數在區間上為減函數，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】∵二次函數在上為減函數，.故選：D.7.設函數的最小正周期為.若，且對任意，恒成立，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，且，故，即有，解得，又，，故，即，綜上，.故選：B.8.已知是數列的前n項和，，，不等式對任意的恒成立，則實數的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】∵，∴，又，∴數列是首項為1、公差為1的等差數列，∴，∴，∴①，∴②，①－②得，∴，∴不等式，即，即，∵，當且僅當，即時等號成立，∴.故選：A．二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列說法中正確的是（）A.B.第一象限角都是銳角C.在半徑為2的圓中，弧度的圓心角所對的弧長為D.終邊在直線上的角的集合是【答案】AC【解析】，A正確；角也是第一象限角，不是銳角，B錯誤；在半徑為的圓中，弧度的圓心角所對的弧長為，C正確；終邊在上的角的集合是，D錯誤．故選：AC.10.已知是數列的前項和，且，，則下列結論正確的是（）A.數列為等比數列 B.數列為等比數列C. D.【答案】ABD【解析】因為，所以，又，所以是等比數列，A正確；同理，而，所以是等比數列，B正確；若，則，但，C錯；由A是等比數列，且公比為2，因此數列仍然是等比數列，公比為4，所以，D正確．故選：ABD．11.已知函數，若方程有三個不同的零點，且，則（）A.實數的取值范圍為B.函數在單調遞增C.的取值范圍為D.函數有個零點【答案】BCD【解析】作出函數的圖像如圖所示：對于A，由圖像可知，實數的取值范圍是，故A錯誤；對于B，由圖像可知，函數在上單調遞增，在上單調遞減，故B正確；對于C，由圖像可知，，由，即，解得，所以的取值范圍是，故C正確；對于D，由，令，則，解得或，由圖象可知當時，方程有1個解，當時，方程有3個解，所以函數有4個零點，故D正確.故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.函數的值域為__________．【答案】【解析】因，所以，，所以，即的值域為．13.已知，則________.【答案】【解析】因為，q，已知，將其代入可得：.因為，所以.14.已知各項均為正數的等比數列，若，則的取值范圍為________.【答案】.【解析】設等比數列的公比為，因為，可得，所以，則，因為，所以，當且僅當時，等號成立，所以，可得，則，所以，即的取值范圍為.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知，求下列各式的值.（1）；（2）.解：（1）.（2）.16.已知數列是單調遞增等比數列，數列是等差數列，且.（1）求數列與數列的通項公式；（2）求數列的前項和.解：（1）設等比數列的公比為，等差數列的公差為，由得即即，解得或.當時，，不滿足單調遞增，當時，，滿足單調遞增，故，所以.又，所以，所以，即數列與數列的通項公式為.（2）利用等比數列前項和公式可得，數列的前項和為，數列的前項和為，所以數列的前項和，即.17.已知函數.（1）求的最小正周期和單調遞增區間；（2）將的圖象先向左平移個單位，再將所有點的橫坐標縮短為原來的倍，得到函數的圖象，求在區間上的最值及取得最值時的值.解：（1）已知，根據二倍角公式，可得：，所以的最小正周期.令，，解這個不等式可得，.即得到，.所以的單調遞增區間是，.的最小正周期是，單調遞增區間是，.（2）先根據圖象變換規則求的表達式：將的圖象向左平移個單位，根據“左加右減”的原則，得到的圖象.再將所有點的橫坐標縮短為原來的倍，根據“橫坐標伸縮”的原則，得到的圖象.因為，所以，.當，即時，取得最大值，此時取得最大值.當，即時，取得最小值，此時取得最小值.綜上所得，在區間上的最大值是，此時；最小值是，此時.18.已知函數，不等式解集，（1）設函數在上存在零點，求實數的取值范圍；（2）當時，函數的最小值為，求實數的值．解：（1）因為，則，解得，即，又因為，且，在內單調遞增，則在內單調遞增，若函數在上存在零點，則，解得，所以實數的取值范圍．（2）因為，令，由可知，則，令，，則在內的最小值為，由的圖象開口向上，對稱軸為，可得，解得，即實數的值為1．19.已知數列的前項和滿足.（1）求數列的通項公式；（2）記，是數列的前項和，若