高級中學名校試題PAGEPAGE1山東省重點高中2024-2025學年高二下學期3月大聯考數學試卷注意事項：1.答題前，先將自己的姓名、準考證號填寫在試卷和答題卡上，并將條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.請按題號順序在答題卡上各題目的答題區域內作答，寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區域均無效.3.選擇題用2B鉛筆在答題卡上把所選答案的標號涂黑；非選擇題用黑色簽字筆在答題卡上作答；字體工整，筆跡清楚.4.考試結束后，請將試卷和答題卡一并上交.5.本卷主要考查內容：選擇性必修第二冊第五章.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知函數在處的導數為3，則（）A.3 B. C.6 D.【答案】B【解析】因為函數在處的導數為3，所以，所以．故選：B.2.已知函數，則的值為（）A.0 B. C. D.【答案】D【解析】因為，所以，則，故選：D.3.設點P是函數圖象上的任意一點，點P處切線的傾斜角為α，則角α的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，∵點P是曲線上的任意一點，點P處切線的傾斜角為α，∴．∵，∴．故選：C．4.已知函數有極值，則實數a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由，得，根據題意得，解得或，所以實數a的取值范圍是.故選：D．5.已知函數，若在上恒成立，則實數的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為，則，其中，令，解得，令，解得.所以在上單調遞減，在上單調遞增，因為，，所以，，因為在上恒成立，所以，，解得.故選：B6.若函數存在零點，則實數a的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由，則，令，則，當得，單調遞增，當得，單調遞減，所以，，當趨向于正無窮大時，也趨向于正無窮大，所以函數存在零點，則.故選：D.7.已知函數與函數的圖象上存在關于軸對稱的點，則實數的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意，、關于軸對稱，∴與在上有交點，則在有解，令，則，，∴在上遞增，而，∴在上，遞減；在上，遞增；∴，故只需即可，得.故選：B8.已知定義在R上的函數的導函數為，且滿足，則不等式的解集為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】令，則，所以在R上單調遞增，由，得，即，又在R上單調遞增，所以，解得，即不等式的解集為.故選：A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.如圖是導函數的圖象，則下列說法正確的是（）A.函數在區間上單調遞減 B.函數在區間上單調遞減C.函數在處取得極大值 D.函數在處取得極小值【答案】ACD【解析】對于A．因為在區間上成立，所以區間是的單調遞減區間，故A正確；對于B．因為當時，，當時，，所以在上不單調，故B錯誤；對于C．因為當時，，當時，，函數在處取得極大值，故C正確；對于D．因為當時，，當時，，所以函數在處取得極小值，故D正確.故選：ACD．10.已知函數圖象上的一條切線與的圖象交于點M，與直線交于點N，則下列結論不正確的有（）A.函數的最小值為B.函數的值域為C.的最小值為D.函數圖象上任一點的切線傾斜角的所在范圍為【答案】ABD【解析】已知，當時，，當時，，故選項A、B不正確；設直線l與函數的圖象相切于點，函數的導函數為，則直線l的方程為，即，直線l與的交點為，與的交點為，所以，當且僅當時取等號，故選項C正確;，可知切線斜率可為負值，即傾斜角可以為鈍角，故選項D不正確．故選：ABD11.已知函數，則（）A.當時，函數的減區間為B.當時，函數的圖象是中心對稱圖形C.若是函數的極大值點，則實數a的取值范圍為D.若過原點可作三條直線與曲線相切，則實數a的取值范圍為【答案】AB【解析】由，對于A選項，當時，，可得函數的減區間為，增區間為，故A選項正確；對于B選項，當時，，又由，可得函數的圖象關于點對稱，是中心對稱圖形，故B選項正確；對于C選項，由A選項可知，當時，是函數的極小值點；當時，令，可得或，若是函數的極大值點，必有，可得，故C選項錯誤；對于D選項，設切點為（其中），由切線過原點，有，整理為，令，有，可得函數的減區間為，增區間為，又由時，；時，；及，可知當時，關于m的方程有且僅有3個根，可得過原點可作三條直線與曲線相切，故D選項錯誤，故選：AB．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.函數的導函數滿足關系式，則_________．【答案】【解析】由，函數兩邊求導得：，令，則，所以代入函數得：．故答案為：13.已知函數，則曲線在處的切線斜率為______________.【答案】【解析】由，可知，所以.故答案為：.14.若關于x的不等式對任意恒成立，則實數a的最小值是_____________．【答案】【解析】由，可得，，可得，令，可得，令，有，令，可得；令，可得；可知函數的增區間為，減區間為，所以，故，即a的最小值為．故答案為：．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟.15.已知函數在點處的切線斜率為，且在處取得極值．（1）求函數解析式；（2）當時，求函數的最值．解：（1）因為，所以，由題意可知，，，，所以，解得，，，所以函數的解析式為，經檢驗適合題意，所以；（2）由（1）知，令，則，解得，或，當時，；當時，；所以在和上單調遞增，在上單調遞減，當時，取的極大值為，當時，取得極小值為，又，，所以，．16.已知函數的圖象經過點．（1）求曲線在點A處的切線方程；（2）求曲線經過坐標原點的切線方程．解：（1）依題意可得，則，∴，∵，∴，∴曲線在點處的切線方程為，即；（2）設過原點的切線方程為，則切點為，則消去k，整理得，解得或，有或．故所求方程為和．17.如圖，在半徑為4m的四分之一圓（O為圓心）鋁皮上截取一塊矩形材料OABC，其中點B在圓弧上，點A，C在兩半徑上，現將此矩形鋁皮OABC卷成一個以AB為母線的圓柱形罐子的側面（不計剪裁和拼接損耗），設矩形的邊長，圓柱的體積為V．（1）求出體積V關于x的函數關系式，并指出定義域；（2）當x為何值時，才能使做出的圓柱形罐子的體積V最大？最大體積是多少？解：（1）在中，因為，所以，設圓柱的底面半徑為r，則，即，所以，定義域為（2）由（1）得，，，令，則，解得，當時，，當時，，所以在上單調遞增，在上單調遞減.當時，圓柱形罐子的體積V最大，最大體積是18.已知函數，.（1）討論的單調區間；（2）若直線為的切線，求a的值.（3）已知，若曲線在處的切線與C有且僅有一個公共點，求a的取值范圍.解：（1）由，，當時，，在單調遞增，當時，令，解得，當時，，單調遞減，當時，，單調遞增，綜上，當時，在單調遞增，無單調減區間；當時，在區間上單調遞減，在上單調遞增.（2）設切點為，依題意，，所以，又，代入可得，，設，則，所在單調遞增，因為，所以，.（3），，所以曲線在處的切線方程為，即，設，，，①當時，，所以在上單調遞減，在上單調遞增，有且僅有一個零點，符合題意；②當時，，在上單調遞減，有且僅有一個零點，符合題意；③當時，在上單調遞減，在上單調遞增，在上單調遞減，因為，，當，，所以有兩個零點，不符題意；④當時，在上單調遞減，在上單調遞增，在上單調遞減，因為，，當，，所以有兩個零點，不符題意；綜上，a的取值范圍是.19.約瑟夫·路易斯·拉格朗日是聞名世界的數學家，拉格朗日中值定理就是他發現的.定理如下：若函數滿足如下條件：①函數在區間上連續（函數圖象沒有間斷）；②函數在開區間內可導（導數存在）．則在區間內至少存在一點，使得成立，其中稱為“拉格朗日中值點”．（1）求函數在上的“拉格朗日中值點”的個數；（2）對于任意的實數，，證明：；（3）已知函數在區間上滿足拉格朗日中值定理的兩個條件，當時，證明：．解：（1）因為，，，，所以在上的“拉格朗日中值點”的個數為.（2）設，有，易知函數在上滿足拉格朗日中值定理的兩個條件，當時，顯然有，當時，不妨設，由拉格朗日中值定理可知，存在，使得，有，又由，有，可得，由上知，不等式成立.（3）由，有，又由，設，有，可得函數單調遞增，由拉格朗日中值定理可知，存在，使得，同理可知，存在，使得，又由和函數單調遞增，有，有，由化簡可得，故不等式成立．山東省重點高中2024-2025學年高二下學期3月大聯考數學試卷注意事項：1.答題前，先將自己的姓名、準考證號填寫在試卷和答題卡上，并將條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.請按題號順序在答題卡上各題目的答題區域內作答，寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區域均無效.3.選擇題用2B鉛筆在答題卡上把所選答案的標號涂黑；非選擇題用黑色簽字筆在答題卡上作答；字體工整，筆跡清楚.4.考試結束后，請將試卷和答題卡一并上交.5.本卷主要考查內容：選擇性必修第二冊第五章.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知函數在處的導數為3，則（）A.3 B. C.6 D.【答案】B【解析】因為函數在處的導數為3，所以，所以．故選：B.2.已知函數，則的值為（）A.0 B. C. D.【答案】D【解析】因為，所以，則，故選：D.3.設點P是函數圖象上的任意一點，點P處切線的傾斜角為α，則角α的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，∵點P是曲線上的任意一點，點P處切線的傾斜角為α，∴．∵，∴．故選：C．4.已知函數有極值，則實數a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由，得，根據題意得，解得或，所以實數a的取值范圍是.故選：D．5.已知函數，若在上恒成立，則實數的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為，則，其中，令，解得，令，解得.所以在上單調遞減，在上單調遞增，因為，，所以，，因為在上恒成立，所以，，解得.故選：B6.若函數存在零點，則實數a的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由，則，令，則，當得，單調遞增，當得，單調遞減，所以，，當趨向于正無窮大時，也趨向于正無窮大，所以函數存在零點，則.故選：D.7.已知函數與函數的圖象上存在關于軸對稱的點，則實數的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意，、關于軸對稱，∴與在上有交點，則在有解，令，則，，∴在上遞增，而，∴在上，遞減；在上，遞增；∴，故只需即可，得.故選：B8.已知定義在R上的函數的導函數為，且滿足，則不等式的解集為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】令，則，所以在R上單調遞增，由，得，即，又在R上單調遞增，所以，解得，即不等式的解集為.故選：A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.如圖是導函數的圖象，則下列說法正確的是（）A.函數在區間上單調遞減 B.函數在區間上單調遞減C.函數在處取得極大值 D.函數在處取得極小值【答案】ACD【解析】對于A．因為在區間上成立，所以區間是的單調遞減區間，故A正確；對于B．因為當時，，當時，，所以在上不單調，故B錯誤；對于C．因為當時，，當時，，函數在處取得極大值，故C正確；對于D．因為當時，，當時，，所以函數在處取得極小值，故D正確.故選：ACD．10.已知函數圖象上的一條切線與的圖象交于點M，與直線交于點N，則下列結論不正確的有（）A.函數的最小值為B.函數的值域為C.的最小值為D.函數圖象上任一點的切線傾斜角的所在范圍為【答案】ABD【解析】已知，當時，，當時，，故選項A、B不正確；設直線l與函數的圖象相切于點，函數的導函數為，則直線l的方程為，即，直線l與的交點為，與的交點為，所以，當且僅當時取等號，故選項C正確;，可知切線斜率可為負值，即傾斜角可以為鈍角，故選項D不正確．故選：ABD11.已知函數，則（）A.當時，函數的減區間為B.當時，函數的圖象是中心對稱圖形C.若是函數的極大值點，則實數a的取值范圍為D.若過原點可作三條直線與曲線相切，則實數a的取值范圍為【答案】AB【解析】由，對于A選項，當時，，可得函數的減區間為，增區間為，故A選項正確；對于B選項，當時，，又由，可得函數的圖象關于點對稱，是中心對稱圖形，故B選項正確；對于C選項，由A選項可知，當時，是函數的極小值點；當時，令，可得或，若是函數的極大值點，必有，可得，故C選項錯誤；對于D選項，設切點為（其中），由切線過原點，有，整理為，令，有，可得函數的減區間為，增區間為，又由時，；時，；及，可知當時，關于m的方程有且僅有3個根，可得過原點可作三條直線與曲線相切，故D選項錯誤，故選：AB．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.函數的導函數滿足關系式，則_________．【答案】【解析】由，函數兩邊求導得：，令，則，所以代入函數得：．故答案為：13.已知函數，則曲線在處的切線斜率為______________.【答案】【解析】由，可知，所以.故答案為：.14.若關于x的不等式對任意恒成立，則實數a的最小值是_____________．【答案】【解析】由，可得，，可得，令，可得，令，有，令，可得；令，可得；可知函數的增區間為，減區間為，所以，故，即a的最小值為．故答案為：．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟.15.已知函數在點處的切線斜率為，且在處取得極值．（1）求函數解析式；（2）當時，求函數的最值．解：（1）因為，所以，由題意可知，，，，所以，解得，，，所以函數的解析式為，經檢驗適合題意，所以；（2）由（1）知，令，則，解得，或，當時，；當時，；所以在和上單調遞增，在上單調遞減，當時，取的極大值為，當時，取得極小值為，又，，所以，．16.已知函數的圖象經過點．（1）求曲線在點A處的切線方程；（2）求曲線經過坐標原點的切線方程．解：（1）依題意可得，則，∴，∵，∴，∴曲線在點處的切線方程為，即；（2）設過原點的切線方程為，則切點為，則消去k，整理得，解得或，有或．故所求方程為和．17.如圖，在半徑為4m的四分之一圓（O為圓心）鋁皮上截取一塊矩形材料OABC，其中點B在圓弧上，點A，C在兩半徑上，現將此矩形鋁皮OABC卷成一個以AB為母線的圓柱形罐子的側面（不計剪裁和拼接損耗），設矩形的邊長，圓柱的體積為V．（1）求出體積V關于x的函數關系式，并指出定義域；（2）當x為何值時，才能使做出的圓柱形罐子的體積V最大？最大體積是多少？解：（1）在中，因為，所以，設圓柱的底面半徑為r，則，即，所以，定義域為（2）由（1）得，，，令，則，解得，當時，，當時，，所以在上單調遞增，在上單調遞減.當時，圓柱形罐子的體積V最大，最大體積是18.已知函數，.（1）討論的單調區間；（2）若直線為的切線，求a的值.（3）已知，若曲線在處的切線