高級中學名校試題PAGEPAGE1湖南省多校2024-2025學年高二下學期3月月考數學試題注意事項：1.答題前，考生務必將自己的姓名?準考證號填寫在本試卷和答題卡上.2回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應的答案標號涂黑，如有改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案：回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.一?單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由，，所以.故選：D2.若角的頂點為坐標原點，始邊與軸的非負半軸重合，終邊經過點，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題設，所以.故選：C.3.過雙曲線的左焦點作其一條漸近線的垂線，垂足為，線段的中點在另外一條漸近線上，則雙曲線的離心率為（）A. B. C.2 D.【答案】A【解析】由題意，記的中點為，如圖，由，則，所以兩條漸近線相互垂直，可得，則，即，所以.故選：A.4.的展開式中，常數項等于（）A.1 B.15 C. D.1【答案】B【解析】二項式，可得：，即

令的次數，解得.將代入到通項公式中，可得常數項為.故選：B5.如圖所示是函數的導數的圖像，下列四個結論：①在區間上是增函數；②在區間上是減函數，在區間上是增函數：③是的極大值點；④是的極小值點.其中正確的結論是()A.①③ B.②③ C.②③④ D.②④【答案】D【解析】由題意，和時，；和時，，故函數在和上單調遞減，在和上單調遞增，是的極小值點，是的極大值點，故②④正確，答案為D.6.已知點P為直線上的一點，過點P作圓的切線PA，切點為A，則的最大值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】根據題意，圓其圓心為半徑過點P作圓的切線PA，則則設圓心C到直線l的距離為d，則故所以的最大值為故選：A7.數學活動小組由12名同學組成，現將12名同學平均分成四組分別研究四個不同課題，且每組只研究一個課題，并要求每組選出一名組長，則不同的分配方案的種數為()A. B. C. D.【答案】A【解析】將這12名同學平均分成四組分別研究四個不同課題,且每組只研究一個課題只需每個課題依次選三個人即可，共有中選法，最后選一名組長各有3種，故不同的分配方案為：，故選A.8.設，過作直線分別交（不與端點重合）于，若，，若與的面積之比為，則()A. B. C. D.【答案】D【解析】連接并延長，則通過的中點，過，分別向所在直線作垂線，垂足分別為，，如圖所示與的面積之比為根據三角形相似可知，則即由平行四邊形法則得根據待定系數法有，則故選D二?多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對得6分，部分選對得部分分，選錯得0分.9已知，則（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】對A：令得，A選項錯誤；對B：，B選項正確；對C：令得，又，所以，C選項錯誤；對D：令得，又，所以，D選項正確；故選：BD.10.已知數列的前n項和為且則（）A. B.C. D.數列的前n項和為【答案】ABD【解析】由題意得，且，可知，則為正項遞增數列，得到，即，故A正確；由，則時，，又符合上式，故，當時，，故B正確；由等差數列求和公式得，則，故C錯誤；而，故數列的前n項和為，故D正確.故選：ABD11.已知定義域為的函數滿足，且，為的導函數，則（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】令，代入可得，即，所以，令，則，即，令得，以替換，則，A選項正確；以替換，則，所以函數是周期為4的周期函數.令，則，即，所以是偶函數.對兩邊求導得，即.替換，則；以替換，則，所以是周期為4的周期函數，若的周期為6，則，又，則，又，則，即，此時為常函數，與、矛盾，故的周期不可能為6，B選項錯誤；由的周期為4，且.，C選項正確；因為的周期為，且，所以.因，所以，對兩邊對求導，得，即令，可得，所以，則，D選項正確.故選：ACD三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.平面上動點滿足，則點的軌跡方程為__________.【答案】【解析】由滿足知點到定點與的距離之和為10，又與之間距離為，根據橢圓定義可知該點的軌跡是橢圓，其中,軌跡方程為.故答案為：.13.在中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.若，，，則的面積為________．【答案】3【解析】在中，由余弦定理，得，則，于是，解得，所以的面積為.故答案為：314.如圖，某數陣滿足：各項均為正數，每一行從左到右成等差數列，每一列從上到下成公比相同的等比數列，，，，則__________，__________.【答案】960；.【解析】設每一列等比數列的公比都為，則，，則由，可得，則，，故，由，得，則，故，即，故，則，則.故答案為：960；.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.盒子中有3支不同的鉛筆和4支不同的水筆.（1）將這些筆取出后排成一排，使得鉛筆互不相鄰，水筆也互不相鄰，共有多少種不同的排法？（2）一次性取出3支筆，使得取出的三支筆中至少有1支鉛筆，共有多少種不同的取法？解：（1）將支不同的水筆和支不同的鉛筆排成一排，使得鉛筆互不相鄰，水筆也不相鄰，只需先將支不同的鉛筆進行全排，然后將支不同的水筆插入鉛筆所形成的4個空位中（含兩端），由分步乘法計數原理可知，不同的排法種數為種.（2）隨機一次性摸出支筆，使得摸出的三支筆中至少有支鉛筆，則鉛筆的支數可以是或或，由分類加法計數原理知，不同的取筆種數為種.16.如圖，在直五棱柱中，，，，，，是的中點．（1）證明：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值．解：（1）如圖，分別取的中點，連接，則．因為，，所以四邊形為平行四邊形，所以，．同理，，所以，，所以四邊形為平行四邊形，故，又，所以，又平面，平面，所以平面．（2）如圖，以為原點，直線分別為軸建立空間直角坐標系，可得，，，，，則，，．設平面的法向量為，則，令，得．設直線與平面所成的角為，則，故直線與平面所成角的正弦值為．17.設函數=[]．（1）若曲線在點（1，）處的切線與軸平行，求；（2）若在處取得極小值，求的取值范圍．解：（1）因為=[]，所以f′（x）=［2ax–（4a+1）］ex+［ax2–（4a+1）x+4a+3］ex（x∈R）=［ax2–（2a+1）x+2］ex．f′(1)=(1–a)e．由題設知f′(1)=0，即(1–a)e=0，解得a=1．此時f(1)=3e≠0．所以a的值為1．（2）由（1）得f′（x）=［ax2–（2a+1）x+2］ex=（ax–1）(x–2)ex．若a>，則當x∈(，2)時，f′(x)<0；當x∈(2，+∞)時，f′(x)>0．所以f(x)<0在x=2處取得極小值．若a≤，則當x∈(0，2)時，x–2<0，ax–1≤x–1<0，所以f′(x)>0．所以2不是f(x)的極小值點．綜上可知，a的取值范圍是（，+∞）．18.如圖，設拋物線的焦點為，過點的直線與交于兩點，且.記的面積分別為.（1）求拋物線的方程；（2）求最小值；（3）設點，直線與拋物線的另一交點為，求證：直線過定點.解：（1）設，直線，由消去整理得，，由，得，即，解得，故拋物線的方程是.（2）由（1）可得，所以，，當且僅當時等號成立，所以的最小值為.（3）設，則直線的斜率，方程為，由消去得整理得，顯然，于是，又，聯立消去，得，設直線，與拋物線聯立，整理得，，因此，直線恒過定點.19.在必修一中，我們曾經學習過用二分法來求方程的近似解，而英國物理學家，數學家艾薩克?牛頓與德國哲學家，數學家戈特弗里德?萊布尼茨各自獨立發明了微積分.其中牛頓在《流數法與無窮級數》（TheMethodofFluxionsandInifiniteSeries）一書中給出了“牛頓切線法”求方程的近似解.具體步驟如下：設是函數的一個零點，任意選取作為的初始近似值，曲線在點處的切線為，設與軸交點的橫坐標為，并稱為的1次近似值；曲線在點處的切線為，設與軸交點的橫坐標為，稱為的2次近似值.一直繼續下去，得到.一般地，過點作曲線的切線，記與軸交點的橫坐標為，并稱為的次近似值，稱數列為牛頓數列.（1）已知函數的零點為，求的2次近似值.（2）設函數，令，證明：，不等式恒成立.（3）函數的兩個零點分別為，數列為函數的牛頓數列，若數列滿足.（i）證明：；（ii）在與之間插入個數，使這個數組成一個公差為的等差數列，在數列中是否存在4項（其中成等差數列）成等比數列？若存在，求出這樣的4項；若不存在，請說明理由.解：（1）函數，求導得，則，而，在處的切線方程為，即.令，得，則，在處的切線為，令，得，所以的2次近似值為.（2）曲線在處的切線為，所以切線與軸交點橫坐標為，當函數時，即，得，又，則.令，則，由，得，由，得，所以在上單調遞減，在上單調遞增，則，所以，則，當且僅當時等號成立.令，則，因為恒成立，所以由，得，由，得，所以在上單調遞增，在上單調遞減，則，所以綜上可知，不等式恒成立，當且僅當時兩等號同時成立.（3）（i）因為，則，可得，過點作曲線的切線，令，得，則，又因為是函數的兩個零點，則，且，則，可得，故數列為等比數列；則，所以；（ii）由（i）知，所以，所以.假設數列中存在4項（其中成等差數列）成等比數列，則互不相等，所以，即，又因為成等差數列，所以，所以，化簡得，所以，又，所以與已知矛盾.同理，對進行類似推導，也會得出矛盾.所以在數列中不存在4項成等比數列.湖南省多校2024-2025學年高二下學期3月月考數學試題注意事項：1.答題前，考生務必將自己的姓名?準考證號填寫在本試卷和答題卡上.2回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應的答案標號涂黑，如有改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案：回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.一?單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由，，所以.故選：D2.若角的頂點為坐標原點，始邊與軸的非負半軸重合，終邊經過點，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題設，所以.故選：C.3.過雙曲線的左焦點作其一條漸近線的垂線，垂足為，線段的中點在另外一條漸近線上，則雙曲線的離心率為（）A. B. C.2 D.【答案】A【解析】由題意，記的中點為，如圖，由，則，所以兩條漸近線相互垂直，可得，則，即，所以.故選：A.4.的展開式中，常數項等于（）A.1 B.15 C. D.1【答案】B【解析】二項式，可得：，即

令的次數，解得.將代入到通項公式中，可得常數項為.故選：B5.如圖所示是函數的導數的圖像，下列四個結論：①在區間上是增函數；②在區間上是減函數，在區間上是增函數：③是的極大值點；④是的極小值點.其中正確的結論是()A.①③ B.②③ C.②③④ D.②④【答案】D【解析】由題意，和時，；和時，，故函數在和上單調遞減，在和上單調遞增，是的極小值點，是的極大值點，故②④正確，答案為D.6.已知點P為直線上的一點，過點P作圓的切線PA，切點為A，則的最大值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】根據題意，圓其圓心為半徑過點P作圓的切線PA，則則設圓心C到直線l的距離為d，則故所以的最大值為故選：A7.數學活動小組由12名同學組成，現將12名同學平均分成四組分別研究四個不同課題，且每組只研究一個課題，并要求每組選出一名組長，則不同的分配方案的種數為()A. B. C. D.【答案】A【解析】將這12名同學平均分成四組分別研究四個不同課題,且每組只研究一個課題只需每個課題依次選三個人即可，共有中選法，最后選一名組長各有3種，故不同的分配方案為：，故選A.8.設，過作直線分別交（不與端點重合）于，若，，若與的面積之比為，則()A. B. C. D.【答案】D【解析】連接并延長，則通過的中點，過，分別向所在直線作垂線，垂足分別為，，如圖所示與的面積之比為根據三角形相似可知，則即由平行四邊形法則得根據待定系數法有，則故選D二?多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對得6分，部分選對得部分分，選錯得0分.9已知，則（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】對A：令得，A選項錯誤；對B：，B選項正確；對C：令得，又，所以，C選項錯誤；對D：令得，又，所以，D選項正確；故選：BD.10.已知數列的前n項和為且則（）A. B.C. D.數列的前n項和為【答案】ABD【解析】由題意得，且，可知，則為正項遞增數列，得到，即，故A正確；由，則時，，又符合上式，故，當時，，故B正確；由等差數列求和公式得，則，故C錯誤；而，故數列的前n項和為，故D正確.故選：ABD11.已知定義域為的函數滿足，且，為的導函數，則（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】令，代入可得，即，所以，令，則，即，令得，以替換，則，A選項正確；以替換，則，所以函數是周期為4的周期函數.令，則，即，所以是偶函數.對兩邊求導得，即.替換，則；以替換，則，所以是周期為4的周期函數，若的周期為6，則，又，則，又，則，即，此時為常函數，與、矛盾，故的周期不可能為6，B選項錯誤；由的周期為4，且.，C選項正確；因為的周期為，且，所以.因，所以，對兩邊對求導，得，即令，可得，所以，則，D選項正確.故選：ACD三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.平面上動點滿足，則點的軌跡方程為__________.【答案】【解析】由滿足知點到定點與的距離之和為10，又與之間距離為，根據橢圓定義可知該點的軌跡是橢圓，其中,軌跡方程為.故答案為：.13.在中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.若，，，則的面積為________．【答案】3【解析】在中，由余弦定理，得，則，于是，解得，所以的面積為.故答案為：314.如圖，某數陣滿足：各項均為正數，每一行從左到右成等差數列，每一列從上到下成公比相同的等比數列，，，，則__________，__________.【答案】960；.【解析】設每一列等比數列的公比都為，則，，則由，可得，則，，故，由，得，則，故，即，故，則，則.故答案為：960；.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.盒子中有3支不同的鉛筆和4支不同的水筆.（1）將這些筆取出后排成一排，使得鉛筆互不相鄰，水筆也互不相鄰，共有多少種不同的排法？（2）一次性取出3支筆，使得取出的三支筆中至少有1支鉛筆，共有多少種不同的取法？解：（1）將支不同的水筆和支不同的鉛筆排成一排，使得鉛筆互不相鄰，水筆也不相鄰，只需先將支不同的鉛筆進行全排，然后將支不同的水筆插入鉛筆所形成的4個空位中（含兩端），由分步乘法計數原理可知，不同的排法種數為種.（2）隨機一次性摸出支筆，使得摸出的三支筆中至少有支鉛筆，則鉛筆的支數可以是或或，由分類加法計數原理知，不同的取筆種數為種.16.如圖，在直五棱柱中，，，，，，是的中點．（1）證明：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值．解：（1）如圖，分別取的中點，連接，則．因為，，所以四邊形為平行四邊形，所以，．同理，，所以，，所以四邊形為平行四邊形，故，又，所以，又平面，平面，所以平面．（2）如圖，以為原點，直線分別為軸建立空間直角坐標系，可得，，，，，則，，．設平面的法向量為，則，令，得．設直線與平面所成的角為，則，故直線與平面所成角的正弦值為．17.設函數=[]．（1）若曲線在點（1，）處的切線與軸平行，求；（2）若在處取得極小值，求的取值范圍．解：（1）因為=[]，所以f′（x）=［2ax–（4a+1）］ex+［ax2–（4a+1）x+4a+3］ex（x∈R）=［ax2–（2a+1）x+2］ex．f′(1)=(1–a)e．由題設知f′(1)=0，即(1–a)e=0，解得a=1．此時f(1)=3e≠0．所以a的值為1．（2）由（1）得f′（x）=［ax2–（2a+1）x+2］ex=（ax–1）(x–2)ex．若a>，則當x∈(，2)時，f′(x)<0；當x∈(2，+∞)時，f′(x)>0．所以f(x)<0在x=2處取得極小值．若a≤，則當x∈(0，2)時，x–2<0，ax–1≤x–1<0，所以f′(x)>0．所以2不是f(x)的極小值點．綜上可知，a的取值范圍是（，+∞）．18.如圖，設拋物線的焦點為，過點的直線與交于兩點，且.記的面積分別為.（1）求拋物線的方程；（2）求最小值；（3）設點，直線與拋物線的另一交點為，求證：直線過定點.解：（1）設，直線，由消去整理得，，由，得，即，解得，故拋物線的方程是.（2）由（1）可得，所以，，當且僅當時等號成立，所以的最小值為.（3）設，則直線的斜率，方程為，由消去得整理得，顯然，于是，又，聯立消去，得，設直線，與拋物線聯立，整理得，，因此，直線恒過定點.19.在必修一中，我們曾經學習過用二分法來求