高級中學名校試題PAGEPAGE1湖北省六校2024-2025學年高一下學期期中考試數學試題一、單選題：（本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）1.已知，那么（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為，所以.故選：B.2.已知向量，則與向量方向相反的單位向量是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題設，與向量方向相反的單位向量是.故選：D.3.已知向量，，則下列結論正確的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】A：由題設，不存在實數，使，故不共線，錯；B：由，錯；C：因為，所以，即，對；D：，錯.故選：C.4.一船以每小時15km的速度向東航行，船在處看到一個燈塔在南偏東，行駛小時后，船到達處看到燈塔在南偏西，此時測得船與燈塔的距離為km，則（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】C【解析】由題意知，在中，，，，所以為直角三角形，又，，故（小時）.故選：C.5.若，且為第三象限角，則（）A.7 B. C. D.【答案】A【解析】由，所以，又為第三象限角，所以，故，所以.故選：A.6.已知函數的部分圖象如圖所示，下列說法不正確的是（）A.，B.函數的圖象關于直線對稱C.函數圖象關于對稱D.函數在上單調遞增【答案】B【解析】對于A，由題意，，則，則，又在上，則，即，所以，則，又，所以，所以，即，，故A正確；對于B，因為，所以不是圖象的對稱軸，故B錯誤；對于C，因為，所以的圖象關于點對稱，故C正確；對于D，當時，，所以在上單調遞增，故D正確.故選：B.7.定義兩個向量，之間的一種運算：，其中是向量，的夾角，則對于非零向量，，下列結論不一定成立的是（）A.該運算滿足交換律，即B.若向量，共線，則C.的值等于以，為鄰邊的平行四邊形的面積D.對任意向量，有【答案】D【解析】對于A，根據定義，，故A一定成立；對于B，若向量，共線，則或，則，所以，故B一定成立；對于C，以，為鄰邊的平行四邊形的面積為，故C一定成立；對于D，若且與不共線，則，但，故D不一定成立.故選：D.8.當時，曲線與的交點個數為（）A.3 B.4 C.6 D.8【答案】C【解析】因為函數的最小正周期為，所以函數在上有1個周期的圖象，因為函數最小正周期為，所以函數在上有3個周期的圖象，在平面直角坐標系中，作出兩函數在上的圖象，如圖所示：由圖可知，曲線與有6個交點.故選：C.二、多選題：（本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.）9.下列命題正確的有（）A.函數的對稱中心是，B.在中，C.，，則在上的投影向量等于D.兩個非零向量，的夾角是銳角【答案】BC【解析】對于A，函數的對稱中心是，，故A錯誤；對于B，在中，，故B正確；對于C，由，，得，，所以在上的投影向量為，故C正確；對于D，當，同向時，滿足，此時，的夾角為，故D錯誤.故選：BC.10.計算下列各式的值，結果為2的有（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】對于A，，故A正確；對于B，，故B錯誤；對于，故C正確；對于D，，故D錯誤.故選：AD.11.如圖，在菱形中，，延長邊至點，使得.動點從點出發，沿菱形的邊按逆時針方向運動一周回到點，若，則（）A.當點在線段上移動時，B.滿足的點有且只有一個C.滿足的點有兩個D.最大值為3【答案】ACD【解析】建立如圖所示的平面坐標系，設菱形的邊長為1，，則，所以，由，得，所以，所以，①當點在上時，，且，所以，故A正確；②當點在(不含點)上時，則，所以，化簡，所以，因為，所以，即；③當點在(不含點)上時，則，且，所以，即，所以；④當點在(不含點)上時，則，所以，化簡，所以，因為，所以，所以；對于B，由①知，當時，，此時點與點重合；由④可知當時，，，此時點在的中點處；其它均不可能，所以這樣的點有兩個，故B錯誤；對于C，由②知，當時，，，此時點在的中點；由③知，當時，，，此時點在點處；其它均不可能，所以這樣點有兩個，故C正確；對于D，由①②③④可得，當，，即點為點時，取到最大值3，故D正確.故選：ACD.三、填空題：（本題共3小題，每小題5分，共15分.）12.已知扇形的周長為9cm，圓心角為，則該扇形的面積為___________.【答案】【解析】設扇形的半徑為，圓心角為，弧長為，則由題意可得，解得，所以扇形的面積.13.在中，，，則角為____________.【答案】【解析】因為，由正弦定理得，所以，所以，由余弦定理得，因為，所以.14.把函數的圖象向左平移個單位長度，得到的函數是奇函數，則的值為______________，若函數在區間上存在最大值2，則實數的取值范圍為_______________.【答案】5【解析】由題設，所以為奇函數，則，所以，又，故，所以，若，則，又函數在區間上存在最大值2，則.四、解答題：（本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）15.已知向量，滿足：，，.（1）求與的夾角的余弦值；（2）若，求實數的值.解：（1）由題可得，因為，，代入可得，，所以與夾角的余弦值.（2）因為，所以，化簡可得，將，，代入可得，解得或16.已知函數的圖象相鄰兩個零點之間的距離為.（1）求函數的解析式及的解集；（2）在中，為的一個內角，若滿足，，且，求周長.解：（1）由題設，則，令，，所以，，故解集為.（2）由題設，即，，所以，，又是三角形內角，故，由，即，由，則，所以，易得，所以周長為.17.如圖，在中，已知，，，是的中點，是上的點，且，，相交于點.設，；（1）若，試用向量，表示，；（2）若，求的面積.解：（1）由題意，是的中點，則，因為，所以，則.所以.（2）因為，所以.因為，，所以，又因為，所以，，解得.所以，，則，所以.18.中國數學家華羅庚倡導的“0.618優選法”在各個領域應用廣泛，0.618就是黃金分割比的近似值，這一數值也可以表示為.三倍角公式是把形如，等三角函數用單倍角三角函數表示的恒等式，廣泛應用于數學、物理、天文等學科.（1）已知試證明此三倍角公式；（2）若角滿足，求的值（已知）；（3）試用三倍角公式并結合三角函數相關知識，求出黃金分割值.解：（1）由，得證.（2）由（1）知，可得，而.（3）由，則，所以，則，所以，可得（負值舍），所以.19.已知函數.（1）設，為偶函數，若存在，使不等式成立，求實數的取值范圍；（2）已知函數的圖象過點，設，若對任意的，總存在，使成立，求實數的取值范圍.解：（1）由為偶函數，則，，又，則，所以，則，存在，使不等式成立，則，所以在上能成立，而，所以.（2）由題設，且，則，所以，而，則，所以，對任意的，總存在，使成立，所以，即，令，則，故，當，則在上單調遞增，此時，可得；當，則在上單調遞減，此時，可得；當，則在上單調遞增，在上單調遞減，此時，可得；綜上，.湖北省六校2024-2025學年高一下學期期中考試數學試題一、單選題：（本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）1.已知，那么（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為，所以.故選：B.2.已知向量，則與向量方向相反的單位向量是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題設，與向量方向相反的單位向量是.故選：D.3.已知向量，，則下列結論正確的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】A：由題設，不存在實數，使，故不共線，錯；B：由，錯；C：因為，所以，即，對；D：，錯.故選：C.4.一船以每小時15km的速度向東航行，船在處看到一個燈塔在南偏東，行駛小時后，船到達處看到燈塔在南偏西，此時測得船與燈塔的距離為km，則（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】C【解析】由題意知，在中，，，，所以為直角三角形，又，，故（小時）.故選：C.5.若，且為第三象限角，則（）A.7 B. C. D.【答案】A【解析】由，所以，又為第三象限角，所以，故，所以.故選：A.6.已知函數的部分圖象如圖所示，下列說法不正確的是（）A.，B.函數的圖象關于直線對稱C.函數圖象關于對稱D.函數在上單調遞增【答案】B【解析】對于A，由題意，，則，則，又在上，則，即，所以，則，又，所以，所以，即，，故A正確；對于B，因為，所以不是圖象的對稱軸，故B錯誤；對于C，因為，所以的圖象關于點對稱，故C正確；對于D，當時，，所以在上單調遞增，故D正確.故選：B.7.定義兩個向量，之間的一種運算：，其中是向量，的夾角，則對于非零向量，，下列結論不一定成立的是（）A.該運算滿足交換律，即B.若向量，共線，則C.的值等于以，為鄰邊的平行四邊形的面積D.對任意向量，有【答案】D【解析】對于A，根據定義，，故A一定成立；對于B，若向量，共線，則或，則，所以，故B一定成立；對于C，以，為鄰邊的平行四邊形的面積為，故C一定成立；對于D，若且與不共線，則，但，故D不一定成立.故選：D.8.當時，曲線與的交點個數為（）A.3 B.4 C.6 D.8【答案】C【解析】因為函數的最小正周期為，所以函數在上有1個周期的圖象，因為函數最小正周期為，所以函數在上有3個周期的圖象，在平面直角坐標系中，作出兩函數在上的圖象，如圖所示：由圖可知，曲線與有6個交點.故選：C.二、多選題：（本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.）9.下列命題正確的有（）A.函數的對稱中心是，B.在中，C.，，則在上的投影向量等于D.兩個非零向量，的夾角是銳角【答案】BC【解析】對于A，函數的對稱中心是，，故A錯誤；對于B，在中，，故B正確；對于C，由，，得，，所以在上的投影向量為，故C正確；對于D，當，同向時，滿足，此時，的夾角為，故D錯誤.故選：BC.10.計算下列各式的值，結果為2的有（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】對于A，，故A正確；對于B，，故B錯誤；對于，故C正確；對于D，，故D錯誤.故選：AD.11.如圖，在菱形中，，延長邊至點，使得.動點從點出發，沿菱形的邊按逆時針方向運動一周回到點，若，則（）A.當點在線段上移動時，B.滿足的點有且只有一個C.滿足的點有兩個D.最大值為3【答案】ACD【解析】建立如圖所示的平面坐標系，設菱形的邊長為1，，則，所以，由，得，所以，所以，①當點在上時，，且，所以，故A正確；②當點在(不含點)上時，則，所以，化簡，所以，因為，所以，即；③當點在(不含點)上時，則，且，所以，即，所以；④當點在(不含點)上時，則，所以，化簡，所以，因為，所以，所以；對于B，由①知，當時，，此時點與點重合；由④可知當時，，，此時點在的中點處；其它均不可能，所以這樣的點有兩個，故B錯誤；對于C，由②知，當時，，，此時點在的中點；由③知，當時，，，此時點在點處；其它均不可能，所以這樣點有兩個，故C正確；對于D，由①②③④可得，當，，即點為點時，取到最大值3，故D正確.故選：ACD.三、填空題：（本題共3小題，每小題5分，共15分.）12.已知扇形的周長為9cm，圓心角為，則該扇形的面積為___________.【答案】【解析】設扇形的半徑為，圓心角為，弧長為，則由題意可得，解得，所以扇形的面積.13.在中，，，則角為____________.【答案】【解析】因為，由正弦定理得，所以，所以，由余弦定理得，因為，所以.14.把函數的圖象向左平移個單位長度，得到的函數是奇函數，則的值為______________，若函數在區間上存在最大值2，則實數的取值范圍為_______________.【答案】5【解析】由題設，所以為奇函數，則，所以，又，故，所以，若，則，又函數在區間上存在最大值2，則.四、解答題：（本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）15.已知向量，滿足：，，.（1）求與的夾角的余弦值；（2）若，求實數的值.解：（1）由題可得，因為，，代入可得，，所以與夾角的余弦值.（2）因為，所以，化簡可得，將，，代入可得，解得或16.已知函數的圖象相鄰兩個零點之間的距離為.（1）求函數的解析式及的解集；（2）在中，為的一個內角，若滿足，，且，求周長.解：（1）由題設，則，令，，所以，，故解集為.（2）由題設，即，，所以，，又是三角形內角，故，由，即，由，則，所以，易得，所以周長為.17.如圖，在中，已知，，，是的中點，是上的點，且，，相交于點.設，；（1）若，試用向量，表示，；（2）若，求的面積.解：（1）由題意，是的中點，則，因為，所以，則.所以.（2）因為，所以.因為，，所以，又因為，所以，，解得.所以，，則，所以.18.中國數學家華羅庚倡導的“0.618優選法”在各個領域應用廣泛，0.618就是黃金分割比的近似值，這一數值也可以表示為.三倍角公式是把形如，等三角函數用單倍角三角函數表示的恒等式，廣泛應用于數學、物理、天文等學科.（1）已知試證明此三倍角公式；（2）若角滿足，求的值（已知）；（3）試用三倍角公式并結