湖南省長沙市湖南師大附中教育集團2025屆數學八下期末綜合測試試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題(每小題3分,共30分)1．如圖，四邊形和四邊形都是正方形，反比例函數在第一象限的圖象經過點，若兩正方形的面積差為12，則的值為A．12 B．6 C． D．82．如圖，PA、PB分別與⊙O相切于點A、B，若∠P=50°，則∠C的值是（）A．50° B．55° C．60° D．65°3．下列式子是分式的是（）A． B． C．x2y D．4．如圖，在Rt△ABC中（AB＞2BC），∠C＝90°，以BC為邊作等腰△BCD，使點D落在△ABC的邊上，則點D的位置有（）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個5．圖中的兩個三角形是位似圖形，它們的位似中心是（）A．點P B．點DC．點M D．點N6．如圖，在平行四邊形ABCD中，BE＝2，AD＝8，DE平分∠ADC，則平行四邊形的周長為（）A．14 B．24 C．20 D．287．如圖，在中，，是的中點，，，若，，①四邊形是平行四邊形；②是等腰三角形；③四邊形的周長是；④四邊形的面積是1．則以上結論正確的是A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②④8．把代數式2x2﹣18分解因式，結果正確的是（）A．2（x2﹣9） B．2（x﹣3）2C．2（x+3）（x﹣3） D．2（x+9）（x﹣9）9．下面關于平行四邊形的說法中錯誤的是（）A．平行四邊形的兩條對角線相等B．平行四邊形的兩條對角線互相平分C．平行四邊形的對角相等D．平行四邊形的對邊相等10．甲、乙、丙、丁四人進行射擊測試，每人10次射擊成績的平均數都為8.8環，方差分別為，，=0.48，=0.45，則四人中成績最穩定的是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁二、填空題(每小題3分,共24分)11．學校籃球隊五名隊員的年齡分別為，其方差為，則三年后這五名隊員年齡的方差為______．12．如圖，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝9，點P為AD邊上點，沿BP折疊△ABP，點A的對應點為E，若點E到矩形兩條較長邊的距離之比為1：4，則AP的長為_____．13．如圖，在平面直角坐標系中，邊長不等的正方形依次排列，每個正方形都有一個頂點落在函數的圖象上，從左向右第3個正方形中的一個頂點A的坐標為，陰影三角形部分的面積從左向右依次記為、、、、，則的值為______用含n的代數式表示，n為正整數14．化簡：（2）2=_____．15．如圖，△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，將△ABC沿DE折疊，使點C落在AB邊的C′處，并且C′D∥BC，則CD的長是________．16．某種藥品原價75元盒，經過連續兩次降價后售價為45元/盒．設平均每次降價的百分率為x，根據題意可列方程為_____．17．分解因式：m2nmn=_____。18．如圖，正方形ABCD中，點E、F分別在邊BC、CD上，且AE=EF=FA．下列結論：①△ABE≌△ADF；②CE=CF；③∠AEB=75°；④BE+DF=EF；⑤S△ABE+S△ADF=S△CEF，其中正確的是______（只填寫序號）．三、解答題(共66分)19．（10分）解不等式組并把解集在數軸上表示出來20．（6分）如圖，AB是⊙O的直徑，AC⊥AB，E為⊙O上的一點，AC=EC，延長CE交AB的延長線于點D.（1）求證：CE為⊙O的切線；（2）若OF⊥AE，OF=1，∠OAF=30°，求圖中陰影部分的面積.（結果保留π）21．（6分）某蘋果生產基地，用30名工人進行采摘或加工蘋果，每名工人只能做其中一項工作．蘋果的銷售方式有兩種：一種是可以直接出售；另一種是可以將采摘的蘋果加工成罐頭出售．直接出售每噸獲利4000元；加工成罐頭出售每噸獲利10000元．采摘的工人每人可采摘蘋果0.4噸；加工罐頭的工人每人可加工0.3噸．設有x名工人進行蘋果采摘，全部售出后，總利潤為y元．(1)求y與x的函數關系式；(2)如何分配工人才能獲利最大？22．（8分）為弘揚中華傳統文化，了解學生整體聽寫能力，某校組織全校1000名學生進行一次漢字聽寫大賽初賽，從中抽取部分學生的成績進行統計分析，根據測試成績繪制出了頻數分布表和頻數分布直方圖：分組/分頻數頻率50≤x＜6060.1260≤x＜70a0.2870≤x＜80160.3280≤x＜90100.2090≤x≤100cb合計501.00（1）表中的a=______，b=______，c=______；（2）把上面的頻數分布直方圖補充完整，并畫出頻數分布折線圖；（3）如果成績達到90及90分以上者為優秀，可推薦參加進入決賽，那么請你估計該校進入決賽的學生大約有多少人．23．（8分）為選拔參加八年級數學“拓展性課程”活動人選，數學李老師對本班甲、乙兩名學生以前經歷的10次測驗成績（分）進行了整理、分析（見圖①）：（1）寫出a，b的值；（2）如要推選1名學生參加，你推薦誰？請說明你推薦的理由．24．（8分）某工廠準備購買A、B兩種零件，已知A種零件的單價比B種零件的單價多20元，而用800元購買A種零件的數量和用600元購買B種零件的數量相等（1）求A、B兩種零件的單價；（2）根據需要，工廠準備購買A、B兩種零件共200件，工廠購買兩種零件的總費用不超過14700元，求工廠最多購買A種零件多少件？25．（10分）如圖，已知△ABC中，∠B=90o，AB=16cm，BC=12cm，P、Q是△ABC邊上的兩個動點，其中點P從點A開始沿A→B方向運動，且速度為每秒1cm，點Q從點B開始沿B→C→A方向運動，且速度為每秒2cm，它們同時出發，設出發的時間為t秒．（1）出發2秒后，求PQ的長；（2）當點Q在邊BC上運動時，出發幾秒鐘后，△PQB能形成等腰三角形？（3）當點Q在邊CA上運動時，求能使△BCQ成為等腰三角形的運動時間．26．（10分）A、B兩鄉分別由大米200噸、300噸．現將這些大米運至C、D兩個糧站儲存．已知C糧站可儲存240噸，D糧站可儲存200噸，從A鄉運往C、D兩處的費用分別為每噸20元和25元，B鄉運往C、D兩處的費用分別為每噸15元和18元．設A鄉運往C糧站大米x噸．A、B兩鄉運往兩個糧站的運費分別為yA、yB元．（1）請填寫下表，并求出yA、yB與x的關系式：C站D站總計A鄉x噸200噸B鄉300噸總計240噸260噸500噸（2）試討論A、B鄉中，哪一個的運費較少；（3）若B鄉比較困難，最多只能承受4830元費用，這種情況下，運輸方案如何確定才能使總運費最少？最少的費用是多少？

參考答案一、選擇題(每小題3分,共30分)1、A【解析】

設正方形OABC、BDEF的邊長分別為a和b，則可表示出D（a，a-b），F（a+b，a），根據反比例函數圖象上點的坐標特征得到E（a+b，），由于點E與點D的縱坐標相同，所以=a-b，則a2-b2=k，然后利用正方形的面積公式易得k=1．【詳解】解：設正方形OABC、BDEF的邊長分別為a和b，則D（a，a-b），F（a+b，a），所以E（a+b，），所以=a-b，∴（a+b）（a-b）=k，∴a2-b2=k，∵兩正方形的面積差為1，∴k=1．故選：A．【點睛】本題考查了反比例函數比例系數k的幾何意義：在反比例函數y=圖象中任取一點，過這一個點向x軸和y軸分別作垂線，與坐標軸圍成的矩形的面積是定值|k|．也考查了正方形的性質．2、D【解析】

連接OA、OB，由已知的PA、PB與圓O分別相切于點A、B，根據切線的性質得到OA⊥AP，OB⊥PB，從而得到∠OAP=∠OBP=90°，然后由已知的∠P的度數，根據四邊形的內角和為360°，求出∠AOB的度數，最后根據同弧所對的圓周角等于它所對圓心角度數的一半即可得到∠C的度數．【詳解】解：連接OA、OB，

∵PA、PB與圓O分別相切于點A、B，

∴OA⊥AP，OB⊥PB，

∴∠OAP=∠OBP=90°，又∠P=50°，

∴∠AOB=360°-90°-90°-50°=130°，

又∵∠ACB和∠AOB分別是弧AB所對的圓周角和圓心角，

∴∠C=∠AOB=×130°=65°．

故選：D．【點睛】此題考查了切線的性質，以及圓周角定理．運用切線的性質來進行計算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點，利用垂直構造直角三角形解決有關問題，同時要求學生掌握同弧所對的圓周角等于所對圓心角的一半．3、B【解析】

判斷分式的依據是看分母中是否含有字母，如果含有字母則是分式，如果不含有字母則不是分式．【詳解】解：，x2y，均為整式，是分式，故選：B【點睛】本題主要考查分式的定義，注意π不是字母，是常數，所以不是分式，是整式．4、C【解析】

分情況，BC為腰，BC為底，分別進行判斷得到答案即可【詳解】以BC為腰時，以B為圓心畫圓將會與AB有一個交點、以C為圓心畫圓同樣將會與AB有兩個個交點；以BC為底時，做BC的垂直平分線將會與AB有一個交點，所以BC為邊作等腰三角形在AB上可找到4個點，故選C【點睛】本題主要考查等腰三角形的性質，充分理解基本性質能夠分情況討論是本題關鍵5、A【解析】試題分析：根據位似變換的定義：對應點的連線交于一點，交點就是位似中心．即位似中心一定在對應點的連線上．解：∵位似圖形的位似中心位于對應點連線所在的直線上，點M、N為對應點，所以位似中心在M、N所在的直線上，因為點P在直線MN上，所以點P為位似中心．故選A．考點：位似變換．6、D【解析】

根據角平分線的定義以及兩直線平行，內錯角相等求出∠CDE=∠CED，再根據等角對等邊的性質可得CE=CD，然后利用平行四邊形對邊相等求出CD、BC的長度，再求出?ABCD的周長．【詳解】解：∵DE平分∠ADC，∴∠ADE＝∠CDE，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，BC＝AD＝8，AB＝CD，∴∠ADE＝∠CED，∴∠CDE＝∠CED，∴CE＝CD，∵AD＝8，BE＝2，∴CE＝BC﹣BE＝8﹣2＝6，∴CD＝AB＝6，∴?ABCD的周長＝6+6+8+8＝1．故選D．【點睛】本題考查了平行四邊形對邊平行，對邊相等的性質，角平分線的定義，等角對等邊的性質，熟練掌握平行四邊形的性質，證明CE=CD是解題的關鍵．7、A【解析】

證明AC∥DE，再由條件CE∥AD可證明四邊形ACED是平行四邊形；根據線段的垂直平分線證明AE=EB可得△BCE是等腰三角形；首先利用三角函數計算出AD=4，CD=2，再算出AB長可得四邊形ACEB的周長是10+2，利用△ACB和△CBE的面積和可得四邊形ACEB的面積．【詳解】①，，，，，四邊形是平行四邊形，故①正確；②是的中點，，，是等腰三角形，故②正確；③，，，，四邊形是平行四邊形，，，，，，，四邊形的周長是故③正確；④四邊形的面積：，故④錯誤，故選．【點睛】此題主要考查了平行四邊形的判定和性質，以及三角函數的應用，關鍵是利用三角函數值計算出CB長．8、C【解析】試題分析：首先提取公因式2，進而利用平方差公式分解因式得出即可．解：2x2﹣18=2（x2﹣9）=2（x+3）（x﹣3）．故選C．考點：提公因式法與公式法的綜合運用．9、A【解析】∵平行四邊形的對邊相等、對角相等、對角線互相平分，∴B、C、D說法正確；只有矩形的對角線才相等，故A說法錯誤，故選A．10、D【解析】

根據方差的意義進行判斷．【詳解】解：∵＜＜＜∴四人中成績最穩定的是丁．故選：D．【點睛】本題考查了方差：方差是反映一組數據的波動大小的一個量．方差越大，則平均值的離散程度越大，穩定性也越小；反之，則它與其平均值的離散程度越小，穩定性越好．二、填空題(每小題3分,共24分)11、0.1．【解析】

解：方差是用來衡量一組數據波動大小的量，每個數都加了3所以波動不會變，方差仍為0.1．故答案為：0.1．12、【解析】

分點E在矩形內部，EM：EN＝1：4，或EM：EN＝4：1，點E在矩形外部，EN：EM＝1：4，三種情況討論，根據折疊的性質和勾股定理可求AP的長度．【詳解】解：過點E作ME⊥AD，延長ME交BC與N，∵四邊形ABCD是矩形∴AD∥BC，且ME⊥DA∴EN⊥BC且∠A＝90°＝∠ABC＝90°∴四邊形ABNM是矩形∴AB＝MN＝5，AM＝BN若ME：EN＝1：4，如圖1∵ME：EN＝1：4，MN＝5∴ME＝1，EN＝4∵折疊∴BE＝AB＝5，AP＝PE在Rt△BEN中，BN＝＝3∴AM＝3在Rt△PME中，PE2＝ME2+PM2AP2＝（3﹣AP）2+1解得AP＝若ME：EN＝4：1，則EN＝1，ME＝4，如圖2在Rt△BEN中，BN＝＝2∴AM＝2在Rt△PME中，PE2＝ME2+PM2AP2＝（2﹣AP）2+16解得AP＝若點E在矩形外，如圖∵EN：EM＝1：4∴EN＝，EM＝在Rt△BEN中，BN＝＝∴AM＝在Rt△PME中，PE2＝ME2+PM2AP2＝（AP﹣）2+（）2解得：AP＝5故答案為，，5.【點睛】本題考查矩形的性質、折疊的性質和勾股定理，注意分情況討論是解題關鍵.13、【解析】

由題意可知Sn是第2n個正方形和第（2n-1）個正方形之間的陰影部分，先由已知條件分別求出圖中第1個、第2個、第3個和第4個正方形的邊長，并由此計算出S1、S2，并分析得到Sn與n間的關系，這樣即可把Sn給表達出來了.【詳解】∵函數y=x與x軸的夾角為45°，

∴直線y=x與正方形的邊圍成的三角形是等腰直角三角形，

∵A（8，4），

∴第四個正方形的邊長為8，

第三個正方形的邊長為4，

第二個正方形的邊長為2，

第一個正方形的邊長為1，

…，

第n個正方形的邊長為，第（n-1）個正方形的邊長為，

由圖可知，S1=，S2=，…，由此可知Sn=第（2n-1）個正方形面積的一半，∵第（2n-1）個正方形的邊長為，∴Sn=.

故答案為：.【點睛】通過觀察、計算、分析得到：“（1）第n個正方形的邊長為；（2）Sn=第（2n-1）個正方形面積的一半.”是正確解答本題的關鍵.14、1．【解析】

根據二次根式的性質：進行化簡即可得出答案.【詳解】故答案為：1.【點睛】本題考查了二次根式的性質及運算.熟練應用二次根式的性質及運算法則進行化簡是解題的關鍵.15、【解析】

解：設CD=x，根據C′D∥BC，且有C′D=EC，可得四邊形C′DCE是菱形；即Rt△BC′E中，AC==10，EB=x；故可得BC=x+x=8；解得x=．16、【解析】

可先表示出第一次降價后的價格，那么第一次降價后的價格×（1-降低的百分率）=1，把相應數值代入即可求解．【詳解】解：第一次降價后的價格為75×（1-x），兩次連續降價后售價在第一次降價后的價格的基礎上降低x，為：

75×（1-x）×（1-x），

則列出的方程是75（1-x）2=1．

故答案為75（1-x）2=1．【點睛】此題考查由實際問題抽象出一元二次方程中求平均變化率的方法．若設變化前的量為a，變化后的量為b，平均變化率為x，則經過兩次變化后的數量關系為a（1±x）2=b．17、n（m-）2【解析】

原式提取n，再利用完全平方公式分解即可．【詳解】解：原式=n（m2-m+）=n（m-）2，

故答案為：n（m-）2【點睛】此題考查了提公因式法與公式法的綜合運用，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關鍵．18、①②③⑤【解析】

AD=AB,AE=AF,∠B=∠D,△ABE≌△ADF，①正確,BE=DF,CE=CF，②正確,∠EFC=∠CEF=45°，AE=EF=FA,∠AFE=60°，∠AEB=75°.③正確.設FC=1,EF=,勾股定理知，DF=，AD=，S△ABE+S△ADF=2=.S△CEF=.⑤正確.無法判斷圈四的正確性，①②③⑤正確.故答案為①②③⑤.【詳解】請在此輸入詳解！三、解答題(共66分)19、見解析.【解析】

先分別求出不等式組中每一個不等式的解集，然后再根據不等式組解集的確定方法確定出不等式組的解集并在數軸上表示出來即可.【詳解】，解不等式①得：x≤1，解不等式②得：x>-4，所以不等式組的解集為-4<x≤1，不等式組的解集在數軸上表示如圖所示：.【點睛】本題考查了解一元一次不等式組，熟練掌握解一元一次方程的方法以及解集的確定方法是解題的關鍵.解集的確定方法：同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小無解了.20、（1）見解析；（2）.【解析】

（1）首先連接OE，由AC⊥AB，，可得∠CAD=90°，又由AC=EC,OA=OE，易證得∠CAE=∠CEA,∠FAO=∠FEO，即可證得CD為⊙O的切線；（2）根據題意可知∠OAF=30°，OF=1，可求得AE的長，又由S陰影=-，即可求得答案．【詳解】（1）證明：連接OE∵AC=EC,OA=OE∴∠CAE=∠CEA,∠FAO=∠FEO∵AC⊥AB，∴∠CAD=90°∴∠CAE+∠EAO=90°∴∠CEA+∠AEO=90°即∠CEA=90°∴OE⊥CD∴CE為⊙O的切線（2）解：∵∠OAF=30°，OF=1∴AO=2∴AF=即AE=∴∵∠AOE=120°,AO=2∴∴S陰影=【點睛】此題考查垂徑定理及其推論，切線的判定與性質，扇形面積的計算，解題關鍵在于作輔助線.21、（1）y=＝－211x＋54111.(2)13名工人進行蘋果采摘，17名工人進行加工，獲利最大．【解析】

（1）根據總利潤y=直接出售的利潤+加工成罐頭出售的利潤，化簡計算即可，（2）確定出自變量的取值范圍，然后利用一次函數的性質---增減性，解決問題即可．【詳解】（1）解：根據題意得：進行加工的人數為（31-x）人：則采摘的數量為1．4x噸；加工的數量為（9-1．3x）噸．直接出售的數量為1．4x-（9-1．3x）=（1．7x-9）噸，y=41111（1．7x-9）+11111（9-1．3x）=-211x+54111．（2）根據題意可得：1．4x9-1．3x，解得所以x的取值范圍是的整數因為k=-211＜1，所以y隨x的增大而減小，所以當x=13時，利潤最大即13名工人進行蘋果采摘，17名工人進行加工，獲利最大考點：一次函數的應用．22、（1）14；0.08；4；（2）詳見解析；（3）80.【解析】

（1）根據頻率分布表確定出總人數，進而求出a，b，c的值即可；（2）把上面的頻數分布直方圖補充完整，并畫出頻數分布折線圖，如圖所示；（3）根據樣本中90分及90分以上的百分比，乘以1000即可得到結果．【詳解】解：（1）根據題意得：a=6÷0.12×0.28=14，b=1﹣（0.12+0.28+0.32+0.20）=0.08，c=6÷0.12×0.08=4；故答案為：14；0.08；4；（2）頻數分布直方圖、折線圖如圖，（3）根據題意得：1000×（4÷50）=80（人），則你估計該校進入決賽的學生大約有80人．【點睛】此題考查了頻數（率）分布折線圖，用樣本估計總體，頻數（率）分布表，以及頻數（率）分布直方圖，弄清題中的數據是解本題的關鍵.23、（1）a=84.5，b=81；（2）甲，理由：兩人的平均數相同且甲的方差小于乙，說明甲成績穩定．【解析】

(1)依據中位數和眾數的定義進行計算即可；(2)依據平均數、中位數、方差以及眾數的角度分析，即可得到哪個學生的水平較高．【詳解】(1)甲組數據排序后，最中間的兩個數據為：84和85，故中位數a(84+85)=84.5，乙組數據中出現次數最多的數據為81，故眾數b=81；(2)甲，理由：兩人的平均數相同且甲的方差小于乙，說明甲成績穩定；或：乙，理由：在90≤x≤100的分數段中，乙的次數大于甲．(答案不唯一，理由須支撐推斷結論)．【點睛】本題考查了統計表，眾數，中位數以及方差的綜合運用，利用統計圖獲取信息時，必須認真觀察、分析、研究統計圖，才能作出正確的判斷和解決問題.求一組數據的眾數的方法：找出頻數最多的那個數據，若幾個數據頻數都是最多且相同，此時眾數就是這多個數據．24、（1）A種零件的單價為1元，B種零件的單價為60元；（2）最多購進A種零件2件.【解析】

（1）設A種零件的單價是x元，則B種零件的單價是（x-20）元，根據“用10元購買A種零件的數量和用600元購買B種零件的數量相等”列出方程并解答；

（2）設購買A種零件a件，則購買B種零件（200-a）件，根據“購買兩種零件的總費用不超過14700元”列出不等式并解答．【詳解】解：（1）設B種零件的單價為x元，則A零件的單價為（x＋20）元，則解得：x＝60經檢驗：x＝60?是原分式方程的解，?x+20＝1．答：A種零件的單價為1元，B種零件的單價為60元.（2）設購進A種零件m件，則購進B種零件（200﹣m）件，則有1m+60（200﹣m）≤14700，解得：m≤2，m在取值范圍內，取最大正整數，?m＝2．答：最多購進A種零件2件.【點睛】考查了分式方程的應用，一元一次不等式的應用，分析題意，找到合適的數量關系是解決問題的關鍵．25、（1）；（2）；（3）當t為11秒或12秒或13.2秒時，△BCQ為等腰三角形【解析】

（1）根據點P、Q的運動速度求出AP，再求出BP和BQ，用勾股定理求得PQ即可；（2）設出發t秒鐘后，△PQB能形成等腰三角形，則BP=BQ，由BQ=2t，BP=8-t，列式求得t即可；（3）當點Q在邊CA上運動時，能使△BCQ成為等腰三角形的運動時間有三種情況：①當CQ=BQ時，則∠C=∠CBQ，可證明∠A=∠ABQ，則BQ=AQ，則CQ=AQ，從而求得t；②當CQ=BC時，則BC+CQ=24，易求得t；③當BC=BQ時，過B點作BE⊥AC于點E，則求出BE，CE，即可得出t．【詳解】（1）當t=2時BQ