2023-2024學年全國通用高考熱身數學（文）試卷（一模）一、單選題1．設全集，集合，，則（

）A． B． C． D．【正確答案】B【分析】根據集合的運算，先找到，再求交集.【詳解】根據題意，，則,集合，.故選：B.2．已知為虛數單位，若復數，則（

）A． B． C． D．【正確答案】B【分析】利用模長公式求出復數的模長.【詳解】.故選：B3．某公司有員工15名，其中包含經理一名．保潔一名，為了調查該公司員工的工資情況，有兩種方案．方案一：調查全部15名員工的工資情況；方案二：收入最高的經理和收入最低的保潔工資不納入調查范圍，只調查其他13名員工的工資．這兩種調查方案得到的數據，一定相同的是（

）A．中位數 B．平均數 C．方差 D．極差【正確答案】A【分析】根據一組數據的中位數、平均數和方差、極差的定義進行判斷，即可求解.【詳解】由題意，公司15名員工的工資情況組成15個數據，按大小順序排列，排在中點的數是中位數，取到一個最大值和一個最小值，剩余13個數據按大小順序排列，排在中間的還是原來的數，所以中位數不變；平均數是與每一個數據都有關系的量，方差也是與每一個數據都有關系的量，所以會變化；極差是與最大值和最小值有關系的量，所以也會發生變化.故選：A.本題主要考查統計知識的應用，其中解答中涉及到中位數、平均數和方差、極差的概念及應用，屬于基礎題.4．已知為兩個不同的平面，為兩條不同的直線，則下列說法正確的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則【正確答案】C【分析】根據面面平行的性質定理可得選項A的正誤；考慮直線是否在平面內可得選項B的正誤；選項C根據面面垂直的判定定理可得正誤；選項D考慮直線與平面的位置關系可得正誤.【詳解】對于選項A，缺少共面的條件，因此得不到，直線還可以互為異面直線，故A錯誤；對于選項B，直線還可以在平面內，故B錯誤；對于選C，由得分別為的垂線，兩個平面的垂線互相垂直則這兩個平面互相垂直，故C正確；對于選項D，直線與平面或平行，或相交，或直線在平面內，故D錯誤.故選：C.5．已知，則（

）A． B． C． D．【正確答案】D【分析】根據角的變換，結合三角函數恒等變換，即可求解.【詳解】.故選：D6．如圖，在平行四邊形中，是邊的中點，是的一個三等分點（），若存在實數和，使得，則（

）A． B． C． D．【正確答案】C【分析】根據平面向量的基本定理，利用向量的線性運算進行向量的基底表示，即可得的值.【詳解】因為是的一個三等分點（），所以.因為是邊的中點，所以.又，所以.故選：C.7．在區間上任取一個數，則取到的數大于2的概率為（

）A． B． C． D．【正確答案】C【分析】根據題意，由幾何概型計算公式即可得到結果.【詳解】由于此數大于，則所求事件構成的區域長度為，且在區間上任取一個數所構成的區域長度為，則所求的概率為故選:C8．已知，則的最小值為A．6 B．4 C． D．【正確答案】A【詳解】因為，而（當且僅當時取等號），故（當且僅當取等號），應選答案A．9．黎曼函數是一個特殊的函數，由德國數學家波恩哈德·黎曼發現并提出，在高等數學中有著廣泛的應用.黎曼函數定義在上，其解析式為若函數是定義在實數集上的偶函數，且對任意x都有，當時，，則（

）A． B． C． D．【正確答案】D【分析】根據函數的周期性，奇偶性及分段函數分段處理的原則即可求解.【詳解】由，得，則，所以的周期為，因為函數是定義在實數集上的偶函數，所以，為無理數，所以，，所以.故選：D.10．在三棱錐中，，，，則三棱錐外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【正確答案】B【分析】將三棱錐補全為長方體，各條棱分別為長方體的面對角線，根據長方體外接球為其體對角線的一半可求得所求的外接球半徑，由球的表面積公式可得結果.【詳解】可將三棱錐補為如下圖所示的長方體，三棱錐的棱分別為長方體的面對角線，則長方體的外接球即為三棱錐的外接球.設長方體的長、寬、高分別為，則，，所求外接球的半徑，三棱錐的外接球的表面積.故選：B.關鍵點點睛：本題考查多面體外接球的求解問題，解題關鍵是能夠通過將三棱錐補全為長方體，將問題轉化為長方體外接球的求解.11．拋物線有一條重要性質：從焦點發出的光線，經過拋物線上的一點反射后，反射光線平行于拋物線的軸.如圖所示，從拋物線的焦點向軸上方發出的兩條光線分別經拋物線上的兩點反射，已知兩條入射光線與軸所成角均為，且，則兩條反射光線之間的距離為（

）A． B．4 C．2 D．【正確答案】D【分析】由題意得，則可求出直線的方程，分別與拋物線方程聯立表示出的坐標，由結合拋物線的定義可求出，從而可求出兩點縱坐標的差，即可得兩條反射光線之間的距離.【詳解】由題意得，因為，所以直線的斜率為，所以直線為，由，得，解得或，所以，同理直線的方程為，由，得，解得或，所以，因為，所以，所以，解得，所以兩條反射光線之間的距離為，故選：D12．關于函數，有以下三個結論：①函數恒有兩個零點，且兩個零點之積為；②函數的極值點不可能是；③函數必有最小值.其中正確結論的個數有（

）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【正確答案】D把函數的零點轉化為函數的零點，即可判斷①；求得后代入，根據是否為0即可判斷②；設的兩個實數根為，且，結合①可得當時，，再證明即可判斷③；即可得解.【詳解】由題意函數的零點即為函數的零點，令，則，所以方程必有兩個不等實根，，設，由韋達定理可得，故①正確；，當時，，故不可能是函數的極值點，故②正確；令即，，設的兩個實數根為，且，則當，時，，函數單調遞增，當時，，函數單調遞減，所以為函數極小值；由①知，當時，函數，所以當時，，又，所以，所以，所以為函數的最小值，故③正確.故選：D.本題考查了函數與導數的綜合問題，考查了推理能力，屬于中檔題.二、填空題13．計算：______．【正確答案】1利用可得結果.【詳解】.故1本題考查了常用對數，考查了對數的運算法則，屬于基礎題.14．數獨是一種非常流行的邏輯游戲.如圖就是一個數獨，玩家需要根據盤面上的已知數字，推理出所有剩余空格的未知數字，并滿足每一行、每一列、每一個粗線官內的數字均含1—6這6個數字（每一行，每一列以及每一個粗線宮都沒有重復的數字出現），則圖中的______.【正確答案】17【分析】根據題中要求每一行、每一列、每一個粗線官內的數字均含1—6這6個數字，且不重復，分析每行、每列所缺數字，填入表中，即可得答案.【詳解】由題意得：第2列缺少2，則第4行第2列為2，所以第3行第1列為5，所以第1列缺少1和6，則a+c=7,第4行缺少5，所以第4行第6列為5，所以第6列缺少4和6，則b+d=10，所以故1715．已知是橢圓的左、右焦點，點在橢圓上，線段與圓相切于點，且點為線段的中點，則橢圓的離心率為______【正確答案】【分析】根據中位線定理，圓的切線的性質得理解三角形，結合橢圓定義利用勾股定理得出關系，并結合得出關系從而得離心率．【詳解】設以橢圓的短軸為直徑的圓與線段相切于點，連接OE，，∵E，O分別是，的中點，∴EO，且||=2|EO|=2b，OE⊥，∴⊥，||=2c，∴||=，根據橢圓的定義，||+||=2a，∴，兩邊平方得：，代入并化簡得：，，，故．16．已知函數的圖象在上恰有一條對稱軸和一個對稱中心，則實數的取值范圍為______.【正確答案】【分析】根據兩角和的正弦公式和二倍角公式化簡，再根據正弦函數的對稱軸和對稱中心可求出結果.【詳解】,當時，為常數，不合題意，當，時，，要使在上恰有一條對稱軸和一個對稱中心，則，即，當，時，，要使在上恰有一條對稱軸和一個對稱中心，則，即.故答案為.三、解答題17．數列前項和為，滿足：，.（1）求證：數列是等比數列；（2）求和.【正確答案】（1）證明見解析；（2）.（1）由遞推關系結合可得即可證明；（2）由（1）求出，分組求和法即可求出.【詳解】（1）由可得，即∵，，∴，∴，∴對任意恒成立，故數列是以為首項，公比為3的等比數列；（2）由（1）知：，即，故.18．考取駕照是一個非常嚴格的過程，有的人并不能夠一次性通過，需要補考.現在有一張某駕校學員第一次考試結果匯總表，由于保管不善，只殘留了如下數據（見下表）：成績性別合格不合格合計男性4510女性30合計105(1)完成此表；(2)根據此表判斷：是否可以認為性別與考試是否合格有關？如果可以，請問有多大把握；如果不可以，試說明理由.參考公式：①相關性檢驗的臨界值表：0.400.250.150.100.050.0250.100.7081.3232.0722.7063.8415.0246.635②卡方值計算公式.其中.【正確答案】(1)答案見解析(2)可以，有97.5%的把握【分析】（1）直接根據題意即可完成表格；（2）計算得出，根據獨立性檢驗思想即可得結果.【詳解】（1）成績性別合格不合格合計男性451055女性302050合計7530105（2）假設：性別與考試是否合格無關，.若成立，，∵，∴有97.5%的把握認為性別與考試是否合格有關.19．已知四棱錐的底面為直角梯形，，，，且，.（1）證明：平面平面；（2）求四棱錐的側面積.【正確答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）由平面得，再結合幾何關系得，進而平面，再根據判定定理即可得平面平面.（2）由（1）知平面四棱錐的四個側面均為直角三角形，再計算即可得答案.【詳解】（1）由，知，故，又，，，平面，所以平面.因為平面，所以.又在直角梯形中，易求得，所以，故.又，，平面，所以平面.又平面，所以平面平面.（2）由（1）知平面四棱錐的四個側面均為直角三角形，所以，，，.故四棱錐的側面積為.20．已知函數.（1）當時，討論函數的單調性；（2）當時，若，且在時恒成立，求實數a的取值范圍.【正確答案】（1）答案見解析；（2）.（1）求導，分和兩種情況討論分析單調性即可；（2）由已知不等式可令，通過恒成立，得到；再證明當時，在時恒成立.利用放縮法得到，所以只需證在時恒成立.記，求導，結合導數研究函數的最值，即可求解.【詳解】解：（1），①當時，恒成立，即函數在遞減；②當時，令，解得，令，解得，即函數在上單調遞增，在上單調遞減.綜上，當時，函數在遞減；當時，函數在上單調遞增，在上單調遞減.（2）由題意，即當時在時恒成立，即在時恒成立.記，則，記，在遞增，又，當時，得.下面證明：當時，在時恒成立.因為.所以只需證在時恒成立.記，所以，又，所以在單調遞增，又，所以，單調遞減；，單調遞增，所以，∴在恒成立.即在時恒成立.綜上可知，當在時恒成立時，實數a的取值范圍為.方法點睛：由不等式恒成立（或能成立）求參數時，一般可對不等式變形，分離參數，根據分離參數后的結果，構造函數，由導數的方法求出函數的最值，進而可求出結果；有時也可根據不等式，直接構造函數，根據導數的方法，利用分類討論求函數的最值，即可得出結果.21．已知橢圓E:的一個焦點為,長軸與短軸的比為2:1.直線與橢圓E交于P?Q兩點,其中為直線的斜率.(1)求橢圓E的方程;(2)若以線段PQ為直徑的圓過坐標原點O,問:是否存在一個以坐標原點O為圓心的定圓O,不論直線的斜率取何值,定圓O恒與直線相切?如果存在,求出圓O的方程及實數m的取值范圍;如果不存在,請說明理由.【正確答案】(1)(2)存在,.的取值范圍是（1）根據題意直接計算出得到答案.（2）設直線OP的方程為:點的坐標為,則,聯立方程組，設坐標原點O到直線的距離為d,則有，得到，計算得到答案.【詳解】(1)由已知得:解得:橢圓E的方程為(2)假設存在定圓O,不論直線的斜率k取何值時,定圓O恒與直線相切.這時只需證明坐標原點O到直線的距離為定值即可.設直線OP的方程為:點的坐標為,則,聯立方程組①以線段PQ為直徑的圓過坐標原點O,,直線OQ的方程為:在①式中以換t,得②又由知:設坐標原點O到直線的距離為d,則有又當直線OP與軸重合時,此時由坐標原點O到直線的距離為定值知,所以存在定圓O,不論直線的斜率k取何值時,定圓O恒與直線相切,定圓O的方程為:.直線與軸交點為,且點不可能在圓O內,又當k=0時,直線與定圓O切于點,所以的取值范圍是本題考查了橢圓的標準方程，直線和圓的位置關系，意在考查學生的計算能力和綜合應用能力.22．已知點在曲線上．(1)求動點的軌跡C的參數方程，并化為直角坐標方程；(2)過原點的直線l與（1）中的曲線C交于A，B兩點，且，求直線l的斜率．【正確答案】(1)參數方程為，為參數；直角坐標方程為(2)【分析】（1）先將曲線化為參數方程，可得到動點，從而得到點M的軌跡C的參數方程，再轉化為直角坐標方程即可；（2）先設l的參數方程，再代入曲線C的方程得，再結合韋達定理和同角三角函數的基本關系求解即可．【詳解】（1）由題意，曲線的參數方程為，為參數，則，再設，則，為參數