2023-2024學年上海市奉賢區高考數學沖刺模擬試題（一模）一、填空題1．已知為虛數單位，則復數的虛部是______．【正確答案】【分析】根據復數虛部的定義即可求解.【詳解】根據復數虛部的定義可知，復數的虛部是.故2．數據7，4，2，9，1，5，8，6的第70百分位數為______．【正確答案】7【分析】根據百分位數的定義即可求解.【詳解】將數據從小到大重新排列為1,2,4,5,6,7,8,9，共8個數據，由于，所以第70百分位數為7.故73．不等式的解集是______．【正確答案】【分析】把分式不等式轉化為，從而可解不等式.【詳解】因為，所以，解得或，所以不等式的解集是.故4．二項式展開中，項的系數為______．【正確答案】【分析】求得二項式展開式的通項，進而求得展開式中的系數.【詳解】由題意，二項式的通項為，令，可得，所以二項式展開式中的系數為.故答案為.5．已知命題p：任意正數x，恒有，則命題p的否定為______．【正確答案】存在正數，使【分析】含有全稱量詞的否定，改成特稱量詞即可.【詳解】由全稱命題的否定為特稱命題知：存在正數，使.故存在正數，使6．拋物線的準線與圓相交于A、B兩點，則______．【正確答案】2【分析】首先求拋物線的準線方程，再根據直線與圓相交的弦長公式，即可求解.【詳解】的準線方程為，圓心到直線的距離為，所以弦長.故27．在平行四邊形中，，．若，則______．【正確答案】/【分析】利用平面向量的線性運算求出即可.【詳解】由題意可得，所以，，所以.故8．已知數列滿足，，，則數列的前項積的最大值為______．【正確答案】1【分析】根據，判斷出是一個周期數列，從而求前項積即可.【詳解】,，兩式相除得：，所以數列是以3為周期的周期數列,由，，得：記數列的前n項積為,結合數列的周期性，，當時,，，，所以數列的前項積的最大值為1.故19．兩個圓錐的底面是一個球的同一個截面，頂點均在球面上，若球的體積為，兩個圓錐的高之比為1:3，則這兩個圓錐的體積之和為______.【正確答案】【分析】根據球的體積公式，結合球的性質、圓錐的體積公式進行求解即可.【詳解】設球的半徑為，因為球的體積為，所以有，設兩個圓錐的高分別為，于是有且，所以有，設圓錐的底面半徑為，所以有，因此這兩個圓錐的體積之和為，故10．在中，角所對的邊分別為，，的平分線交于點D，且，則的最小值為________．【正確答案】9【分析】方法一：先根據角平分線性質和三角形面積公式得條件，再利用基本不等式即可解出．【詳解】［方法一］：【最優解】角平分線定義＋三角形面積公式＋基本不等式由題意可知，,由角平分線定義和三角形面積公式得，化簡得，即，因此當且僅當時取等號，則的最小值為.故答案為.［方法二］：角平分線性質＋向量的數量積＋基本不等式由三角形內角平分線性質得向量式．因為，所以，化簡得，即，亦即，所以，當且僅當，即時取等號．［方法三］：解析法＋基本不等式如圖5，以B為坐標原點，所在直線為x軸建立平面直角坐標系．設，．因為A，D，C三點共線，則，即，則有，所以．下同方法一．［方法四］：角平分線定理＋基本不等式在中，，同理．根據內角平分線性質定理知，即，兩邊平方，并利用比例性質得，整理得，當時，可解得．當時，下同方法一．［方法五］：正弦定理＋基本不等式在與中，由正弦定理得．在中，由正弦定理得．所以，由正弦定理得，即，下同方法一．［方法六］：相似＋基本不等式如圖6，作，交的延長線于E．易得為正三角形，則．由，得，即，從而．下同方法一．【整體點評】方法一：利用角平分線定義和三角形面積公式建立等量關系，再根據基本不等式“1”的代換求出最小值，思路常規也簡潔，是本題的最優解；方法二：利用角平分線的性質構建向量的等量關系，再利用數量積得到的關系，最后利用基本不等式求出最值，關系構建過程運算量較大；方法三：通過建立直角坐標系，由三點共線得等量關系，由基本不等式求最值；方法四：通過解三角形和角平分線定理構建等式關系，再由基本不等式求最值，計算量較大；方法五：多次使用正弦定理構建等量關系，再由基本不等式求最值，中間轉換較多；方法六：由平面幾何知識中的相似得等量關系，再由基本不等式求最值，求解較為簡單．11．設是雙曲線的左、右焦點，是坐標原點，過作的一條漸近線的垂線，垂足為．若，則的離心率為_______________________．【正確答案】【分析】由與互補，得到兩角的余弦值互為相反數，兩次利用余弦定理得到關于的方程.【詳解】如圖所示：因為焦點到漸近線的距離為，所以，則，所以，因為，所以，解得.求圓錐曲線的離心率主要有幾何法和代數法，本題主要通過兩次利用余弦定理進行代數運算，找到關系求得離心率.12．若曲線有兩條過坐標原點的切線，則a的取值范圍是________________．【正確答案】【分析】設出切點橫坐標，利用導數的幾何意義求得切線方程，根據切線經過原點得到關于的方程，根據此方程應有兩個不同的實數根，求得的取值范圍.【詳解】∵，∴，設切點為,則,切線斜率,切線方程為：,∵切線過原點，∴,整理得：,∵切線有兩條，∴,解得或,∴的取值范圍是,故二、單選題13．記函數的最小正周期為T．若，且，則（

）A． B． C． D．【正確答案】C【分析】由最小正周期可得，再由即可得，即可求得.【詳解】根據最小正周期，可得，解得；又，即是函數的一條對稱軸，所以，解得.又，當時，.故選：C14．從某網絡平臺推薦的影視作品中抽取部，統計其評分數據，將所得個評分數據分為組：、、、，并整理得到如下的頻率分布直方圖，則評分在區間內的影視作品數量是（

）A． B． C． D．【正確答案】D【分析】利用頻率分布直方圖可計算出評分在區間內的影視作品數量.【詳解】由頻率分布直方圖可知，評分在區間內的影視作品數量為.故選：D.15．上海入夏的標準為：立夏之后，連續五天日平均氣溫不低于22℃．立夏之后，測得連續五天的平均氣溫數據滿足如下條件，其中能斷定上海入夏的是（

）A．總體均值為25℃，中位數為23℃B．總體均值為25℃，總體方差大于0℃C．總體中位數為23℃，眾數為25℃D．總體均值為25℃，總體方差為1℃【正確答案】D【分析】對于AB，取連續五天的平均氣溫為可判斷；對于C，取連續五天的平均氣溫為可判斷；對于D，用反證法可驗證.【詳解】對于A，如連續五天的平均氣溫為，滿足總體均值為，中位數為，故A不正確；對于B，如連續五天的平均氣溫為，滿足總體均值為25℃，總體方差大于0℃，故B不正確；對于C，如連續五天的平均氣溫為，滿足總體中位數為23℃，眾數為25℃，故C不正確；對于D，當總體均值為，總體方差為，若存在有一天氣溫低于，不妨令，根據方差公式，可得，因為方差為1，所以不可能存在有一天氣溫低于，故D正確.故選：D16．記函數，函數，若對任意的，總有成立，則稱函數包裹函數.判斷如下兩個命題真假：①函數包裹函數的充要條件是；②若對于任意對任意都成立，則函數包裹函數.則下列選項正確的是（

）A．①真②假 B．①假②真 C．①②全假 D．①②全真【正確答案】D【分析】①根據包裹函數的定義可以得到，由，可得，即①正確；②利用反證法證明可得，即，則函數包裹函數，即②正確.【詳解】①因為函數包裹函數，所以，又因為，所以，所以函數包裹函數的充要條件是，故①正確；②假設，令，則當時，，與題意中矛盾，故假設不成立.所以，即，所以函數包裹函數，故②正確.故選：D.三、解答題17．如圖所示，正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面邊長1，側棱長4，AA1中點為E，CC1中點為F．(1)求證：平面BDE∥平面B1D1F；(2)連結B1D，求直線B1D與平面BDE所成的角的大小．【正確答案】(1)證明見解析(2)．【分析】（1）以A為原點，AB，AD，AA1所在直線為坐標軸，建立空間直角坐標系，如圖利用向量法證DE∥FB1，進而平面，同理平面，可證平面BDE∥平面B1D1F；（2）利用向量法可求直線B1D與平面BDE所成的角的大小．【詳解】（1）以A為原點，AB，AD，AA1所在直線為坐標軸，建立空間直角坐標系，如圖則B（1，0，0），D（0，1，0），E（0，0，2），B1（1，0，4），D1（0，1，4），F（1，1，2），∵，∴DE∥FB1，平面，平面，平面，同理平面，∵平面，平面，平面，∴平面平面．（2）同（1）建系，設平面BDE的一個法向量為，則，得，不妨取z＝1，則，又，設直線B1D與平面BDE所成的角為θ，故，直線B1D與平面BDE所成的角為．18．已知數列，是其前項的和，且滿足（1）求證：數列為等比數列；（2）記，求的表達式．【正確答案】（1）見解析；（2）.【分析】（1）時，由,得，然后利用，可得到，進而得到從而可以證明數列為等比數列；（2）由（1）可以得到的通項公式，代入可得到的表達式，進而利用分組求和即可求出的表達式．【詳解】（1）時，，所以，當時，由,得，則，即，所以又，故就是首項為，公比為3的等比數列，則即.（2）將代入得,所以

=.分組求和與并項求和法：把數列的每一項拆分成兩項或者多項，或者把數列的項重新組合，或者把整個數列分成兩部分等等，使其轉化成等差數列或者等比數列等可求和的數列分別進行求和，例如對通項公式為的數列求和．19．我國風云系列衛星可以監測氣象和國土資源情況．某地區水文研究人員為了了解汛期人工測雨量x（單位：dm）與遙測雨量y（單位：dm）的關系，統計得到該地區10組雨量數據如表：樣本號i12345678910人工測雨量5.387.996.376.717.535.534.184.046.024.23遙測雨量5.438.076.576.147.955.564.274.156.044.490.050.080.20.570.420.030.090.110.020.26并計算得，，，，，，(1)求該地區汛期遙測雨量y與人工測雨量x的樣本相關系數（精確到0.01），并判斷它們是否具有線性相關關系；(2)規定：數組滿足為“Ⅰ類誤差”；滿足為“Ⅱ類誤差”；滿足為“Ⅲ類誤差”．為進一步研究，該地區水文研究人員從“Ⅰ類誤差”、“Ⅱ類誤差”中隨機抽取3組數據與“Ⅲ類誤差”數據進行對比，記抽到“Ⅰ類誤差”的數據的組數為X，求X的概率分布與數學期望．附：相關系數，【正確答案】(1)，正相關性，相關性很強；(2)分布列見解析；期望【分析】（1）根據參考公式和數據，代入求相關系數，即可判斷相關性強或弱；（2）根據條件可知，，再根據超幾何分別求分布列和數學期望.【詳解】（1）因為，由于樣本相關系數非常接近于1，可以推斷該地區汛期遙測雨量與人工測雨量，兩個變量正線性相關，且相關程度很強.（2）10組數據中，“Ⅰ類誤差”有5組，“Ⅱ類誤差”有3組，“Ⅲ類誤差”有2組，從“Ⅰ類誤差”，“Ⅱ類誤差”中隨機抽取3組數據，記抽到“Ⅰ類誤差”的數據組數為，則的可取值為0，1，2，3，由題意可得，，，，，則的分布列為0123所以20．如圖，中心在原點的橢圓的右焦點為，長軸長為．橢圓上有兩點、，連接、，記它們的斜率為、，且滿足．(1)求橢圓的標準方程；(2)求證：為一定值，并求出這個定值；(3)設直線與橢圓的另一個交點為，直線和分別與直線交于點、，若和的面積相等，求點的橫坐標．【正確答案】(1)(2)證明見解析，(3)點橫坐標為【分析】（1）利用橢圓的長軸長以及焦點坐標，求解、，然后求解，得到橢圓方程；（2）設、，通過．結合得到坐標滿足方程，轉化求解為一定值即可．（3）通過，推出，轉化求解點的橫坐標即可．【詳解】（1）由已知條件，設橢圓，則，解得，橢圓．（2）證明：設、，則，整理得，由，∴，∵，解得，將其代入，為定值.（3）設、，由橢圓的對稱性可知，，∵，∴，∴，∴或者，或者．∵，∴或者（舍），解得：，∴點橫坐標為．易錯點點睛：解決直線與橢圓的綜合問題時，要注意：（1）注意觀察應用題設中的每一個條件，明確確定直線、橢圓的條件；（2）強化有關直線與橢圓聯立得出一元二次方程后的運算能力，重視根與系數之間的關系、弦長、斜率、三角形的面積等問題．21．已知函數．(1)若是定義域上的嚴格增函數，求a的取值范圍；(2)若，，求實數a的取值范圍；(3)設、是函數的兩個極值點，證明：．【正確答案】(1)；(2)；(3)證明見解析.【分析】（1）先求出函數的導數，由是定義域上的嚴格增函數轉化為在其定義域恒成立，再參變分離，利用基本不等式求得最值，進而求解即可；（2）先求出函數的導數，利用含參函數單調性的討論中首項系數含參數問題討論，將分為零正負，又通過判別根式對導函數是否有根進行分類求解即可；（3）由題意要證，只要證，涉及到轉化的思想，令，，求的最小值即可求得結果.【詳解】（1）依題意，.

若是定義域上的嚴格增函數，則對于恒成立，即對于恒成立，而，當且僅當，即時，等號成立.所以，即a的取值范圍為；（2）由（1）知.

①當時，在上，所以在上單調遞減，所以，所以不符合題設.

②當時，令，得，解得，，所以當時，所以在上單調遞減，所以，所以不符合題設.③當時，判別式，所以，所以在上單調遞增，所以.綜上，實數a的取值范圍是.（3）由（2）知，當時，在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增，所