2023-2024學年全國甲卷貴州省鎮遠縣高考數學（文）模擬試題（5月）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】根據一元二次不等式的解法和元素與集合的關系，集合與集合的關系即可求解.【詳解】,，故選:C2.復數的虛部為（）A. B. C.2 D.16【正確答案】C【分析】利用虛數單位的性質可求，故可求其虛部.【詳解】因為，故，故的虛部為2，故選：C.3.已知等比數列滿足，，則（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】求出公比，再根據等比數列的通項即可得解.【詳解】設公比為，因為，所以，所以，所以.故選：B.4.已知點，是橢圓上關于原點對稱的兩點，，分別是橢圓的左、右焦點，若，則（）A.1 B.2 C.4 D.5【正確答案】C【分析】先證明四邊形是平行四邊形，再利用橢圓的定義求出即得解.【詳解】因為,所以四邊形是平行四邊形.所以.由橢圓的定義得.所以.故選：C5.已知火箭推進系統的燃料攜帶量與速度的關系為，其中為速度改變量，為噴氣速度，為火箭本體質量，為燃料質量，若某一火箭發射時攜帶的燃料質量，記攜帶燃料剩余質量為，時的值分別為，，則（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】根據題設的公式結合對數的性質可計算得到.【詳解】因為，故，當攜帶燃料剩余質量為時，故此時；同理當攜帶燃料剩余質量為時，；故，故選：D.6.已知函數的圖象如圖所示，則下列選項中可能為的解析式的是（）A. B.C. D.【正確答案】A【分析】根據題意得到，結合選項中的函數，逐項判定，即可求解.【詳解】由函數，可得對于A中，函數，當時，，當時，，其函數為單調遞減函數，符合題意；對于B中，對于，當時，，不符合題意；對于C中，對于，當時，，不符合題意；對于D中，對于，當時，，不符合題意.故選：A.7.若，則（）A. B. C.或 D.或3【正確答案】A【分析】化簡方程，通過角度正弦值和余弦值的關系，即可求出的值.【詳解】由題意，即∵，∴，解得：（舍）或，故選：A.8.國內現存兩件國寶級文物——戰國宴樂水陸攻戰紋銅壺，分別藏于故宮博物院與四川博物館.銅壸上的圖像采用“嵌錯”制作工藝，銅壺身上的三圈紋飾，將壺身分為四層.假設第一層與第二層分別看作圓柱與圓臺，且圓柱與圓臺的高之比為，其正視圖如圖2所示，根據正視圖，可得圓柱與圓臺這兩個幾何體的體積之比為（）（注：）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】利用圓柱和圓臺體積公式直接求解即可.【詳解】由題意知：圓柱的底面直徑為，設高為；圓臺的上下底面直徑分別為和，圓柱與圓臺的高之比為，則高為，圓柱的體積；圓臺的體積，圓柱與圓臺這兩個幾何體的體積之比為.故選：B.9.已知等差數列的前項和為，若，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】設,求出公差和,利用三角函數的圖象和性質求解.【詳解】設.所以等差數列的公差.所以，其中.所以的最小值為，最大值為.所以的取值范圍是.故選：C10.已知，若數據1，2，3，，的中位數與平均數均為，則點（）A.在直線右下方，在直線右下方B.在直線左上方，在直線左上方C.在直線右下方，在直線左上方D.在直線左上方，在直線右下方【正確答案】A【分析】由題得數據2，3，從小到大的順序排列為，在的左邊，求出和，再利用線性規劃求解.【詳解】由題得數據2，3，從小到大的順序排列為，在的左邊，因為，所以點在直線右下方.由題得.因為，所以，所以.所以,所以點在直線右下方.故選：A11.函數在上的零點的個數為（）A.1 B.2 C.3 D.4【正確答案】B【分析】由，令，求得或，即可求解.【詳解】由令，即，解得或，因為，解得或，所以函數在上的零點的個數為2個.故選：B.12.若過點可作兩條直線與的圖象相切，則實數的取值范圍是（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】設切點為，寫出切線方程代點得，再轉化為零點問題求解.【詳解】由題得，設切點為，則切線方程為，代點得，所以.當時，顯然不成立；當時，，設.當時，，單調遞減，當時，，單調遞增.所以.又當時，，當時，.所以當即時，有兩解，即過點可作兩條直線與的圖象相切.故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.在中，若點滿足，設，則______.【正確答案】【分析】根據向量的線性運算可用表示，求出的值后可求的值.【詳解】因為，故，整理得到：，故，而，故為線段靠近三等分點，故不共線，故即故答案為.14.在正方體中，，分別為，的中點，則異面直線與所成角的余弦值為______.【正確答案】##0.2【分析】如圖，取的中點為，連接，可證或其補角為異面直線與所成的角，利用余弦定理可求線線角的余弦值.【詳解】如圖，取的中點為，連接，則由方體可得，故四邊形為平行四邊形，故而，故四邊形為平行四邊形，故，又，故四邊形為平行四邊形，故，故，故四邊形為平行四邊形，故，故或其補角為異面直線與所成的角.設正方體的棱長為，則，，故.故異面直線與所成角的余弦值為.故答案為.15.如圖，兩個正方形的邊長之比為，從圖中隨機取一點，則該點取自陰影部分的概率為______.【正確答案】【分析】根據面積型幾何概型即可求解.【詳解】設大正方形的邊長為2，小正方形的邊長為1，則大正方形的面積為，小正方形的面積為，總面積為,，，所以陰影部分的面積，故從圖中隨機取一點，則該點取自陰影部分概率為，故答案為.16.已知雙曲線的一條漸近線被圓截得的弦長為，則雙曲線的離心率為______.【正確答案】##【分析】先求漸近線方程，再根據弦長可求的關系，故可求雙曲線的離心率.【詳解】雙曲線的漸近線的方程為.圓的標準方程為：，故該圓的圓心為，半徑為2，而圓心到漸近線的距離為，故漸近線被該圓截得的弦長為，整理得到：或，而，故，故離心率為.故答案為.三、解答題：共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17～21題為必考題，每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據要求作答.（一）必考題：共60分.17.隨著農村電子商務體系和快遞物流配送體系加快貫通，以及內容電商、直播電商等模式不斷創新落地，農村電商呈現高速發展的態勢，下表為2017-2022年中國農村網絡零售額規模（單位：千億元），其中2017-2022年對應的代碼分別為1～6.年份代碼123456農村網絡零售額12.513.717.118.020.523.02（1）根據2017-2021年數據求農村網絡零售額規模關于年度代碼的線性回歸方程（，的值精確到0.01）；（2）若由回歸方程得到的估計數據與剩下的檢驗數據的誤差不超過1千億，則認為得到的回歸方程是“理想的”，試判斷（1）中所得回歸方程是否是“理想的”.參考公式：，.參考數據：，.【正確答案】（1）（2）回歸方程是“理想的”.【分析】（1）根據題設中的公式可求線性回歸方程.（2）根據（1）的結果可計算估計數據與剩下的檢驗數據的誤差，從而可判斷回歸方程是否是“理想”.【小問1詳解】，，故，故，故.【小問2詳解】當，由可得對應的估計數據為，此時，故回歸方程是“理想的”.18.在中，角，，所對的邊分別為，，，.（1）求；（2）若，，求的面積.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）根據正弦定理和兩角和的正弦公式，誘導公式即可求解；（2）根據余弦定理，面積公式，同角三角函數基本關系式即可求解.【小問1詳解】因為，根據正弦定理，，所以，因為在三角形中，則，所以，所以，則，即，所以，又因為在三角形中，則，所以，又因為有意義，則，所以，即.【小問2詳解】，，，由余弦定理得，所以，則，即，又，則，所以的面積為.19.如圖，在四棱錐中，底面為菱形，為正三角形，平面平面，.（1）證明：；（2）若為線段上靠近的三等分點，且平面，平面平面，平面，求的值.【正確答案】（1）證明見解析（2）【分析】（1）取的中點為，連接，可證平面，故可得.（2）設直線與平面交于點，連接，連接，設，則由面面平行的性質結合線線平行可得，再由題設中面面垂直可得平面，利用解直角三角形可求，故可求的值.【小問1詳解】取的中點為，連接，因為為正三角形，故，而為菱形，，故為等比三角形，故，而，平面，故平面，而平面，故.【小問2詳解】設直線與平面交于點，連接，因為平面平面，平面平面，平面平面，故，同理.由菱形可得，故，故，又，故，故.連接，設，則.由（1）可得，而平面平面，平面平面，平面，故平面，而平面，故，故.在中，，故，故，故，故20.已知函數，.（1）討論的單調性；（2）若對，恒有，求的取值范圍.【正確答案】（1）見解析；（2）.【分析】（1）求導，分與討論的單調性；（2）分與討論，求出的最小值，求解即可.【小問1詳解】的定義域為,，當時，,函數在上單調遞增；當時，令,得；令，得.所以在上單調遞減，在上單調遞增.綜上所述，當時，函數在上單調遞增；當時，在上單調遞減，在上單調遞增.【小問2詳解】由（1）可得，當,即時，在上單調遞增，所以.

因為對，恒有，所以,化簡可得,解得或，故.當,即時，在上單調遞減，在上單調遞增,所以,對，恒有，所以，即，因為，所以,不滿足.綜上所述，的取值范圍是.21.已知拋物線的焦點為，點，點在上，且是以為頂點的等腰三角形，其周長為10.（1）求拋物線標準方程；（2）若過點的直線與交于A，兩點，點與A，不共線，判斷是否存在實數，使得直線，與直線交于點，，且以線段為直徑的圓過原點，若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.【正確答案】（1）（2）存在，.【分析】（1）根據拋物線的標準方程和幾何關系即可求解；（2）設點后，根據長度關系和幾何關系即可求解.【小問1詳解】焦點為，三角形EMF為等腰三角形，所以E點的橫坐標為，而點E在拋物線上，所以E點的縱坐標為，所以

解得或-5(舍去),所以.【小問2詳解】設

則以為直徑的圓的圓心為，

若該圓經過原點,則原點到的距離為長度的一半,即,整理得，設點A坐標，點B坐標，直線直線方程為，聯立，所以，所以，，所以直線，又因為，所以，令得，即，同理可得由，所以，整理得，，又，，所以整理得，即，上式要對任意恒成立，則需要，所以.（二）選考題：共10分.請考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題計分.【選修4-4：坐標系與參數方程】22.在直角坐標系中，曲線的參數方程是（為參數），以坐標原點為極點，軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，直線的極坐標方程為，且.（1）求的普通方程及的直角坐標方程；（2）若把直線向上平移個單位長度后所得圖象恰好與曲線有一個公共點，求的值.【正確答案】（1）曲線C的普通方程為；直線l的直角坐標方程為（2）【分析】（1）曲線C的參數方程消參可得普通方程，直線l運用極坐標和直角坐標轉換公式即可化為直角坐標方程；（2）求出平移后的直線方程，與曲線方程聯立方程組，由方程組有1解，求實數a的值．【小問1詳解】由得，所以曲線C的普通方程為.由、得，由，得直線l的直