2023-2024學年內蒙古呼和浩特市高考數學（文）模擬試題（二模）一、選擇題（本題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中只有一項）1.已知集合，，則（）A或 B.C. D.或【正確答案】A【分析】根據不等式解出集合，在按照集合的補集與并集運算即可.【詳解】解：集合，所以或，則或.故選：A.2.已知復數滿足，則的虛部為（）A. B. C. D.2【正確答案】C【分析】計算，確定虛部得到答案.【詳解】，故虛部.故選：C3.若函數，則（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】根據函數的解析式由內到外可計算得出的值.【詳解】由題意可得，則.故選：C.4.已知等比數列的前3項和為168，，則（）A.14 B.12 C.6 D.3【正確答案】D【分析】設等比數列的公比為，易得，根據題意求出首項與公比，再根據等比數列的通項即可得解.【詳解】解：設等比數列的公比為，若，則，與題意矛盾，所以，則，解得，所以.故選：D.5.《九章算術·商功》中記載：“斜解立方，得兩塹堵，斜解塹堵，其一為陽馬，一為鱉臑，不易之率也．”我們可以翻譯為：取一長方體，分成兩個一模一樣的直三棱柱，稱為“氟堵”再沿新堵的一頂點與相對的棱剖開，得一個四棱錐和一個三棱錐，這個四棱錐稱為“陽馬”，這個三棱錐稱為“鱉臑”，某“陽馬”的三視圖如圖所示，則它最長側棱的值是（）A.1 B.2 C. D.【正確答案】D【分析】由三視圖得出四棱錐的直觀圖，再求出各個側棱長，即可得出答案．【詳解】設幾何體為四棱錐，如圖所示：由三視圖得，，，，因為平面，平面，所以，則，，.故最長的側棱長為，故選：D．6.已知向量，，若，且，則實數（）A.3 B. C.5 D.【正確答案】B【分析】計算，根據垂直得到，解得答案.【詳解】，，則，解得.故選：B7.函數在上的圖象大致為（）A. B.C. D.【正確答案】C【分析】根據函數的奇偶性，結合特殊值，即可排除選項.【詳解】首先，所以函數是奇函數，故排除D，，故排除B，當時，，故排除A，只有C滿足條件.故選：C8.若雙曲線：的右焦點與拋物線：的焦點重合，則實數（）A. B. C.3 D.-3【正確答案】D【分析】根據雙曲線的右焦點與拋物線的焦點重合知焦點在軸上，對雙曲線表達式進行變形，求出，再令即可求解.【詳解】雙曲線的右焦點與拋物線的焦點重合，所以雙曲線方程化為：，再轉化為：，所以，，所以，所以，所以平方得故選：D9.我國數學家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領先的成果，哥德巴赫猜想的內容是：每個大于2的偶數都可以表示為兩個素數的和，例如：4＝2＋2，6＝3＋3，8＝3＋5，那么在不超過12的素數中隨機選取兩個不同的數，其和為奇數的概率為（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】利用列舉法，結合古典概型的概率計算公式計算出所求概率.【詳解】不超過的素數為：，共個，從中隨機選取兩個，有：，共種，其中和為奇數的為：，共種，所以和為奇數的概率為.故選：B10.已知是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，則下列說法正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則【正確答案】D【分析】對A,B選項可能存在的情況，對C選項可能存在與相交的情況，對D選項根據垂直于同一平面的兩直線平行得，結合，則可判斷其正確.【詳解】對A選項，若，，則或，故A錯誤，對B選項，若，則或，故B錯誤；對C選項，若，，則與相交或，故C錯誤；對D選項，由于，所以，又,所以，故D正確，故選：D.11.設函數（,）的最小正周期為，且，則下列說法不正確的是A.的一個零點為 B.的一條對稱軸為C.在區間上單調遞增 D.是偶函數【正確答案】C【詳解】最小正周期為，，即，又則，，，，所以選項A正確；，所以選項B正確；其單調增區間滿足即，所以選項C不正確；為偶函數，選項D正確.故選.12.“對任意，”是“”的A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【正確答案】B【詳解】當時，，構造函數，則．故在單調遞增，故，則；當時，不等式等價于，構造函數，則，故在遞增，故，則．綜上所述，“對任意，”是“”的必要不充分條件，選B．考點：導數的應用．三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分，把正確答案填在答題卡的相應位置.）13.一個橢圓的長軸長是短軸長的2倍，則該橢圓的離心率為________.【正確答案】【分析】根據已知可知：，再代入離心率公式即可.【詳解】由題知：，即..故本題主要考查離心率的求法，根據題意找到關系式為解題的關鍵，屬于簡單題.14.有下列命題：①若“，則或”是真命題；②命題“，”的否定是“，”；③，為真命題，則a的最大值為2.其中正確的是______（填序號）.【正確答案】①③【分析】①由于原命題和逆否命題為等價命題，可利用逆否命題判定；②用全稱量詞的否定判定；③可利用恒成立問題，由基本不等式找到判定a的范圍.【詳解】對于①，若“，則或”的逆否命題為：若且，則，顯然逆否命題為真命題，由于原命題和逆否命題為等價命題，故該命題是真命題，故①為真命題；對于②，命題“，”的否定是“，”，故②為假命題；對于③，因為，為真命題，所以，因為，當且僅當，即時，等號成立，所以，即a的最大值為2，故③為真命題.故①③.15.一組數的分位數指的是滿足下列條件的一個數值：至少有的數據不大于該值，且至少有的數據不小于該值．直觀來說，一組數的分位數指的是，將這組數按照從小到大的順序排列后，處于位置的數．例如：中位數就是一個50%分位數.2023年3月，呼和浩特市為創建文明城市，隨機從某小區抽取10位居民調查他們對自己目前生活狀態的滿意程度，該指標數越接近10表示滿意程度越高．他們的滿意度指標數分別是8，4，5，6，9，8，9，7，10，10，則這組數據的分位數是________．【正確答案】6【分析】首先將數據從小到大排列，再根據百分位數計算規則計算可得.【詳解】依題意這個數據從小到大排列為、、、、、、、、、，又，所以這組數據的分位數是第個數.故16.根據市場調查結果，預測某種家用商品從年初開始的n個月內累積的需求量（萬件）近似地滿足關系式，按此預測，在本年度內，需求量超過1.5萬件的月份是______.【正確答案】7，8【分析】由n個月內累積的需求量求出每月的需求量，從而可得結果.【詳解】因為，所以當時，，當時，，化為，解得，可知當或8，需求量超過1.5萬件.故7，8.三、解答題（本大題共：6小題；共70分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）17.如圖；在直三棱柱中，，，，點D為AB的中點．（1）求證；（2）求三棱錐的體積．【正確答案】（1）證明見解析（2）8【分析】（1）首先由勾股定理逆定理證得，再由平面證得，從而證得平面，即可證明；（2）過C作，F為垂足，首先證得平面，再由計算體積即可．【小問1詳解】在中，因為，，，所以，所以為直角三角形，即，又因為在直三棱柱中，平面，且平面，所以，又，平面，所以平面，又因為平面，所以．【小問2詳解】在中，過C作，F為垂足，由直三棱柱得平面平面，且平面平面，，平面，所以平面，中，，又因為，所以．18.近年來，我國新能源汽車技術水平不斷進步、產品性能明顯提升，產銷規模連續六年位居世界首位.我國新能源汽車行業取得的成就離不開國家政策的支持，為支持我國新能源汽車行業發展，國家出臺了一系列政策，其中《新能源汽車產業發展規劃（2021－2035年）》提出，到2025年，新能源汽車新車銷售量達到汽車新車銷售總量的20％左右，力爭經過15年的持續努力，我國新能源汽車核心技術達到國際先進水平，質量品牌具備較強國際競爭力.某汽車城從某天開始連續的營業天數x與新能源汽車銷售總量y（單位：輛）的統計數據如表所示：從某天開始連續的營業天數x1020304050新能源汽車銷售總量y/輛6268758189（1）已知可用線性回歸模型擬合y與x的關系，請用相關系數加以說明（結果精確到0.001）；（2）求y關于x的線性回歸方程，并預測該汽車城連續營業130天的汽車銷售總量.參考數據：，，.參考公式：相關系數，線性回歸方程中斜率與截距的最小二乘估計公式分別為，.【正確答案】（1）答案見解析（2），142輛【分析】（1）根據相關系數的計算公式代入數據即可求解，（2）由最小二乘法的計算公式求解線性回歸方程，即可代入求解.【小問1詳解】，，，，則相關系數，因為y與x的相關系數近似為0.999，說明y與x的線性相關程度相當高，從而可用線性回歸模型擬合y與x的關系.【小問2詳解】由（1）得，，所以y關于x的線性回歸方程為.將代入，得，所以預測該汽車城連續營業130天的汽車銷售總量為142輛.19.在中，內角，，的對邊分別為，，，已知外接圓的半徑為1，且．（1）求角；（2）若，是的內角平分線，求的長度．【正確答案】（1）（2）【分析】（1）根據正弦定理和余弦定理得到，整理得到，得到答案.（2）根據正弦定理得到，，計算角度得到，得到答案.【小問1詳解】，則，即，則由余弦定理可得，所以．又，，所以，即，又，所以．【小問2詳解】由正弦定理可得：，解得，，，故為銳角，，在中，，是的內角平分線，故，，故．20.已知拋物線T：和橢圓C：，過拋物線T的焦點F的直線l交拋物線于A，B兩點，線段AB的中垂線交橢圓C于M，N兩點．（1）若F恰是橢圓C的焦點，求的值；（2）若，且恰好被平分，求的面積．【正確答案】（1）（2）【分析】（1）由橢圓方程求出，再由F恰是橢圓焦點，即可求得；（2）設直線，，，直線方程與橢圓方程聯立，根據根與系數關系得出和，設的中點，得出，，設，，且直線MN的斜率為，由點差法得出，代入得出，根據由點G在橢圓內及，得出，根據計算的面積即可．【小問1詳解】在橢圓中，，所以，由，得．【小問2詳解】設直線l：，，，聯立方程，消去x得，，則，設的中點，則，，設，，則直線MN的斜率為，，，相減得到，即，即，解得，由點G在橢圓內，得，解得，因為，所以p值是1，所以面積．21.已知函數，（注：是自然對數的底數）．（1）當時，求曲線在點處的切線方程；（2）若只有一個極值點，求實數a的取值范圍．【正確答案】（1）（2）【分析】（1）根據導數的幾何意義求出在的切線斜率，即可得出切線方程；（2）由只有一個極值點，得出只有一個根，即只有一個解，根據的值域即可求出實數a的取值范圍，再進行驗證即可．【小問1詳解】當時，，，所以在處的切線斜率為，又，所以在處的切線方程為，即，所以在處的切線方程為．【小問2詳解】若只有一個極值點，則只有一個根，所以方程只有一個根，即只有一個解，即與只有一個交點，因為，所以，所以，所以，當時，，當時，，所以只有一個極小值點，故a的取值范圍為．請考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分，作答時用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對應的題號涂黑.【選修4-4坐標系與參數方程】22.在直角坐標系中，曲線的參數方程為（為參數）．以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為．（1）求曲線的普通方程與曲線的直角坐標方程；（2）設直線：（為參數）與曲線，的交點從上到下依次為，，，，求的值．【正確答案】（1），（2）【分析】（1）根據將曲線參數方程化為普通方程，根據，將曲線的極坐標方程化為直角坐標方程；（2）將直線的參數方程分別代入曲線、的普通方程，根據直線的參數方程中參數的幾何意義計算可得.【小問1詳解】由曲線的參數方程為（為參數），又，所以曲線的普通方程為．曲線的極坐標方程為，有，由得曲線的直角坐標方程為．【小問2詳解】將直線：（為參數）代入曲線的方程得，即．解得兩根為，