2023-2024學年遼寧省高三考前高考數學模擬試題（一模）一、單選題1．設p：，q：，則p是q的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【正確答案】B【分析】解一元二次不等式、分式不等式求對應x的范圍，根據充分、必要性定義判斷p、q的關系.【詳解】由，則，由，則，即，故，所以p是q的必要不充分條件.故選：B2．已知x，y的對應值如下表所示：x02468y111若y與x線性相關，且回歸直線方程為，則（

）A．2 B．3 C．4 D．5【正確答案】B【分析】根據回歸直線過樣本中心點求解即可.【詳解】，又回歸直線方程為，所以，解得.故選：B.3．（

）A． B．C． D．【正確答案】A【分析】利用復數的乘方運算以及其三角形式的運算即可得到答案.【詳解】，故選：A.4．已知正項數列的前n項和為，且，，則（

）A． B．C． D．【正確答案】C【分析】由關系且可得，利用累加法、等比數列前n項和公式求.【詳解】由題設，則，又都為正項，則，故，所以，所以，故.故選：C5．2023年的五一勞動節是疫情后的第一個小長假，公司籌備優秀員工假期免費旅游．除常見的五個旅游熱門地北京、上海、廣州、深圳、成都外，淄博燒烤火爆全國，山東也成為備選地之一．若每個部門從六個旅游地中選擇一個旅游地，則甲、乙、丙、丁四個部門至少有三個部門所選旅游地全不相同的方法種數共有（

）A．1800 B．1080 C．720 D．360【正確答案】B【分析】分四個部門所選旅游地都不相同、有兩個部門選同一個旅游地，其它兩個部門在其它五個旅游地各選一個，應用排列組合數求不同情況下的方法數，加總即可.【詳解】若四個部門所選旅游地都不相同，則種，若有兩個部門選同一個旅游地，余下兩個部門在其它五個旅游地各選一個，所以種，綜上，甲、乙、丙、丁部門至少有三個部門所選旅游地全不相同的方法種數共有種.故選：B6．已知函數滿足，若，且，則的值為（

）A． B． C． D．【正確答案】D【分析】根據，可得函數關于對稱，從而可求出函數的解析式，再由三角恒等變換計算的值.【詳解】因為，所以，所以函數關于對稱，所以，則，又，所以，所以，由，得，由，得，所以，所以，，，因為，所以.故選：D.7．已知向量、和單位向量滿足，，則的最大值為（

）A． B． C．2 D．【正確答案】C【分析】設，再分別設，，根據題意可得軌跡方程，再根據數量積公式數形結合分析即可.【詳解】設，，由可得，化簡可得，即.設，則由，可得，故的軌跡為以為焦點，的橢圓，其方程為.設夾角為，則，由圓與橢圓的性質可得，，，，故當同向，均與軸負同向時，取得最大值.故選：C.

8．設O為坐標原點，，是雙曲線C：的左、右焦點，過作圓O：的一條切線，切點為T．線段交C于點P，若的面積為，且，則C的方程為（

）A． B．C． D．【正確答案】A【分析】由雙曲線定義，的面積，直角△中的銳角三角函數和△中的正弦定理、余弦定理建立，，之間的關系方程，再求解即可.【詳解】

由圓的方程知，，又，在直角△中，，且.在△中，則，故.在△中，，由正弦定理，，則，∴由雙曲線定義，，又，，則，∴，即.∵為直角，易知為鈍角，由知，，在△中，由余弦定理，，∴，∴，整理得，∴.又，將代入，解得.∴雙曲線C的方程.故選：A關鍵點點睛：建立起，，之間的關系，通過方程組進行求解.作為選擇題，可以適當運用解題技巧：當得到，之間的第一個關系時，可通過將選項中的，依次代入檢驗，快速選出正確選項.二、多選題9．已知，則（

）A．展開式中所有項的系數和為 B．展開式中二項系數最大項為第1012項C． D．【正確答案】AC【分析】選項A，令，由此即可求解；選項B，根據的值以及二項式系數的性質即可求解；選項C，分別令，，建立方程即可求解；選項D，先對已知關系式求導，然后令，即可求解.【詳解】選項A，令，則展開式的各項系數和為，A選項正確；選項B，因為，所以展開式中二項式系數最大項為第1012項與第1013項，B選項錯誤；選項C，令，則，令，則，所以，C選項正確；選項D，已知關系式兩邊同時取導，則，令，則，D選項錯誤；故選：AC.10．已知點M，N在圓O：上運動，點，且，Q為線段M，N的中點，則（

）A．過點P有且只有一條直線與圓O相切B．C．點Q在直線上運動D．的最大值為【正確答案】BD【分析】首先判斷與圓的位置關系，數形結合判斷A、B；再應用兩點距離、中點公式及已知求得在直線上判斷C；由幾何法求得，結合點線距離求的最大值.【詳解】由，故在圓外，故過點P有兩條直線與圓O相切，A錯；

由為線段的中點，為圓的弦，故，B對；由，又都在圓上，所以，即，而，，所以，即點在直線上，C錯；由，當最小時，最大，而最小值為到的距離為，此時Q在圓的內部，所以，D對.故選：BD11．在棱長為2的正方體中，分別為棱，，的中點，為側面的中心，則（

）A．直線平面B．直線平面C．三棱錐的體積為D．三棱錐的外接球表面積【正確答案】BCD【分析】建立空間直角坐標系，寫出各點的坐標，得出各直線的方向向量和平面的法向量，求出相應三棱錐的體積和外接球的表面積，即可得出結論.【詳解】由題意，在正方體中，棱長為2，P，E，F分別為棱，，BC的中點，為側面的中心，建立空間直角坐標系如下圖所示，

則,,A項，

，設面的法向量為，則，即解得：，當時，，∵，∴直線與面不平行，A錯誤；B項，

設面的法向量為，則，即解得：，當時，，∵，∴直線與平面平行，B正確；C項，

，C正確；D項，

如圖，三棱錐恰好在長方體上，且為體對角線，

∴為三棱錐外接球的直徑，由幾何知識得，∴三棱錐的外接球表面積為，D正確；故選：BCD.12．已知時，，則（

）A．當時，， B．當時，C．當時， D．當時，【正確答案】BCD【分析】本題考慮到不等式可以用，，這3個函數進行表示，可將不等式轉化為這三個函數在時的大小位置關系.可結合，進行初步判斷函數的大小關系，結合的變化對，的相對位置的變化影響可解得本題.【詳解】設，，，由得，所以時，或.A和B選項：當時，，設，則，當時，所以在上單調遞增，所以，即當時，，故.設，則，當時，，則在上單調遞減，當時，，則在上單調遞減.故，即，所以有，即，.

設，由題意可知，，，當時，，在上單調遞減，當時，，在單調遞增，所以，得，由得，，當時，由得，則，故B正確，取，，，則，故A錯誤；C和D選項：當時，由題意，恰為，兩交點，所在直線，

則則，下列證明對均不等式：，，不妨設，先證,即證,令,設,則,所以在遞減,而,因此當時,恒成立,即成立.再證,即證令,則,所以在遞增,而,因此當時,恒成立,即成立.由對數平均不等式知，.故，故CD正確故選：BCD.關鍵點點睛：本題考察用導數解決不等式問題，本題解題的關鍵是從不等式中能抽象出來，，這三個函數，然后根據不等式得到三個函數的圖象在不同位置時的聯系進而去解決問題.三、填空題13．2023年國家公務員考試筆試于1月8日結束，公共科目包括行政職業能力測驗和申論兩科，滿分均為100分，行政職業能力測驗中，考生成績X服從正態分．若，則從參加這次考試的考生中任意選取3名考生，恰有2名考生的成績高于85的概率為______．【正確答案】/【分析】先根據正態分布求考生的成績高于85的概率，再根據獨立事件求恰有2名考生的成績高于85的概率即可.【詳解】由正態分布可得：考生的成績高于85的概率，所以恰有2名考生的成績高于85的概率.故答案為.14．已知定義域為R的偶函數滿足，且當時，，若將方程實數解的個數記為，則______．【正確答案】【分析】由條件分析得函數的周期性，結合對稱性作出草圖，分析兩函數的交點個數，得出數列通項，裂項相消求和即可.【詳解】因為定義域為R的偶函數滿足，所以，則，所以函數是以為周期得周期函數，方程的實數解個數，即函數的交點個數，不難發現也是偶函數，所以兩函數的交點是關于縱軸對稱的，這里只分析的情況.結合條件作出兩函數簡要圖象如下：當時，此時有兩個交點，即，當時，此時有4個交點，即，當時，此時有6個交點，即，以此類推，可知，故，所以，故答案為.15．在中，若，則的最大值為______．【正確答案】【分析】先由題證明得，再化簡得，再利用三角函數的圖像和性質求出最大值.【詳解】首先證明：在△ABC中，有,在△ABC中，由余弦定理得，由正弦定理得，令，上述兩式相加得所以=,當即時取等.故答案為.16．斜三棱柱中，平面平面，若，，，在三棱柱內放置兩個半徑相等的球，使這兩個球相切，且每個球都與三棱柱的三個側面及一個底切，則三棱柱的高為______．【正確答案】/【分析】根據給定條件，探求兩個球的球心在平面上的投影確定的直線平行于直線，再建立空間直角坐標系，求出球的半徑即可作答.【詳解】在斜三棱柱中，與平切的球的球心為，與平切的球的球心為，因為球、球與平面都相切，令切點分別這，有，又球、球與平面都相切，則平面，又平面，于是平面，而平面，平面平面，因此，且，在平面內過點作，在平面過點作，因為平面平面，平面平面，則平面，以點作原點，射線的方向分別為軸的正方向建立空間直角坐標系，如圖，

在中，，，則，的方向向量，的方向向量，由，得的方向向量，設平面的法向量，則，令，得，設平面的法向量，則，令，得，令球的半徑為，設點，則，由，得，顯然點到平面的距離等于等腰底邊上的高，即有，由，得，代入，解得，，線段在軸上的投影為，顯然三棱柱的高等于點到平面的距離，到平面的距離與在軸上的投影的和，所以三棱柱的高為.故方法點睛：求點到平面的距離可以利用幾何法，作出點到平面的垂線段求解；也可以用向量法，求出平面的法向量，再求出這一點與平面內任意一點確定的向量在法向量的投影即可.四、解答題17．已知中，，，(1)求；(2)若點D為BC邊上靠近點B的三等分點，求的余弦值．【正確答案】(1)(2)【分析】（1）由商數關系、和角正弦公式及三角形內角和性質可得，進而有，由和差角余弦公式得，同角平方關系及三角形內角性質求各角大小，即可得結果；（2）取，應用余弦定理求，進而求的余弦值.【詳解】（1）由題意，又，故，而，且，所以，，所以或（舍），故，且，則，，故.（2）不妨取，則，，

.18．在2005年世青賽中，被稱作“超白金一代”的中國男足U23代表隊打出了中國男足在世界舞臺上的最好表現．球隊的戰術核心，來自沈陽的陳濤入選了奏事最佳陣容．世青賽的賽制分為小組賽、淘汰賽兩個階段．小組賽中，參賽的32支代表隊被分為8各小組，每個小組4支球隊，按照單循環賽制選出兩支球隊進入淘汰賽．淘汰賽中16支球隊捉對廝殺，敗者淘汰勝者晉級，通過4輪比賽決出最后的冠軍．(1)已知在小組賽中，每贏一場記3分，打平一場記1分，輸一場記0分．小組賽階段中國隊與巴拿馬、土耳其、烏克蘭三支球隊分在同一組．首戰中中國隊驚險戰勝了歐洲亞軍土耳其隊，在小組賽占據了優勢．面對后兩場比賽的對手烏克蘭隊和巴拿馬對，根據賽前球探報告分析，中國隊都有實力優勢，可以近似認為后兩場比賽中國的獲勝的概率都為0.5，打平的概率都為0.2，輸球的概率都為0.3．設中國隊三場小組賽之后的總積分為隨機變量X，求出其分布列和期望．(2)10號隊員陳濤作為中國隊的進攻核心，他的表現對中國隊而言舉足輕重．過往數據表示，在所有陳濤出場并且有進球或者助攻的比賽中，中國隊贏得了其中80%的場次，陳濤在其代表中國隊出場的40場比賽中，有30場比賽完成了進球或者助攻．在本屆比賽中，中國隊在小組賽中順利出線，淘汰賽首輪中對陣世界足壇的傳統強隊德國隊．已知在淘汰賽對陣德國隊的比賽中，陳濤代表中國隊出場比賽，雖然經過全隊不懈努力，仍然不敵強大的德國隊，遺憾告別世界杯．那么，若以過往的數據估計概率，請估計陳濤在本場比賽貢獻進球或者助攻的概率．【正確答案】(1)分布列見解析，期望為分；(2).【分析】（1）求出的可能值，及各個值對應的概率，列出分布列并求出期望作答.（2）利用全概率公式求出中國隊獲勝的概率，再利用條件概率公式求解作答.【詳解】（1）依題意，隨機變量可取值為：3，4，5，6，7，9，,，所以的分布列為：3456790.090.120.040.30.20.25的期望為分（2）記事件為陳濤取得進球或者助攻，則為末進球且未助攻，則，，事件為中國隊獲勝，則，，，，所以，即在中國隊輸給德國隊的前提下，陳濤進球或助攻的概率為.19．已知數列滿足，．(1)計算：，猜想數列的通項公式，并證明你的結論；(2)若，，求k的取值范圍．【正確答案】(1)，，，，，證明見解析(2)【分析】（1）根據遞推式寫出對應項，并猜測通項公式，應用數學歸納法證明即可；（2）利用作差法求的最小項，根據恒成立求參數范圍.【詳解】（1）由題設，，，，猜測，數學歸納法證明如下：由上及已知有均滿足，假設，成立，則，滿足上式；綜上，且.（2）取，故，當時，當時，且為最小項，所以有，則.20．已知直角梯形形狀如下，其中，，，．

(1)在線段CD上找出點F，將四邊形沿翻折，形成幾何體．若無論二面角多大，都能夠使得幾何體為棱臺，請指出點F的具體位置（無需給出證明過程）．(2)在（1）的條件下，若二面角為直二面角，求棱臺的體積，并求出此時二面角的余弦值．【正確答案】(1)或為靠近點的三等分點；(2)；.【分析】（1）延長交于點，連接并延長交于，翻折后證明平面平面即可推理作答.（2）根據給定條件，證明平面，再利用錐體的體積公式結合割補法求出體積，建立空間直角坐標系求出面面角的余弦作答.【詳解】（1）在直角梯形中，延長交于點，連接并延長交于，如圖，

，，，于是，則，為靠近點的三等分點，將四邊形沿翻折，即將沿翻折，無論二面角多大，所成幾何體均為三棱錐，顯然平面平面，于是平面，同理平面，而平面，因此平面平面，從而幾何體是棱錐被平行于底面的平面所截，截面和底面間的部分，即幾何體是棱臺，所以無論二面角多大，都能夠使得幾何體為棱臺，，為靠近點的三等分點.（2）翻折前，將,,延長一倍，三線交予點，在等腰直角三角形中，，在棱臺中，，又二面角為直二面角，平面，即三棱錐的體積為，又三棱錐的體積，則有棱臺的體積為，在線段上取，有，四邊形為平行四邊形,，又面，則，以為原點，為,,的單位向量建立空間直角坐標系，則，，，取平面的法向量為，，令，取，取面的法向量，則，令，得，顯然二面角的平面角為銳角，設為，，所以二面角的余弦值為.

21．已知橢圓C：與y軸交于，兩點，橢圓上異于A，B兩點的動點D到A，B兩點的斜率分別為，，已知．(1)求橢圓C的方程；(2)過定點與動點D的直線，與橢圓交于另外一點H，若AH的斜率為，求的取值范圍．【正確答案】(1)(2)【分析】（1）取在橢圓上，代入得，再計算的表達式即可求出值；（2）取的方程為,其中，聯立橢圓方程得，設，則得到韋達定理式，計算得，再計算，再設函數利用導數即可求出范圍.【詳解】（1）取在橢