2023-2024學年湖南省岳陽市高三下學期新高考適應性測試數學模擬試題一、單選題1．若復數的實部與虛部相等，則實數a的值為（

）A．-3 B．-1 C．1 D．3【正確答案】A【分析】利用復數的除法，將復數表示為一般形式，然后利用復數的實部與虛部相等求出實數的值.【詳解】解：因為復數的實部與虛部相等，所以，解得故實數a的值為.故選：A2．已知：，，：，若為真，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．【正確答案】A【分析】利用基本不等式求出命題為真時的取值范圍，再解一元二次不等式得到，最后根據為真，求出參數的取值范圍；【詳解】解：若為真：即，，因為，所以，當且僅當，即時取等號，所以；因為，所以，解得因為為真，所以為真且為真，所以解得，即故選：A3．空間中，是三個互不重合的平面，是一條直線，則下列命題中正確的是A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則【正確答案】C【詳解】若l∥α，l∥β，則α與β可能平行也可能相交(此時交線與l平行)，故A錯誤；若，，則l∥α或l?α，故B錯誤；若，，則l與β可能平行也可能相交，故D錯誤；若l∥β，則存在直線m?β，使得l∥m，又由l⊥α可得m⊥α，故α⊥β，故C正確；本題選擇C選項.4．某地病毒爆發，全省支援，需要從我市某醫院某科室的名男醫生(含一名主任醫師)?名女醫生(含一名主任醫師)中分別選派名男醫生和名女醫生，則在有一名主任醫師被選派的條件下，兩名主任醫師都被選派的概率為（

）A． B． C． D．【正確答案】A【分析】設事件A表示“有一名主任醫師被選派”，事件B表示“兩名主任醫師都被選派”，則由題意可知所求為，代入條件概率的公式計算即可.【詳解】設事件A表示“有一名主任醫師被選派”，事件B表示“兩名主任醫師都被選派”，則“在有一名主任醫師被選派的條件下，兩名主任醫師都被選派”的概率為.故選：A.5．已知函數為偶函數，且當時，，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【正確答案】D【分析】利用導數判斷函數的單調性，在根據偶函數性質得到全局的單調性，最后根據單調性脫去函數記號，解不等式來處理.【詳解】當時，，所以，因為，所以，即，所以函數在上單調遞增，又因為函數為上的偶函數，所以函數在上單調遞減．則不等式，即等價于，解得或．故選：D．6．已知等差數列的前項和為，若，，下列結論正確的是（

）A．數列是遞增數列 B．C．當取得最大值時， D．【正確答案】B【分析】根據等差數列求和公式及等差中項，得到，，，進而得到數列是遞減數列，作差法比較出，進而判斷出答案.【詳解】，所以，，所以，所以且，所以數列是遞減數列，且當時，取得最大值.故B正確，AC錯誤.因為，所以，故D錯誤.故選：B.7．在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，，，若點M滿足，且∠MAB＝∠MBA，則△AMC的面積是（

）A． B． C． D．【正確答案】D【分析】由正弦定理及誘導公式結合可得.由，結合可得，.后由∠MAB＝∠MBA，結合正弦定理，可得，即可得面積【詳解】由正弦定理及誘導公式，可得：，化簡得：，又，則.又，則，.因，則，，則在MAC中，，解之.則，則MAC中，邊對應高，則MAC面積．8．國家體育場“鳥巢”的鋼結構鳥瞰圖如圖1所示，內外兩圈的鋼骨架是離心率相同的橢圓；某校體育館的鋼結構與“鳥巢”相同，其平面圖如圖2所示，若由外層橢圓長軸一端點和短軸一端點分別向內層橢圓引切線，，且兩切線斜率之積等于，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【正確答案】D【分析】設內層橢圓方程為，由題可知外層橢圓可設成，再根據直線與橢圓的位置關系可求出，即可利用求出離心率．【詳解】設內層橢圓方程為,因為內外橢圓離心率相同，外層橢圓可設成，設切線AC的方程為,與聯立得：，由,則,同理可得,,則,因此．故選：D.二、多選題9．已知正實數a，b滿足，則（

）A． B． C． D．【正確答案】ABC【分析】利用基本不等式可得A,B,D正誤，利用1的妙用可得C的正誤.【詳解】對于A，因為，所以，當且僅當，即時，取到等號，故A正確；對于B，，當且僅當，即時，取到等號，故B正確；對于C，，當且僅當，即時，取到等號，故C正確；對于D，，所以，當且僅當，即時，取到等號，故D錯誤．故選：ABC.10．關于函數，下列結論正確的是（）A．函數的最大值是B．函數在上單調遞增C．函數的圖象可以由函數的圖象向右平移個單位得到D．若方程在區間有兩個實根，則【正確答案】BCD【分析】利用三角恒等變換化簡函數的解析式為，利用正弦型函數的最值可判斷A選項；利用正弦型函數的單調性可判斷B選項；利用三角函數圖象變換可判斷C選項；數型結合可判斷D選項.【詳解】.對于A：函數的最大值是，A選項錯誤；對于B：時，，是正弦函數的遞增區間，故B選項正確；對于C：函數的圖象向右平移個單位得到函數的圖象，即函數的圖象，C選項正確；對于D：當時，，令，則，由題意可知，直線與函數在上的圖象有兩個交點，如下圖所示：當時，，由圖可知，當時，直線與函數在上的圖象有兩個交點，因此，實數的取值范圍是，D對.故選：BCD.11．在長方體中，，E是棱的中點，過點B，E，的平面交棱AD于點F，點P為線段上一動點，則（

）A．三棱錐的體積為定值B．存在點P，使得C．直線PE與平面所成角的正切值的最大值為D．三棱錐外接球表面積的取值范圍是【正確答案】ACD【分析】對于選項A，利用面面平行的性質，得到平面，從而可判斷出選項A正確；對于選項B，假設存在，可推出平面，從而判斷選項B錯誤；對于選項C，利用線面角的定義，找出線面角為，從而在中，求出的值，進而判斷選項C正確.對于選項D，利用球的截面圓的幾何性質，找出球心在直線上，利用，建立方程，從而求出球的表面積的取值范圍.【詳解】對于A，因為平面平面，根據面面平行的性質，平面與這兩個平面的交線互相平行，即，因為面，面，所以平面，又點P在線段上,所以三棱錐的體積為定值，故A正確；對于B，若存在點P，使得，因為，則，因為，平面,所以平面，與題意矛盾，故B錯誤；對于C，如圖1所示，取BC的中點Q，連接，則點P在平面內的射影在上，直線PE與平面所成角即，且有由已知可得，最小為，所以的最大值為，故C正確．對于D，如圖2，取的中點G，連接AG，分別取BE，AG的中點，連接，因為是等腰直角三角形，所以三棱錐外接球的球心O在直線上，設三棱錐外接球的半徑為R，則，所以，設，則，所以,當點P與F重合時，取最小值，此時，三棱錐外接球的表面積為，當點P與重合時，取最大值，此時，三棱錐外接球的表面積為，故D正確．故選：ACD12．已知雙曲線與橢圓的焦點相同，雙曲線的左右焦點分別為，過點的直線與雙曲線的右支交于兩點，與軸相交于點，的內切圓與邊相切于點.若，則下列說法正確的有（

）A．雙曲線的漸近線方程為B．過點存在兩條直線與雙曲線有且僅有一個交點C．點在變化過程中，面積的取值范圍是D．若，則的內切圓面積為【正確答案】AC【分析】結合雙曲線的定義、圓的切線長定理求得，從而求得雙曲線的方程，結合雙曲線的漸近線、直線和雙曲線的交點、焦點三角形的性質、三角形內切圓面積等知識對選項進行分析，從而確定正確答案.【詳解】由題可得，因為的內切圓與邊相切于點，設的內切圓與分別切于，如圖，由切線長定理可知，，所以，，所以雙曲線的方程為，對A，由題可得雙曲線的漸近線方程為，故A正確；對B，由雙曲線的性質可知過點的直線與漸近線平行時與雙曲線有且僅有一個公共點，又過點的直線斜率不存在時，即與雙曲線有且僅有一個公共點，故過點的直線存在三條直線與雙曲線有且僅有一個交點，故B錯誤.對C，因為面積為，因此只需求的范圍即可，可取臨界位置，當與漸近線平行時，不妨設，令可得，當與另一條漸近線平行時，不妨設，聯立雙曲線方程，解得，即，所以，令可得，所以，，故C正確；對D，當時，則，，解得，故的內切圓的周長為，的面積為，由題可知，故，，即，所以，，設的內切圓的半徑為，則，即，的內切圓的面積為，故D錯誤.故選：AC.圓錐曲線中最值與范圍問題的常見求法有：（1）幾何法：若題目的條件和結論能明顯體現幾何特征和意義，則考慮利用圖形性質來解決；（2）代數法：若題目的條件和結論能體現一種明確的函數關系，則可首先建立目標函數，再求這個函數的最值．在利用代數法解決最值與范圍問題時常從以下幾個方面考慮：①利用判別式來構造不等關系，從而確定參數的取值范圍；②利用隱含或已知的不等關系建立不等式，從而求出參數的取值范圍；③利用基本不等式求出參數的取值范圍；④利用函數的值域的求法，確定參數的取值范圍．三、填空題13．已知向量，滿足，，，則___________．【正確答案】【分析】由得，展開可得關于的方程，解方程即得答案.【詳解】因為，所以，即，即，因為，所以可解得.故14．的展開式中，的系數為______．【正確答案】30【分析】建立組合模型求解【詳解】表示5個因式的乘積，在這5個因式中，有2個因式選，其余的3個因式中有一個選，剩下的兩個因式選，即可得到含的項，即可算出答案．表示5個因式的乘積，在這5個因式中，有2個因式選，其余的3個因式中有一個選，剩下的兩個因式選，即可得到含的項，故含的項系數是.故3015．如圖，點是拋物線的焦點，點分別在拋物線和圓的實線部分上運動，且總是平行于軸，則周長的取值范圍是_______.【正確答案】【分析】求出拋物線的焦點，準線方程為，三角形周長轉化為，求出范圍可解.【詳解】拋物線的焦點，準線方程為，圓的圓心，三角形周長為：周長的取值范圍是故利用拋物線的定義解決問題時，應靈活地進行拋物線上的點到焦點距離與其到準線距離間的等價轉化．“看到準線應該想到焦點，看到焦點應該想到準線”，這是解決拋物線距離有關問題的有效途徑．四、雙空題16．我國民間剪紙藝術在剪紙時經常會沿紙的某條對稱軸把紙對折.現有一張半徑為的圓形紙，對折次可以得到兩個規格相同的圖形，將其中之一進行第次對折后，就會得到三個圖形，其中有兩個規格相同，取規格相同的兩個之一進行第次對折后，就會得到四個圖形，其中依然有兩個規格相同，以此類推，每次對折后都會有兩個圖形規格相同.如果把次對折后得到的不同規格的圖形面積和用表示，由題意知，，則________；如果對折次，則________.【正確答案】【分析】首先根據題意得到，再計算即可；根據題意得到，再利用分組求和法求和即可.【詳解】因為，，所以，所以..故；五、解答題17．已知函數的部分圖象如圖所示.(1)求的最小正周期及解析式；(2)將函數的圖象向右平移個單位長度得到函數的圖象，求函數在區間上的最大值和最小值.【正確答案】(1)，(2).【分析】（1）由圖象可知，相鄰的對稱中心和對稱軸距離相差，再代入關鍵點可得解析式；（2）根據圖象的變換得到解析式，再根據正弦函數的圖象與性質可得其在區間上最值.【詳解】（1）由圖象可知的最大值為1，最小值-1，故；又∴，將點代入，∴，∵∴故，.（2）由的圖象向右平移個單位長度得到函數∵∴∴當時，即，；當時，即，故18．已知數列滿足.(1)求的通項公式；(2)已知數列的前20項和.【正確答案】(1)(2)【分析】（1）根據得到，然后兩式相減得到，最后驗證時是否成立，即可得到；（2）分奇偶項求和，奇數項用等差數列求和公式求和，偶數項用裂項相消的方法求和，最后相加即可.【詳解】（1）當時，可得，當時，，，上述兩式作差可得，因為滿足，所以的通項公式為.（2），所以，.所以數列的前20項和為.19．如圖，在四棱錐P—ABCD中，已知PC⊥底面ABCD，AB⊥AD，AB∥CD，AB＝2，AD＝CD＝1，E是PB上一點．(1)求證：平面EAC⊥平面PBC；(2)若E是PB的中點，且二面角P—AC—E的余弦值是，求直線PA與平面EAC所成角的正弦值．【正確答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）設AB的中點為G，連接CG，易得四邊形ADCG為邊長為1的正方形，得到，再由，從而證得平面PBC，再利用面面垂直的判定定理證明；（2）建立空間直角坐標，設，易知為平面PAC的一個法向量，再求得平面EAC的一個法向量，由，求得，從而得到求解.【詳解】（1）證明：如圖所示：因為PC⊥底面ABCD，AC底面ABCD，所以，又，在中，，設AB的中點為G，連接CG，則四邊形ADCG為邊長為1的正方形，所以，且，則，所以，又，所以平面PBC，又平面EAC，所以平面EAC⊥平面PBC；（2）建立如圖所示空間直角坐標系：則，設，則，所以，因為，所以平面PAC，則為平面PAC的一個法向量，設平面EAC的一個法向量為，則，即，令，則，所以，解得，則，設直線PA與平面EAC所成的角為，則，所以直線PA與平面EAC所成的角的正弦值為.20．汽車尾氣排放超標是全球變暖、海平面上升的重要因素．我國近幾年著重強調可持續發展，加大在新能源項目的支持力度，積極推動新能源汽車產業發展，某汽車制造企業對某地區新能源汽車的銷售情況進行調查，得到下面的統計表：年份20172018201920202021年份代碼12345銷量萬輛1012172026(1)統計表明銷量與年份代碼有較強的線性相關關系，求關于的線性回歸方程，并預測該地區新能源汽車的銷量最早在哪一年能突破50萬輛；(2)為了解購車車主的性別與購車種類（分為新能源汽車與傳統燃油汽車）的情況，該企業心隨機調查了該地區200位購車車主的購車情況作為樣本其中男性車主中購置傳統燃油汽車的有名，購置新能源汽車的有45名，女性車主中有20名購置傳統燃油汽車．①若，將樣本中購置新能源汽車的性別占比作為概率，以樣本估計總體，試用（1）中的線性回歸方程預測該地區2023年購置新能源汽車的女性車主的人數（假設每位車主只購買一輛汽車，結果精確到千人）；②設男性車主中購置新能源汽車的概率為，將樣本中的頻率視為概率，從被調查的所有男性車主中隨機抽取5人，記恰有3人購置新能源汽車的概率為，求當為何值時，最大．附：為回歸方程，，．【正確答案】(1)，2028年(2)①萬人；②【分析】（1）根據所給數據，結合線性回歸的公式求解方程，再令求解即可；（2）①計算該地區購置新能源汽車的車主中女性車主的頻數與總人數求解即可；②根據二項分布的概率公式可得，再求導分析的最大值即可.【詳解】（1）解：由題意得，，，．所以，．所以關于的線性回歸方程為，令，得，所以最小的整數為12，，所以該地區新能源汽車的銷量最早在2028年能突破50萬輛．（2）解：①由題意知，該地區200名購車者中女性有名，故其中購置新能源汽車的女性車主的有名．所購置新能源汽車的車主中，女性車主所占的比例為．所以該地區購置新能源汽車的車主中女性車主的概率為．預測該地區2023年購置新能源汽車的銷量為33萬輛，因此預測該地區2020年購置新能源汽車的女性車主的人數為萬人②由題意知，，則當時，知所以函數單調遞增當時，知所以函數單調遞減所以當取得最大值．此時，解得，所以當時取得最大值．21．已知、分別為橢圓的左、右焦點，M為上的一點.(1)若點M的坐標為，求的面積；(2)若點M的坐標為，且直線與交于不同的兩點A、B，求證：為定值，并求出該定值；(3)如圖，設點M的坐標為，過坐標原點O作圓（其中r為定值，且）的兩條切線，分別交于點P，Q，直線OP，OQ的斜率分別記為，.如果為定值，求的取值范圍，以及取得最大值時圓M的方程.【正確答案】(1)；(2)證明見解析，0；(3)，圓M的方程為或.【分析】（1）將點代入求出，再求出左、右焦點即可求解.（2）將直線與橢圓方程聯立，利用韋達定理以及向量數量積的坐標運算即可求解.（3）設出直線:，直線:，利用點到直線的距離公式可得、是關于的方程的兩實根，根據題意為定值，可得，，設，，將直線:，直線:與橢圓聯立，求出，即求.【詳解】（1）由已知條件得，因為，則，又，因