2023-2024學年湖北省襄陽市高三下學期高考適應性考試數學試題一、單選題1．“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【正確答案】C【分析】由即可得出答案【詳解】因為所以“”是“”的充要條件故選：C本題考查的是充要條件的判斷，較簡單.2．復數的虛部為（

）A． B．2 C． D．【正確答案】B【分析】根據復數的乘法運算，即可求得答案.【詳解】由于，所以的虛部為2，故選：B3．部分與整體以某種相似的方式呈現稱為分形，一個數學意義上分形的生成是基于一個不斷迭代的方程式，即一種基于遞歸的反饋系統，分形幾何學不僅讓人們感悟到科學與藝術的融合，數學與藝術審美的統一，而且還有其深刻的科學方法論意義，如圖，由波蘭數學家謝爾賓斯基1915年提出的謝爾賓斯基三角形就屬于一種分形，具體作法是取一個實心三角形，沿三角形的三邊中點連線.將它分成4個小三角形，去掉中間的那一個小三角形后，對其余3個小三角形重復上述過程逐次得到各個圖形，若記圖①三角形的面積為，則第n個圖中陰影部分的面積為A． B． C． D．【正確答案】D【分析】每一個圖形的面積是前一個圖形面積的，根據等比數列公式得到答案.【詳解】根據題意：每一個圖形的面積是前一個圖形面積的，即面積為首項為，公比為的等比數列，故第n個圖中陰影部分的面積為.故選：D.本題考查了等比數列的應用，意在考查學生的計算能力和應用能力.4．的展開式中的常數項是（

）A． B． C．250 D．240【正確答案】D【分析】求出二項式展開式的通項公式，令x的指數等于0，即可求得答案.【詳解】由題意得二項式的通項公式為，令，則常數項為，故選：D5．數學家阿波羅尼斯證明過這樣一個命題：平面內到兩定點距離之比為常數且的點的軌跡是圓，后人將這個圓稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓.已知在平面直角坐標系中，，動點滿足，得到動點的軌跡是阿氏圓.若對任意實數，直線與圓恒有公共點，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【正確答案】C【分析】設點，求出動點的軌跡圓的方程，再求出直線過定點坐標，依題意點在圓的內部，即可得到不等式，解得即可.【詳解】設點，，，所以動點的軌跡為阿氏圓：，又直線恒過點，若對任意實數直線與圓恒有公共點，在圓的內部或圓上，所以，所以，解得，即的取值范圍為.故選：C6．一排有8個座位，有3人各不相鄰而坐，則不同的坐法共有（

）A．120種 B．60種 C．40種 D．20種【正確答案】A【分析】把3人連同他的座位一起插入另5個座位形成的6個空隙即可.【詳解】依題意，把3人連同他的座位一起插入另5個座位形成的6個空隙中，有種.故選：A7．已知的內角的對邊分別為，記的面積為，若，則的最小值為（

）A． B． C．1 D．【正確答案】B【分析】利用余弦定理和三角形面積公式得，再對上式兩邊同除，結合正弦函數有界性即可求出的范圍.【詳解】，由余弦定理知：，則，即兩邊同除有，其中，設，即，最小值為.故選：B.8．已知焦點在軸上的橢圓的內接平行四邊形的一組對邊分別經過其兩個焦點（如圖所示），當這個平行四邊形為矩形時，其面積最大，則的取值范圍是（

）

A． B． C． D．【正確答案】C【分析】解法1、設直線為，聯立方程組，利用弦長公式求得，求得直線與的距離為，得到的面積為，設，得到，轉化為的值最小即可，結合函數的單調性和橢圓的性質，即可求解.解法2、設直線的傾斜角為，求得，原點的距離為，得到矩形面積，設，得到，結合基本不等式的成立的條件，得到，進而求得實數的取值范圍.【詳解】解法1：設所在直線方程為且聯立方程組，整理得，可得，所以，由直線方程為，所以直線與垂線的距離為，矩形的面積為，設，則，所以，要使最大，則只需的值最大，即的值最小即可，當這個平行四邊形為矩形時，其面積最大，即當時，有最大值，即時，的值最小，由雙勾函數性質在上單調遞減，在區間為單調遞增，又由，當時，有最小值，所以，所以，可得，即，解得，所以，又因為，解得，所以實數的取值范圍是.解法2：設所在直線方程為且聯立方程組，整理得，可得，所以，設直線的傾斜角為，可得，即，代入上式，化簡得，又由原點的距離為，所以矩形的面積：，設，則，且，可得，則，要使最大，則只需的值最大，即的值最小即可，當這個平行四邊形為矩形時，其面積最大，即當時，有最大值，即時，的值最小，因為，當且僅當時，即，所以，即，所以，可得，即，解得，所以，又因為，解得，所以實數的取值范圍是.故選：C.解答圓錐曲線的最值問題的方法與策略：（1）幾何轉化代數法：若題目的條件和結論能明顯體現幾何特征和意義，則考慮利用圓錐曲線的定義、圖形、幾何性質來解決；（2）函數取值法：若題目的條件和結論的幾何特征不明顯，則可以建立目標函數，再求這個函數的最值（或值域），常用方法：（1）配方法；（2）基本不等式法；（3）單調性法；（4）三角換元法；（5）導數法等，要特別注意自變量的取值范圍.二、多選題9．下列命題正確的有（

）A．空間中兩兩相交的三條直線一定共面B．已知不重合的兩個平面，則存在直線，使得為異面直線C．有兩個平面平行，其他各個面都是平行四邊形的多面體是棱柱D．過平面外一定點，有且只有一個平面與平行【正確答案】BD【分析】根據平面的確定可判斷A；根據平面與平面的位置關系結合異面直線的概念可判斷B；根據棱柱的概念可判斷C；根據線面垂直的性質結合面面平行的判定可判斷D.【詳解】對于A，空間中兩兩相交的三條直線交于同一點時，可能共面也可能不共面，A錯誤；對于B，不重合的兩個平面，可能平行或者相交，

不論是平行還是相交，都存在直線，使得為異面直線，B正確；對于C，如圖示幾何體滿足兩個平面平行，其他各個面都是平行四邊形，

但該幾何體不是棱柱，C錯誤；對于D，由于過平面外一定點，有且只有一條直線m與平面垂直，過點P有且只有一個平面與m垂直，則，故過平面外一定點，有且只有一個平面與平行，D正確，故選：BD10．已知事件滿足，，則下列結論正確的是（

）A．如果，那么B．如果，那么，C．如果與互斥，那么D．如果與相互獨立，那么【正確答案】CD【分析】古典概型、條件概率、互斥事件的概率，相互獨立事件的概率公式的運用。【詳解】對于選項A，設一個盒子里有標號為1到10的小球,從中摸出一個小球,記下球的編號,記事件A=“球的編號是偶數”，事件B=“球的編號是1，2，3”，事件C=“球的編號是奇數”滿足,但是選項A錯誤;對于選項B，如果,那么,選項B錯誤;對于選項C，如果與互斥，那么,所以選項C正確;對于選項D，如果與相互獨立，那么所以選項D正確。故選：CD11．在直角梯形中，為中點，分別為線段的兩個三等分點，點為線段上任意一點，若，則的值可能是（

）

A．1 B． C． D．3【正確答案】AB【分析】建立平面直角坐標系，設，用坐標表示出，再根據列方程可得，然后可得.【詳解】

如圖，以A為坐標原點建立平面直角坐標系，不妨設，則，則設，則∵，∴，∴整理得，因為，所以故選：AB.12．我們可以利用曲線和直線寫出很多不等關系，如由在點處的切線寫出不等式，進而用替換得到一系列不等式，疊加后有這些不等式體現了數學之美.運用類似方法推導，下面的不等式正確的有（

）A．B．C．D．【正確答案】BC【分析】通過取特殊值確定AD錯誤，通過證明當時，，由此證明B，通過證明時，，由此證明C.【詳解】選項：，當時不成立，A錯誤B選項：等價于，故要證明只需證明，且，只需證明，只需證明，故考慮構造函數，則，當時，，函數在上單調遞減，當時，，函數在上單調遞增，所以當時，，即，當且僅當時取等號，當時，，將中的替換為，可得，即，所以，，，，所以，B選項正確選項，設，則，當時，，函數在上單調遞增，當時，，函數在上單調遞減，所以當時，，即，當且僅當時取等號，將中的替換為，因為，所以所以，又，所以，當時，，故，C正確；選項：因為，D錯誤，故選：BC.在進行類比推理時，要盡量從本質上去類比，不要被表面現象所迷惑；否則只抓住一點表面現象甚至假象就去類比，就會犯機械類比的錯誤．三、填空題13．已知隨機變量，且，則的最小值為__________.【正確答案】8【分析】由題意知關于對稱，故，使用基本不等式可求的最小值.【詳解】由隨機變量，且知關于對稱，故，由不等式，得當且僅當時取等號，的最小值為8.故814．已知等差數列中，，若在數列每相鄰兩項之間插入三個數，使得新數列也是一個等差數列，則新數列的第43項為__________.【正確答案】【分析】先計算出等差數列的公差，進而得到新的等差數列的公差，從而求出的通項公式，求出新數列的第項.【詳解】設等差數列的公差為，則，所以，設在數列每相鄰兩項之間插入三個數所得新數列為，則新的等差數列的公差為，首項為，所以新數列的通項公式為，故.故答案為.15．已知雙曲線的右焦點為，點坐標為，點為雙曲線左支上的動點，且的周長不小于18，則雙曲線的離心率的取值范圍為__________.【正確答案】【分析】的周長不小于18，可得的最小值不小于13，設為雙曲線的左焦點，則的最小值不小于13，分析可得三點共線時，取最小值，從而可求的范圍，根據離心率公式即可求解.【詳解】由右焦點為，點A坐標為，可得.因為的周長不小于18，所以的最小值不小于13.設為雙曲線的左焦點，可得，故，當三點共線時，取最小值,即，所以,即.因為,所以.又,所以.故答案為:.16．正四面體的棱長為4，中心為點，則以為球心，1為半徑的球面上任意一點與該正四面體各頂點間的距離的平方和：__________.【正確答案】28【分析】將正四面體放入正方體中，利用向量的線性運算可得，同理可得到，取的中點，可得到，即可求出答案【詳解】因為正四面體的棱長為4，故可將其放入棱長為的正方體中，如圖所示，由題意可得,同理可得,,,取的中點，則，所以，所以，

故28四、解答題17．已知數列滿足，(1)求數列的通項公式；(2)令，求使取最大值時的的值.（取）【正確答案】(1)(2)2【分析】（1）由遞推公式求得的通項公式；（2）用作比法比較大小確定的單調性求得的最大值.【詳解】（1）由得，，所以，所以故等差數列，所以，故通項公式為.（2），令，則，所以，當時，當取2時，，當時，.所以當取2時，取最大值.18．斜三棱柱的各棱長都為，點在下底面的投影為的中點.

(1)在棱（含端點）上是否存在一點使？若存在，求出的長；若不存在，請說明理由；(2)求點到平面的距離.【正確答案】(1)存在，(2)【分析】（1）建立空間直角坐標系，求出相關點坐標，假設在棱（含端點）存在一點使，利用，結合向量垂直的坐標表示即可求得答案.（2）求出平面的法向量，根據空間距離的向量求法，即可求得答案.【詳解】（1）因為點在下底面的投影為的中點，故平面，連接，由題意為正三角形，故,以為原點，分別為軸建立如圖所示空間直角坐標系：

則，，設，可得，，假設在棱（含端點）上存在一點使，則，則；（2）由（1）知，設平面的法向量為，則，令，則，則，又，則到平面的距離為，即點到平面距離為.19．近年來，綠色環保和可持續設計受到社會的廣泛關注，成為了一種日益普及的生活理念和方式.可持續和綠色能源，是我們這個時代的呼喚，也是我們每一個人的責任.某環保可持續性食用產品做到了真正的“零浪費”設計，其外包裝材質是蜂蠟.食用完之后，蜂蠟罐可回收用于蜂房的再建造.為了研究蜜蜂進入不同顏色的蜂蠟罐與蜜蜂種類的關系，研究團隊收集了黃?褐兩種顏色的蜂蠟罐，對兩個品種的蜜蜂各60只進行研究，得到如下數據：黃色蜂蠟罐褐色蜂蠟罐品種蜜蜂4020品種蜜蜂5010(1)依據小概率值的獨立性檢驗，分析蜜蜂進入不同顏色的蜂蠟罐是否與蜜蜂種類有關聯？(2)假設要計算某事件的概率，常用的一個方法就是找一個與事件有關的事件，利用公式：求解，現從裝有只品種蜜蜂和只品種蜜蜂的蜂蠟蠸中不放回地任意抽取兩只，令第一次抽到品種蜜蜂為事件，第二次抽到品種蜜蜂為事件，求（用表示）附：，其中.臨界值表：0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828【正確答案】(1)蜜蜂進入不同顏色的蜂蠟罐與蜜蜂種類有關聯；(2)【分析】（1）由已知數據結合公式求，比較其與臨界值的大小，由此確定蜜蜂進入不同顏色的蜂蠟罐與蜜蜂種類有關聯，進一步求頻率判斷；（2）由古典概型概率公式和條件概率公式求，再代入所給公式求解.【詳解】（1）根據列表得，所以依據的獨立性檢驗，蜜蜂進入不同顏色的蜂蠟罐與蜜蜂種類有關聯，品種進入黃色蜂蠟罐的頻率為，品種進入褐色蜂蠟罐的頻率為，品種進入黃色蜂蠟罐的頻率為，品種進入褐色蜂蠟罐的頻率為，依據頻率分析，品種的蜜蜂選擇褐色蜂蠟罐的頻率是品種的蜜蜂的兩倍，所以品種的蜜蜂選擇進入黃色蜂蠟罐與褐色蜂蠟罐有顯著差異；（2）由已知上式知，則，所以，所以，所以.20．設為常數）為偶函數且的最小值為-6.(1)求的值；(2)設，且的圖像關于直線對稱和點對稱，若在上單調遞增，求和的值.【正確答案】(1)(2)【分析】（1）先化簡，為偶函數，且的最小值為-6，求得所以，，從而可進一步求出的值．（2）先化簡，再利用已知條件：它的圖像關于直線對稱和點對稱，求出兩個方程，解出，進一步解出的值．【詳解】（1）為偶函數，,的最小值為.（2）由（1）得，所以，由的圖像關于直線對稱，也關于點對稱，可知，，，，或（舍去），，，，，，，，，在上單調遞增，，，，經檢驗，時，不滿足對稱性，舍去，．21．過拋物線內部一點作任意兩條直線，如圖所示，連接延長交于點，當為焦點并且時，四邊形面積的最小值為32

(1)求拋物線的方程；(2)若點，證明在定直線上運動，并求出定直線方程.【正確答案】(1)(2)證明見解析，【分析】（1）設直線，聯立方程組求得，利用弦長公式，分別求得，得到，結合基本不等式，即可求解；（2）由和共線，得到，，又由和共線，得到和，進而得到，即可求解.【詳解】（1）解：設，設直線，聯立方程組，整理得，可得，所以，同理可得，所以，當且僅當時取等號，所以，所以拋物線的方程為.（2）解：當為時，，由共線，可得，可得

①，同理由共線

②又由共線，可得，所以

③同理由共線，可得

④由①