2023-2024學年黑龍江省哈爾濱市高考數學押題模擬試題（五模）一、單選題1．已知復數滿足(其中為虛數單位)，則復數的虛部為（

）A． B． C． D．【正確答案】A【分析】由題目條件可得，即，然后利用復數的運算法則化簡.【詳解】因為，所以，則故復數的虛部為.故選：A.本題考查復數的相關概念及復數的乘除運算，按照復數的運算法則化簡計算即可，較簡單.2．已知集合，則的子集個數為（

）A．8 B．16 C．32 D．64【正確答案】C【分析】求出，即可求解.【詳解】由題得，.因為，.所以.所以的子集個數為個.故選：C.3．若，則（

）A． B． C． D．【正確答案】D【分析】切化弦，結合得出，然后根據誘導公式及二倍角公式求解.【詳解】因為，所以，即，所以，即，所以，故選：D．4．為了解學生每天的體育活動時間，某市教育部門對全市高中學生進行調查，隨機抽取1000名學生每天進行體育運動的時間，按照時長（單位：分鐘）分成6組：第一組，第二組，第三組，第四組，第五組，第六組.對統計數據整理得到如圖所示的頻率分布直方圖，則可以估計該市高中學生每天體育活動時間的第25百分位數約為（

）A．43.5分鐘 B．45.5分鐘 C．47.5分鐘 D．49.5分鐘【正確答案】C【分析】由百分位數的定義求解即可.【詳解】由頻率之和為1得：，解得，由，，故第25百分位數位于內，則第25百分位數為.可以估計該市高中學生每天體育活動時間的第25百分位數約為47.5，故選：C.5．如圖1，在高為的直三棱柱容器中，現往該容器內灌進一些水，水深為2，然后固定容器底面的一邊于地面上，再將容器傾斜，當傾斜到某一位置時，水面恰好為（如圖2），則容器的高為（

）

A． B．3 C．4 D．6【正確答案】B【分析】利用兩個幾何體中的裝水的體積相等，列出方程，即可求解.【詳解】解：在圖（1）中的幾何體中，水的體積為,在圖（2）的幾何體中，水的體積為：，因為，可得，解得.故選：B.6．已知某摩天輪的半徑為，其中心到地面的距離為，摩天輪啟動后按逆時針方向勻速轉動，每分鐘轉動一圈．已知當游客距離地面超過時進入最佳觀景時間段，則游客在摩天輪轉動一圈的過程中最佳觀景時長約有（

）A．分鐘 B．分鐘 C．分鐘 D．分鐘【正確答案】B【分析】求出游客到地面的距離為關于轉動時間（單位：分鐘）的函數關系式，然后解不等式，可得出結果.【詳解】設游客到地面的距離為，設關于轉動時間（單位：分鐘）的函數關系式為，則，，可得，函數的最小正周期為，則，當時，游客位于最低點，可取，所以，，由，即，可得，所以，，解得，因此，游客在摩天輪轉動一圈的過程中最佳觀景時長約有分鐘.故選：B.7．若過第一象限的點可以作曲線的兩條切線，則（

）A． B． C． D．【正確答案】D【分析】首先設切點，利用導數的幾何意義，列式，并轉化為函數有2個零點，利用導數判斷函數的性質，即可判斷選項.【詳解】設切點，則，得，設，由條件可知，函數存在兩個零點，，得，當時，，單調遞減，當時，，單調遞增，所以當時，取得最小值，若函數有2個零點，則.故選：D8．已知平面上兩定點、，則所有滿足（且）的點的軌跡是一個圓心在上，半徑為的圓.這個軌跡最先由古希臘數學家阿波羅尼斯發現，故稱作阿氏圓.已知棱長為3的正方體表面上動點滿足，則點的軌跡長度為（

）A． B． C． D．【正確答案】C【分析】根據阿氏圓性質求出阿氏圓圓心O位置及半徑，P在空間內軌跡為以O為球心的球，球與面，，交線為圓弧，求出截面圓的半徑及圓心角，求出在截面內的圓弧的長度即可.【詳解】在平面中，圖①中以B為原點以AB為x軸建系如圖，設阿氏圓圓心,半徑為，，設圓O與AB交于M,由阿氏圓性質知，，，P在空間內軌跡為以O為球心半徑為2的球，若P在四邊形內部時如圖②,截面圓與分別交于M，R，所以P在四邊形內的軌跡為，在中，，所以，當P在面內部的軌跡長為，同理，當P在面內部的軌跡長為，當P在面時,如圖③所示，面，平面截球所得小圓是以B為圓心，以BP為半徑的圓，截面圓與分別交于，且，所以P在正方形內的軌跡為，所以，綜上：P的軌跡長度為.故選：C方法點睛：求球與平面公共點軌跡長度時先求出平面截球所得圓面的半徑，當截面為完整的圓時可直接求圓周長，當截面只是圓的一部分時先求圓心角的大小再計算弧長.二、多選題9．下列關于平面向量的說法中正確的是（

）A．已知，點在直線上，且，則的坐標為；B．若是的外接圓圓心，則C．若，且，則D．若點是所在平面內一點，且，則是的垂心.【正確答案】BD【分析】對于A，設，由題意可得或，再根據平面向量的坐標表示計算即可；對于B，如圖，設為的中點，根據數量積的定義即可得解；對于C，當時，再根據數量積的運算律即可判斷；根據數量積的運算律即可判斷D.【詳解】對于A，設，則，因為點在直線上，且，所以或，則或，所以或，解得或，所以或，故A錯誤；對于B，如圖，設為的中點，則，則，故B正確；對于C，當時，，滿足，則與不一定相等，故C錯誤；對于D，因為，所以，所以，同理可得，所以是的垂心，故D正確.故選：BD.10．在一次黨建活動中，甲?乙?丙?丁四個興趣小組舉行黨史知識競賽，每個小組各派10名同學參賽，記錄每名同學失分（均為整數）情況，若該組每名同學失分都不超過7分，則該組為“優秀小組”，已知甲?乙?丙?丁四個小組成員失分數據信息如下，則一定為“優秀小組”的是（

）A．甲組中位數為2，極差為5B．乙組平均數為2，眾數為2C．丙組平均數為1，方差大于0D．丁組平均數為2，方差為3【正確答案】AD【分析】結合中位數，平均數，眾數，方差，極差的定義，分析判斷每個選項.【詳解】對，因為中位數為2，極差為5，故最大值小于等于7，故正確；對，如失分數據分別為，則滿足平均數為2，眾數為2，但不滿足每名同學失分都不超過7分，故B錯誤；對，如失分數據分別為，則滿足平均數為1，方差大于0，但不滿足每名同學失分都不超過7分，故C錯誤；對，利用反證法，假設有一同學失分超過7分，則方差大于，與題設矛盾，故每名同學失分都不超過7分．故D正確．故選：AD.11．剛考入大學的小明準備向銀行貸款元購買一臺筆記本電腦，然后上學的時候通過勤工儉學來分期還款.小明與銀行約定：每個月還一次款，分次還清所有的欠款，且每個月還款的錢數都相等，貸款的月利率為，設小明每個月所要還款的錢數為元，則下列說法正確的是（

）A．小明選擇的還款方式為“等額本金還款法” B．小明選擇的還款方式為“等額本息還款法C．小明第一個月還款的現值為元 D．【正確答案】BCD【分析】AB根據還款特點，得到還款方式；C選項，設出第一個月還款的現值為，列出方程，求出答案；D選項，表達出第12個月末所欠銀行貸款數，因為分次還清所有的欠款，故得到方程，求出答案.【詳解】AB選項，由于每個月還款的錢數都相等，故小明選擇的還款方式為“等額本息還款法，A錯誤，B正確；C選項，設小明第一個月還款的現值為，則，解得，故C正確；D選項，根據等額本息還款法可得，第一個月末所欠銀行貸款為，第二個月末所欠銀行貸款為，第三個月末所欠銀行貸款為，……第12個月末所欠銀行貸款為，由于分次還清所有的欠款，故，解得，D正確.故選：BCD12．已知,若,其中是自然對數的底數,則（

）A． B．C． D．【正確答案】ACD【分析】由得,由得,構造函數,易知函數為上的增函數,可得,,對于A,依據零點存在性定理判斷;對于B,依據條件進行判斷即可;對于C,利用當時,判斷即可;對于D,利用在上的單調性判斷即可.【詳解】由得,①由得,即,②令,易知函數為上的增函數,又①式化為:,所以,②式化為:,所以,對于A,令,根據函數單調性的性質,函數在上為增函數,當時,;當時,,則由零點存在性定理可知,故A正確;對于B,因為,,所以,則,故B錯誤;對于C,設,則,當時,,則函數在上為增函數,所以函數,即,所以,故C正確;對于D,由A知,,在上遞減,當時,,故D正確.故選：ACD.將轉化為,轉化為,構造函數,利用單調性得到，是解本題的關鍵.三、填空題13．若2、a、b、c、9成等差數列，則c﹣a=___________．【正確答案】【詳解】由等差數列的性質可得2b=2+9，解得b=，又可得2a=2+b=2+=，解之可得a=，同理可得2c=9+=，解得c=，故c﹣a=﹣==14．不等式的解集為__________.【正確答案】【分析】構造函數，利用導數判斷函數的單調性，再根據函數的單調性結合，解不等式即可.【詳解】由，得，令，則，因為，所以，所以，所以函數為增函數，又，則不等式即為，所以，即不等式的解集為.故答案為.關鍵點點睛：構造函數是解決本題的關鍵.15．將數列中的項排成下表：，，，，，，，，，，，…已知各行的第一個數，，，，…構成數列，且的前項和滿足（且），從第三行起，每一行中的數按從左到右的順序均構成等差數列，且公差為同一個常數.若，則第6行的所有項的和為______.【正確答案】1344【分析】根據所滿足的條件，求出數列，由在表中的位置，得，所以每行等差數列公差，即可求第6行所有項的和．【詳解】解：∵(且)，∴，即，∴數列的通項公式為，（且），觀察表中各行規律可知，第n行的最后一項是數列的第項，，∴在表中第8行第3列，∵，且，∴公差；∴第6行共有32個元素，則第6行所有項的和為故1344．思路點睛：由的前項和滿足，構造法求數列的通項公式，觀察數列的規律，找到在表中的位置，結合的通項公式可求得表中每一行的公差，繼而可求第6行所有項的和．16．已知實數，滿足，，，則的最小值是________．【正確答案】/【分析】根據給定條件，求出各等式表示的幾何意義，及所求最值的表達式的幾何意義，再把問題轉化為求圓上的點到直線距離的最小值作答.【詳解】依題意，方程、分別表示以原點為圓心，2、3為半徑的圓，令，即點分別在、上，如圖，

顯然，，即有，，取線段中點，連接，則，因此點在以原點為圓心，為半徑的圓上，而，即表示點到直線的距離和的倍，過分別作直線的垂線，垂足分別為，過作垂直于直線于點，于是，，，原點到直線的距離，顯然，當且僅當點共線，且點在線段上時取等號，所以.故思路點睛：涉及與圓相離的圖形F上的點與圓上點的距離最值問題，轉化為圖形F上的點與圓心距離加或減圓半徑求解.四、解答題17．已知數列滿足，數列滿足．(1)求數列的通項公式；(2)求數列的前n項和．【正確答案】(1)(2)【分析】（1）根據數列的遞推公式依次寫出，即可發現規律；（2）由（1）可寫出數列的表達式，根據裂項求和的方法可求出前n項和．【詳解】（1）由題意知，，，，，，…，，，從而．（2）由（1），所以．18．的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c．已知(1)求角A；(2)若為銳角三角形，且的面積為S，求的取值范圍．【正確答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理、余弦定理和和差公式整理即可得到，再結合，即可得到；（2）根據和三角形面積公式將整理為，再根據銳角三角形和正弦定理得到的范圍，最后用換元法和函數單調性求范圍即可.【詳解】（1），所以，所以，又，所以，因為，所以．（2）由（1）可知，．則．因為銳角三角形，所以，整理得．因為，所以．令，則函數在上單調遞減，在上單調遞增，所以，即，故的取值范圍為.19．如圖，已知四棱錐，底面是平行四邊形，且，是線段的中點，.(1)求證：平面；(2)下列條件任選其一，求二面角的余弦值.①與平面所成的角為；②到平面的距離為.注：如果選擇多個條件分別解答，按一個解答計分.【正確答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據平行四邊形中的幾何關系可得再根據勾股定理可得，利用線面垂直的判定定理即可證明結果；（2）選①，取中點為，連接，根據幾何關系可得，根據（1）可得，根據線面垂直的判定定理可得平面，則與平面所成的角為，由此計算出，進而計算得，可得為等邊三角形；選②，取中點為，連接，計算長度及根據等體積法可求得，即可得為等邊三角形，建立合適的空間直角坐標系，求得各個點的坐標，進而求得平面的法向量及平面的法向量，根據法向量夾角的余弦值的絕對值即為二面角的余弦值絕對值即可求得結果.【詳解】（1）證明：因為，且，故，在中，，由余弦定理可得：，解得，在中，，所以，即，又因為平面，平面，所以平面；（2）選①，取中點為，連接，如圖所示：因為，故，由（1）得平面，因為平面，所以，因為，平面，平面，所以平面，所以為與平面所成的角，即，因為，，所以為等邊三角形，且邊長為1，所以，，由可得，因為，，所以，所以為等邊三角形，以為原點，為在軸正方向建立如圖所示空間直角坐標系：所以，，設是平面的法向量，則，即，取，可得，設為平面的法向量，則，即，取，可得，設二面角所成的角為，則，所以二面角的余弦值為.選②，取中點為，連接，如圖所示：因為，故，由（1）得平面，因為平面，所以，因為，平面，平面，所以平面，設到平面的距離為，因為，，所以等邊三角形，所以，，設，則，因為，所以，因為，為中點，所以，所以，由，，平面，平面，所以平面，因為平面，所以，即，所以，因為，即，即，解得，即，所以，所以為等邊三角形，以為原點，為在軸正方向建立如圖所示空間直角坐標系：所以，，設是平面的法向量，則，即，取，可得，設為平面的法向量，則，即，取，可得，設所成的角為，則，所以二面角的余弦值為.20．某公司在一種傳染病毒的檢測試劑品上加大了研發投入，其研發的檢驗試劑品分為兩類不同劑型和．現對其進行兩次檢測，第一次檢測時兩類試劑和合格的概率分別為和，第二次檢測時兩類試劑和合格的概率分別為和．已知兩次檢測過程相互獨立，兩次檢測均合格，試劑品才算合格．(1)設經過兩次檢測后兩類試劑和合格的種類數為，求的分布列和數學期望；(2)若地區排查期間，一戶4口之家被確認為“與確診患者的密切接觸者”，這種情況下醫護人員要對其家庭成員逐一使用試劑品進行檢測，如果有一人檢測呈陽性，則檢測結束，并確定該家庭為“感染高危戶”．設該家庭每個成員檢測呈陽性的概率均為且相互獨立，該家庭至少檢測了3個人才確定為“感染高危戶”的概率為，若當時，最大，求的值．【正確答案】(1)分布列見解析，1(2)．【分析】（1）先得到劑型與合格的概率，求出X的所有可能取值及相應的概率，得到分布列，求出期望值；（2）求出，令，得到，利用基本不等式求出最值，得到答案.【詳解】（1）劑型合格的概率為：；劑型合格的概率為：．由題意知X的所有可能取值為0，1，2．則，，，則X的分布列為X012P數學期望．（2）檢測3人確定“感染高危戶”的概率為，檢測4人確定“感染高危戶”的概率為，則．令，因為，所以，原函數可化為．因為，當且僅當，即時，等號成立．此時，所以．21．如圖，橢圓的離心率為，上的點到直線的最短距離為.(1)求橢圓的方程；(2)過上的動點向橢圓作兩條切線、，交軸于，交軸于，交軸于，交軸于，記的面積為，的面積為，求的最小值.【正確答案】(1)；(2).【分析】（1）由已知條件求出、的值，即可得出所求橢圓的方程；（2）設、的方程分別為、，分析可知、是關于的的兩根，利用韋達定理可得出關于的表達式，令，利用基本不等式可求得的最小值.【詳解】（1）解：由題意知：，所以，即所求橢圓方程為.（2）解：設、的方程分別為、，則，，，，，①聯立，可得，，化簡得，顯然，、是關于的的兩根.故，