2023-2024學年貴州省遵義市高考數學（理）模擬試題（二模）一、單選題1．已知集合，集合，則（

）A． B． C． D．【正確答案】A【分析】先求出集合，再根據并集的運算即可求出．【詳解】因為，而，所以．故選：A．2．在復平面內，復數對應的點位于（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【正確答案】D【分析】利用復數除法法則計算出，得到對應的點的坐標，得到所在象限.【詳解】，故復數對應的點坐標為，所以位于第四象限.故選：D3．下圖是2013-2020年國家財政性教育經費（單位：萬元）和國家財政性教育經費占總教育經費占比的統計圖，下列說法正確的是（

）A．2019年國家財政性教育經費和國家財政性教育經費占總教育經費占比均最低B．國家財政性教育經費逐年增加C．國家財政性教育經費占比逐年增加D．2020年國家財政性教育經費是2014年的兩倍【正確答案】B【分析】由統計圖逐一分析即可.【詳解】對于A，顯然國家財政性教育經費逐年增加，最低不是2019年，故A錯誤，B正確；對于C，國家財政性教育經費占比在2015年至2019年逐年下降，故C錯誤；對于D，2014年與2020年的國家財政性教育經費分別為大約250000000萬元和不到450000000萬元，顯然不滿足后者是前者的2倍的關系，故D錯誤.故選：B4．已知曲線的一條對稱軸是，則的值可能為（

）A． B． C． D．【正確答案】C【分析】根據余弦函數的性質先寫出其對稱軸的一般形式，然后檢查符合條件的選項.【詳解】由題意，，即，于是，，即，，經檢驗，只有當時即時符合.故選：C5．函數在上的大致圖象是（

）A．

B．

C．

D．

【正確答案】D【分析】先確定函數的奇偶性，排除C，代入特殊點的函數值，排除AB，得到D正確.【詳解】定義域為R，又，故為奇函數，排除C選項，又，排除B選項，，因為在上單調遞增，在上單調遞減，且關于對稱，又，所以，故，即，排除A選項，故D正確.故選：D6．在長方體中，，連接AC，，則（

）

A．直線與平面ABCD所成角為B．直線與平面所成角為C．直線與直線所成角為D．【正確答案】C【分析】設，連接，可得即為直線與平面ABCD所成角，求出可判斷A；連接，可得即為直線與平面所成角，求出可判斷B；因為，轉化為直線與直線所成角即為直線與直線所成角，即為，根據可判斷C；求出，，可判斷D.【詳解】設，對于A，連接，因為平面，所以即為直線與平面ABCD所成角，因為，所以，在直角三角形中，，所以，故A錯誤；對于B，連接，因為平面，所以即為直線與平面所成角，因為，所以，在直角三角形中，，所以，故B錯誤；對于C，因為，所以直線與直線所成角即為直線與直線所成角，即為，因為，所以，所以直線與直線所成角為，故C正確；對于D，因為，所以，，即所以，故，故D錯誤.故選：C.7．已知函數在處取得極值0，則（

）A．-1 B．0 C．1 D．2【正確答案】B【分析】根據極值點的意義，列式求解.【詳解】，有，得，所以.故選：B8．某學校安排3名教師指導4個學生社團，每名教師至少指導一個社團，每個社團只需一位指導老師，則不同的安排方式共有（

）A．12種 B．24種 C．36種 D．72種【正確答案】C【分析】根據分組分配的計算方法，即可求解.【詳解】4個學生社團，分為2，1，1的組，則有種分組情況，再分配給3位老師，則有種方法.故選：C9．已知銳角滿足，則（

）A． B． C． D．1【正確答案】D【分析】先根據求出，再利用二倍角得正切公式求出，再根據兩角和得正切公式即可得解.【詳解】由，得，即，解得，又為銳角，所以，又，即，解得（舍去），所以，所以.故選：D.10．如圖，網絡紙上繪制的是某質地均勻內部為空的航天器件的三視圖（圖中小方格是邊長為1cm的正方形），該器件由平均密度為的合金制成，則該器件的質量為（

）A．390πg B．342πgC．260πg D．228πg【正確答案】A【分析】根據三視圖，計算幾何體的體積，再根據密度求幾何體的質量.【詳解】由三視圖可知，幾何體是圓柱，里面挖去了一個球，如圖，圓柱的底面半徑為3cm，高為6cm，球的半徑為2cm，所以幾何體的體積,所以該器件的質量是g.故選：A11．過雙曲線：的左焦點F作的其中一條漸近線的垂線，垂足為M，與的另一條漸近線交于點N，且，則的漸近線方程為（

）A． B．C． D．【正確答案】B【分析】由圖形的幾何性質求漸近線的傾斜角與斜率即可.【詳解】

如圖所示，設OM、ON為雙曲線的漸近線，由題意可知：FM⊥OM，因為，所以M為FN中點，故為等腰三角形，即，故，所以，故選:B12．已知，，，則（

）A． B．C． D．【正確答案】D【分析】構造函數，利用導數研究其單調性，利用單調性比大小即可.【詳解】令，則，，即在上單調遞增，在上單調遞減，所以，故在R上恒成立，即，令，則，，即在上單調遞減，在上單調遞增，所以，故在上恒成立，即，而，，即，令，則，，即在上單調遞增，在上單調遞減，所以，故在上恒成立，即令，由上知恒成立，即在R上單調遞增，而，故，所以，故.故選：D方法點睛：對于比大小問題構造函數是關鍵，需要積累，，等常用的放縮不等式，同時對于本題熟記等的近似值更快捷.二、填空題13．已知平面向量，的夾角為，且，，則=_______.【正確答案】【分析】由向量的數量積運算及運算律可求得答案.【詳解】解：，所以．故答案為.14．在的展開式中，的系數為__________（用數字作答）.【正確答案】21【分析】由二項式的展開式通項公式待定系數求值即可.【詳解】設的展開式通項為，令，則，即的系數為21.故21.15．已知拋物線上兩點A，B關于點對稱，則直線AB的斜率為___________.【正確答案】2【分析】根據點差法求得直線AB的斜率，并驗證判別式大于零.【詳解】設，代入拋物線，得，則①，因為兩點A，B關于點對稱，則，所以由①得，直線AB的斜率為2.則直線AB：與代入拋物線聯立，得，，解得.所以直線AB的斜率為2.故2.16．在中，，D為BC邊上一點，且，則的最小值為___________.【正確答案】【分析】將用表示，再平方可求得，再由結合二次函數得性質即可得解.【詳解】由，得，則，所以，則，當時，取等號，所以的最小值為.故答案為.關鍵點點睛：將用表示，再平方是解決本題的關鍵.三、解答題17．2018年12月8日，我國在西昌衛星發射中心用長征三號乙運載火箭成功發射嫦娥四號探測器，開啟了月球探測的新旅程.為了解廣大市民是否實時關注了這一事件，隨機選取了部分年齡在20歲到70歲之間的市民作為一個樣本，將此樣本按年齡，，，，分為5組，并得到如圖所示的頻率分布直方圖.

(1)求圖中實數的值，并估計樣本數據中市民年齡的眾數；(2)為進一步調查市民在日常生活中是否關注國家航天技術發展的情況，現按照分層抽樣的方法從，，三組中抽取了6人.從這6人中任意抽取3人了解情況.記這3人中年齡在的人數為X，求隨機變量X的分布列及數學期望.【正確答案】(1)，眾數為(2)分布列見解析，【分析】（1）根據概率之和等于即可求得，由頻率分布直方圖即可得出眾數；（2）先根據分層抽樣求出各區間的人數，再寫出隨機變量的所有可能取值，求出對應概率，即可得分布列，再根據期望公式求期望即可.【詳解】（1）由，解得，眾數為；（2）的人數為，的人數為，的人數為，則可取，，，，，所以分布列為（人）.18．已知為數列的前項和，且滿足，.(1)求證：數列是等比數列；(2)若，記為數列的前項和，求滿足不等式的的最大值.【正確答案】(1)證明見詳解；(2)【分析】（1）已知與的關系求解，然后證明即可；（2）由（1）求出，進而由裂項相消法求出數列的前項和，求解不等式即可.【詳解】（1）當時，，解得.當時，，所以，即，所以所以，所以數列是以為首項，為公比的等比數列.（2）由（1）可知數列是以為首項，為公比的等比數列.所以，所以，..所以時，即，所以，所以的最大值為.19．如圖，棱臺中，，底面ABCD是邊長為4的正方形，底面是邊長為2的正方形，連接，BD，.

(1)證明：；(2)求二面角的余弦值.【正確答案】(1)證明見解析(2)【分析】根據棱臺數據可知其是正棱臺，建立空間直角坐標系后，（1）利用空間向量的數量積證明垂直關系，（2）根據平面的法向量求二面角.【詳解】（1）

由題意，該棱臺是正四棱臺.連接交于，以所在直線為軸，經過且垂直于平面的直線為軸，交上底面于，連接，建立空間直角坐標系如圖.根據正四棱臺的性質，過作底面的垂線，則垂足在上.根據題干數據，，為上底面正方形對角線長的一半，顯然，故，又，則，故.于是，，則，于是（2），于是，，設平面的法向量為，根據，則為其中一條法向量；由，，設平面的法向量為，根據，則為其中一條法向量.于是，結合圖形可知，二面角的平面角是銳角，則該二面角大小的余弦值是.20．已知橢圓：的離心率為，且過點.(1)求橢圓的方程；(2)斜率為的直線交橢圓于P，Q（不與重合）兩點，直線AP，AQ分別交x軸于點M，N，求證.【正確答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據題意求出，即可得解；（2）設直線的方程為，聯立方程，利用韋達定理求出，再證明即可.【詳解】（1）由題意可得，解得，所以橢圓的方程為；（2）設直線的方程為，聯立，消得，，解得，則，則，所以直線的傾斜角和直線的傾斜角互補，所以，所以.關鍵點點睛：證明是解決本題第二問的關鍵.21．已知函數，是的導函數.(1)證明：在區間存在唯一極大值點；(2)若對，都有成立，求實數的取值范圍.【正確答案】(1)見解析(2)【分析】（1）首先設函數，首先判斷導函數的單調性，再結合零點存在性定理，以及極大值點的定義，即可證明；（2）由不等式參變分離為，轉化為求函數的最大值，即可求實數的取值范圍.【詳解】（1）證明：因為，所以，設，則，在區間，函數和都是單調遞減函數，所以單調遞減，且，，所以在區間上存在唯一，使得，當時，，在區間單調遞增，當時，，在區間單調遞減，所以在區間上存在唯一極大值點；（2）因為任意，都有成立，所以恒成立，即，記，，記，所以，，所以在區間單調遞增，所以，所以，即在區間上單調遞增，且，所以.22．在平面直角坐標系中，直線的參數方程為（為參數）.在以坐標原點為極點，軸非負半軸為極軸的極坐標系下，曲線的極坐標方程為.(1)求的普通方程和的直角坐標方程；(2)已知點，若直線與曲線相交于A，B兩點，求的值.【正確答案】(1);(2)5.【分析】（1）直線的參數方程消去參數，能求出直線的直角坐標方程；由曲線的極坐標方程，能求出曲線的直角坐標方程．（2）將直線的參數方程代入曲線的方程，利用韋達定理由此能求出的值．【詳解】（1）直線的參數方程為（為參數），直線的直角坐標方程為．曲線的極坐標方程為，曲線的直角坐標方程為．（2）將直線的參數方