2023-2024學(xué)年黑龍江省哈爾濱市高考數(shù)學(xué)押題模擬試題（四模）一、單選題1．已知集合,，則（

）A． B．C． D．【正確答案】D【分析】解方程組可得集合.【詳解】解方程組可得或或，又因為,，則.故選：D.2．已知是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)滿足，則（

）A．的實部為3 B．的虛部為1C． D．在復(fù)平面對應(yīng)的點在第二象限【正確答案】C【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運算化簡復(fù)數(shù)，再一一判斷即可.【詳解】因為，所以，所以復(fù)數(shù)的實部為，虛部為，故A、B錯誤；復(fù)數(shù)在復(fù)平面對應(yīng)的點為，位于第一象限，故D錯誤；，故C正確.故選：C3．第二十二屆哈爾濱國際經(jīng)濟(jì)貿(mào)易談洽會（簡稱“哈洽會”）將于2023年6月15日至19日在哈爾濱國際會展體育中心舉辦，搭建展示和對接的平臺，進(jìn)一步激活發(fā)展?jié)撃埽苿印耙粠б宦贰苯ㄔO(shè)．本屆“哈洽會”線下展覽總面積共計6萬平方米，擬設(shè)中俄地方經(jīng)貿(mào)合作主題展區(qū)、港澳臺及國際展區(qū)、省區(qū)市合作展區(qū)、產(chǎn)業(yè)合作展區(qū)、龍江振興展區(qū)、機(jī)械設(shè)備展區(qū)六大展區(qū)、展區(qū)布局如圖所示，則產(chǎn)業(yè)合作展區(qū)與龍江振興展區(qū)相鄰的概率為（

）

A． B． C． D．【正確答案】A【分析】首先求出基本事件總數(shù)，再利用捆綁法求出產(chǎn)業(yè)合作展區(qū)與龍江振興展區(qū)相鄰的事件數(shù)，最后利用古典概型的概率公式計算可得.【詳解】依題意基本事件總數(shù)為種，其中產(chǎn)業(yè)合作展區(qū)與龍江振興展區(qū)相鄰的事件有種，故產(chǎn)業(yè)合作展區(qū)與龍江振興展區(qū)相鄰的概率.故選：A4．下圖是北京2022年冬奧會會徽的圖案，奧運五環(huán)的大小和間距如圖所示．若圓半徑均為12，相鄰圓圓心水平路離為26，兩排圓圓心垂直距離為11．設(shè)五個圓的圓心分別為、、、、，則的值為（

）

A． B． C． D．【正確答案】B【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，做軸于點，可求出、、坐標(biāo)，及、、，再由向量的坐標(biāo)運算可得答案.【詳解】建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，做軸于點，所以，由已知可得，，，所以，，，所以.故選：B.

5．圓：與直線：交于、，當(dāng)最小時，的值為（

）A． B．2 C． D．1【正確答案】B【分析】首先求出直線恒過定點，依題意當(dāng)時弦最小，求出直線的斜率，即可得解.【詳解】直線：，即，令，解得，即直線恒過定點，又，所以點在圓內(nèi)，

所以當(dāng)時弦最小，因為，所以，即，解得.故選：B6．如圖，四棱錐中，底面為正方形，是正三角形，，平面平面，則與所成角的余弦值為（

）

A． B． C． D．【正確答案】A【分析】取的中點，的中點，連接、，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法計算可得.【詳解】取的中點，的中點，連接、，因為是正三角形，所以，平面平面，平面平面，平面，所以平面，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，，所以，所以與所成角的余弦值為.

故選：A7．已知銳角，滿足，則的值為（

）A．1 B． C． D．【正確答案】C【分析】利用二倍角公式公式及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系將弦化切，再根據(jù)兩角差的正切公式計算可得.【詳解】因為，所以，所以，所以，即，即，所以.故選：C8．函數(shù)、的定義域為，的導(dǎo)函數(shù)的定義域為，若，，，，則的值為（

）A． B． C． D．【正確答案】D【分析】設(shè)，可得出，則（為常數(shù)），由可得出，再結(jié)合已知等式可推導(dǎo)出函數(shù)是周期為的周期函數(shù)，計算出、、、的值，結(jié)合函數(shù)的周期性可求得的值.【詳解】設(shè)，則，所以，函數(shù)為常值函數(shù)，設(shè)（為常數(shù)），又因為，則，即，所以，函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則，因為，，且函數(shù)、的定義域為，所以，，所以，，則，所以，，所以，函數(shù)是周期為的周期函數(shù)，因為，則，所以，，所以，函數(shù)是周期為的周期函數(shù)，因為，則，所以，，故，所以，函數(shù)為偶函數(shù)，因為，所以，，故，在等式中，令可得，則，在等式中，令可得，在等式中，令可得，所以，，故，則，所以，，，，，因此，.故選：D.結(jié)論點睛：對稱性與周期性之間的常用結(jié)論：（1）若函數(shù)的圖象關(guān)于直線和對稱，則函數(shù)的周期為；（2）若函數(shù)的圖象關(guān)于點和點對稱，則函數(shù)的周期為；（3）若函數(shù)的圖象關(guān)于直線和點對稱，則函數(shù)的周期為.二、多選題9．從某小學(xué)隨機(jī)抽取100名同學(xué)，將他們的身高（單位：厘米）數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖（如圖）．則下列結(jié)論正確的是（

）

A．B．身高落在內(nèi)的人數(shù)為50人C．若從身高在，，三組內(nèi)的學(xué)生中，用分層抽樣的方法抽取17人．則身高在的學(xué)生選取的人數(shù)為4人D．若將學(xué)生身高由高到低排序，前的學(xué)生身高為級，則身高為142厘米的學(xué)生身高肯定不是級【正確答案】ABC【分析】根據(jù)頻率分布直方圖中所有小矩形面積之和為，得到方程求出的值，即可判斷A，再根據(jù)頻率分布直方圖計算B、C，根據(jù)百分位數(shù)計算規(guī)則判斷D.【詳解】由頻率分布直方圖可得，解得，故A正確；身高落在內(nèi)的人數(shù)為人，故B正確；樣本中，，的頻率之比為，所以身高在的學(xué)生選取人，故C正確；將學(xué)生身高由高到低排序，第分位數(shù)設(shè)為，則，解得，因為，故身高為厘米的學(xué)生身高肯定是級，故D錯誤；故選：ABC10．已知曲線：為焦點在軸上的橢圓，則（

）A． B．的離心率為C．的短軸長的取值范圍是 D．的值越小，的焦距越大【正確答案】AC【分析】先把橢圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式，然后根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)逐項求解即可.【詳解】曲線：為焦點在軸上的橢圓，則曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，其中，因為的焦點在軸上，所以，即，故A正確；的離心率為，故B錯誤；的短軸長，當(dāng)時，，故C正確；的焦距，當(dāng)時，；當(dāng)時，，故D錯誤．故選：AC．11．如圖，矩形中，、分別為、的中點，且，現(xiàn)將沿問上翻折，使點移到點，則在翻折過程中，下列結(jié)論正確的是（

）

A．存在點，使得B．存在點，使得C．三棱錐的體積最大值為D．當(dāng)三棱錐的體積達(dá)到最大值時，三棱錐外接球表面積為【正確答案】BCD【分析】由立體幾何的線線平行，線面垂直判定定理，外接球的表面積公式逐項判斷即可.【詳解】對于A，，，因此不平行，即不存在點，使得.故A錯誤；對于B，如圖：

取的中點，連接，，，,當(dāng)時，因為，即.則，而，，平面，又分別為，的中點，即，于是平面，而平面，則，故B正確；對于C，在翻折過程中，令與平面所成角為，則點到平面的距離，又的面積為，因此三棱錐的體積為：，當(dāng)且僅當(dāng)時，即平面時取等號，所以三棱錐的體積最大值為，故C正確；對于D，當(dāng)三棱錐的體積達(dá)到最大值時，三棱錐外接球的球心為，故球的半徑為1，則球的表面積為.故D正確.故選：BCD.12．已知，，，則（

）A． B． C． D．【正確答案】BCD【分析】對于A，取即可判斷；對于B，求得，再結(jié)合基本不等式即可判斷；對于C，利用基本不等式可得，求解不等式即可判斷；對于D，，再利用函數(shù)的單調(diào)性即可判斷.【詳解】對于A，取，滿足，但不滿足，A錯；對于B，，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，B對；對于C，，令，所以，即，所以，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，C對；對于D，，令，由C選項可知，，而函數(shù)在單調(diào)遞增，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，所以，D對.故選：BCD.三、填空題13．的展開式中的系數(shù)是______．【正確答案】288【分析】利用二項展開式的通項公式可求的系數(shù).【詳解】，考慮展開式中的系數(shù).而展開式的通項公式為，令，則，令，則，故展開式中的系數(shù)為：，故答案為.14．已知直線與拋物線（）交于、兩點，且，于點，點的坐標(biāo)為，則______．【正確答案】【分析】由題知，直線的斜率為，從而求得直線方程，由知，聯(lián)立直線與拋物線的方程，利用根與系數(shù)關(guān)系代入計算求出值.【詳解】，，，，則直線的方程為：，即，設(shè)，聯(lián)立，消去得：，，，，.故答案為.15．有理數(shù)都可以表示成（、且，與互質(zhì)）的形式，進(jìn)而有理數(shù)集可表示為．任何有理數(shù)，都可以化為有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)．反之，任一有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)也可以化為的形式，從而是有理數(shù)；那么無限循環(huán)小數(shù)表示成的形式為______．【正確答案】【分析】根據(jù)，可得出的分?jǐn)?shù)表示形式.【詳解】因為，故，且與互質(zhì)，故.故答案為.四、雙空題16．任取一個正整數(shù)，若是奇數(shù)，就將該數(shù)乘3再加上1；若是偶數(shù)，就將該數(shù)除以2．反復(fù)進(jìn)行上述兩種運算，經(jīng)過有限次步驟后，必進(jìn)入循環(huán)圈1→4→2→1．這就是數(shù)學(xué)史上著名的“冰雹猜想”（又稱“角谷猜想”等）．如取正整數(shù)，根據(jù)上述運算法則得出6→3→10→5→16→8→4→2→1，共需經(jīng)過8個步驟第一次變成1（簡稱為8步“雹程”）．當(dāng)時，需要______步“雹程”；若經(jīng)過8步“雹程”次變成1，則所有可能的取值集合______．【正確答案】12【分析】根據(jù)題設(shè)給出的操作策略可求的“雹程”，利用倒退結(jié)合8步“雹程”可求所有可能的取值集合.【詳解】當(dāng)時，對應(yīng)的“雹程”為：，共有12步“雹程”.因為經(jīng)過8步“雹程”第一次變成1，倒退可得如下所有“雹程”.,故所有可能的取值集合，故12，.五、解答題17．已知數(shù)列的首項，且滿足．（1）求證：數(shù)列為等比數(shù)列．（2）若，求滿足條件的最大整數(shù)n．【正確答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）由，化簡得到，結(jié)合等比數(shù)列的定義，即可求解；（2）由（1）求得，根據(jù)等比數(shù)列的求和公式和常數(shù)列的求和公式，求得，根據(jù)，即可求解.【詳解】（1）由題意，數(shù)列滿足，可得，可得，即，又由，所以，所以數(shù)列表示首項為，公比為的等比數(shù)列.（2）由（1）可得，所以設(shè)數(shù)列的前項和為，則，若，即，因為函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，所以滿足的最大整數(shù)的值為.18．三棱臺中，平面，，且，，是的中點．

(1)求三角形重心到直線的距離；(2)求二面角的余弦值．【正確答案】(1)(2)【分析】（1）建立坐標(biāo)系，點作，求出，進(jìn)而得出三角形重心到直線的距離；（2）利用向量法得出二面角.【詳解】（1）因為，所以，過點作平面的垂線，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則

，，，，，過點作，設(shè)，.則.因為，所以，解得，所以，．即三角形重心到直線的距離為.（2），，設(shè)平面的法向量，則取，則設(shè)平面的法向量，則取，則所以，由圖可知，二面角為銳角，所以，二面角的余弦值為．19．將函數(shù)的圖象先向右平移個單位長度，再將所得函圖象上所有點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼模é兀?）倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象．(1)若，求函數(shù)在區(qū)間上的最大值；(2)若函數(shù)在區(qū)間上沒有零點，求ω的取值范圍．【正確答案】(1)(2)．【分析】（1）由函數(shù)圖象變換知識可得，后由單調(diào)性可得最值情況；（2）由（1）結(jié)合題意可知，.后由可進(jìn)一步確認(rèn)大致范圍，后可得答案.【詳解】（1）函數(shù)的圖象先向右平移個單位長度，則解析式變?yōu)椋海賹⑺煤瘓D象上所有點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼模é兀?）倍（縱坐標(biāo)不變），則解析式變?yōu)?則.當(dāng)時，，因函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，.∴，∴在區(qū)間上的最大值為．（2），當(dāng)時，，要使在上無零點，則，.，，，，當(dāng)時，；當(dāng)時，，當(dāng)時，舍去．綜上：的取值范圍為．20．生產(chǎn)某種特殊零件的廢品率為（），優(yōu)等品的概率為0.4，若20個此特殊零件中恰有4件廢品的概率為，設(shè)的最大值點為．(1)求；(2)若工廠生產(chǎn)該零件的廢品率為．（ⅰ）從生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取個零件，設(shè)其中優(yōu)等品的個數(shù)為，記，，已知時優(yōu)等品概率最大，求的最小值；（ⅱ）已知合格率為，每個零件的生產(chǎn)成本為80元，合格品每件售價150元，同時對不合格零件進(jìn)行修復(fù)，修復(fù)為合格品后正常售賣，若仍不合格則以每件10元的價格出售，若每個不合格零件修復(fù)為合格零件的概率為0.5，工廠希望一個零件至少獲利50元，試求一個零件的修復(fù)費用最高為多少元．【正確答案】(1)(2)（ⅰ）12；（ⅱ）30【分析】（1）根據(jù)二項分布求出的解析式，利用函數(shù)的單調(diào)性求解；（2）（i）根據(jù)二項分布，寫出的分布列，再根據(jù)最大求出n的范圍；（ii）根據(jù)數(shù)學(xué)期望求出最高維修費用.【詳解】（1）由題意得：，（），所以，在遞增，在遞減，當(dāng)時，取最大值；（2）（ⅰ）設(shè)優(yōu)等品的個數(shù)為，則，，，若時，有最大值，則，即，解得，所以的最小值為12；（ⅱ）設(shè)工廠生產(chǎn)一個零件獲利元，零件的修復(fù)費用為元則的可能取值為：70，，，，

，,所以，一個零件需要修復(fù)費用最高為30元；綜上，（1），（2）（i）的最小值為12，（ii）一個零件需要修復(fù)費用最高為30元.21．已知函數(shù)和有相同的最大值.(1)求a；(2)證明：存在直線y=b，其與兩條曲線和共有三個不同的交點，并且從左到右的三個交點的橫坐標(biāo)成等比數(shù)列.【正確答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）由導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，得最大值，由最大值相等得參數(shù)值；（2）設(shè)，由（1）確定，結(jié)合（1）中所得單調(diào)性，利用零點存在定理證明函數(shù)存在兩個零點，得與的圖象有兩個交點，同理得與也有兩個交點，于是為滿足題意有兩個交點重合，結(jié)合可得出三個交戰(zhàn)的橫坐標(biāo)之間的關(guān)系，從而證得結(jié)論成立.【詳解】（1）定義域是，的定義域是，因為，當(dāng)時，,,,,則在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，不存在最大值，在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，也不存在最大值；同理知當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以有極大值，即的最大值，有極大值，即的最大值，所以，即；（2）由（1）知，由于時，，時，，因此只有才可能滿足題意，記，且，由（1）得在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，且，所以存在，使得，設(shè)，則，設(shè)，則，時，，遞減，時，，