2023-2024學年河南省區域聯考高考數學（理）仿真模擬試題（一模）一、單選題1．設集合，，則（

）A． B． C． D．【正確答案】A【分析】解不等式求集合A，再根據并集計算即可.【詳解】解不等式，即，而，所以.故A2．若向量，，，且，則（

）A． B． C． D．1【正確答案】A【分析】利用向量的坐標運算與平行充要條件列出關于m的方程，解之即可求得m的值.【詳解】，因為，所以，解得.故選：A.3．若兩個復數的實部相等或虛部相等，則稱這兩個復數為同部復數.已知，則下列數是z的同部復數的是（

）A． B． C． D．【正確答案】B【分析】將展開，得到復數的實部與虛部，再逐一與選項進行比較，即可得到正確選項.【詳解】由于，其實部和虛部均為，而與的虛部相等，其余選項均不符合題意，所以是的同部復數.故選：B4．關于，對于甲、乙、丙、丁四人有不同的判斷，甲:是第三象限角，乙.丙:，丁：不小于2，若這人只有一人判斷錯誤，則此人是（

）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【正確答案】D【分析】根據題意得到乙和丁的判斷只有一個正確，分丁的判斷正確和乙的判斷正確，結合三角函數的符號和正切的倍角公式，即可求解.【詳解】由，所以乙和丁的判斷只有一個正確，且，若丁的判斷正確，即，則，此時丙的判斷錯誤，不符合題意；若乙的判斷正確，即，此時滿足，且，此時甲、丙都正確，符合題意.故選：D.5．某幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖與側視圖都是長為1，寬為的矩形，俯視圖為扇形，若球O的體積與該幾何體的體積相等，則球O的半徑為（

）

A． B． C．1 D．【正確答案】A【分析】根據題意，由三視圖可知該幾何體是四分之一個圓柱，然后結合體積計算公式，即可得到結果.【詳解】由三視圖可知，該幾何體是四分之一個圓柱（高為，底面半徑為1），其體積，設球O的半徑為r，則，解得.故選：A6．甲、乙兩人進行乒乓球比賽，采用七局四勝制，先贏四局者獲勝，沒有平局、甲每局贏的概率為，已知前兩局甲輸了，則甲最后獲勝的概率為（

）A． B． C． D．【正確答案】C【分析】利用獨立事件同時發生的概率公式，即可求得甲最后獲勝的頻率.【詳解】因為前兩局甲都輸了，所以甲需要連勝四局或第三局到第六局輸1局且第七局勝，甲才能最后獲勝，所以甲最后獲勝的概率為.故選：C7．某廣場的一個橢球水景雕塑如圖所示，其橫截面為圓，過橫截面圓心的縱截面為橢圓，，分別為該橢圓的兩個焦點，為該橢圓過點的一條弦，且的周長為.若該橢球橫截面的最大直徑為2米，則該橢球的高為（

）

A．米 B．米 C．米 D．米【正確答案】B【分析】根據題意，畫出橢圓，根據橢圓的相關性質可得.【詳解】根據題意，畫出該橢球的過橫截面圓心的縱截面如下，

根據橢圓的定義的周長為，即①由該橢球橫截面的最大直徑為2米，可知米，得又因為，所以②②聯立可得，，所以該橢球的高為米.故選：B8．已知為奇函數，當時，，當時，，則（

）A． B．C． D．【正確答案】A【分析】利用題給條件求得在上單調性，利用為奇函數求得的大小關系，再利用冪函數性質比較的大小關系，進而得到三者間的大小關系.【詳解】因為當時，，則在上單調遞增，在上單調遞減，當時，，則在上單調遞減，在上單調遞增.且，所以在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增.因為，，則所以.故選：A9．若不等式組，表示的可行域與圓有公共點，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【正確答案】D【分析】根據題意，做出可行域，然后結合圖像找到臨界情況，即可得到的取值范圍【詳解】作出不等式組表示的可行域，如圖所示，當直線與圓相切時，，則，則的最小值為；當圓經過點時，，則的最大值為17．故的取值范圍是．故選：D.10．在空間直角坐標系中，已知，則當點到平面的距離最小時，直線與平面所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．【正確答案】C【分析】根據題意，求得平面的一個法向量，結合向量的距離公式，求得點到平面的距離，根據二次函數的性質，求得，利用夾角公式，即可求解.【詳解】因為，可得，設是平面的法向量，則，令，可得，所以，所以點到平面的距離，當時，取得最小值，此時，所以直線與平面所成角的正弦值為.故選：C.11．設P為拋物線C：上的動點，關于P的對稱點為B，記P到直線的距離分別，，則的最小值為（

）A． B．C． D．【正確答案】A【分析】根據題意得到，再利用拋物線的定義結合三角不等式求解.【詳解】解：如圖，

因為，且關于P的對稱點為B，所以|PA|=|PB|，拋物線焦點，所以.當P在線段AF上時，取得最小值，且最小值為.故選：A12．已知函數的所有極值點為，且函數在內恰有2023個零點，則滿足條件的有序實數對（

）A．只有2對 B．只有3對C．只有4對 D．有無數對【正確答案】B【分析】根據題意求得函數，把函數的零點個數轉化為方程實根的個數，結合方程在內實根的個數，分類討論，即可求解.【詳解】由函數，因為函數圖象的對稱軸方程為，當時，可得，當時，可得，即兩個相鄰的極值點間的距離為，即，則，可得，因為的圖象關于直線對稱，所以，即，解得，則，所以函數的零點個數等價于方程實根的個數，先研究方程在內實根的個數，當時，方程在內實根的個數為1；當時，方程在內實根的個數為2；當時，方程在內實根的個數為3，其中在內實根的個數為2，因為是周期為的函數，所以當時，在，內方程實根的個數均為2，因為在內恰有2023個零點，且2023為奇數，所以，不合題意.當時，；當時，，故滿足條件的有序實數對只有3對.故選：B.二、填空題13．某工廠要對生產流水線上的600個零件（編號為001，002，…，599，600）進行抽檢，若采用系統抽樣的方法抽檢50個零件，且編號為015的零件被抽檢，則編號在內的零件將被抽檢的個數為______．【正確答案】4【分析】利用系統抽樣的抽樣方法得到不等式組，再求出編號在內的零件將被抽檢的個數.【詳解】因為，所以被抽檢的零件的最小編號為003．由，得，則，22，23，24，故編號在內的零件將被抽檢的個數為4．故414．若，，則____________.【正確答案】1【分析】根據題意，由對數的運算，即可得到結果.【詳解】因為，，所以，，則，所以.故15．中國古代數學名著《海島算經》記錄了一個計算山高的問題（如圖1）：今有望海島，立兩表齊，高三丈，前后相去千步，令后表與前表相直.從前表卻行一百二十三步，人目著地取望島峰，與表末參合.從后表卻行百二十七步，人目著地取望島峰，亦與表末參合.問島高及去表各幾何?假設古代有類似的一個問題，如圖2，要測量海島上一座山峰的高度AH，立兩根高48丈的標桿BC和DE，兩竿相距BD=800步，D，B，H三點共線且在同一水平面上，從點B退行100步到點F，此時A，C，F三點共線，從點D退行120步到點G，此時A，E，G三點也共線，則山峰的高度AH=_________步.（古制單位:180丈=300步）

【正確答案】3280【分析】易得在RtAHF中，在RtAHG中，得到，求解.【詳解】解：由題可知步，步，步.步.在RtAHF中，在RtAHG中.所以，，則.所以步.故328016．若存在實數a，b，使得關于x的不等式對恒成立，則b的最大值是______.【正確答案】【分析】令，可得，當時，分和討論.當時，將原命題分解成兩個恒成立問題，對于恒成立問題，可參變分離構造函數，利用導數求最值，對于，可參變分離，利用基本不等式求最值，然后即可解.【詳解】令，得.當且時，原命題等價于恒成立，由恒成立可知，又當時，，所以不存在a，使得該不等式恒成立.當，且時，由，得.設，令，解得當，，此時在上單調遞增，當，此時在上單調遞減，，得.等價于，而，當且僅當，即時等號成立，所以，則，解得，所以b的最大值是.故答案為.方法點睛：不等式恒成立問題，常用參變分離法，將恒成立問題轉化為函數最值問題，借助導數求解.本題也可結合圖象，將問題轉化為求公切線在y軸上的截距問題，利用導數求切線即可求解.三、解答題17．在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，O為CD1的中點，且點E既在平面AB1C1內，又在平面ACD1內.

(1)證明:E∈AO.(2)若AA1=4，E為AO的中點，且，求正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的側面積.【正確答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）要證明，可先找到平面∩平面，再因為點E既在平面AB1C1內，又在平面ACD1內，則點E在交線上;（2）建立空間直角坐標系，設，找到所需點的坐標，根據，可求出值，再由側面積公式求解.【詳解】（1）證明：連接.在正四棱柱中，∥，則A，，，D四點共面，所以E∈.因為側面CC1D1D為矩形，且O為的中點.所以，所以O為平面與平面的一個公共點，所以平面AB1C1D∩平面，即平面∩平面.故.（2）以A為坐標原點，，，的方向分別為x，y，z軸的正方向，建立空間直角坐標系，如圖所示.

設，其中，則（t，0，4），C（t，t，0），（t，t，4），E（，，1），..，所以，解得.所以正四棱柱的側面積為.18．定義矩陣運算：．已知數列，滿足，且．(1)證明：，分別為等差數列，等比數列．(2)求數列的前n項和．【正確答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據矩陣運算的定義得出關于和的等式，根據消元法得出和在時的通項公式，檢驗和是否滿足時的通項公式，即可證明；（2）寫出數列的通項公式，根據等差數列和等比數列求和公式，分組求和即可．【詳解】（1）證明：因為，所以，消去，得，當時，，則，當時，由及，得，所以，因為，，所以為公差為1的等差數列，為公比為2的等比數列．（2）由（1）知，則．19．已知函數的部分圖象如圖所示.

(1)求的解析式；(2)若對x∈R恒成立，求m的取值范圍.【正確答案】(1)(2)【分析】（1）根據圖象得到的圖象與x軸切于原點，故且，求出，得到解析式；（2）轉化為對恒成立，構造函數，求導得到其單調性，進而得到極值和最值情況，得到答案【詳解】（1）由圖可知的圖象與x軸切于原點，因為，所以，又，所以，所以，的解析式為；（2）由對恒成立，得對恒成立.設函數，則，令，得，令，得；令，得，所以在上單調遞減，在上單調遞增.所以，所以，即m的取值范圍是.20．已知雙曲線C：經過點，右焦點為，且，，成等差數列.(1)求C的方程；(2)過F的直線與C的右支交于P，Q兩點（P在Q的上方），PQ的中點為M，M在直線l：上的射影為N，O為坐標原點，設的面積為S，直線PN，QN的斜率分別為，，證明：是定值.【正確答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據題意和可得，然后根據點在雙曲線上即可求解；（2）依題意可設PQ：，將直線方程與圓錐曲線方程聯立得到，利用韋達定理和已知條件求出的表達式，然后求出的表達式，化簡即可求證.【詳解】（1）因為，，成等差數列，所以，又，所以.將點的坐標代入C的方程得，解得，所以，所以C的方程為.（2）依題意可設PQ：，由，得,

設，，，則.，，則，而，所以，所以是定值.21．為落實食品安全的“兩個責任”，某市的食品藥品監督管理部門和衛生監督管理部門在市人民代表大會召開之際特別邀請相關代表建言獻策.為保證政策制定的公平合理性，兩個部門將首先征求相關專家的意見和建議，已知專家庫中共有5位成員，兩個部門分別獨立地發出批建邀請的名單從專家庫中隨機產生，兩個部門均邀請2位專家，收到食品藥品監督管理部門或衛生監督管理部門的邀請后，專家如約參加會議.(1)設參加會議的專家代表共X名，求X的分布列與數學期望.(2)為增強政策的普適性及可行性，在征求專家建議后，這兩個部門從網絡評選出的100位熱心市民中抽取部分市民作為群眾代表開展座談會，以便為政策提供支持和補充意見.已知這兩個部門的邀請相互獨立，邀請的名單從這100名熱心市民中隨機產生，食品藥品監督管理部門邀請了名代表，衛生監督管理部門邀請了名代表，假設收到食品藥品監督管理部門或衛生監督管理部門的邀請后，群眾代表如約參加座談會，且，請利用最大似然估計法估計參加會議的群眾代表的人數.（備注:最大似然估計即最大概率估計，即當P（X=k）取值最大時，X的估計值為k）【正確答案】(1)分布列見解析，3.2(2)詳見解析.【分析】(1)根據離散型隨機變量的概率公式計算得分布列及期望；(2)設收到兩個部門邀請的代表的集合為A∪B，人數，，設參加會議的群眾代表的人數為Y，則由離散型隨機變量的概率公式可得，設，由組合數公式計算得，分類討論是否為整數即可得出結果.【詳解】（1）X的可能取值為2，3，4，則，，，則X的分布列為X234P0.10.60.3（2）設食品藥品監督管理部門邀請的代表記為集合A，人數為，衛生監督管理部門邀請的代表為集合B，人數為，則收到兩個部門邀請的代表的集合為A∪B.人數為Card（A∪B）.設參加會議的群眾代表的人數為Y，則.若，則，則，，，令，得，解得，以代替k，得，令，得，解得，所以，若為整數，則當或時，取得最大值，所以估計參加會議的群眾代表的人數為或，若不是整數，則當時，取得最大值，所以估計參加會議的群眾代表的人數為，其中，表示不超過的最大整數.思路點睛：第二問設