2023-2024學年河南省開封市高考數學（理）模擬試題（二模）一、單選題1．已知集合，則（

）A． B． C． D．【正確答案】C【分析】根據交集的定義運算即得.【詳解】由題知集合為正奇數組成的集合，且，則.故選：C.2．若復數滿足（為虛數單位），則（

）A． B． C． D．【正確答案】D【分析】根據復數的模長公式及復數的除法運算即得.【詳解】由題知，故選：D.3．下列函數中，在區間上單調遞增的是（

）A． B． C． D．【正確答案】B【分析】由二次函數的性質可判斷A，利用函數的導數可判斷BC，根據絕對值的意義結合條件可判斷D.【詳解】對于A，函數圖象的對稱軸為，函數在上單調遞減，在上單調遞增，故A錯誤；對于B，當時，，所以函數在上單調遞增，故B正確；對于C，，函數在上單調遞增，在上單調遞減，故C錯誤；對于D，當時，是常數函數，D錯誤，故選：B.4．2023年4月9日至15日，2023年世界乒乓球職業大聯盟冠軍賽在河南省新鄉市平原體育中心舉行，某平臺從參與網絡直播活動的網友中隨機選取了一部分，對他們的年齡（單位：歲）進行調查，根據調查結果制作的頻率分布直方圖如圖所示，由此估計參與直播活動的網友的年齡的中位數為（

）

A．32 B．33 C．34 D．35【正確答案】C【分析】根據直方圖估計中位數即得.【詳解】因為，，設中位數為，則，解得.故選：C.5．已知，則（

）A． B． C．1 D．【正確答案】A【分析】由題解得，再由求解即可.【詳解】由，解得，所以.故選：A.6．如圖，已知正三角形內接于圓，記的內切圓及其內部區域為，在的外接圓內隨機取一點，此點取自區域的概率為（

）

A． B． C． D．【正確答案】B【分析】根據正三角形的性質結合幾何概型概率公式即得.【詳解】設正三角形的內切圓與的切點為，連接，

則，故所求概率為，故選：B.7．曲線在點處的切線的斜率為0，則實數（

）A． B． C． D．1【正確答案】D【分析】根據導數的運算法則及導數的幾何意義即得.【詳解】由題可得，則，所以，故選：D.8．2023年1月底，人工智能聊天程序迅速以其極高的智能化水平引起國內關注，深度學習是人工智能的一種具有代表性的實現方法，它是以神經網絡為出發點的，在神經網絡優化中，指數衰減的學習率模型為，其中表示每一輪優化時使用的學習率，表示初始學習率，表示衰減系數，表示訓練迭代輪數，表示衰減速度.已知某個指數衰減的學習率模型的初始學習率為0.6，衰減速度為16，且當訓練迭代輪數為16時，學習率衰減為0.48，則學習率衰減到0.2以下（不含0.2）所需的訓練迭代輪數至少為（

）（參考數據：）A．75 B．77 C．79 D．81【正確答案】B【分析】由題可得，進而可得不等式，解不等式即得.【詳解】根據題意得該指數衰減的學習率模型為，當時，，代入得，解得，當學習率衰減到0.2以下（不含0.2）時，，則，即，則，故選：B.9．某次實驗得交變電流（單位：A）隨時間（單位：s）變化的函數解析式為，其中且，其圖象如圖所示，則下列說法錯誤的是（

）

A． B．C．當時， D．當時，【正確答案】D【分析】根據五點法結合圖象可得，進而即得.【詳解】由題知，則，又，則，所以當時，，則，又，則，因此，所以當時，，當時，，因此ABC正確，D錯誤，故選：D.10．已知直線與橢圓交于兩點，若點恰為弦的中點，則橢圓的離心率是（

）A． B． C． D．【正確答案】A【分析】根據給定條件，利用中點弦問題求出，再求出橢圓的離心率作答.【詳解】依題意，直線的斜率為，設，則，且，由兩式相減得：，于是，解得，此時橢圓，顯然點在橢圓內，符合要求，所以橢圓的離心率.故選：A11．為定義在上的偶函數，對任意的，都有，且，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【正確答案】A【分析】由題可得函數在上單調遞增，且為偶函數，進而可得，即得.【詳解】對任意的，都有，則，令，則在上單調遞增，因為為定義在上的偶函數，所以，即為偶函數，又，由，可得，即，所以，所以的解集為，故選：A.12．在中，角的對邊分別為，若，則的值可為（

）A． B． C． D．【正確答案】D【分析】根據三角恒等變換結合條件可得，然后利用正弦定理可得，再通過換元法，構造函數利用導數研究函數的性質進而即得.【詳解】由題知，則，即，因為，所以，則，所以，則，為鈍角，為銳角，，因為，則，則，則，令，則，令，則，所以在上單調遞減，又，則，故選：D.關鍵點點睛：本題的關鍵是通過三角恒等變換得到，然后利用邊角互化及換元法把問題轉化求函數最值，再利用導數即得.二、填空題13．向量的夾角為，定義運算“”：，若，則的值為___________.【正確答案】【分析】根據新定義結合向量的夾角公式即得.【詳解】因為，所以，則，所以.故答案為.14．陀螺是中國民間最早的娛樂工具之一，它可以近似地視為由一個圓錐和一個圓柱組合而成的幾何體，如圖1是一種木陀螺，其直觀圖如圖2所示，分別為圓柱上?下底面圓的圓心，為圓錐的頂點，若底面圓的半徑為，，則圓柱的外接球的表面積與圓錐的側面積的比值是______.

【正確答案】【分析】求出圓柱外接球半徑及圓錐的母線，代入球的表面積公式和圓錐側面積公式直接計算即可.【詳解】由圓柱的對稱性知，圓柱外接球的球心為的中點，則外接球的半徑為，所以外接球的表面積為，又圓錐的母線長為，則側面積為，所以.故15．已知過拋物線的焦點的直線交拋物線于兩點，分別過作準線的垂線，垂足分別為，準線與軸交于點，且，則___________.【正確答案】【分析】由題可得圖形，設根據條件可得關系式，進而即得.【詳解】不妨取，因為，所以，則，解得，則.

故答案為.16．已知實數滿足，則的最小值為___________.【正確答案】【分析】畫出不等式組的可行域，設，可求出，則，利用二次函數的性質即可求解【詳解】不等式組表示的可行域如圖所示，為及其內部的陰影區域，由可得，由可得，由可得令，則，結合可行域知，當直線與直線重合時取得最小值1，經過點時取得最大值5，即，，當時，取得最小值.

故三、解答題17．在①，②，③這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，并解答.已知公差不為0的等差數列的前項和為是與的等比中項，___________.(1)求的通項公式；(2)求數列的前項和.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.【正確答案】(1)(2)【分析】（1）根據所選條件，等差數列通項公式，求和公式及等比中項的性質得到方程組，解得、，即可求出通項公式；（2）利用錯位相減法計算可得.【詳解】（1）選條件①：設等差數列的公差為，則，所以，得，所以數列的通項公式為.選條件②：設等差數列的公差為，則，所以，得，所以數列的通項公式為.選條件③：因為是與的等比中項，所以，由，可得，設等差數列的公差為，則，所以，得，所以數列的通項公式為.（2）令，則①，②，①②得，所以.18．2023年五一勞動節放假5天，隨著疫情的結束和天氣轉暖，被“壓抑”已久的出行需求持續釋放，“周邊游”“鄉村游”，等旅游新業態火爆，為旅游行業發展注人了新活力，旅游預訂人數也開始增多.為了調查游客預訂旅游與年齡是否有關，調查組對300名不同年齡段的游客進行了問卷調查，得到數據如下表：預訂旅游不預訂旅游合計16～54歲（含45歲）10045歲以上80合計300已知在所有被調查的游客中隨機抽取1人，抽到不預訂旅游的游客概率為.(1)請將列聯表補充完整，能否在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下，認為是否預訂旅游與年齡有關？請說明理由.(2)以年齡為分層標準，按照分層抽樣的方法，從被調查的游客中選取5人，再從這5人中任意選取2人，求2人中恰有1人是45歲以上的概率.附：，其中.0.1000.0500.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828【正確答案】(1)列聯表答案見解析，能在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下，認為是否預訂旅游與年齡有關，理由見解析；(2).【分析】（1）由題可得不預定旅游的人數，進而可得列聯表，然后利用公式可得的觀測值，即得；（2）根據分層抽樣的定義及古典概型概率公式即得.【詳解】（1）由題可得不預定旅游的人數為，則列聯表補充完整如下：預訂旅游不預訂旅游合計16～45歲（含45歲）8010018045歲以上8040120合計160140300所以的觀測值為，所以能在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下，認為是否預訂旅游與年齡有關.（2）按分層抽樣，從被調查的游客中選取5人，16～45歲（含45歲）的人數為，分別記這3人為，45歲以上的人數為，分別記這2人為.從5人中任意選取2人，則有，共有10種情況，恰有1人是45歲以上的有，共有6種情況，則2人中恰有1人是45歲以上的概率為.19．如圖，在矩形中，點在邊上，且滿足，將沿向上翻折，使點到點的位置，構成四棱錐.

(1)若點在線段上，且平面，試確定點的位置；(2)若，求四棱錐的體積.【正確答案】(1)點為線段上靠近點的三等分點；(2).【分析】（1）過點作交于點，根據線面平行的性質定理即得；（2）取的中點，利用勾股定理及線面垂直的判定定理可得平面，然后利用錐體的體積公式即得.【詳解】（1）如圖，過點作交于點，連接，因為，所以四點共面，若平面，由平面，平面平面，所以，所以四邊形為平行四邊形，,則，

所以當且僅當點為線段上靠近點的三等分點時，平面.（2）如圖，取的中點，連接，取的中點，連接，則，所以，又，則，又，則，所以.因為，平面，所以平面，則四棱錐的體積為.20．已知雙曲線的一條漸近線方程為，且雙曲線經過點.(1)求雙曲線的方程；(2)過點且斜率不為0的直線與交于兩點（與點不重合），直線分別與直線交于點，求的值.【正確答案】(1)；(2).【分析】（1）由題得，進而即得；（2）設直線的方程為，聯立雙曲線方程，根據直線，的方程表示出結合韋達定理即得.【詳解】（1）由題意可知，解得，所以雙曲線的方程為.（2）設直線的方程為，代入中，可得，設，則.

直線的方程為，令，得點的縱坐標為，直線的方程為，令，得點的縱坐標為，因為，所以，即.方法點睛：利用韋達定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設直線方程，設交點坐標為；（2）聯立直線與圓錐曲線的方程，得到關于（或）的一元二次方程，必要時計算；（3）列出韋達定理；（4）將所求問題或題中的關系轉化為、（或、）的形式；（5）代入韋達定理求解.21．已知函數，其中為自然對數的底數.(1)當時，求的單調區間；(2)若函數有兩個零點，證明.【正確答案】(1)單調遞增區間為，單調遞減區間為(2)證明見解析【分析】（1）將代入后得，對其求導，利用導數與函數的單調性即可得解；（2）由題意得，從而利用分析法將變形為，構造函數，利用導數證得，由此得證.【詳解】（1）當時，的定義域為，則，因為，則，所以，當時，，則單調遞增；當時，，則單調遞減；所以的單調遞增區間為，單調遞減區間為.（2）若函數有兩個零點，則，即，兩式相減，可得，兩式相加得，要證，只要證，即證，即證，只須證，即證，即證，令，則由得，故須證，令，則，當時，，所以在上單調遞增，所以當時，，即成立，故原不等式成立.方法點睛：導函數中常用的兩種常用的轉化方法：一是利用導數研究含參函數的單調性，常化為不等式恒成立問題．注意分類討論與數形結合思想的應用；二是函數的零點、不等式證明常轉化為函數的單調性、極（最）值問題處理．22．在直角坐標系中，圓是以為圓心，為半徑的圓，直線的參數方程為（為參數，），以坐標原點為極點，軸的非負半軸為極軸建立極坐標系.(1)寫出圓的極坐標方程；(2)已知直線與圓相交于兩點，且，求角.【正確答案】(1)(2)或【分析】（1）先求圓的直角坐標方程，然后直接化為極坐標方程即可；（2）先把直線方程化為極坐標方程，然后聯立直線的極坐標方程和圓的極坐標方程，利用的幾何意義即可解答.【詳解】（1）由題意知圓的方程為，即，將代入得圓的極坐標方程為.（2）由題知直線的極坐標方程為，設，聯立可得，且，即，由韋達定理得，則，所以，又，所以，