2023-2024學年河北省滄州市高考數學押題模擬試題（三模）一、單選題1．已知，則復數的虛部為（

）A． B． C．1 D．3【正確答案】C【分析】根據復數四則運算化簡，然后可得答案.【詳解】因為，所以，所以復數的虛部為1.故選：C2．已知集合，，則（

）A． B． C． D．【正確答案】B【分析】首先解對數不等式求出集合，再根據交集的定義計算可得.【詳解】由，可得，所以，解得，所以，又，所以.故選：B3．若雙曲線的一條漸近線與圓相交于、兩點，且，則（

）A．2 B．4 C．5 D．8【正確答案】B【分析】首先將圓的方程化為標準式，即可得到圓心坐標與半徑，依題意可得，得到漸近線方程，由弦長求出圓心到直線的距離，即可得到方程，解得即可.【詳解】圓，即，圓心為，半徑，因為為雙曲線，所以，則漸近線方程為，即，因為，所以圓心到直線的距離，則，所以.故選：B4．函數的大致圖象是（

）A．

B．

C．

D．

【正確答案】D【分析】先判斷函數的奇偶性，再利用導數法判斷.【詳解】解：因為函數的定義域為：，且，所以函數是偶函數，當時，，令，得，當時，，當時，，所以當時，取得極小值，故選：D5．已知函數在時取得最值，則圖象在點處的切線方程為（

）A． B． C． D．【正確答案】B【分析】根據已知并利用導數求參數值，進而確定函數解析式和導函數，應用導數幾何意義求切線方程.【詳解】由，當時定義域上單調，無最值；當時，不合題設；所以，對于為單調函數，函數值有正有負，要使時取得最值，只需，則，所以，經檢驗滿足題設，故，，所以，，故處的切線方程為，即.故選：B6．月牙泉，古稱沙井，俗名藥泉，自漢朝起即為“敦煌八景”之一，得名“月泉曉澈”，因其形酷似一彎新月而得名．如圖所示，某月牙泉模型的邊緣都可以看作是圓弧，兩段圓弧可以看成是的外接圓和以AB為直徑的圓的一部分，若，AB的長約為，則該月牙泉模型的面積約為（

）A． B．C． D．【正確答案】A【分析】由正弦定理求出外接圓的半徑為，得出弓形部分所對的圓心角，求出弓形面積后由半圓面積減去弓形面積即得．【詳解】設外接圓圓心為，如圖，半徑為，則，，因此，中弓形面積為，從而陰影部分面積為．故選：A．7．甲、乙兩個圓錐的母線長相等，側面積分別為和，體積分別為和.若，則兩圓錐側面展開圖的圓心角之和為（

）A． B． C． D．【正確答案】C【分析】根據圓錐的側面積、體積列式結合，再結合圓錐的側面展開圖及扇形公式運算求解.【詳解】設甲、乙兩個圓錐的底面半徑分別為和，母線長為，則甲、乙兩個圓錐的高和，由題意可得：，解得，設甲、乙兩個圓錐的側面展開圖的圓心角分別為和，則，解得，所以兩圓錐側面展開圖的圓心角之和.故選：C.8．設，，，則（

）A． B． C． D．【正確答案】D【分析】依題意，，，令，利用導數說明函數的單調性，即可判斷、，再令，，利用導數說明函數的單調性，即可判斷、，即可得解.【詳解】因為，，，令，，則，令，則，所以在上單調遞增，，所以，所以在上單調遞增，所以，則，即，即，令，，則，所以在上單調遞減，則，則，即，即，所以，綜上可得.故選：D關鍵點睛：本題解答的關鍵是根據式子的特征構造函數，，，，利用導數說明函數的單調性，結合臨界點的函數值，從而判斷函數值的正負，達到比較大小的目的.二、多選題9．某地環保部門公布了該地兩個景區2016年至2022年各年的全年空氣質量優良天數的數據.現根據這組數據繪制了如圖所示的散點圖，則由該圖得出的下列結論中正確的是（

）

A．景區A這7年的空氣質量優良天數的中位數為254B．景區這7年的空氣質量優良天數的第80百分位數為280C．這7年景區A的空氣質量優良天數的標準差比景區的空氣質量優良天數的標準差大D．這7年景區A的空氣質量優良天數的平均數比景區的空氣質量優良天數的平均數大【正確答案】AC【分析】根據統計中的相關概念與公式逐項分析判斷.【詳解】由圖可得：景區A這7年的空氣質量優良天數排序得：203，217，254，254，293，301，313；景區B這7年的空氣質量優良天數排序得：255，262，262，266，280，283，293；對于選項A：景區A這7年的空氣質量優良天數的中位數為254，故A正確；對于選項B：因為，則第80百分位數為第6個數，為283，故B錯誤；對于選項C：由圖可知：景區A的空氣質量優良天數的數據波動比景區的空氣質量優良天數的數據波動大，所以景區A的空氣質量優良天數的標準差比景區的空氣質量優良天數的標準差大，故C正確；對于選項D：景區A的空氣質量優良天數的平均值，景區B的空氣質量優良天數的平均值，因為，即，所以這7年景區A的空氣質量優良天數的平均數比景區的空氣質量優良天數的平均數小，故D錯誤；故選：AC.10．已知二項式的展開式中所有項的系數的和為64，則（

）A．B．展開式中的系數為C．展開式中奇數項的二項式系數的和為32D．展開式中二項式系數最大的項為【正確答案】ACD【分析】賦值法求得，根據二項式定理求展開式通項，結合二項式系數性質求的系數、奇數項的二項式系數和、二項式系數最大的項.【詳解】令，則，可得，A對；，當時，，B錯；由原二項式的二項式系數和為，則奇數項的二項式系數的和為32，C對；由上知：二項式系數最大為，即，則，D對.故選：ACD11．已知函數的最小正周期為，且滿足，，若在上有三個不同的零點，則的取值可以是（

）A． B． C． D．3【正確答案】ABC【分析】由題設，且關于、對稱，則確定，，再將問題化為與有三個交點，數形結合求范圍，即可得答案.【詳解】由，則，由，即關于、對稱，所以，，則，則，，綜上，，則，故，由，則，，所以，，又，故，，綜上，，要使在上有三個不同的零點，即與有三個交點，而在上的圖象如下：由圖知：，滿足條件的有A、B、C.故選：ABC12．在四棱錐中，平面，直線與平面和平面所成的角分別為和，則（

）A． B．C．直線與平面所成角的余弦值為 D．若的中點為，則三棱錐的外接球的表面積為【正確答案】BD【分析】設，易得即為直線與平面所成角的平面角，即為直線與平面所成角的平面角，從而可求得，即可判斷AB；以點為原點建立空間直角坐標系，利用向量法即可判斷C；易得為等腰直角三角形，則外接圓的圓心為的中點，設三棱錐的外接球的球心為，半徑為，則平面，設，再根據求得半徑，即可判斷D.【詳解】設，則，因為平面，平面，所以，則即為直線與平面所成角的平面角，所以，所以，即，，因為平面，所以平面，則即為直線與平面所成角的平面角，所以，所以，即，所以，即，故A錯誤；，則，所以，故B正確；對于C，如圖，以點為原點建立空間直角坐標系，則，故，設平面的法向量為，則有，可取，則，所以直線與平面所成角的正弦值為，余弦值為，故C錯誤；因為的中點為，所以且，又，所以四邊形為矩形，所以，所以為等腰直角三角形，，則外接圓的圓心為的中點，半徑，如圖，設三棱錐的外接球的球心為，半徑為，則平面，設，則，即，解得，所以，所以三棱錐的外接球的表面積為，故D正確.故選：BD.

方法點睛：解決與球相關的切、接問題，其通法是作出截面，將空間幾何問題轉化為平面幾何問題求解，其解題思維流程如下：（1）定球心：如果是內切球，球心到切點的距離相等且為球的半徑；如果是外接球，球心到接點的距離相等且為半徑；（2）作截面：選準最佳角度做出截面（要使這個截面盡可能多的包含球、幾何體的各種元素以及體現這些元素的關系），達到空間問題平面化的目的；（3）求半徑下結論：根據作出截面中的幾何元素，建立關于球的半徑的方程，并求解.三、填空題13．已知平面向量的夾角為，且.若向量在向量上的投影向量為，則的值為________.【正確答案】/0.25【分析】利用已知條件先求出，在根據投影向量求解的方法求解即可得出的值.【詳解】因為平面向量的夾角為，，所以，又，所以，即，即，所以或（舍去），所以，所以向量在向量上的投影向量為：，又向量在向量上的投影向量為，所以，故答案為.14．已知正四棱臺中，，，則其體積為________.【正確答案】【分析】作出正四棱臺的直觀圖，過點作交于點，過點作交于點，利用勾股定理求出棱臺的高，最后根據棱臺的體積公式計算可得.【詳解】如圖正四棱臺中，則，，過點作交于點，過點作交于點，則，又，所以，即正四棱臺的高，所以棱臺的體積.故15．2022年8月31日至9月5日在國家會議中心和首鋼園區舉辦了中國國際服務貿易交易會.今年服貿會的主題為“服務合作促發展，綠色創新迎未來”，國際化和專業化水平進一步提升.某高校甲、乙、丙、丁、戊、己六位大學生通過篩選加入志愿者.通過培訓，擬安排這六位大學生到四個場館進行志愿服務，每名同學只能去一個場館，每個場館至少安排一名志愿者，且甲、乙不能去同一個場館，丙、丁不能去同一個場館，則不同的安排方法有________種.（用數字作答）【正確答案】1104【分析】先根據分組分配問題求總的安排方法，然后減去甲、乙去同一個場館，丙、丁去也同一個場館的安排方法數，再加上甲、乙去同一個場館，且丙、丁去也同一個場館的安排方法數,即可得到答案.【詳解】將6人分成4組，共有種，再將4組分到4個場館有種，所以將6人分到4個場館共有種.若甲、乙去同一個場館，則將甲、乙看成一個元素，與其余4人一起共5個元素分成4組，再分到4個場館，共有種，同理，丙、丁去同一個場館也有種；若甲、乙去同一個場館，且丙、丁去也同一個場館，則有種.所以，甲、乙不去同一個場館，且丙、丁不去同一個場館的不同的安排方法有種.故1104.16．如圖，四邊形為橢圓的內接矩形，其中點關于軸對稱，點滿足，直線交橢圓于點，且，則橢圓的離心率為________.

【正確答案】/0.5【分析】設，根據對稱即可得出，，利用得出，然后利用表示出和，聯立得出，再結合在橢圓上，通過化簡即可得出離心率.【詳解】由題知，設，則，，，，，則，所以，：，①，因為，所以，則，：，②聯立①②得，而，，所以，則，所以，而，所以，所以，，所以，所以.故關鍵點睛：本題考查直線與圓錐曲線相位置關系，注意運用橢圓的方程和對稱性，考查化簡整理的運算求解能力，屬于中檔題.四、解答題17．已知數列的前項和為，且.(1)證明：數列是等差數列；(2)若，，成等比數列.從下面三個條件中選擇一個，求數列的前項和.（注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分）①；②；③.【正確答案】(1)證明見解析(2)答案見解析【分析】（1）依題意可得，根據，作差得到，當時兩邊同除，即可得到為常數數列，從而求出，即可證明；（2）設的公差為，根據等比中項的性質得到方程，求出，即可求出的通項，再根據所選條件，利用裂項相消法計算可得.【詳解】（1）因為，即，當時，解得，當時，所以，即，所以，當時上述式子恒成立，當時兩邊同除可得，即，所以為常數數列，即，所以，即，當時上述也成立，所以，所以是以為首項，為公差的等差數列.（2）設的公差為，因為，，成等比數列，所以，即，解得，所以；若選①，則，所以.若選②，則，所以.若選③，則，所以.18．已知在中，角的對邊分別為，點滿足，且.(1)求證：；(2)求的值.【正確答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）分別在和中利用正弦定理表示出，，代入已知等式化簡整理即可得到結果；（2）根據，余弦定理整理得到；在中利用余弦定理得，進而得，代入求值，再求正弦值，令，則，將目標式化簡得到關于的代數式，即可求值.【詳解】（1），則，，在中；在中；又，，即，.（2）在中，由余弦定理得：；在中，由余弦定理得：；，則，即，整理可得：；在中，由余弦定理得：，則，，故，即；.由（1）知：，則，則，令，則，，所以，，.19．新能源汽車是指除汽油、柴油發動機之外的所有其他能源汽車，被認為能減少空氣污染和緩解能源短缺的壓力.在當今提倡全球環保的前提下，新能源汽車越來越受到消費者的青睞，新能源汽車產業也必將成為未來汽車產業發展的導向與目標.某機構從某地區抽取了500名近期購買新能源汽車的車主，調查他們的年齡情況，其中購買甲車型的有200人，統計得到如下的頻率分布直方圖.

(1)將年齡不低于45歲的人稱為中年，低于45歲的人稱為青年，購買其他車型的車主青年人數與中年人數之比為.完成下列列聯表，依據的獨立性檢驗，能否認為購買甲車型新能源汽車與年齡有關？青年中年合計甲車型其他車型合計(2)用分層抽樣的方法從購買甲車型的樣本中抽取8人，再從中隨機抽取4人，記青年有人，求的分布列和數學期望.附.0.1000.0500.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828【正確答案】(1)列聯表見詳解，能認為購買甲車型新能源汽車與年齡有關.(2)分布列見詳解，【分析】（1）根據分布列和已知條件求出購買甲車型和其他車型的青年、中年人數，可得列聯表，然后計算卡方，查表可作出判斷；（2）先計算各層所抽取人數，然后由超幾何分布概率公式求概率可得分布列，再根據期望公式可解.【詳解】（1）由直方圖可知，購買甲車型的青年人數為人，中年人數為人，購買其他車型的青年人數為人，中年人數為人，于是的列聯表：青年中年合計甲車型12575200其他車型22575300合計350150500因為，所以，有的把握認為購買甲車型新能源汽車與年齡有關.（2）用分層抽樣的方法從購買甲車型的樣本中抽取8人，則青年有人，中年有人，所以X的可能取值為1,2,3,4.，，，，得分布列：X1234P所以.20．如圖所示.在多面體中，平面，，，，且，，分別為棱，的中點，為棱上一點，且.

(1)證明：為的中點；(2)求平面與平面夾角的余弦值.【正確答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）過點作，即可建立如圖所示的空間直角坐標系，設，表示出，，依題意可得，即可求出的值，從而得證；（2）利用空間向量法計算可得.【詳解】（1）因為平面，，如圖過點作，則平面，如圖建立空間直角坐標系，令，在底面四邊形中，，所以，則，，，，，，，所以，，因為為棱上一點，設，則，因為，所以，即，解得，所以為的中點.（2）由（1）可得，又，，，，設平面的法向量為，則，令，則，，所以；設平面的法向量為，則，令，則，，所以；設平面與平面的夾角為，則，故平面與平面夾角的余弦值為.21．已知函數.(1)若不等式有解，求實數的取值范圍；(2)若有兩個不同的零點，證明.【正確答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）由題設在上有解，利用導數研究右側最大值，即可得參數范圍；（2）利用導數研究零點分布，再轉化證明結論為，分析法轉化結論，并構造中間函數研究恒成立證明結論.【詳解】（1）由，即在上有解，所以在上有解，令，只需，由，當，則，遞增，當，則，遞減，所以最大值為，故.（2）由題意，有兩個零點，則有兩個解，令與有兩個交點，而，且，當，則，故在上遞增，且值域為；當，則，故在上遞減，且值域為；所以最大值為，故，且，圖象如下