2023-2024學(xué)年北京市順義區(qū)高考考前適應(yīng)性檢測數(shù)學(xué)模擬試題（一模）一、單選題1．若集合，，則（

）A． B． C． D．【正確答案】B【分析】由題目條件，先求解，再與集合A做交集運算即可.【詳解】因，故．本題考查集合的運算，屬于基礎(chǔ)題．2．設(shè)復(fù)數(shù)滿足，則（

）A． B． C． D．【正確答案】C【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運算得到，再根據(jù)模長公式求解即可.【詳解】因為，所以，所以，故選：C.3．函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱，則（

）A． B．C． D．【正確答案】D【分析】由題意可知：，即可求出答案.【詳解】因為數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱，則，所以.故選：D.4．的展開式的二項式系數(shù)之和為8，則展開式的常數(shù)項等于（

）A．4 B．6C．8 D．10【正確答案】B由二項式系數(shù)和求出，然后寫出展開式的通項公式得常數(shù)項所在項數(shù)，從而得常數(shù)項．【詳解】因為的展開式的各個二項式系數(shù)之和為8，所以，解得，所以展開式的通項為，令，，則r＝1，所以常數(shù)項為6．故選：B5．在平面直角坐標系xOy中，設(shè)角的頂點與原點O重合，始邊與x軸的非負半軸重合，若角終邊過點，則的值為（

）A． B． C． D．【正確答案】A【分析】由角終邊過點求出，利用誘導(dǎo)公式及二倍角公式化簡即可得解.【詳解】因為角終邊過點，，所以，.故選：A本題考查任意角的三角函數(shù)定義，涉及三角函數(shù)誘導(dǎo)公式及二倍角公式，屬于基礎(chǔ)題.6．已知函數(shù)，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【正確答案】B【分析】將已知不等式化為，在同一坐標系下作出兩個函數(shù)的圖象，可得不等式的解集．【詳解】由題意，不等式，即，等價于在上的解，令，，則不等式為，在同一坐標系下作出兩個函數(shù)的圖象，如圖所示，可得不等式的解集為，故選：B7．《周髀算經(jīng)》中對圓周率有“徑一而周三”的記載，已知兩周率小數(shù)點后20位數(shù)字分別為14159

2653589793

23846．若從這20個數(shù)字的前10個數(shù)字和后10個數(shù)字中各隨機抽取一個數(shù)字，則這兩個數(shù)字均為奇數(shù)的概率為（

）A． B． C． D．【正確答案】D【分析】利用古典概型概率公式即得.【詳解】因為從這20個數(shù)字的前10個數(shù)字中有7個奇數(shù)，后10個數(shù)字中有5個奇數(shù)，所以從這20個數(shù)字的前10個數(shù)字和后10個數(shù)字中各隨機抽取一個數(shù)字，這兩個數(shù)字均為奇數(shù)的概率為.故選：D.8．設(shè)為等比數(shù)列，若，，，，則是的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【正確答案】A【詳解】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)設(shè)為等比數(shù)列，若，，，，則，反過來設(shè)數(shù)列為常數(shù)列1，1，1，1……,任意兩項的積相等，但項數(shù)和不等，所以不必要，那么為等比數(shù)列，若，，，，則是的充分不必要條件,選A.9．已知圓：與直線：，為直線上一動點.若圓上存在點，使得，則的最大值為（

）A． B．4 C．2 D．【正確答案】C【分析】易知直線與圓相離，為直線上一動點，當(dāng)直線與圓相切時，取得最大值，求解即可.【詳解】圓的圓心為，半徑為1，圓心到直線的距離為，可知直線與圓相離，由正弦定理可得三角形的外接圓直徑為，為直線上一動點，當(dāng)直線與圓相切時，此時為外接圓的直徑，取得最大值，最大值為.故選：C.本題考查直線與圓的位置關(guān)系以及正弦定理的應(yīng)用，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生的推理能力與計算能力，屬于中檔題.10．新型冠狀病毒肺炎（）嚴重影響了人類正常的經(jīng)濟與社會發(fā)展．我國政府對此給予了高度重視，采取了各種防范與控制措施，舉國上下團結(jié)一心，疫情得到了有效控制．人類與病毒的斗爭將是長期的，有必要研究它們的傳播規(guī)律，做到有效預(yù)防與控制，防患于未然．已知某地區(qū)爆發(fā)某種傳染病，當(dāng)?shù)匦l(wèi)生部門于月日起開始監(jiān)控每日感染人數(shù)，若該傳染病在當(dāng)?shù)氐膫鞑ツＰ蜑椋ū硎咀栽氯臻_始（單位：天）時刻累計感染人數(shù)，的導(dǎo)數(shù)表示時刻的新增病例數(shù)，），根據(jù)該模型推測該地區(qū)新增病例數(shù)達到頂峰的日期所在的時間段為（

）A．月日～月日 B．月日～月日C．月日～月日 D．月日～月日【正確答案】A【分析】由題對求導(dǎo)得：，根據(jù)基本不等式得：，即可求出答案.【詳解】對求導(dǎo)得：，根據(jù)基本不等式得：，當(dāng)且僅當(dāng)，即，即，即.故選：A.二、填空題11．雙曲線的兩條漸近線夾角為________．【正確答案】【分析】首先求出雙曲線的漸近線方程，求出漸近線的斜率，由夾角公式即可求出漸近線的夾角．【詳解】因為雙曲線，所以漸近線方程為或，設(shè)兩條漸近線的夾角為銳角，則，所以夾角為．故答案為本題考查雙曲線漸近線方程的求法以及夾角公式，屬于基礎(chǔ)題．三、雙空題12．正方形中，，為中點，為中點，則_______；若為上的動點，則的最大值為_________.【正確答案】【分析】建立平面直角坐標系，利用平面向量數(shù)量積的坐標運算求得，設(shè)出點坐標，求得的表達式，進而求得的最大值.【詳解】以為坐標原點建立如圖所示的平面直角坐標系，由于正方形的邊長為，分別是線段的中點，所以，所以.設(shè)，則，由于，所以，所以的最大值為.故（1）；（2）本小題主要考查平面向量數(shù)量積的運算，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，屬于基礎(chǔ)題.四、填空題13．已知函數(shù)(其中為實數(shù)),若對恒成立,則滿足條件的值為______________(寫出滿足條件的一個值即可)【正確答案】答案不唯一，如：【分析】根據(jù)f（x）≤|f（）|，可得x時，f（x）取得最大值或最小值，即寫出答案；【詳解】由題意，f（x）≤|f（）|對x∈R恒成立，可得x時，f（x）取得最大值或最小值．若x時，f（x）取得最大值，可得2kπ，k∈Z若x時，f（x）取得最小值，可得2kπ，k∈Z故答案為本題考查了三角形函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題五、雙空題14．已知拋物線C：的焦點為，則拋物線C的方程是________；若M是C上一點，F(xiàn)M的延長線交y軸于點N，且M為FN的中點，則|FN|＝________．【正確答案】6利用C：的焦點坐標為,對照已知焦點坐標求得,得到拋物線的方程；利用中點坐標公式求得的橫坐標，利用拋物線的定義求得到焦點的距離，進而得到所求.【詳解】拋物線C：的焦點為，可得，則拋物線C的方程是.由M為FN的中點，在軸上，的橫坐標為0，的橫坐標為2，得M的橫坐標為1，拋物線上的點到焦點的距離等于到準線的距離，是拋物線上的點，是拋物線的焦點，拋物線C：的準線方程為,，.故；6.本題考查根據(jù)焦點坐標求拋物線的標準方程中的參數(shù)，利用拋物線的定義(焦半徑公式)求點到直線的距離，涉及線段中點坐標公式，屬基礎(chǔ)題.常用知識如下:（1）C：的焦點坐標為;（2）C：上的點到焦點的距離為.六、填空題15．小圖給出了某池塘中的浮萍蔓延的面積與時間（月）的關(guān)系的散點圖．有以下敘述：①與函數(shù)相比，函數(shù)作為近似刻畫與的函數(shù)關(guān)系的模型更好；②按圖中數(shù)據(jù)顯現(xiàn)出的趨勢，第個月時，浮萍的面積就會超過；③按圖中數(shù)據(jù)顯現(xiàn)出的趨勢，浮萍每個月增加的面積約是上個月增加面積的兩倍；④按圖中數(shù)據(jù)顯現(xiàn)出的趨勢，浮萍從月的蔓延到至少需要經(jīng)過個月．其中正確的說法有__________（填序號）．【正確答案】①②③.【分析】結(jié)合圖形求出函數(shù)的表達式，然后逐一判斷【詳解】①由題意知：浮萍蔓延的面積（）與時間（月）的關(guān)系：（且），且由函數(shù)圖象可知函數(shù)過點，∴，∴這個指數(shù)函數(shù)的底數(shù)是，正確，故①正確．∴函數(shù)解析式為．②當(dāng)時，，故第個月時，浮萍的面積就是超過成立，故②正確．③由知，浮萍每個月增加的面積約是上個月增加面積的兩位，③正確．④由知，，；，，即需要經(jīng)過個月，故④不正確．運用函數(shù)解決實際問題，關(guān)鍵是建立數(shù)學(xué)模型，將其轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，然后求解，需要理解題目意思．七、解答題16．已知函數(shù)，是函數(shù)的對稱軸，且在區(qū)間上單調(diào)．(1)從條件①、條件②、條件③中選一個作為已知，使得的解析式存在，并求出其解析式；條件①：函數(shù)的圖象經(jīng)過點；條件②：是的對稱中心；條件③：是的對稱中心.(2)根據(jù)（1）中確定的，求函數(shù)的值域．【正確答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意得到和，再根據(jù)選擇的條件得到第三個方程，分析方程組即可求解；（2）先求出所在的范圍，再根據(jù)圖像求出函數(shù)值域即可.【詳解】（1）因為在區(qū)間上單調(diào)，所以，因為，且，解得；又因為是函數(shù)的對稱軸，所以；若選條件①：因為函數(shù)的圖象經(jīng)過點，所以，因為，所以，所以，即，當(dāng)時，，滿足題意，故.若選條件②：因為是的對稱中心，所以，所以，此方程無解，故條件②無法解出滿足題意得函數(shù)解析式.若條件③：因為是的對稱中心，所以，所以，解得，所以.（2）由（1）知，，所以等價于，，所以，所以，即函數(shù)的值域為.17．如圖，在三棱柱中，平面，，，，點，分別在棱和棱上，且，，為棱的中點．（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）求證：平面；（Ⅲ）求二面角的余弦值．【正確答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）證明見解析；（Ⅲ）.【分析】（Ⅰ）根據(jù)平面，得到；根據(jù)線面垂直的判定定理，得到平面，進而可證；（Ⅱ）設(shè)的中點為，連接，連接，根據(jù)面面平行的判定定理，先證明平面平面，進而可證線面平行；（Ⅲ）以為原點，分別以、、的方向為軸、軸、軸的正方向建立空間直角坐標系，根據(jù)題意，分別求出平面和平面的一個法向量，由向量夾角公式求出夾角余弦值，進而可得出結(jié)果.【詳解】（Ⅰ）因為平面，平面，所以；又，，平面，平面，所以平面，因為平面，所以，即；（Ⅱ）設(shè)的中點為，連接，則，又平面，平面，所以平面；連接，因為且，

所以是平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面；又，且平面，平面，所以平面平面，

又平面，所以平面；

（Ⅲ）以為原點，分別以、、的方向為軸、軸、軸的正方向建立空間直角坐標系（如圖），可得、、、、由（Ⅰ）可知，平面，即平面，所以是平面的一個法向量，

又，．設(shè)為平面的法向量，則，即，不妨設(shè)，可得．

，

因為二面角的平面角是鈍角，

所以，二面角的余弦值為.本題主要考查證明線線垂直，證明線面平行，以及求二面角的余弦值，熟記線面垂直、線面平行的判定定理，以及空間向量的方法求二面角即可，屬于常考題型.18．在某地區(qū)，某項職業(yè)的從業(yè)者共約8.5萬人，其中約3.4萬人患有某種職業(yè)病.為了解這種職業(yè)病與某項身體指標（檢測值為不超過6的正整數(shù)）間的關(guān)系，依據(jù)是否患有職業(yè)病，使用分層抽樣的方法隨機抽取了100名從業(yè)者，記錄他們該項身體指標的檢測值，整理得到如下統(tǒng)計圖：(1)求樣本中患病者的人數(shù)和圖中，的值；(2)在該指標檢測值為4的樣本中隨機選取2人，求這2人中有患病者的概率；(3)某研究機構(gòu)提出，可以選取常數(shù)（），若一名從業(yè)者該項身體指標檢測值大于，則判斷其患有這種職業(yè)病；若檢測值小于，則判斷其未患有這種職業(yè)病.從樣本中隨機選擇一名從業(yè)者，按照這種方式判斷其是否患有職業(yè)病.寫出使得判斷錯誤的概率最小的的值及相應(yīng)的概率（只需寫出結(jié)論）.【正確答案】(1)樣本患病人數(shù)為人，，；(2)；(3)，誤判概率為.【分析】（1）根據(jù)等比例原則求患者人數(shù)，由頻率和為1，列方程求a、b的值；（2）分別求出樣本中指標檢測值為4的未患病者、患病者人數(shù)，應(yīng)用對立事件概率求法求概率；（3）判斷且對應(yīng)的誤判率，即可得結(jié)果.【詳解】（1）由題設(shè)，患病者與未患病者的比例為，故患者人數(shù)為人；由直方圖知：，可得，，可得.（2）由題意，指標檢測值為4的未患病者有人，指標檢測值為4的患病者有人；所以指標檢測值為4的樣本中隨機選取2人，這2人中有患病者的概率的概率.（3）若為未患病者，為患病者，為體指標檢測值為者，所以100名樣本中，，，未患病者62115963患病者00481216當(dāng)時，患病者、未患病者被誤判的人數(shù)分別為0、54，誤判率為；當(dāng)時，患病者、未患病者被誤判的人數(shù)分別為0、33，誤判率為；當(dāng)時，患病者、未患病者被誤判的人數(shù)分別為4、18，誤判率為；當(dāng)時，患病者、未患病者被誤判的人數(shù)分別為12、9，誤判率為；當(dāng)時，患病者、未患病者被誤判的人數(shù)分別為3、24，誤判率為；綜上，當(dāng)時誤判概率最小為.19．已知橢圓過點，且離心率為.（1）求橢圓的方程；（2）過右焦點且不與軸重合的直線與橢圓交于，兩點，已知，過且與軸垂直的直線與直線交于點，求證：點在一定直線上，并求出此直線的方程.【正確答案】（1）；（2）證明見解析，直線.【分析】（1）由橢圓過定點，結(jié)合離心率求橢圓參數(shù)，寫出橢圓方程.（2）由題設(shè)知的斜率不可能為0，可設(shè)直線的方程為，，，聯(lián)立橢圓方程，應(yīng)用韋達定理可得，再由點斜式表示直線：，則即可判斷是否為定直線.【詳解】（1）由題意，且，又，解得，.橢圓的方程為.（2）設(shè)直線的方程為，，，聯(lián)立方程整理得，，由，，即.直線的方程為.①過且與軸垂直的直線的方程為.②聯(lián)立①②可得.點在定直線上.關(guān)鍵點點睛：第二問，設(shè)直線的方程聯(lián)立橢圓方程，由韋達定理確定的關(guān)系，進而由的位置用表示出其橫坐標.20．已知函數(shù).（Ⅰ）當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；（Ⅱ）若，討論函數(shù)的單調(diào)性；（Ⅲ）當(dāng)時，恒成立，求的取值范圍.【正確答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）答案見解析；（Ⅲ）.（Ⅰ）根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義求出導(dǎo)數(shù)即為斜率，根據(jù)點斜式寫出直線方程；（Ⅱ）由題意得，討論根據(jù)判定其單調(diào)區(qū)間；（Ⅲ）法一：由題意得，討論根據(jù)單調(diào)性判定是否成立即可得出答案；法二：原命題等價于在上恒成立，用參變分離法求出函數(shù)最值.【詳解】（Ⅰ）當(dāng)時，，

，

所以切線方程為：，即：；（Ⅱ）由題，可得由于，的解為，（1）當(dāng)，即時，，則在上單調(diào)遞增；（2）當(dāng)，即時，在區(qū)間上，在區(qū)間上，，所以的單調(diào)增區(qū)間為；單調(diào)減區(qū)間為.

(3)當(dāng)，即時，在區(qū)間上，在區(qū)間上，，則在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減.

（Ⅲ）解法一：（1）當(dāng)時，因為，所以，，所以，則在上單調(diào)遞增，成立

（2）當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，所以成立.

（3）當(dāng)時，在區(qū)間上，；在區(qū)間，，所以在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，所以，不符合題意.

綜上所述，的取值范圍是.

解法二：當(dāng)時，恒成立，等價于“當(dāng)時，恒成立”.即在上恒成立.當(dāng)時，，所以.

當(dāng)時，，所以恒成立.設(shè)，則因為，所以，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增.所以，所以.綜上所述，的取值范圍是.方法點睛：已知不等式恒成立求參數(shù)值(取值范圍)問題常用的方法：（1）函數(shù)法：討論參數(shù)范圍，借助函數(shù)單調(diào)性求解；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域或最值問題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，進而構(gòu)造兩個函數(shù)，然后在同一平面直角坐標系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.21．設(shè)數(shù)列（）的各項均為正整數(shù)，且.若對任意，存在正整數(shù)使得，則稱數(shù)列具有性質(zhì).（1）判斷數(shù)列與數(shù)列是否具有性質(zhì)；（只需寫出結(jié)論）（2）若數(shù)列具有性質(zhì)，且，，，求的最小值；（3）若集合，且（任意，）.求證：存在，使得從中可以選取若干元素（可重復(fù)選取）組成一個具有性質(zhì)的數(shù)列.【正確答案】（1）數(shù)列不具有性質(zhì)；數(shù)列具有性質(zhì)（2）的最小值為（3）證明見解析（1）不滿足存在正整數(shù)使得，故數(shù)列不具有性質(zhì)；根據(jù)定義可知數(shù)列具有性質(zhì)；（2）由題可知，，，，，所以，再驗證可知時，數(shù)列不具有性質(zhì)，時，數(shù)列具有性質(zhì)，從而可知的最小值為；（3）反證法：假設(shè)結(jié)論不成立，即對任意都有：若正整數(shù)，則，再根據(jù)定義推出矛盾，從