2023-2024學年安徽省亳州市高考數學模擬試題（一模）一、單選題1．已知集合，則（

）A． B． C． D．【正確答案】D【分析】先解對數不等式求出集合，再求即可.【詳解】由，得，所以，即，所以.故選：D2．若正四棱臺的上、下底面邊長分別為1，2，高為3，則該正四棱臺的體積為（

）A．5 B．7 C． D．【正確答案】B【分析】根據棱臺的體積公式即可求解.【詳解】.故選：B3．已知，若，則（

）A． B． C． D．【正確答案】C【分析】由已知條件算出即可求解.【詳解】因為，所以，因為，所以，所以.故選：C.4．如圖，小明從街道的出發，選擇一條最短路徑到達處，但處正在維修不通，則不同的路線有（

）種

A．66 B．86 C．106 D．126【正確答案】B【分析】求出從A到C不同的路線總數，減去從A到C的過程中途經B處的路線數，即可得出答案.【詳解】要使A到C的路徑最短，則小明到達每個網格點后只能選擇向右或向上走到下一個網格點，且選擇向右的次數為5，選擇向上的次數為4，總共9次選擇，所以從A到C總共有種不同的路線，同樣，從A到B相當于在4次選擇中3次向右，1次向上，所以A到B總共有種不同的路線，從B到C相當于在5次選擇中2次向右，3次向上，所以B到C總共有種不同的路線，故從A到C的過程中途經B處的路線數為4×10＝40種，但B處正在維修不通，則不同的路線有126－40＝86種．故選：B.5．在數字通信中，信號是由數字0和1組成的序列.由于隨機因素的干擾，發送的信號0或1可能被錯誤的接收為1或0.已知發送信號0時，接收為0和1的概率分別為0.9和0.1；發送信號為1時，接收為1和0的概率分別為和.假設發送信號0和1是等可能的.已知接收到1的概率為0.525，則的值為（

）A．0.8 B．0.85 C．0.9 D．0.95【正確答案】D【分析】分發送信號0或1兩類情況，利用全概率事件的概率求解.【詳解】解：由題意得：，解得，故選：D.6．元代數學家朱世杰所創立的“招差術”是我國古代數學領域的一項重要成就，曾被科學家牛頓加以利用，在世界上產生了深遠的影響.已知利用“招差術”得到以下公式：，具體原理如下：，，類比上述方法，的值是（

）A．90 B．210 C．420 D．756【正確答案】C【分析】由類比把通項化為，相加即可求和.【詳解】.故選：C7．已知平面向量、、滿足，，，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【正確答案】A【分析】由已知可得，利用平面向量數量積的運算可得，設，可得出，結合正弦型函數的值域可得出的取值范圍.【詳解】因為平面向量、、滿足，，，則，所以，，即，即，即，令，則，上述兩個等式相加可得，則.故選：A.8．狄利克雷（1805～1859）Dirichlet，PeterGustavLejeune德國數學家.對數論、數學分析和數學物理有突出貢獻，是解析數論的創始人之一.他提出了著名的狄利克雷函數，狄利克雷函數是數學分析中典型的病態函數.則關于有以下結論中不正確的是（

）A．B．C．存在使得以點為頂點的三角形是等腰直角三角形D．設函數，則【正確答案】C【分析】結合定義，根據選項，討論的情況，即可判斷選項.【詳解】A.若為有理數，則都是有理數，則，若是無理數，則都是無理數，則，故A正確；B.若為有理數，，則都是有理數，則，若為無理數，，則都是無理數，則，故B正確；.設①當在軸上，則為無理數，且，則為無理數，矛盾②當不在軸上，則和為有理數，則為無理數，矛盾，均不存在，故C錯誤；

.，故，故D正確.故選：C二、多選題9．已知且，若，則下列說法正確的有（

）A．B．C．的最大值是4D．若，則在復平面內對應的點在第一象限【正確答案】ABC【分析】設復數，，，根據復數代數形式的乘法運算判斷A，根據共軛復數的定義判斷B，求出，再表示出，即可求出的最大值，從而判斷C，若則，即可求出，根據復數的幾何意義判斷D.【詳解】設復數，，，，①，所以，故A正確；，，又，即，所以，所以，則，，，所以，故B正確；因為，當時，取到最大值，故C正確；若，則，即，，所以，則，則在復平面內對應的點為，位于在第四象限，故D錯誤.故選：ABC．10．已知為拋物線的焦點，為其準線與軸的交點，為坐標原點.直線與該拋物線交于、兩點.則以下描述正確的是（

）A．線段的長為4 B．的面積為C． D．拋物線在、兩點處的切線交于點【正確答案】BC【分析】聯立直線與拋物線方程求出交點坐標，根據焦半徑公式判斷A、B，利用數量積的坐標表示判斷C，利用導數求出切線方程，即可判斷D.【詳解】拋物線的焦點為，準線為，所以，由，消去整理得，解得，，此時，，則，，，即，，或，，所以或，故A錯誤；因此，因此原點到直線的距離等于，所以，故B正確；，故C正確；對于D：不妨取，，由，，則，則過的切線方程為，即，顯然曲線在點處的切線不過，故D錯誤；故選：BC11．已知三個內角、、的對應邊分別為、、，且，.則下列結論正確的是（

）A．面積的最大值為B．C．的最大值為D．的取值范圍為【正確答案】ACD【分析】利用基本不等式、余弦定理可求得的最大值，結合三角形的面積公式可判斷A選項；利用余弦定理可判斷B選項；利用正弦定理、平面向量數量積的定義、三角恒等變換化簡，結合正弦函數的基本性質可判斷C選項；利用三角恒等變換可得出，結合正切函數的基本性質可判斷D選項.【詳解】對于A選項，因為，，由余弦定理和基本不等式可得，即，當且僅當時，等號成立，故，所以，的面積的最大值為，A對；對于B選項，，B錯；對于C選項，由正弦定理可得，則，因為，則，所以，，由平面向量數量積的定義可得，當且僅當時，即當時，等號成立，故的最大值為，C對；對于D選項，因為，則，由題意可知，，所以，，，當時，，則；當時，，則.綜上所述，的取值范圍為，D對.故選：ACD.12．正方體棱長為是直線上的一個動點，則下列結論中正確的是（

）A．的最小值為B．的最小值為C．若為直線上一動點，則線段的最小值為D．當時，過點作三棱錐的外接球的截面，則所得截面面積的最小值為【正確答案】AC【分析】的最小值為等邊三角形的高，可求解A；將與矩形沿著翻折到一個平面內，可知的最小值為，進而利用余弦定理求解B；轉化問題為求異面直線和之間的距離，進而建立空間直角坐標系利用向量求解C；結合可得的坐標，進而得到，根據過點的外接球的截面時，所得截面面積最小，進而求解D.【詳解】對于A，在中，，所以為邊長為的等邊三角形，所以的最小值為的高，此時為中點，即，故A正確；對于B，將與矩形沿著翻折到一個平面內，如圖所示，所以的最小值為，此時三點共線，又，，，即，由余弦定理得，，即，即，故B錯誤；

對于C，根據題意，即求異面直線和之間的距離，分別以，，為，，軸建立空間直角坐標系，則，，，，則，，，設直線與的共垂線向量為，則，即，即，可取，

所以異面直線和之間的距離為，所以線段的最小值為，故C正確；對于D，設三棱錐的外接球心為，當過點的外接球的截面時，所得截面面積最小，因為，由選項C知，，則，而三棱錐的外接球即為正方體的外接球，所以三棱錐的外接球直徑為正方體的體對角線，即，即三棱錐的外接球半徑為，所以所在圓的直徑，所以所得截面面積為，故D錯誤.故選：AC.

三、填空題13．展開式中的系數為__________.【正確答案】56【分析】根據多項式乘法法則，求得中的系數，應用乘法法則計算可得．【詳解】展開式中含的項為：．故56．14．已知兩定點，如果動點滿足，點是圓上的動點，則的最大值為__________.【正確答案】12【分析】首先求點的軌跡方程，再利用數形結合求的最大值.【詳解】設點，則，整理為：，設圓的圓心為，圓的圓心為，

如圖，可知，的最大值是圓心距加兩個圓的半徑，即.故1215．橢圓的左、右焦點分別為，過點作的角平分線交橢圓的長軸于點，則點的坐標為__________.【正確答案】【分析】根據角平分線定理可得，利用坐標運算即可得答案.【詳解】

橢圓的左、右焦點分別為，又由角平分線知，則，解得，所以點坐標為.故答案為.四、雙空題16．將閉區間均分為三段，去掉中間的區間段，余下的區間段長度為；再將余下的兩個區間，分別均分為三段，并各自去掉中間的區間段，余下的區間段長度為．以此類推，不斷地將余下各個區間均分為三段，并各自去掉中間的區間段．重復這一過程．記數列表示第n次操作后余下的區間段長度．（1）______；（2）若，都有恒成立，則實數的取值范圍是______．【正確答案】【分析】（1）根據題目條件，可以分別求出的取值；（2）結合（1）以及題目條件，先求出，，恒成立，轉化為，再利用函數的單調性，即可求得本題答案.【詳解】（1）由題意可知，，，，所以；（2）結合（1）以及題目條件，可知數列是一個等比數列，且首項，公比，所以，因為，都有恒成立，且，所以恒成立，只需，記，，顯然，所以，令，即，化簡得，，解得，又，所以當且時，，即單調遞減，又，，，，，所以，綜上，當時，取最大值，所以，即實數的取值范圍是．故；五、解答題17．已知四棱錐中，側面為等邊三角形，底面為直角梯形，，，，.

(1)求證：平面平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值.【正確答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）由題意，利用勾股定理逆定理證明，由已知，證明平面，從而證明平面平面；（2）建立空間直角坐標系，利用空間向量法計算可得.【詳解】（1）四棱錐中，，，則，，，，，又，且，平面，平面，又平面，平面平面，即平面平面；（2）如圖建立空間直角坐標系，則，，，，所以，，，設平面的法向量為，則，令，則，所以，設直線與平面所成角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為.

18．已知函數的部分圖象如圖所示.

(1)求函數的解析式；(2)將函數的圖象向左平移個單位，得到函數的圖象，若方程在上有解，求實數的取值范圍.【正確答案】(1)(2)【分析】（1）根據函數的圖象求得A和，再將代入求解；（2）由（1）得到，再令，轉化為二次方程求解.【詳解】（1）解：由函數的圖象知：，則，所以，，因為，所以，則，又因為，則，所以；（2）由題意得：，令，則化為：，即在上有解，由對勾函數的性質得：，所以.19．數列中，(1)求數列的通項公式；(2)設，數列的前項和為，證明.【正確答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）利用累加法計算可得；（2）由（1）可得，再利用裂項相消法求和即可得證.【詳解】（1）因為，即，所以當時，，將以上各式相加，得，則，當時也符合上式，故.（2）由題意.所以20．某中學對學生鉆研理工課程的情況進行調查，將每周獨立鉆研理工課程超過6小時的學生稱為“理工迷”，否則稱為“非理工迷”，從調查結果中隨機抽取100人進行分析，得到數據如表所示：理工迷非理工迷總計男243660女122840總計3664100(1)根據的獨立性檢驗，能否認為“理工迷”與性別有關聯？(2)在人工智能中常用表示在事件發生的條件下事件發生的優勢，在統計中稱為似然比.現從該校學生中任選一人，表示“選到的學生是非理工迷”，表示“選到的學生是男生”請利用樣本數據，估計的值.(3)現從“理工迷”的樣本中，按分層抽樣的方法選出6人組成一個小組，從抽取的6人里再隨機抽取3人參加理工科知識競賽，求這3人中，男生人數的概率分布列及數學期望.參考數據與公式：0.0500.0100.0013.8416.63510.828，其中.【正確答案】(1)認為理工迷與性別無關(2)(3)分布列見解析，數學期望為2【分析】（1）計算出卡方，即可判斷；（2）根據條件概率公式計算可得；（3）首先利用分層抽樣求出男生、女生抽取的人數，則的所有可能取值為，，，求出所對應的概率，從而得到分布列與數學期望.【詳解】（1）提出假設：“理工迷”與性別無關.則，而，根據的獨立性檢驗，可以推斷成立，所以認為理工迷與性別無關.（2）因為，所以估計的值為.（3）按照分層抽樣，男生抽取人，女生抽取人，隨機變量的所有可能取值為，，，所以，，，所以的分布列為：123則.21．雙曲線的光學性質如下：如圖1，從雙曲線右焦點發出的光線經雙曲線鏡面反射，反射光線的反向延長線經過左焦點.我國首先研制成功的“雙曲線新聞燈”，就是利用了雙曲線的這個光學性質.某“雙曲線燈”的軸截面是雙曲線一部分，如圖2，其方程為分別為其左、右焦點，若從右焦點發出的光線經雙曲線上的點和點反射后（在同一直線上），滿足.

(1)當時，求雙曲線的標準方程；(2)過且斜率為2的直線與雙曲線的兩條漸近線交于兩點，點是線段的中點，試探究是否為定值，若不是定值，說明理由，若是定值，求出定值.【正確答案】(1)(2)是定值，定值為【分析】（1）延長與交于，根據，得到，再設，利用雙曲線的定義求解；（2）設，利用雙曲線的定義得到兩漸近線所在直線方程，設直線方程為，聯立求得即可.【詳解】（1）解：如圖所示：

延長與交于，因為，所以，設，則，即，，故方程為；（2）設，則，，兩漸近線所在直線方程為：，設直線方程為，將漸近線兩側平方與直線聯立，則可得，則，則，故.22．已知函數.(1)討論函數的極值點個數；(2)當，方程有兩個不同的實根時，且恒成立，求正數的取值范圍.【正確答案】(1)答案見解析(2)【分析】（1）首先求函數的導數，討論，并結合零點存在性定理，判斷極值點的個數；（2）首先利用零點，將等式轉化為，再構造函數，再利用導數，討論的取值，結合端點取值，即可求的取值范圍.