2023-2024學年北京市房山區高考數學模擬試題（二模）一、單選題1．已知集合，則（

）A． B．C． D．【正確答案】D【分析】解一元二次不等式得集合，再結合集合的補集、并集運算即可.【詳解】因為，所以，又，所以.故選：D.2．已知復數，則復數在復平面內對應的點在（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【正確答案】C【分析】先求得復數的代數形式，進而求得其在復平面內對應的點所在象限.【詳解】，則，則復數在復平面內對應的點坐標為，該點位于第三象限.故選：C3．已知三條不同的直線和兩個不同的平面，下列四個命題中正確的為（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則【正確答案】D【分析】求得位置關系判斷選項A；求得位置關系判斷選項B；求得位置關系判斷選項C，D.【詳解】選項A：若，則或異面或相交.判斷錯誤；選項B：若，則或.判斷錯誤；選項C：若，則或相交.判斷錯誤；選項D：若，則必有，又，則，則.判斷正確.故選：D4．設，則（

）A． B． C．1 D．2【正確答案】D【分析】先令計算出的值，再令計算出的值，由此可計算出的值.【詳解】令，所以，令，所以，所以，故選：D.5．設，則（

）A． B．C． D．【正確答案】B【分析】根據給定條件，利用指數、對數函數、正弦函數的性質，借助“媒介數”比較判斷作答.【詳解】，而，則，即，所以.故選：B6．已知拋物線的焦點為，準線為，點是拋物線上一點，于.若，則拋物線的方程為（

）A． B．C． D．【正確答案】C【分析】根據拋物線的定義求得，然后在直角三角形中利用可求得，從而可得答案．【詳解】如圖，連接，設準線與軸交點為

拋物線的焦點為，準線：又拋物線的定義可得，又，所以為等邊三角形，所以，所以在中，，則，所以拋物線的方程為.故選：C.7．已知點P是雙曲線C：x21的一條漸近線y＝kx（k＞0）上一點，F是雙曲線C的右焦點，若△OPF的面積為5，則點P的橫坐標為（）A． B． C． D．【正確答案】A根據條件得到漸近線方程為：y＝2x，再由面積為5得到yP＝±2，再帶回漸近線方程即可得到橫坐標.【詳解】由雙曲線方程可得a＝1，b＝2，則c，則漸近線方程為：y＝2x，F（，0），又Sc?|yP|＝5，則yP＝±2，當y＝2時，x，當y＝﹣2時，x，故點P的橫坐標為±，故選：A．本題主要考查了雙曲線漸近線方程的應用，求出的縱坐標是解題的關鍵，屬于基礎題.8．在中，，則邊上的高等于（

）A． B． C． D．【正確答案】B【分析】根據余弦定理求，再得，利用的面積公式即可求邊上的高.【詳解】在中，因為，由余弦定理得因為，所以設邊上的高為，則，

所以，即邊上的高等于.故選：B.9．某大樓共有12層，有11人在第1層上了電梯，他們分別要去第2至第12層，每層1人.因特殊原因，電梯只允許停1次，只可使1人如愿到達，其余10人都要步行到達所去的樓層.假設這10位乘客的初始“不滿意度”均為0，乘客每向下步行1層的“不滿意度”增量為1，每向上步行1層的“不滿意度”增量為2，10人的“不滿意度”之和記為S，則S的最小值是（

）A．42 B．41 C．40 D．39【正確答案】C【分析】先求得“不滿意度”之和S的解析式，再利用二次函數的性質求得S的最小值.【詳解】設在第n層下，則又，則時S取得最小值40.故選：C10．有三支股票位股民的持有情況如下：每位股民至少持有其中一支股票.在不持有股票的人中，持有股票的人數是持有股票的人數的2倍.在持有股票的人中，只持有股票的人數比除了持有股票外，同時還持有其它股票的人數多1.在只持有一支股票的人中，有一半持有股票.則只持有股票的股民人數是（

）A．7 B．6 C．5 D．4【正確答案】A【分析】通過設出只持有股票的人數和只同時持有了和股票的人數，表達出持有不同股票的人數，通過持股的總人數即可求出只持有股票的股民人數.【詳解】由題意，設只持有股票的人數為，則持有股票還持有其它殸票的人數為(圖中的和)，∵只持有一支股票的人中,有一半沒持有或股票,∴只持有了和股票的人數和為(圖中部分).假設只同時持有了和股票的人數為,∴,即，則的取值可能是,與之對應的值為,∵沒持有股票的股民中，持有股票的人數是持有股票的人數的2倍∴，即，∴時滿足題意，此時,∴只持有股票的股民人數是,故選：A.

本題主要考查了邏輯推理能力，韋恩圖在解決實際問題中的應用，解答此題的重點是求持有股票的人數，利用韋恩圖結合條件即得.二、填空題11．已知向量，若，則實數______.【正確答案】【分析】根據平面向量平行的坐標表示列式即可求出結果.【詳解】因為向量且，所以,解得，故三、雙空題12．設數列的前項和，則__________；使得命題“，都有”為真命題的一個的值為__________.【正確答案】3（答案不唯一，）【分析】根據給定的前項和求出通項即可，由求出的取值范圍作答.【詳解】數列的前項和，當時，，當時，，顯然不滿足上式，所以；當時，，不等式不成立，當時，，不等式，而，解得，因此對，不等式恒成立，所以“，都有”為真命題的，取的一個值為3.故；3四、填空題13．已知圓，若點在圓上，并且點到直線的距離為，則滿足條件的點的個數為__________.【正確答案】3【分析】設，根據點P到直線的距離為，求得，再由在圓上，得到，取得或，進而求得滿足條件的點的個數，得到答案.【詳解】設，由點P到直線的距離為，得兩邊平方整理得到①因為在圓上，所以，即②聯立①②得，解得或，當時，由①②可得，解得或，即或當時，由①②可得，解得或，即或綜上，滿足條件的點P的個數為.故3.五、雙空題14．已知函數滿足：，，且在上單調遞減，則__________；__________.【正確答案】2/【分析】根據給定條件，探討函數的周期及對稱中心，結合單調遞減區間求解作答.【詳解】由，得，因此是函數的一個周期，又函數在上單調遞減，則函數的周期，因此函數的最小正周期為，則，由知，函數圖象的一個對稱中心為，即有，而，于是，此時，當時，，正弦函數在上單調遞增，于是函數在上單調遞減，所以，.故2；六、填空題15．已知集合.由集合中所有的點組成的圖形如圖中陰影部分所示，中間白色部分形如美麗的“水滴”.給出下列結論：

①白色“水滴”區域（含邊界）任意兩點間距離的最大值為；②在陰影部分任取一點，則到坐標軸的距離小于等于3；③陰影部分的面積為；④陰影部分的內外邊界曲線長為.其中正確的有__________.【正確答案】①②④【分析】對于①，令,求出，求出點坐標即得解；對于②，利用圓的參數方程設點，再利用絕對值三角不等式得解；對于③，利用割補法求解；對于④，求出陰影部分的內外邊界曲線的各個部分即得解.【詳解】對于①，由于，令時，整理得，解得，“水滴”圖形與軸相交，最高點記為A，則點A的坐標為，點，白色“水滴”區域（含邊界）任意兩點間距離的最大值為,故①正確；對于②，由于，整理得：，所以，所以到坐標軸的距離為或，因為，所以，，所以到坐標軸的距離小于等于3，故②正確；對于③，由于，令時，整理得，解得，因為表示以為圓心，半徑為的圓，則，且，則在x軸上以及x軸上方，故白色“水滴”的下半部分的邊界為以為圓心，半徑為1的半圓，陰影的上半部分的外邊界是以為圓心，半徑為3的半圓，根據對稱可知：白色“水滴”在第一象限的邊界是以以為圓心，半徑為2的圓弧，設，則，即所對的圓心角為，同理所在圓的半徑為2，所對的圓心角為，陰影部分在第四象限的外邊界為以為圓心，半徑為2的圓弧，設，可得，所對的圓心角為，同理所在圓的半徑為2，所對的圓心角為，

故白色“水滴”圖形由一個等腰三角形，兩個全等的弓形，和一個半圓組成，所以它的面積是.軸上方的陰影半圓的面積為,第四象限的陰影部分面積可以看作是一個直角三角形和一個扇形的面積的和減去個半圓的面積，且等于，所以陰影部分的面積為，故③錯誤；對于④，軸上方的陰影部分的內外邊界曲線長為，軸下方的陰影部分的內外邊界曲線長為，所以陰影部分的內外邊界曲線長為，故④正確.故①②④.關鍵點睛：解答本題有三個關鍵，其一是寫出圓的參數方程，設出點的坐標，其二是利用割補法求不規則圖形的面積，其三是利用三角函數的值域求出圖形與坐標軸的交點的坐標.七、解答題16．已知函數.(1)求的值；(2)從①；②這兩個條件中任選一個，作為題目的已知條件，求函數在上的最小值，并直接寫出函數的一個周期.【正確答案】(1)2(2)詳見解析【分析】（1）代入公式即可求得的值；（2）選①時，先化簡題給解析式再利用三角函數的性質即可求得函數的周期和在上的最小值；選②時，利用二次函數性質即可求得函數在上的最小值，并直接得到函數的一個周期.【詳解】（1），則（2）選①時，由，可得，則，則，則當，即時函數取得最小值，函數的周期為選②時，由，可得，則則當或時函數取得最小值1，函數的周期為.17．某中學為了解高二年級中華傳統文化經典閱讀的情況，從高二年級隨機抽取10名學生進行了兩輪測試，并把兩輪測試成績的平均分作為該名學生的考核成績.記錄的數據如下：1號2號3號4號5號6號7號8號9號10號第一輪測試成績96898888929187909290第二輪測試成績90909188888796928992(1)從該校高二年級隨機選取一名學生，試估計這名學生考核成績大于90分的概率；(2)為進一步研究這10名同學的成績，從考核成績小于90分的學生中隨機抽取兩人，記這兩人中兩輪測試至少有一次大于90分的人數為，求的分布列與數學期望；(3)記抽取的10名學生第一輪測試的平均數和方差分別為，考核成績的平均數和方差分別為，試比較與與的大小.（只需寫出結論）【正確答案】(1)0.5；(2)的分布列見解析，數學期望為1；(3)；.【分析】（1）由題可得10名學生的考核成績，然后根據古典概型概率公式即得；（2）根據條件可得可取0,1,2，然后分別求概率可得分布列進而可得期望；（3）利用平均數和方差公式即得.【詳解】（1）這10名學生的考核成績（單位：分）分別為：93，89.5，89.5，88，90，89，91.5，91，90.5，91．其中大于90分的有1號、7號、8號、9號、10號，共5人,

所以樣本中學生考核成績大于90分的頻率是.

從該校高二年級隨機選取一名學生，估計這名學生考核成績大于90分的概率為0.5；（2）由題知，考核成績小于90分的學生共4人，其中兩輪測試至少有一次大于90分學生有2人.

所以可取0,1,2，則，，，所以的分布列為012所以；（3）由題可得，，，所以；.18．如圖，正三棱柱中，分別是棱上的點，.

(1)證明：平面平面；(2)若，求二面角的余弦值.【正確答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）建立空間直角坐標系，求解兩個平面的法向量，利用法向量證明面面垂直；（2）求出兩個平面的法向量，利用法向量的夾角求出二面角的余弦值.【詳解】（1）證明：取的中點,連接，在正三棱柱中，不妨設;以為原點，分別為軸和軸正方向，建立空間直角坐標系，如圖所示，則,，；設平面的一個法向量為，則,，取，則，即；設平面的一個法向量為，則,即，取得.因為，所以平面平面；

（2）因為，由（1）可得，即，易知平面的一個法向量為,；二面角的余弦值為.19．已知函數，其中.(1)若是的極值點，求的值；(2)求的單調區間；(3)若在上的最大值是0，求的取值范圍.【正確答案】(1)(2)見解析.(3)【分析】（1）對函數求導，通過是的極值點，即求出的值；（2）對函數求導，分別討論取不同值時函數的單調性，即可求出的單調區間；（3）由函數在區間上的最大值，分類討論在不同取值時函數的單調性和值域，即可得出的取值范圍.【詳解】（1）由題意，，在中，，.∵是的極值點∴，解得.經檢驗，時符合題意，∴.（2）由題意，，在中，，.當時，解得.①當時，與的情況如下:極小值極大值的單調遞增區間是，單調遞減區間是和；②當時，，，∴的單調遞減區間是，無增區間；③當時，，，與的情況如下：極小值極大值∴當時，的單調遞增區間是，單調遞減區間是和.綜上，當時，的單調遞增區間是，單調遞減區間是和;當時，的單調遞減區間是，無減區間；當時，的單調遞增區間是，單調遞減區間是和.（3）由題意，在中，，在上的最大值是0，當時，在的最大值是,∵，不合題意，舍去;當時，在單調遞減，可得在上的最大值是，符合題意.∴的取值范圍.本題考查了函數的求導，導數法求函數單調性，考查分類討論法求函數的單調性和求參數的取值范圍，具有極強的綜合性.20．橢圓的焦距為為橢圓右焦點，.

(1)求橢圓的方程與離心率；(2)設為原點，為橢圓上一點，的中點為.直線與直線交于點，過且平行于的直線與直線交于點.求證.【正確答案】(1)，.(2)證明見解析.【分析】（1）由題知,,求得,再由,即可求橢圓的方程與離心率.（2）設的方程，代入橢圓方程，利用韋達定理及中點坐標，求得坐標，求得直線的方程，分別取得，點坐標，則，，在和中和都與互余，所以.【詳解】（1）橢圓的焦距為，所以，，又，所以，橢圓的方程是，離心率為.（2）由（1）得.設的中點為，.設直線的方程為:，將其代入橢圓方程，整理得，所以，所以，，即，所以直線的斜率是，所以直線的方程是，令得，直線的方程是，令得，由，得直線的斜率是，所以，記垂足為;因為直線的斜率是，所以，記垂足為.在和中，和都與互余，所以.

21．有限數列：，，…，．（）同時滿足下列兩個條件：①對于任意的，（），；②對于任意的，，（），，，，三個數中至少有一個數是數列中的項．(1)若，且，，，，求的值；(2)證明：，，不可能是數列中的項；(3)求的最大值．【正確答案】(