2023-2024學年安徽省高考數學模擬試卷（一模）一、單選題（本大題共8小題，共40分.在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）1.設全集,2，3，4，且,,,,則等于A. B. C. D.【正確答案】B【詳解】全集,2，3，4，且,,,.所以.故選B.2.已知為正整數，則“是3的倍數”是“的二項展開式中存在常數項”的（）條件.A.充分非必要 B.必要非充分C.充要 D.既不充分也不必要【正確答案】C【分析】根據二項式展開式的通項公式以及充分、必要條件的知識確定正確答案.【詳解】展開式的通項公式為，令，解得，所以，若的二項展開式中存在常數項，則是的倍數.所以“是3的倍數”是“的二項展開式中存在常數項”的充要條件.故選：C3.空氣質量指數是評估空氣質量狀況的一組數字，空氣質量指數劃分為、、、、和六檔，分別對應“優”、“良”、“輕度污染”、“中度污染”、“重度污染”和“嚴重污染”六個等級．如圖是某市2月1日至14日連續14天的空氣質量指數趨勢圖，則下面說法中正確的是（）．A.這14天中有5天空氣質量為“中度污染”B.從2日到5日空氣質量越來越好C.這14天中空氣質量指數的中位數是214D.連續三天中空氣質量指數方差最小是5日到7日【正確答案】B【分析】根據折線圖直接分析各選項.【詳解】A選項：這14天中空氣質量為“中度污染”有4日，6日，9日，10日，共4天，A選項錯誤；B選項：從2日到5日空氣質量指數逐漸降低，空氣質量越來越好，B選項正確；C選項：這14天中空氣質量指數的中位數是，C選項錯誤；D選項：方差表示波動情況，根據折線圖可知連續三天中波動最小的是9日到11日，所以方程最小的是9日到11日，D選項錯誤；故選：B.4.已知數列的前項和為，，，則（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】采用并項求和的方式，結合等差數列求和公式可求得結果.【詳解】.故選：A.5.等額分付資本回收是指起初投資P，在利率i，回收周期數n為定值的情況下，每期期末取出的資金A為多少時，才能在第n期期末把全部本利取出，即全部本利回收，其計算公式為.某農業種植公司投資33萬元購買一大型農機設備，期望投資收益年利率為10%，若每年年底回籠資金8.25萬元，則該公司將至少在（）年內能全部收回本利和.（，，）A.4 B.5 C.6 D.7【正確答案】C【分析】根據題意，將對應的數據代入計算公式，化簡整理后兩邊同時取對數，計算即可求解.【詳解】由題意，知萬元，萬元，，由公式可得，整理得，等式兩邊取對數，得故選：C.6.在中，點D在邊BC上，且，，記中點分別為，且，則（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】在中，，結合可得到，利用余弦定理可得到，則可求得，利用余弦定理可得，即可求得答案【詳解】在中，，因為，所以，所以，可整理得即，所以整理得，因為，中點分別為，所以，所以在中，，因為，且即，所以，所以，故選：A7.已知定義在R上的可導函數的導函數為，滿足且為偶函數，，則不等式的解集為（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】令，由，得到單調遞減，再根據為偶函數，得到的圖象關于對稱，進而得到，然后將不等式化為求解.【詳解】解：令，因為，所以，所以單調遞減，因為為偶函數，所以，所以的圖象關于對稱，則，所以，又不等式可化為，即，所以，故選：D8.已知是定義在上的偶函數，且在為減函數，則（）A. B.C. D.【正確答案】C【分析】先比較、、的大小，然后再根據函數的性質比較即可.【詳解】因為，，.根據是定義在上的偶函數，且在為減函數，則有，所以.故選：C二、多選題（本大題共4小題，共20分.在每小題有多項符合題目要求）9.下列關于復數的四個命題正確的是（）A.若，則B.若，則共軛復數的虛部為1C.若，則的最大值為3D.若復數，滿足，，，則【正確答案】ACD【分析】根據復數模、共軛復數的積運算即可判斷A，由復數除法的運算及共軛復數、虛部的概念判斷B，根據復數模的幾何意義及圓的性質判斷C，利用復數的加減運算、模的運算求解可判斷D.【詳解】設，對A，，，故正確；對B，，所以，，其虛部為，故錯誤；對C，由的幾何意義，知復數對應的動點到定點的距離為1，即動點的軌跡為以為圓心，為半徑的圓，表示動點到定點的距離，由圓的性質知，，故正確；對D，設，因為，，所以，又，所以，所以，所以，故正確.故選：ACD10.已知定義在R的函數在上單調遞增，，且圖象關于點對稱，則下列結論中正確的是（）A.B.在單調遞減C.D.在上可能有1012個零點【正確答案】AD【分析】對A選項：首先得到其對稱軸為，再根據關于對稱，可得到；對B選項：根據函數周期性，單調性以及對稱性分析在單調性；對C選項：根據周期性、對稱性分析判斷；對D選項：先分析函數在上的零點，再結合周期性分析判斷.【詳解】對A：∵函數圖象關于點對稱，則，∴，又∵，則函數的圖象關于點對稱，且，可得，故，A正確；對B：由選項A可知：函數的周期為4，且函數的圖象關于點對稱，故函數的圖象關于點對稱，則，且函數的周期為4，則，即，由選項A可知：，則，可得，即函數為偶函數，∵函數在上單調遞增，則函數在上單調遞減，且函數的圖象關于點對稱，故函數在上單調遞減，但不能確定在是否連續不斷，故無法判斷在上的單調性，B錯誤；對C：∵函數的周期為4，則，∵，則，故，C錯誤；對D：∵，令，則，解得，則，故在一個周期內至少有2個零點，可得在上至少有個零點，且，故在上至少有1012個零點，例如，符合題意，但在內無零點，由函數的性質可知：在內均無零點，故在一個周期內只有2個零點，可知在上有1012個零點，故在上可能有1012個零點，D正確；故選：AD.11.如圖，已知圓錐頂點為，其軸截面是邊長為6的為正三角形，為底面的圓心，為圓的一條直徑，球內切于圓錐（與圓錐底面和側面均相切），點是球與圓錐側面的交線上一動點，則（）A.圓錐的表面積是 B.球的體積是C.四棱錐體積的最大值為 D.的最大值為【正確答案】BCD【分析】根據給定條件，求出球O的半徑，動點Q的軌跡圓的半徑及線段長，再逐項計算判斷作答.【詳解】依題意，動點Q的軌跡是圓，所在平面與圓錐底面平行，令其圓心為，連接，如圖，正內切圓即為球O的截面大圓，球心O、截面圓圓心都在線段上，連，，則球O的半徑，顯然，，，，對于A，圓錐的表面積是，A錯誤；對于B，球O的體積是，B正確；對于C，因Q到平面AEBF的距離與截面圓圓心到平面的距離相等，均為，則當四邊形AEBF的面積最大時，四棱錐的體積最大，，當且僅當，即時取“=”，則四棱錐體積的最大值為，C正確；對于D，因，則有，即，因此，由均值不等式得：，即，當且僅當時取“=”，D正確.故選：BCD12.對于定義域為D函數，若存在區間使得同時滿足:①在上是單調函數；②當的定義域為時，的值域也為，則稱區間為該函數的一個“和諧區間”，則（）A.函數有3個“和諧區間”B.函數，存在“和諧區間”C.若定義在上的函數有“和諧區間”，實數t的取值范圍為D.若函數在定義域內有“和諧區間”，則實數m的取值范圍為【正確答案】ACD【分析】A選項，由的單調性得到a，b為的兩個實根，解出x可能取值，確定3個“和諧區間”，A正確；B選項，只有1個解，故不合題意；C選項，分離常數后得到的單調性，問題轉化為函數與的圖象交點問題，求出函數的單調性和最值情況，從而得到答案；D選項，由函數單調性，確定，，轉化為，換元后得到，由的范圍求出m的取值范圍.【詳解】A選項，因為均在R上單調遞增，所以函數在R上單調遞增，所以有，即a，b為的兩個實根，解得x可能取值為，0，，即函數的有3個“和諧區間，，，故A正確.B選項，由于，，只有一解，故不存在“和諧區間”，故B錯誤；C選項，在上有“和諧區間”，所以存在區間，使函數的值域為，函數在上單調遞增，∴a，b為關于x的方程的兩個實根，即方程在上有兩個不等的實根，即在上有兩個不等的實根，令與，問題轉化為函數與的圖象，在上存在兩個不同的交點.，令，解得，由對勾函數性質可知：函數在單調遞減，在上單調遞增，故，且，，要想即在上有兩個不等的實根，此時，解得：，故，C正確；D選項，函數在定義域單調遞減，當的定義域為時，的值域也為，故①，②，兩式相減可得.，即，③將③代入②，，令，得，又，故，∵，所以，∴，故實數m的取值范圍為，D正確.故選：ACD.函數新定義問題，命題新穎，要熟練掌握函數的性質，包括單調性，奇偶性，值域等，有時常常用導函數求解函數單調性及值域，很好的考察學生們知識遷移，綜合運用能力，對于此類問題，一定要解讀出題干中的信息，正確理解問題的本質，轉化為熟悉的問題來進行解決.三、填空題（本大題共4小題，共20分）13.盲盒常指裝有不同公仔手辦，但消費者不能提前得知款式的盒裝玩具，一般按系列販售．它的隨機性和一些隱藏款吸引著很多年輕人重復購買．小明購買了6個冰墩墩單只盲盒，拆開后發現有2個相同的“竹林春熙”以及2個相同的“冰雪派對”?“青云出岫”?“如意東方”各1個．小明想將這6個擺件排成一排，要求相同的擺件相鄰．若相同擺件視為相同元素，則一共有__________種擺放方法．【正確答案】【分析】將2個相同的“竹林春熙”和2個相同的“冰雪派對”分別看成一個元素，再利用排列即可得解.【詳解】將2個相同“竹林春熙”看成一個整體，則2個相同的“竹林春熙”沒有順序，2個相同的“冰雪派對”也看成一個整體，則2個相同的“冰雪派對”沒有順序，所以相同的擺件相鄰時，一共有中擺放方法.故答案為.14.設分別為橢圓的左、右焦點，A為短軸一個端點，直線交橢圓C于另一點M，且，則橢圓C的離心率是____________．【正確答案】【分析】根據給定條件，利用勾股定理求出的長，再借助余弦定理建立關系式求解作答.【詳解】令橢圓C的半焦距為c，依題意，，設，由橢圓定義得，則，因為，即有，則，即，解得，因此，，在中，由余弦定理得：，于是，即，所以橢圓C的離心率.故15.已知，，則________.【正確答案】3【分析】根據導數的計算公式求出，然后把代入解方程即可．【詳解】.,．故3．16.將橫坐標與縱坐標均為整數的點稱為格點.已知，將約束條件表示的平面區域內格點的個數記作，若，則___________.【正確答案】【分析】根據畫出可行域可知該圖形關于x軸對稱，故可將平面區域內的格點個數分成三種情況：第一象限內、第四象限內，以及坐標軸上.其中第一象限與第四象限內的格點個數相同，故可以算出第一象限內的格點個數加倍即可，坐標軸上的格點個數應為.求出邊界直線上的點，通過討論和兩種情況下縱坐標的值，即可得出第一象限的格點個數，進而求出總的格點個數，也即是的值.再根據極限的計算，可求出的值，從而求出.【詳解】解：作出的可行域，如圖所示，該區域為一個等腰三角形，其中軸上的格點有個，軸上的格點有個，則坐標軸上的格點有個，在第一象限內，直線上的點，由格點的定義，設，則，故第一象限內，時，格點有個，設，則由可行域，已經格點的定義可知，第一象限內，時，格點有個，所以第一象限內的格點一共有，根據可行域的對稱性可知，第四象限的格點數也為，故可行域內格點數又∵，，即故答案為.關鍵點睛：本題的關鍵點在討論邊界直線上的橫坐標為整數的點，其縱坐標的取值情況，從而判斷出第一象限中的格點個數，再結合可行域的對稱性，可利用等差數列的求和公式求出兩個象限內的格點數.四、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.設數列是等差數列，已知．（I）求數列的通項公式；（Ⅱ）設，求．【正確答案】（I）；（Ⅱ）.【分析】（1）利用等差數列通項公式求公差，再求通項公式；（2）由（1）可知，再利用裂項相消法求和.【詳解】（I）設等差數列的公差為d，則由題意有，，．（Ⅱ）．18.已知在中，角，，的對邊分別是，，，面積為，且_____．在①，②；③這三個條件中任選一個，補充在上面的問題中，并根據這個條件解決下面的問題．（1）求；（2）若，點是邊的中點，求線段長的取值范圍．【正確答案】（1）（2）【分析】（1）若選①，根據三角形面積公式和數量積公式，化簡求角；若選②，根據二倍角公式，以及，化簡求角；若選③利用正弦定理，將邊化角，再結合輔助就公式，即可求解；（2）利用向量公式，兩邊平方后，結合條件，轉化為二次函數求值域.【小問1詳解】若選，因為，所以，可得，又因為，所以．若選，因為，所以，整理可得，解得或，又因為，可得，所以,所以．若選，因為，所以由正弦定理可得，又因為為三角形內角，，所以，可得，又因為，，所以，可得．【小問2詳解】因為，所以，因為是的中點，所以，平方得，所以因為，所以時，，可得，所以，可得，故線段長的取值范田為19.學生的學習除了在課堂上認真聽講，還有一個重要環節就是課后的“自主學習”，包括預習，復習，歸納整理等等，現在人們普遍認為課后花的時間越多越好，某研究機構抽查了部分高中學生，對學生花在課后的學習時間（設為x分鐘）和他們的數學平均成績（設為y）做出了以下統計數據，請根據表格回答問題：x60708090100110120130y92109114120119121121122（1）請根據所給數據繪制散點圖，并且從以下三個函數從①；②：③三個函數中選擇一個作為學習時間x和平均y的回歸類型，判斷哪個類型更加符合，不必說明理由；（2）根據（1）中選擇的回歸類型，求出y與x的回歸方程；（3）請根據此回歸方程，闡述你對學習時長和成績之間關系的看法．參考公式：回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為．參考數據：【正確答案】（1）散點圖見解析，最合適（2）（3）答案見解析【分析】（1）根據所給數據可得散點圖，根據散點圖可得函數模型；（2）由（1）中模型可得，設，，則，利用公式可求后者，從而得到前者；（3）根據回歸方程可得相應的看法.【小問1詳解】散點圖如圖所示：由圖象可知最合適.【小問2詳解】對兩邊取以為底對數可得，設，，則，，，，故即，.【小問3詳解】此回歸方程為關于時間的增函數，說明隨著學習時間的增加，學習成績是提高的，但是函數的增速先快后慢，說明如果原來成績較低，通過增加學習時間可以有效提高成績，但是當成績提高到120分左右時，想要通過延長學習時間來提高學習成績就比較困難了，需要想別的辦法.20.已知拋物線的焦點為，為拋物線上一點，，且的面積為，其中為坐標原點.（1）求拋物線的方程；（2）已知點，不垂直于軸的直線與拋物線交于，兩點，若直線，關于軸對稱，求證：直線過定點并寫出定點坐標.【正確答案】（1）（2）證明見解析，定點【分析】（1）由，得點的橫坐標為，代入方程得點的縱坐標為，再的面積為解方程即可，（2）設直線方程，與拋物線方程聯立方程組，設，兩點坐標，利用直線，關于軸對稱，結合斜率公式和韋達定理化簡計算即可.【小問1詳解】拋物線的焦點為，因為，所以點的橫坐標為，代入拋物線方程，得，又的面積為，所以，又，解得，所以拋物線的方程為.【小問2詳解】證明：設直線的方程為，，，由得，，即，所以，.因為直線，關于軸對稱，所以，即，化簡，得，所以，所以，所以直線的方程為，恒過定點.21.如圖，在四棱錐中，