PAGEPAGE11第2課時對數的運算學習目標1.駕馭對數的運算性質，能運用運算性質進行對數的有關計算(重點).2.了解換底公式，能用換底公式將一般對數化為自然對數或常用對數(重點).學問點1對數的運算性質若a>0且a≠1，M>0，N>0，則有：(1)loga(M·N)＝logaM＋logaN.(2)logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN.(3)logaMn＝nlogaM(n∈R).【預習評價】(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)積、商的對數可以化為對數的和、差.()(2)loga(xy)＝logax·logay.()(3)loga(－2)3＝3loga(－2).()提示(1)√依據對數的運算性質可知(1)正確；(2)×依據對數的運算性質可知loga(xy)＝logax＋logay；(3)×公式logaMn＝nlogaM(n∈R)中的M應為大于0的數.學問點2換底公式logab＝eq\f(logcb,logca)(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0).【預習評價】(1)log35·log56·log69＝________.(2)若log34×log48×log8m＝log416，則m＝________.解析(1)原式＝eq\f(lg5,lg3)·eq\f(lg6,lg5)·eq\f(lg9,lg6)＝eq\f(lg9,lg3)＝eq\f(2lg3,lg3)＝2.(2)原方程可化為eq\f(lg4,lg3)×eq\f(lg8,lg4)×eq\f(lgm,lg8)＝eq\f(lgm,lg3)＝2，即lgm＝2lg3＝lg9，∴m＝9.答案(1)2(2)9題型一利用對數的運算性質化簡、求值【例1】計算下列各式的值：(1)eq\f(1,2)lgeq\f(32,49)－eq\f(4,3)lgeq\r(8)＋lgeq\r(245)；(2)lg25＋eq\f(2,3)lg8＋lg5×lg20＋(lg2)2.解(1)法一原式＝eq\f(1,2)(5lg2－2lg7)－eq\f(4,3)×eq\f(3,2)lg2＋eq\f(1,2)(2lg7＋lg5)＝eq\f(5,2)lg2－lg7－2lg2＋lg7＋eq\f(1,2)lg5＝eq\f(1,2)lg2＋eq\f(1,2)lg5＝eq\f(1,2)(lg2＋lg5)＝eq\f(1,2)lg10＝eq\f(1,2).法二原式＝lgeq\f(4\r(2),7)－lg4＋lg7eq\r(5)＝lgeq\f(4\r(2)×7\r(5),7×4)＝lg(eq\r(2)·eq\r(5))＝lgeq\r(10)＝eq\f(1,2).(2)原式＝2lg5＋2lg2＋lg5(2lg2＋lg5)＋(lg2)2＝2lg10＋(lg5＋lg2)2＝2＋(lg10)2＝2＋1＝3.規律方法利用對數運算性質化簡與求值的原則和方法(1)基本原則：①正用或逆用公式，對真數進行處理，②選哪種策略化簡，取決于問題的實際狀況，一般本著便于真數化簡的原則進行.(2)兩種常用的方法：①“收”，將同底的兩對數的和(差)收成積(商)的對數；②“拆”，將積(商)的對數拆成同底的兩對數的和(差).【訓練1】計算下列各式的值：(1)(lg5)2＋2lg2－(lg2)2；(2)eq\f(lg3＋\f(2,5)lg9＋\f(3,5)lg\r(27)－lg\r(3),lg81－lg27).解(1)原式＝(lg5)2＋lg2(2－lg2)＝(lg5)2＋(1＋lg5)lg2＝(lg5)2＋lg2·lg5＋lg2＝(lg5＋lg2)·lg5＋lg2＝lg5＋lg2＝1.(2)原式＝eq\f(lg3＋\f(4,5)lg3＋\f(9,10)lg3－\f(1,2)lg3,4lg3－3lg3)＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(4,5)＋\f(9,10)－\f(1,2)))lg3,（4－3）lg3)＝eq\f(11,5).題型二利用換底公式化簡、求值【例2】(1)(log43＋log83)(log32＋log92)＝________；(2)已知log189＝a，18b＝5，用a，b表示log3645的值.(1)解析原式＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lg3,lg4)＋\f(lg3,lg8)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lg2,lg3)＋\f(lg2,lg9)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lg3,2lg2)＋\f(lg3,3lg2)))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lg2,lg3)＋\f(lg2,2lg3)))＝eq\f(5lg3,6lg2)×eq\f(3lg2,2lg3)＝eq\f(5,4).答案eq\f(5,4)(2)解法一∵log189＝a，18b＝5，∴log185＝b.于是log3645＝eq\f(log1845,log1836)＝eq\f(log18（9×5）,log18（18×2）)＝eq\f(log189＋log185,1＋log182)＝eq\f(a＋b,1＋log18\f(18,9))＝eq\f(a＋b,2－a).法二∵log189＝a，18b＝5，∴log185＝b.于是log3645＝eq\f(log18（9×5）,log18\f(182,9))＝eq\f(log189＋log185,2log1818－log189)＝eq\f(a＋b,2－a).法三∵log189＝a，18b＝5，∴lg9＝alg18，lg5＝blg18.∴log3645＝eq\f(lg45,lg36)＝eq\f(lg（9×5）,lg\f(182,9))＝eq\f(lg9＋lg5,2lg18－lg9)＝eq\f(alg18＋blg18,2lg18－alg18)＝eq\f(a＋b,2－a).規律方法利用換底公式化簡與求值的思路【訓練2】(1)已知log1227＝a，求log616的值；(2)計算(log2125＋log425＋log85)(log52＋log254＋log1258)的值.解(1)由log1227＝a，得eq\f(3lg3,2lg2＋lg3)＝a，∴lg2＝eq\f(3－a,2a)lg3.∴log616＝eq\f(lg16,lg6)＝eq\f(4lg2,lg2＋lg3)＝eq\f(4×\f(3－a,2a),1＋\f(3－a,2a))＝eq\f(4（3－a）,3＋a).(2)法一原式＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log253＋\f(log225,log24)＋\f(log25,log28)))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log52＋\f(log54,log525)＋\f(log58,log5125)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3log25＋\f(2log25,2log22)＋\f(log25,3log22)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log52＋\f(2log52,2log55)＋\f(3log52,3log55)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3＋1＋\f(1,3)))log25·(3log52)＝13log25·eq\f(log22,log25)＝13.法二原式＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lg125,lg2)＋\f(lg25,lg4)＋\f(lg5,lg8)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lg2,lg5)＋\f(lg4,lg25)＋\f(lg8,lg125)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3lg5,lg2)＋\f(2lg5,2lg2)＋\f(lg5,3lg2)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lg2,lg5)＋\f(2lg2,2lg5)＋\f(3lg2,3lg5)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(13lg5,3lg2)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3\f(lg2,lg5)))＝13.法三原式＝(log2153＋log2252＋log2351)·(log512＋log5222＋log5323)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3log25＋log25＋\f(1,3)log25))(log52＋log52＋log52)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3＋1＋\f(1,3)))log25·3log52＝eq\f(13,3)×3＝13.題型三利用對數式與指數式的互化解題【例3】(1)設3a＝4b＝36，求eq\f(2,a)＋eq\f(1,b)的值；(2)已知2x＝3y＝5z，且eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＋eq\f(1,z)＝1，求x，y，z.解(1)法一由3a＝4b＝36，得a＝log336，b＝log436，由換底公式得eq\f(1,a)＝log363，eq\f(1,b)＝log364，∴eq\f(2,a)＋eq\f(1,b)＝2log363＋log364＝log3636＝1.法二由3a＝4b＝36，兩邊取以6為底數的對數，得alog63＝blog64＝log636＝2，∴eq\f(2,a)＝log63，eq\f(1,b)＝eq\f(1,2)log64＝log62，∴eq\f(2,a)＋eq\f(1,b)＝log63＋log62＝log66＝1.(2)令2x＝3y＝5z＝k(k>0)，∴x＝log2k，y＝log3k，z＝log5k，∴eq\f(1,x)＝logk2，eq\f(1,y)＝logk3，eq\f(1,z)＝logk5，由eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＋eq\f(1,z)＝1，得logk2＋logk3＋logk5＝logk30＝1，∴k＝30，∴x＝log230＝1＋log215，y＝log330＝1＋log310，z＝log530＝1＋log56.規律方法利用對數式與指數式互化求值的方法(1)在對數式、指數式的互化運算中，要留意敏捷運用定義、性質和運算法則，尤其要留意條件和結論之間的關系，進行正確的相互轉化.(2)對于連等式可令其等于k(k>0)，然后將指數式用對數式表示，再由換底公式可將指數的倒數化為同底的對數，從而使問題得解.【訓練3】已知3a＝5b＝M，且eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝2，則M＝________.解析由3a＝5b＝M，得a＝log3M，b＝log5M，故eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝logM3＋logM5＝logM15＝2，∴M＝eq\r(15).答案eq\r(15)課堂達標1.lgeq\f(25,16)－2lgeq\f(5,9)＋lgeq\f(32,81)等于()A.lg2 B.lg3C.lg4 D.lg5解析lgeq\f(25,16)－2lgeq\f(5,9)＋lgeq\f(32,81)＝lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(25,16)÷\f(25,81)×\f(32,81)))＝lg2.故選A.答案A2.已知a＝log32，那么log38－2log36用a表示是()A.a－2 B.5a－2C.3a－(1＋a)2 D.3a－a2解析原式＝log323－2log32－2log33＝log32－2＝a－2.答案A3.若logab·log3a＝4，則b的值為________.解析logab·log3a＝eq\f(lgb,lga)·eq\f(lga,lg3)＝eq\f(lgb,lg3)＝4，所以lgb＝4lg3＝lg34，所以b＝34＝81.答案814.已知2m＝5n＝10，則eq\f(1,m)＋eq\f(1,n)＝________.解析因為m＝log210，n＝log510，所以eq\f(1,m)＋eq\f(1,n)＝log102＋log105＝lg10＝1.答案15.求下列各式的值：(1)lg14－2lgeq\f(7,3)＋lg7－lg18；(2)eq\f(2lg2＋lg3,2＋lg0.36＋2lg2).解(1)法一原式＝lg(2×7)－2(lg7－lg3)＋lg7－lg(32×2)＝lg2＋lg7－2lg7＋2lg3＋lg7－2lg3－lg2＝0.法二原式＝lg14－lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,3)))eq\s\up12(2)＋lg7－lg18＝lgeq\f(14×7,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,3)))\s\up12(2)×18)＝lg1＝0.(2)原式＝eq\f(2lg2＋lg3,2＋lg36－2＋2lg2)＝eq\f(2lg2＋lg3,2（lg2＋lg3）＋2lg2)＝eq\f(2lg2＋lg3,4lg2＋2lg3)＝eq\f(1,2).課堂小結1.換底公式可完成不同底數的對數式之間的轉化，可正用，逆用；運用的關鍵是恰當選擇底數.換底的目的是利用對數的運算性質進行對數式的化簡.2.運用對數的運算性質應留意：(1)在各對數有意義的前提下才能應用運算性質.(2)依據不同的問題選擇公式的正用或逆用.(3)在運算過程中避開出現以下錯誤：①logaNn＝(logaN)n，②loga(MN)＝logaM·logaN，③logaM±logaN＝loga(M±N).基礎過關1.若lga，lgb是方程2x2－4x＋1＝0的兩個實根，則ab的值等于()A.2 B.eq\f(1,2)C.100 D.eq\r(10)解析∵lga，lgb是方程2x2－4x＋1＝0的兩個實根，∴由根與系數的關系得：lga＋lgb＝－eq\f(－4,2)＝2，∴ab＝100.故選C.答案C2.化簡eq\f(1,2)log612－2log6eq\r(2)的結果為()A.6eq\r(2) B.12eq\r(2)C.log6eq\r(3) D.eq\f(1,2)解析原式＝log6eq\r(12)－log62＝log6eq\f(\r(12),2)＝log6eq\r(3).答案C3.已知2a＝3b＝k(k≠1)，且2a＋b＝ab，則實數k的值為()A.6 B.9C.12 D.18解析∵2a＝3b＝k(k≠1)，∴a＝log2k，b＝log3k，∴eq\f(1,a)＝logk2，eq\f(1,b)＝logk3.∵2a＋b＝ab，∴eq\f(2,b)＋eq\f(1,a)＝2logk3＋logk2＝logk9＋logk2＝logk18＝1，∴k＝18.答案D4.計算100eq\f(1,2)lg9－lg2－log98·log4eq\r(3,3)＝________.解析100eq\f(1,2)lg9－lg2－log98·log4eq\r(3,3)＝10lg9÷10lg4－eq\f(lg8,lg9)·eq\f(\f(1,3)lg3,lg4)＝eq\f(9,4)－eq\f(3lg2,2lg3)·eq\f(\f(1,3)lg3,2lg2)＝eq\f(9,4)－eq\f(1,4)＝2.答案25.已知3a＝2，3b＝eq\f(1,5)，則2a－b＝________.解析∵3a＝2，3b＝eq\f(1,5)，兩邊取對數得a＝log32，b＝log3eq\f(1,5)＝－log35，∴2a－b＝2log32＋log35＝log320.故答案為log320.答案log3206.計算下列各式的值：(1)log3eq\f(\r(4,27),3)＋lg25＋lg4＋7log72；(2)2log32－log3eq\f(32,9)＋log38－52log53.解(1)原式＝log3eq\f(3\f(3,4),3)＋lg(25×4)＋2＝log33－eq\f(1,4)＋lg102＋2＝－eq\f(1,4)＋2＋2＝eq\f(15,4).(2)原式＝2log32－(log325－log39)＋3log32－5log532＝2log32－5log32＋2log33＋3log32－9＝2－9＝－7.7.設3x＝4y＝6z＝t>1，求證：eq\f(1,z)－eq\f(1,x)＝eq\f(1,2y).證明法一∵3x＝4y＝6z＝t>1，∴x＝eq\f(lgt,lg3)，y＝eq\f(lgt,lg4)，z＝eq\f(lgt,lg6)，∴eq\f(1,z)－eq\f(1,x)＝eq\f(lg6,lgt)－eq\f(lg3,lgt)＝eq\f(lg2,lgt)＝eq\f(lg4,2lgt)＝eq\f(1,2y).法二∵3x＝4y＝6z＝t>1，兩邊同時取以t為底的對數，得xlogt3＝ylogt4＝zlogt6＝1，∴eq\f(1,z)＝logt6，eq\f(1,x)＝logt3，eq\f(1,y)＝logt4，∴eq\f(1,z)－eq\f(1,x)＝logt6－logt3＝logt2＝eq\f(1,2)logt4＝eq\f(1,2y).實力提升8.已知x，y為正實數，則()A.2lgx＋lgy＝2lgx＋2lgy B.2lg(x＋y)＝2lgx·2lgyC.2lgx·lgy＝2lgx＋2lgy D.2lg(xy)＝2lgx·2lgy解析2lgx·2lgy＝2lgx＋lgy＝2lg(xy).故選D.答案D9.已知2x＝3，log4eq\f(8,3)＝y，則x＋2y的值為()A.3 B.8C.4 D.log48解析由2x＝3得：x＝log23，∴x＋2y＝log23＋2log4eq\f(8,3)＝log23＋eq\f(2log2\f(8,3),log24)＝log23＋(3log22－log23)＝3.答案A10.已知x3＝3，則3log3x－logx23＝________.解析3log3x＝log3x3＝log33＝1，而logx23＝log3eq\f(2,3)3＝log33eq\f(3,2)＝eq\f(3,2)，∴3log3x－