PAGE5-其次章推理與證明2.1合情推理與演繹推理2.1.1合情推理A級基礎(chǔ)鞏固一、選擇題1．下列推理是歸納推理的是()A．F1，F(xiàn)2為定點，動點P滿意|PF1|＋|PF2|＝2a>|F1F2|，得B．由a1＝1，an＝3n－1，求出S1，S2，S3，猜想出數(shù)列的前n項和Sn的表達式C．由圓x2＋y2＝r2的面積πr2，猜想出橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1的面積S＝πabD．科學家利用魚的沉浮原理制造潛艇解析：由歸納推理的定義知，B項為歸納推理．答案：B2．依據(jù)給出的數(shù)塔揣測123456×9＋7等于()1×9＋2＝1112×9＋3＝111123×9＋4＝11111234×9＋5＝1111112345×9＋6＝111111A．1111110 B．1111111C．1111112 D．1111113解析：由1×9＋2＝11；12×9＋3＝111；123×9＋4＝1111；1234×9＋5＝111111；…歸納可得，等式右邊各數(shù)位上的數(shù)字均為1，位數(shù)跟等式左邊的其次個加數(shù)相同，所以123456×9＋7＝1111111.答案：B3．視察圖形規(guī)律，在其右下角的空格內(nèi)畫上合適的圖形為()解析：視察可發(fā)覺規(guī)律：①每行、每列中，方、圓、三角三種形態(tài)均各出現(xiàn)一次，②每行、每列有兩個陰影一個空白，應為黑色矩形．答案：A4．設(shè)n是自然數(shù)，則eq\f(1,8)(n2－1)[1－(－1)n]的值()A．肯定是零 B．不肯定是偶數(shù)C．肯定是偶數(shù) D．是整數(shù)但不肯定是偶數(shù)解析：當n為偶數(shù)時，eq\f(1,8)(n2－1)[1－(－1)n]＝0為偶數(shù)；當n為奇數(shù)時(n＝2k＋1，k∈N)，eq\f(1,8)(n2－1)[1－(－1)n]＝eq\f(1,8)(4k2＋4k)·2＝k(k＋1)為偶數(shù)．所以eq\f(1,8)(n2－1)[1－(－1)n]的值肯定為偶數(shù)．答案：C5．在平面直角坐標系內(nèi)，方程eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1表示在x軸，y軸上的截距分別為a和b的直線，拓展到空間，在x軸，y軸，z軸上的截距分別為a，b，c(abc≠0)的平面方程為()A.eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＋eq\f(z,c)＝1 B.eq\f(x,ab)＋eq\f(y,bc)＋eq\f(z,ca)＝1C.eq\f(xy,ab)＋eq\f(yz,bc)＋eq\f(zx,ca)＝1 D．a(chǎn)x＋by＋cz＝1解析：從方程eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1的結(jié)構(gòu)形式來看，空間直角坐標系中，平面方程的形式應當是eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＋eq\f(z,c)＝1.答案：A二、填空題6．已知a1＝1，an＋1>an，且(an＋1－an)2－2(an＋1＋an)＋1＝0，計算a2，a3，猜想an＝________．解析：計算得a2＝4，a3＝9，所以猜想an＝n2.答案：n27．在平面上，若兩個正三角形的邊長比為1∶2.則它們的面積比為1∶4.類似地，在空間中，若兩個正四面體的棱長比為1∶2，則它們的體積比為________．解析：eq\f(V1,V2)＝eq\f(\f(1,3)S1h1,\f(1,3)S2h2)＝eq\f(S1,S2)·eq\f(h1,h2)＝eq\f(1,4)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,8).答案：1∶88．視察下列各式：①(x3)′＝3x2；②(sinx)′＝cosx；③(ex－e－x)′＝ex＋e－x；④(xcosx)′＝cosx－xsinx.依據(jù)其中函數(shù)f(x)及其導數(shù)f′(x)的奇偶性，運用歸納推理可得到的一個命題是__________________________________________．解析：對于①，f(x)＝x3為奇函數(shù)，f′(x)＝3x2為偶函數(shù)；對于②，g(x)＝sinx為奇函數(shù)，f′(x)＝cosx為偶函數(shù)；對于③，p(x)＝ex－e－x為奇函數(shù)，p′(x)＝ex＋e－x為偶函數(shù)；對于④，q(x)＝xcosx為奇函數(shù)，q′(x)＝cosx－xsinx為偶函數(shù)．歸納推理得結(jié)論：奇函數(shù)的導函數(shù)是偶函數(shù)．答案：奇函數(shù)的導函數(shù)是偶函數(shù)三、解答題9．有以下三個不等式：(12＋42)(92＋52)≥(1×9＋4×5)2；(62＋82)(22＋122)≥(6×2＋8×12)2；(132＋52)(102＋72)≥(13×10＋5×7)2.請你視察這三個不等式，猜想出一個一般性結(jié)論，并證明你的結(jié)論．解：一般性結(jié)論為(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2.證明：因為(a2＋b2)(c2＋d2)－(ac＋bd)2＝a2c2＋b2c2＋a2d2＋b2d2－(a2c2＋2abcd＋b2d2)＝b2c2＋a2d2－2abcd＝(bc－ad)2所以(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2.10．如圖所示，在△ABC中，射影定理可表示為a＝b·cosC＋c·cosB，其中a，b，c分別為角A，B，C的對邊，類比上述定理，寫出對空間四面體性質(zhì)的猜想．解：如右圖所示，在四面體PABC中，設(shè)S1，S2，S3，S分別表示△PAB，△PBC，△PCA，△ABC的面積，α，β，γ依次表示平面PAB，平面PBC，平面PCA與底面ABC所成二面角的大小．猜想射影定理類比推理到三維空間，其表現(xiàn)形式應為S＝S1·cosα＋S2·cosβ＋S3·cosγ.B級實力提升1．用火柴棒擺“金魚”，如圖所示：依據(jù)上面的規(guī)律，第n個“金魚”圖須要火柴的根數(shù)為()A．6n－2 B．8n－2C．6n＋2 D．8n＋2解析：從①②③可以看出，從圖②起先每個圖中的火柴棒都比前一個圖中的火柴棒多6根，故火柴棒數(shù)成等差數(shù)列，第一個圖中火柴棒為8根，故可歸納出第n個“金魚”圖需火柴棒的根數(shù)為6n＋2.答案：C2．等差數(shù)列{an}中，an>0，公差d>0，則有a4·a6>a3·a7，類比上述性質(zhì)，在等比數(shù)列{bn}中，若bn>0，q>1，寫出b5，b7，b4，b8的一個不等關(guān)系________．解析：將乘積與和對應，再留意下標的對應，有b4＋b8>b5＋b7.答案：b4＋b8>b5＋b73．視察下列等式：①sin210°＋cos240°＋sin10°cos40°＝eq\f(3,4)；②sin26°＋cos236°＋sin6°cos36°＝eq\f(3,4).由上面兩題的結(jié)構(gòu)規(guī)律，你能否提出一個猜想？并證明你的猜想．解：由①②知，兩角相差30°，運算結(jié)果為eq\f(3,4)，猜想：sin2α＋cos2(α＋30°)＋sinαcos(α＋30°)＝eq\f(3,4).證明：左邊＝eq\f(1－cos2α,2)＋eq\f(1＋cos（2α＋60°）,2)＋sinαcos(α＋30°)＝1－eq\f(cos2α,2)＋eq\f(cos2αcos60°－sin2αsin60°,2)＋sinαeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)cosα－\f(sinα,2