PAGEPAGE1其次章數列2.2等差數列第1課時等差數列的概念與通項公式A級基礎鞏固一、選擇題1．有窮等差數列5，8，11，…，3n＋11(n∈N*)的項數是()A．n B．3n＋11C．n＋4 D．n＋3解析：在3n＋11中令n＝1，結果為14，它是這個數列的第4項，前面還有5，8，11三項，故這個數列的項數為n＋3.答案：D2．若{an}是等差數列，則由下列關系確定的數列{bn}也肯定是等差數列的是()A．bn＝aeq\o\al(2,n) B．bn＝an＋n2C．bn＝an＋an＋1 D．bn＝nan解析：{an}是等差數列，設an＋1－an＝d，則數列bn＝an＋an＋1滿意：bn＋1－bn＝(an＋1＋an＋2)－(an＋an＋1)＝an＋2－an＝2d.答案：C3．數列{an}中，an＋1＝eq\f(an,1＋3an)，a1＝2，則a4為()A.eq\f(8,7)B.eq\f(8,5)C.eq\f(16,5)D.eq\f(2,19)解析：因為eq\f(1,an＋1)＝eq\f(1＋3an,an)，所以eq\f(1,an＋1)＝eq\f(1,an)＋3，所以eq\f(1,an＋1)－eq\f(1,an)＝3，所以eq\f(1,an)＝eq\f(1,2)＋3(n－1)，eq\f(1,a4)＝eq\f(1,2)＋3(4－1)＝eq\f(19,2)，所以a4＝eq\f(2,19).答案：D4．已知等差數列{an}前9項的和為27，a10＝8，則a100＝()A．100B．99C．98D．97解析：由已知，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(9a1＋36d＝27，,a1＋9d＝8，))所以a1＝－1，d＝1，a100＝a1＋99d＝－1＋99＝98，故選C.答案：C5．若lg2，lg(2x－1)，lg(2x＋3)成等差數列，則x的值等于()A．0B．log25C．32D．0解析：依題意得2lg(2x－1)＝lg2＋lg(2x＋3)，所以(2x－1)2＝2(2x＋3)，所以(2x)2－4·2x－5＝0，所以(2x－5)(2x＋1)＝0，所以2x＝5或2x＝－1(舍)，所以x＝log25.答案：B二、填空題6．已知a，b，c成等差數列，那么二次函數y＝ax2＋2bx＋c(a≠0)的圖象與x軸的交點有________個．解析：因為a，b，c成等差數列，所以2b＝a＋c，又因為Δ＝4b2－4ac＝(a＋c)2－4ac＝(a－c)2所以二次函數的圖象與x軸的交點有1或2個．答案：1或27．若關于x的方程x2－x＋m＝0和x2－x＋n＝0(m，n∈R，且m≠n)的四個根組成首項為eq\f(1,4)的等差數列，則m＋n的值為________．解析：設x2－x＋m＝0，x2－x＋n＝0的根分別為x1，x2，x3，x4，則x1＋x2＝x3＋x4＝1.設數列的首項為x1，則依據等差數列的性質，數列的第4項為x2，由題意知x1＝eq\f(1,4)，所以x2＝eq\f(3,4)，數列的公差d＝eq\f(\f(3,4)－\f(1,4),4－1)＝eq\f(1,6)，所以數列的中間兩項分別為eq\f(1,4)＋eq\f(1,6)＝eq\f(5,12)，eq\f(5,12)＋eq\f(1,6)＝eq\f(7,12).所以x1·x2＝m＝eq\f(3,16).x3·x4＝n＝eq\f(5,12)×eq\f(7,12)＝eq\f(35,144).所以m＋n＝eq\f(3,16)＋eq\f(35,144)＝eq\f(31,72).答案：eq\f(31,72)8．數列{an}是首項為2，公差為3的等差數列，數列{bn}是首項為－2，公差為4的等差數列．若an＝bn，則n的值為________．解析：an＝2＋(n－1)×3＝3n－1，bn＝－2＋(n－1)×4＝4n－6，令an＝bn，得3n－1＝4n－6，所以n＝5.答案：5三、解答題9．在等差數列{an}中，(1)已知a5＝－1，a8＝2，求a1與d；(2)已知a1＋a6＝12，a4＝7，求a9.解：(1)因為a5＝－1，a8＝2，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＋4d＝－1，,a1＋7d＝2，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝－5，,d＝1.))(2)設數列{an}的公差為d.由已知得，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＋a1＋5d＝12，,a1＋3d＝7，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝1，,d＝2.))所以an＝1＋(n－1)×2＝2n－1，所以a9＝2×9－1＝17.10．若等差數列{an}的公差d≠0且a1，a2是關于x的方程x2－a3x＋a4＝0的兩根，求數列{an}的通項公式．解：由題意知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＋a2＝a3，,a1a2＝a4，))所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2a1＋d＝a1＋2d，,a1（a1＋d）＝a1＋3d.))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝2，,d＝2，))所以an＝2＋(n－1)×2＝2n.故數列{an}的通項公式為an＝2n.B級實力提升1．已知x≠y，且兩個數列x，a1，a2，…，am，y與x，b1，b2，…，bn，y各自都成等差數列，則eq\f(a2－a1,b2－b1)等于()A.eq\f(m,n)B.eq\f(m＋1,n＋1)C.eq\f(n,m)D.eq\f(n＋1,m＋1)解析：設這兩個等差數列公差分別是d1，d2，則a2－a1＝d1，b2－b1＝d2，第一個數列共(m＋2)項，所以d1＝eq\f(y－x,m＋1)；其次個數列共(n＋2)項，所以d2＝eq\f(y－x,n＋1)，這樣可求出eq\f(a2－a1,b2－b1)＝eq\f(d1,d2)＝eq\f(n＋1,m＋1).答案：D2．在數列{an}中，a1＝3，且對于隨意大于1的正整數n，點(eq\r(an)，eq\r(an－1))都在直線x－y－eq\r(3)＝0上，則an＝________．解析：由題意得eq\r(an)－eq\r(an－1)＝eq\r(3)，所以數列{eq\r(an)}是首項為eq\r(3)，公差為eq\r(3)的等差數列，所以eq\r(an)＝eq\r(3)n，an＝3n2.答案：3n23．已知函數f(x)＝eq\f(3x,x＋3)，數列{xn}的通項由xn＝f(xn－1)(n≥2且x∈N*)確定．(1)求證：eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,xn)))是等差數列；(2)當x1＝eq\f(1,2)時，求x2015.(1)證明：因為f(x)＝eq\f(3x,x＋3)，數列{xn}的通項，xn＝f(xn－1)，所以xn＝eq\f(3xn－1,xn－1＋3)，所以eq\f(1,xn)＝eq\f(1,xn－1)＋eq\f(1,3)，所以eq\f(1,xn)－eq\f(1,xn－1)＝eq\f(1,3)，所以eq\b