PAGE1-核心素養(yǎng)提升練六十二二項式定理(25分鐘50分)一、選擇題(每小題5分,共35分)1.(2024·全國卷Ⅲ)的綻開式中x4的系數(shù)為 ()A.10 B.20 C.40 D.80【解析】選C.綻開式的通項公式為Tr+1=(x2)5-r=2rx10-3r,令10-3r=4可得r=2,則x4的系數(shù)為22=40.【變式備選】的綻開式中常數(shù)項為 ()A.15B.-15C.20D.-20【解析】選A.Tr+1=()6-r=(-1)r,r=0,1,…,6,令3-r=0,得r=2,所以的綻開式的常數(shù)項為(-1)2=15.2.已知綻開式中,各項系數(shù)的和與各項二項式系數(shù)的和之比為64,則n等于 ()A.4 B.5 C.6 D.7【解析】選C.綻開式中,各項系數(shù)的和為4n,各項二項式系數(shù)的和為2n,由已知得=2n=64,所以n=6.3.設(shè)S=(x-1)3+3(x-1)2+3(x-1)+1,則S等于 ()A.(x-1)3 B.(x-2)3C.x3 D.(x+1)3【解析】選C.S=(x-1)3+(x-1)2×1+(x-1)×12+×13=[(x-1)+1]3=x3.【變式備選】(2024·銀川模擬)+2+4+…+2n-1等于 ()A.3n B.2·3nC.-1 D.【解析】選D.+2+4+…+2n-1=(+2+22+…+2n)-=(1+2)n-=.4.在的綻開式中,x的冪指數(shù)是整數(shù)的項共有 ()A.3項 B.4項 C.5項 D.6項【解析】選C.因為Tr+1=()24-r=,故當(dāng)r=0,6,12,18,24時,冪指數(shù)為整數(shù),共有5項.5.若(1+mx)6=a0+a1x+a2x2+…+a6x6,且a1+a2+…+a6=63,則實數(shù)m的值為 ()A.1或3 B.-3C.1 D.1或-3【解析】選D.令x=0,得a0=(1+0)6=1.令x=1,得(1+m)6=a0+a1+a2+…+a6,又a1+a2+a3+…+a6=63,所以(1+m)6=64=26,故m=1或m=-3.6.若綻開式中只有第六項的二項式系數(shù)最大,則綻開式中的常數(shù)項是 ()A.90 B.45 C.120 D.180【解析】選D.因為綻開式中只有第六項的二項式系數(shù)最大,故n=10,綻開式的通項公式為Tr+1=·2r·令5-=0,得r=2,所以綻開式中的常數(shù)項是·22=180.7.已知n∈N*,則24n除以15的余數(shù)為 ()A.1 B.3 C.4 D.2【解析】選A.因為24n=16n=(15+1)n=15n+15n-1+…+15+=15(15n-1+15n-2+…+)+1.所以余數(shù)為1.二、填空題(每小題5分,共15分)8.(2024·天津高考)在的綻開式中,x2的系數(shù)為________.

【解析】因為的通項為Tr+1=x5-r=(-1)r2-r,令=2,解得r=2,即T3=(-1)22-2x2=x2.所以在的綻開式中,x2的系數(shù)為.答案:9.設(shè)的綻開式中x3的系數(shù)為a,二項式系數(shù)為b,則的值為________.

【解析】的綻開式的通項是x6-k=(-2)k,依據(jù)題意得6-=3,k=2,因此x3的系數(shù)為a=60,二項式系數(shù)為b==15,因此,==4.答案:4【誤區(qū)警示】二項式系數(shù)與項的系數(shù)(a+bx)n的綻開式中,二項式系數(shù)是指,,…,,它只與各項的項數(shù)有關(guān),而與a,b的值無關(guān),項的系數(shù)是指該項中除變量外的常數(shù)部分,它不僅與各項的項數(shù)有關(guān),而且也與a,b的值有關(guān).如(a+bx)n的綻開式中,第k+1項的二項式系數(shù)是,而該項的系數(shù)是an-kbk.10.(2024·汕頭模擬)已知(2x-1)5綻開式中的常數(shù)項為30,則實數(shù)a=________.

【解析】(2x-1)5的綻開式的通項公式為Tr+1=(2x)5-r(-1)r=(-1)r25-rx5-r.所以(2x-1)5綻開式中的常數(shù)項為·2x=30,解得a=3.答案:3【變式備選】(1+x+x2)的綻開式中的常數(shù)項為________.

【解析】的綻開式中,Tr+1=x6-r·=(-1)rx6-2r,令6-2r=0,得r=3,T4=(-1)3=-,令6-2r=-1,得r=(舍去),令6-2r=-2,得r=4,T5=(-1)4x-2,所以(1+x+x2)的綻開式中的常數(shù)項為1×(-)+=-20+15=-5.答案:-5(20分鐘40分)1.(5分)若的綻開式中含有常數(shù)項,則n的最小值等于 ()A.3B.4C.5D.6【解析】選C.的綻開式的項為Tr+1=x6(n-r)=,由6n-r=0得,n=r,又n為正整數(shù),所以當(dāng)r=4時,n的最小值為5.【變式備選】在的綻開式中,x3的系數(shù)為10,則實數(shù)a等于 ()A.-1B.0C.1D.2【解析】選D.因為Tr+1=x5-r=arx5-2r,所以當(dāng)5-2r=3時,r=1,所以a=10,所以a=2.2.(5分)在二項式的綻開式中,偶數(shù)項的二項式系數(shù)之和為256,則綻開式中x的系數(shù)為________.

【解析】二項式綻開式中,偶數(shù)項與奇數(shù)項的二項式系數(shù)之和相等,所以2n-1=256,解得n=9;所以二項式的綻開式中,通項公式為Tr+1=(9x)9-r=99-r;令9-=1,解得r=6;所以綻開式中x的系數(shù)為93=84.答案:84【變式備選】若的綻開式中,二項式系數(shù)和為64,全部項的系數(shù)和為729,則a的值為________.

【解析】由的綻開式中二項式系數(shù)和為2n=64,可得n=6,再由的綻開式中全部項的系數(shù)和為(1+a)6=729,可得a=-4或a=2.答案:-4或23.(5分)假如(1+x+x2)(x-a)5(a為實常數(shù))的綻開式中全部項的系數(shù)和為0,則綻開式中含x4項的系數(shù)為________.

【解析】因為(1+x+x2)(x-a)5的綻開式中全部項的系數(shù)和為(1+1+12)(1-a)5=0,所以a=1,所以(1+x+x2)(x-a)5=(1+x+x2)(x-1)5=(x3-1)(x-1)4=x3(x-1)4-(x-1)4,其綻開式中含x4項的系數(shù)為(-1)3-(-1)0=-5.答案:-54.(12分)已知在的綻開式中,第6項為常數(shù)項. (1)求n.(2)求含x2項的系數(shù).(3)求綻開式中全部的有理項.【解析】(1)通項公式為Tr+1==,因為第6項為常數(shù)項,所以r=5時,有=0,即n=10.(2)令=2,得r=(n-6)=2,所以含x2項的系數(shù)為=.(3)依據(jù)通項公式,由題意得令=k(k∈Z),則10-2r=3k,即r=5-k,因為k可取2,0,-2,即r可取2,5,8.所以第3項,第6項與第9項為有理項,它們分別為x2,-,x-2.5.(13分)已知二項綻開式中,第4項的二項式系數(shù)與第3項的二項式系數(shù)的比為8∶3. (1)求n的值.(2)求綻開式中x3項的系數(shù).(3)計算式子-2+4-8+…+1024的值.【解析】(1)由第4項的二項式系