2024~2025學年度第二學期期中學情檢測高二數學注意事項：考生在答題前請認真閱讀本注意事項及各題答題要求1.本試卷共4頁，包含[選擇題(1~11))，共58分，填空題(第12題~第14題，共15分)、解答題(第15~19題，共77分).本次考試時間120分鐘，滿分150分、考試結束后，請將答題卡交回.2.答題前，請考生務必將自己的姓名、學校、班級、座位號、考試證號用0.5毫米的黑色簽字筆寫在答題卡上相應的位置，并將考試證號用2B鉛筆正確填涂在答題卡的相應位置.3.答題時請用0.5毫米的黑色簽字筆在答題卡指定區域作答.在試卷或草稿紙上作答一律無效.4.如有作圖需要，可用2B鉛筆作圖，并請加黑加粗，描寫清楚.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.（）A.24 B.26 C.30 D.32【答案】B【解析】【分析】利用排列數公式、組合數公式計算可得答案.【詳解】.故選：B.2.曲線在點處的切線方程為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】分析】先根據導數得出切線斜率，再點斜式得出切線方程即可.【詳解】因為，所以，所以在點處，所以在點處的切線方程為，所以切線方程為.故選：A.3.已知函數在上單調遞增，則實數a的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本道題目先計算導數，然后結合題意，構造新函數，計算最大值，即可．【詳解】，在恒成立，故得到在上恒成立，故單調遞減，.所以，故的范圍為，故選：D．4.設隨機變量X的分布列如表所示，則E(X)（）X123PA.有最大值，最小值B.有最大值，最小值C.有最大值，沒有最小值D.無最大值，有最小值【答案】A【解析】【分析】利用分布列的性質及期望公式求得，再利用余弦函數性質求解判斷.【詳解】依題意，，則，則，當時，，，則，所以有最大值，最小值，A正確，BCD錯誤.故選：A5.甲、乙、丙、丁4名同學進行勞動技術比賽，決出第1名到第4名的名次.甲和乙去向老師詢問成績，老師對甲說：“很遺憾，你和乙都沒有得到冠軍.”對乙說：“你當然不會是最差的.”從這兩個回答分析，4人的名次排列的情形有（）A.8種 B.18種 C.54種 D.64種【答案】A【解析】【分析】利用排列計數問題，結合分步乘法計數原理列式求解.【詳解】分三步完成：冠軍有種可能，乙的名次有種可能，余下2人有種可能，所以4人的名次排列有（種）不同情況.故選：A6.已知函數既有極大值又有極小值，則實數a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】對函數求導，問題化為至少有兩個變號零點，導數求的極值并列不等式求參數范圍.【詳解】由題設，令，則，當或時，，則在和上單調遞增，當時，，則在上單調遞減，，且時趨向，時趨向，要使函數既有極大值又有極小值，即至少有兩個變號零點，所以至少有兩個變號零點，所以.故選：A7.人工智能領域讓貝葉斯公式：站在了世界中心位置，AI換臉是一項深度偽造技術，某視頻網站利用該技術摻入了一些“AI”視頻，“AI”視頻占有率為0.1.某團隊決定用AI對抗AI，研究了深度鑒偽技術來甄別視頻的真假.該鑒偽技術的準確率是0.9，即在該視頻是偽造的情況下，它有90%的可能鑒定為“AI”；它的誤報率是0.4，即在該視頻是真實的情況下，它有40%的可能鑒定為“AI”.已知某個視頻被鑒定為“AI”，則該視頻是“AI”合成的可能性為（）A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4【答案】B【解析】【分析】根據題意，由貝葉斯公式代入計算，即可得到結果.【詳解】記“視頻是AI合成”為事件，記“鑒定結果為AI”為事件B，則，由貝葉斯公式得：，故選：B．8.定義方程的實數根x叫做函數的“新駐點”.若函數.h(x)=lnx的“新駐點”分別為，，，則，，的大小關系為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求出給定的各函數的導數，再根據給定條件確定，，的值或所屬區間即可得解.【詳解】由得，解方程，即，即；由得，解方程，即，得，即；由得，解方程，即，令，顯然在單調遞增，，則存在，使得，即；所以.故選：D二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列求導運算正確的是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】由基本初等函數的求導公式以及導數的四則運算，代入計算，逐一判斷，即可得到結果.【詳解】對于A，，故A正確；對于B，，故B正確；對于C，，故C錯誤；對于D，，故D正確；故選：ABD10.設樣本空間,且每個樣本點是等可能的,已知事件,則下列結論正確的是（）A.事件A與B為互斥事件B.事件A,B,C兩兩相互獨立.C.D.【答案】BC【解析】【分析】根據互斥事件、獨立事件的概率公式即可解答.【詳解】對于選項A，因為，所以事件與不互斥，故A錯誤；對于選項B，，，故B正確；對于選項C，表示，，即，故C正確；對于選項D，交集為，則，故D錯誤.故選：BC.11.連續函數是定義域為R的偶函數，且在區間上單調遞增，則下列說法正確的是（）A.函數在上單調遞增B.函數在上單調遞增C.函數存在極小值點D.若，則【答案】ACD【解析】【分析】根據給定條件，利用導數確定單調性判斷A；舉例說明判斷B；利用極小值的意義，結合偶函數及單調性判斷C；構造函數，利用導數求出函數最小值，結合選項條件判斷D.【詳解】由定義域在上的連續函數在區間上單調遞增，得，，對于A，，，函數在上單調遞增，A正確；對于B，取函數，符合題意，函數，，當時，，函數在上不單調，B錯誤；對于C，函數定義域為，，函數是偶函數，令，由函數，在上都是增函數，得在上也是增函數，由是偶函數，得在上是減函數，因此是函數的一個極小值點，C正確；對于D，當時，依題意，，，令，求導得，當時，；當時，，即函數在上單調遞減，在上單調遞增，，因此，D正確.故選：ACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知隨機變量，若E(X)=1，則D(X)=___________.【答案】【解析】【分析】根據給定條件，利用二項分布的期望、方差公式列式求解.【詳解】隨機變量，由，得，解得，所以.故答案為：13.，則__________【答案】【解析】【分析】結合組合數的運算，即可得到結果.【詳解】展開式中，每個括號可選，要得到項，需要滿足四個括號中選的項的的指數和為，可選一次，三次，則項，所以.故答案為：14.集合具有如下性質：若某集合內有n個元素，則該集合共有子集的個數為2n.現有集合M內含有3個元素，則其共有八個子集，分別為.甲、乙兩同學依次各取一個子集分別記為，可以相同，中元素的個數為m，則的概率為______【答案】【解析】【分析】根據給定條件，求出試驗含有的基本事件總數，的事件含有的基本事件數，再求出古典概率.【詳解】依題意，甲、乙兩同學依次各取一個子集的試驗有個基本事件，設的事件為，中的元素至少2個，當都只有2個元素時，相同，共有3個情況；當中一個有2個、另一個有3個元素時，共有種情況；當都有3個元素時，有1種情況，因此事件含有的基本事件數為種，所以.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程成演算步驟.15.2025年3月23日，2025南通馬拉松在南通大劇院和美術館東側鳴槍開跑，經過角逐，中國選手楊俊婷以1小時19分01秒獲得半程馬拉松女子組冠軍，選手張德成以2小時25分53秒獲得馬拉松男子組亞軍.為了解本地區市民對跑步運動的喜愛情況，隨機調查了部分市民，其中女性市民占40%，女性市民中有65%的人喜愛跑步，男性市民中有90%的人喜愛跑步.（1）在被調查的市民中任選一人，求此人喜愛跑步概率；（2）用頻率估計概率，從本地區的所有市民中隨機抽取3人，設抽取的3人中喜愛跑步的人數為X，求X的分布列及數學期望.【答案】（1）（2）答案見解析【解析】【分析】（1）利用全概率公式計算求解；（2）利用二項分布的概率公式求分布列以及利用二項分布的期望公式計算即可..【小問1詳解】設事件表示抽被調查的市民中任選一人為女性，事件表示抽中的此人此人喜愛跑步.可知，所以被調查的市民中任選一人，求此人喜愛跑步概率為.【小問2詳解】因，可取則，，，，故其分布列如下表所示：0123故期望.16.已知（1）若的展開式中第5項與第3項的二項式系數之比為（i）求n的值;（ii）若，求的值；（2）若時，函數的極大值點為，求實數m的取值范圍.【答案】（1）（i）8；（ii）1016；（2）.【解析】【分析】（1）（i）根據給定條件，利用二項式系數的定義列式求出值；（ii）對給定等式兩邊求導，再賦值求出目標值.（2）把代入化簡函數，求出導數，利用給定的極值點分類討論求解.【小問1詳解】（i）由展開式的第5項與第3項的二項式系數之比為，得，整理得，而，所以.（ii）由（i）知，，則，兩邊求導得，取，得.【小問2詳解】由時，函數，求導得，由函數的極大值點為，得，當時，由，得或，由，得，則是的極小值點，不符合題意；當時，由，得或，由，得，則是極大值點，符合題意，所以實數m的取值范圍為.17.已知函數（1）若在處的瞬時變化率為，求實數的值；（2）在（1）的條件下，求在區間上的最值;（3）若，對于曲線的任意一條切線，都存在曲線的某條切線和它垂直，求實數b的取值范圍.【答案】（1）1（2）最小值為；最大值；（3）【解析】【分析】（1）求出，利用瞬時變化率定義列式計算即可；（2）利用導數研究函數的單調性，進而求解；（3）分別求出，及其取值范圍，由題意得出，由集合的包含關系列式即可求.【小問1詳解】由得，因為在處的瞬時變化率為，所以即，所以.【小問2詳解】當時，，，當，所以，又，所以，即，所以在區間上單調遞減，所以當時，取到最大值；當時，取到最小值.【小問3詳解】當時，，則，因為，所以，所以，因為，所以，因為，所以，即，因為曲線的任意一條切線，都存在曲線的某條切線和它垂直，所以，所以，解得或，所以實數b的取值范圍.18.為了能不斷地傳承與弘揚中國傳統文化，某校高二年級各班在周班會課上進行了“中國傳統文化”知識競賽.各班競賽形式多樣，其中高二(1)(2)兩班競賽規則最具代表性，請完成以下兩題：（1）高二(1)班班委會設置如下競賽規則：從6道題中任選2題作答，2題均答對就獲得“傳統文化小達人”的稱號.已知6道題中同學甲能答對其中的4道題，求甲在已經答對一題的前提下沒有獲得“傳統文化小達人”稱號的概率；（2）高二(2)班班委會采取的競賽規則：共設置n道題，參加比賽的同學從第1題開始答題，答對就進入下一題，答錯則終止答題，若n道題全部答對，就獲得一個小禮品.已知同學乙答對每道題的概率為（i）當時，設乙答題結束時，答題的個數為X，隨機變量X的分布列及數學期望；（ii）設乙答題結束時，答對題目的個數為Y，求使得成立的n的最小值.（參考數據：）【答案】（1）（2）（i）答案見解析；（ii）【解析】【分析】（1）由條件概率公式代入計算，即可得到結果；（2）（i）由條件可得的可能取值，然后分別求得其對應概率，即可得到分布列以及期望；（ii）由期望的定義列出式子，結合錯位相減法代入計算，即可得到，然后代入計算，即可得到結果.【小問1詳解】設事件表示甲已經答對一題，事件表示甲獲得“傳統文化小達人”稱號，則，，則.【小問2詳解】（i）的可能取值為，則，，，分布列為：則.（ii）的可能取值為，，，，由期望的公式可得，設，則，兩式相減可得，所以，則，由可得3?3?34n>2.4即，其中，，則，所以的最小值為.19.函數.（1）若，求的單調區間；（2）若，函數，方程有兩個不相等的實數根，求實數的取值范圍；（3）若有三個不同的極值點，證明：【答案】（1）遞減區間為，遞增區間為（2）（3）證明見解析.【解析】【分析】（1）求出的導數，再利用導數探討的單調性及零點即可.（2）變形給定方程，利用同構方法構造函數，將問題轉化為直線與函數圖象有兩個交點求解.（3）利用導數探討范圍及的取值區間，證明，把不等式轉化為證明成立即可.【小問1詳解】函數的定義域為，，求導得，令，求導得，函數在上單調遞增，而，則當時，；當時，，所以函數的遞減區間為，遞增區間為.【小問2詳解】當時，，方程，則當時，，令函數，函數在R上單調遞增，而，于是，，依題意，方程有兩個不等實根，令，則直線與函數的圖象有兩個不同的交點，求導得，當時，；當時，，函數在上單調遞增，在單調遞增，當時，取得最大值，而，當時，恒成立，當且僅當時，直線與