2024—2025學年度高一4月聯考數學試題1．答卷前，考生務必將自己的姓名、考場號、座位號、準考證號填寫在答題卡上．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效．3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回．考試時間為120分鐘，滿分150分一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.設為虛數單位，若復數是純虛數，則實數a的值為（）A.1 B.6 C.5 D.1或52.若是平面內一組不共線的非零向量，則下列也可以作為一組基底向量的為（）①和②和③和④和A.①② B.②③ C.③④ D.①④3.下列敘述正確的是（）A.有兩個面平行且相似，其他各個面都是梯形的多面體是棱臺B.底面是正多邊形的棱錐是正棱錐C.邊長為2的水平放置的正方形的斜二測畫法直觀圖的面積是D.直角三角形以其邊所在直線為軸旋轉一周形成的幾何體是圓錐4.若m，n為空間直線，，為平面，則下列說法正確的是（）A.若，，則B.若，，則C，，，則D.若m，n是異面直線，則m，n在內的射影為兩條相交直線5.已知向量，滿足，，，則（）A. B. C. D.6.正三棱臺三側棱的延長線交于點P，如果，三棱臺的體積為，的面積為，那么側棱與底面所成角的正切值為（）A. B. C. D.7.如圖，在直三棱柱中，點D，E分別在棱，上，，，點F滿足，若平面ACF，則的值為（）A. B. C. D.8.如圖，長方體中，，E為棱CD的中點，則異面直線與之間的距離為（）A. B. C. D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.下列結論中錯誤是（）A.若為非零向量，且，則B.對于非零向量，，若，則存在唯一實數使得C.在中，若，則與的面積之比為2∶9D.已知，，且與的夾角為銳角，則實數的取值范圍是10.正四面體棱長為，若點Q是該正四面體外接球球面上的一個動點，則的值可能為（）A B. C. D.11.如圖，正方體的棱長為4，F是的中點，點P為正方形內一動點（含邊界），則下列說法正確的是（）A.四棱錐體積為定值B.當時，點P的軌跡長度為C.當直線AP與平面所成的角為時，則點P的軌跡長度為D.若直線平面，則點P的軌跡長度為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知是關于x的方程的一個根，則__________．13.已知圓錐的表面積為，且它的側面展開圖是一個半圓，則這個圓錐的體積為______________.14.如圖，幾何體是四棱錐，為正三角形，，，M為線段AE的中點．則直線MD與平面EBC的位置關系為__________（填相交或平行）．N為線段EB上一點，使得D，M，N，C四點共面，則的值為__________．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15.已知復數，．（1）若，求；（2）在復平面內，復數，對應的向量分別是，，其中O是坐標原點，求的大小．16.記的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知．（1）求B；（2）若，，求的面積．17.如圖，在中，點M，N滿足，（，），點D滿足，E為AD的中點，且M，N，E三點共線．（1）用，表示；（2）求的值．18.如圖，在四棱錐中，平面ABCD，底面ABCD為直角梯形，，，M為PA的中點，N為PC的中點，E為PD的中點，．（1）求證：平面BMN；（2）求三棱錐的體積．19.離散曲率是刻畫空間彎曲性的重要指標．設P為多面體M的一個頂點，定義多面體M在點P處的離散曲率為，其中為多面體M的所有與點P相鄰的頂點，且平面，平面，…，平面和平面為多面體M的所有以P為公共點的面．已知三棱錐如圖所示．（1）求三棱錐在各個頂點處的離散