紀元中學2024-2025學年第二學期高二期中考試數學科試卷考試時長120分鐘命題人：何念超審題人：葉鑫一?單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知函數，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由導數的定義求解【詳解】，則故選：D2.下列導數運算正確的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用基本初等函數的導數即可得解.【詳解】對于A，因為(為常數),所以，故A錯誤；對于B，，故B錯誤；對于C，，故C正確；對于D，，故D錯誤.故選：C3.已知為等差數列的前n項和，若，，則的值為（）A.21 B.20 C.19 D.18【答案】A【解析】【分析】根據等差數列項的性質結合求和公式及通項公式計算求解.【詳解】因為為等差數列的前n項和，設公差為，所以，，即得，所以，所以，則.故選：A.4.在的展開式中，的系數為（）A. B. C.21 D.35【答案】B【解析】【分析】利用的通項公式求解.【詳解】解：的通項公式為：，令，得，所以含的項為，所以的系數為-35，故選：B5.已知數列的前項和為，滿足，則下列判斷正確的是（）A.數列為等差數列 B.C.數列存在最大值 D.數列存在最大值【答案】D【解析】【分析】利用，可求通項公式判斷AB；由可知單調性判斷CD.【詳解】由可知，當時，，因為，所以，故數列是從第二項開始的等差數列，故A錯誤.將的通項公式可得，故B錯誤.由知，數列為遞增數列，不存在最大值，故C錯誤.由知，數列為遞減數列，故存在最大值，故D正確.故選：D.6.從4名醫生，3名護士中選出3人組成一個醫療隊，要求醫生和護士都有，則不同的選法種數為（）A.12 B.18 C.30 D.60【答案】C【解析】【分析】根據題意分“1名醫生，2名護士”和“2名醫生，1名護士”兩種情況，結合組合數運算求解.【詳解】若選出3人有1名醫生，2名護士，則不同的選法種數為；若選出3人有2名醫生，1名護士，則不同的選法種數為；綜上所述：不同的選法種數為.故選：C.7.若曲線在處的切線與曲線也相切，則的值為（）A. B. C.1 D.【答案】B【解析】【分析】根據題意，求得在處的切線為，設直線與曲線相切的切點為，求得，又切點在曲線和切線上，代入即可求解.【詳解】對曲線，在切點處切線的斜率，所以切線方程為：，對于曲線，設切點，則在點處切線的斜率，依題意，即，又點切點在曲線和切線上，即，所以，故選：B.8.設，若函數在內存在極值點，則a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先求函數的導數，利用導數在內存在零點，利用參變分離，轉化為函數值域問題，即可求解.【詳解】依題意，在內存在變號零點，而不是的零點，從而得，又在上遞增，所以.故選：B二?多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分..9.設是函數的導函數，將和的圖象畫在同一直角坐標系中，可能正確的是（）A. B.C. D.【答案】ABC【解析】【分析】根據原函數與導函數的圖象關系依次判斷選項即可.【詳解】對選項A，若圖中的直線為的圖象，曲線為的圖象，因為的圖象先負后正，的圖象先減后增，故A可能正確.對選項B，若圖中上面的曲線為的圖象，下面曲線為的圖象，因為的圖象在處先負后正，的圖象在處先減后增，故B可能正確對選項C，若圖中上面的曲線為的圖象，下面曲線為的圖象，因為恒成立，的圖象為增函數，故C可能正確.對選項D，若圖中上面的曲線為的圖象，下面曲線為的圖象，因為的圖象先負后正，的圖象為增函數，不符合，若圖中上面的曲線為的圖象，下面曲線為的圖象，因為恒成立，的圖象為增函數，不符合，故D錯誤.故選：ABC10.有甲、乙、丙等6名同學，則下列說法正確的是（）A.6人站成一排，甲、乙兩人相鄰，則不同的排法種數為240B.6人站成一排，甲、乙、丙按從左到右的順序站位（不一定相鄰），則不同的站法種數為240C.6名同學平均分成三組分別到、、三個工廠參觀，每名同學必須去，且每個工廠都有人參觀，則不同的安排方法有90種D.6名同學分成三組參加不同的活動，每名同學必須去，且每個活動都有人參加，甲、乙、丙在一起，則不同的安排方法有36種【答案】ACD【解析】【分析】用捆綁法即可判斷A，用倍縮法即可判斷B，用平均分組公式即可判斷C，用分類加法分步乘法即可判斷D.【詳解】對于A，6人站成一排，甲、乙兩人相鄰，可以采用捆綁法，則不同的排法種數為，故A正確；對于B，6人站成一排，甲、乙、丙按從左到右的順序站位，可用倍縮法進行求解，即種，故B錯誤；對于C，6名同學平均分成三組分別到、、三個工廠參觀，每名同學必須去，且每個工廠都有人參觀，則有種，故C正確；對于D，6名同學分成三組參加不同的活動，甲、乙、丙在一起，若還有一位同學與他們一組，共有種分法；若三組同學分為3人一組，2人一組和1人一組，先將除甲、乙、丙外的剩余3人分為兩組，有種分法；共有6種分組方法，再分配到三個活動中，共有種，D正確．故選：ACD.11.已知數列滿足，，則下列結論正確的有（）A.為等比數列 B.的通項公式為C.為遞增數列 D.前項和【答案】ABD【解析】【分析】將兩邊取倒數，即可得到，從而判斷A、B；利用作差法判斷的單調性，即可判斷C；利用分組求和法判斷D.【詳解】因為數列滿足，，所以，所以，又，所以是以為首項，為公比的等比數列，所以，整理得，故A、B正確；又，即，所以數列為遞減數列，故C錯誤；因為，所以，所以數列的前項和為，故D正確.故選：ABD.三?填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.12.為培養學生的綜合素養，某校準備在高二年級開設A，B，C，D，E，F六門選修課程，學校規定每個學生必須從這6門課程中選3門，且A，B兩門課程至少要選1門，則學生甲共有______種不同的選法．【答案】16【解析】【分析】根據組合的定義，結合分類計數原理進行求解即可.【詳解】若A，B兩門課程選1門，不同的選法有種，若A，B兩門課程選2門，不同的選法有種，所以一共有種不同的選法，故答案為：1613.已知函數，則__________.【答案】【解析】【分析】求出函數的導函數，再令計算可得.【詳解】因為，所以，所以，解得.故答案為：14.已知等差數列的前n項和為，且滿足，，則數列的通項公式為__________．【答案】【解析】【分析】設出公差，根據，求出，得到公差，利用通項公式求出答案.【詳解】設的公差為，因為，所以，又，故，解得，所以，又，所以．故答案為：四?解答題：本題共5小題，共77分.解答須寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.某校舉行勞動技術比賽，該校高二（1）班的班主任從本班的5名男選手和4名女選手中隨機地選出男?女選手各2名參加本次勞動技術比賽中的團體賽，并排好團體賽選手的出場順序.在下列情形中各有多少種不同的安排方法？（1）男選手甲必須參加，且第4位出場；（2）男選手甲和女選手乙都參加，且出場的順序不相鄰.【答案】（1）144（2）144【解析】【分析】（1）先根據組合數求出選出選手的情況，然后利用排列數求解即可.（2）先根據組合數求出選出選手的情況，然后結合排列數利用插空法求解即可.【小問1詳解】完成該件事情可分兩步進行：第一步，選出選手，從剩余的4名男選手選1人，4名女選手選2人有種方法；第二步，排好出場順序，安排除了甲之外的三人有種方法，所以，共有種不同的安排方法.【小問2詳解】完成該件事情可分兩步進行：第一步，選出選手，從剩余的4名男選手選1人，3名女選手選2人有種方法；第二步，排好出場順序，先安排除了甲和乙之外的另外兩人，然后讓甲乙兩人插空有種方法，所以，共有種不同的安排方法.16.已知函數在時取得極大值4.（1）求實數a，b的值；（2）求函數在區間上的最值.【答案】（1）；（2）最大值為4，,最小值為0.【解析】【分析】（1）先求導，根據，解方程組求出a，b的值；（2）根據函數在區間上的單調性，分別求出極值和端點值，再比較得出最大值和最小值.【小問1詳解】，由題意得，解得.此時，，當時，，所以在單調遞增，當時，，所以在單調遞減，當時，，所以在單調遞增，所以在時取得極大值.所以.【小問2詳解】由（1）可知，在單調遞增，在單調遞減，在單調遞增.又因為，，，，所以函數在區間上的最大值為4，,最小值為0.17.設等差數列的前n項和為，且，（為常數）（1）求a值；（2）求的通項公式；（3）若，求數列的前n項和【答案】（1）0（2）（3）【解析】【分析】（1）利用的關系可求得；（2）由（1）可得（3）由（2）可得，利用裂項相消法可求得【小問1詳解】當時，，當時，，因為是等差數列，則時也應滿足，即，又，所以，解得；【小問2詳解】由（1）得【小問3詳解】，18.已知為數列的前項和，且.（1）求數列的通項公式；（2）設，求.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用的關系，結合等比數列的定義求通項公式.（2）利用錯位相減法求和可得結果.【小問1詳解】當時，，可得，當時，，可得，則，是首項?公比都為的等比數列，故.【小問2詳解】由題設，，，則，所以，所以.19.已知函數.（1）討論函數的單調性；（2）討論函數的零點個數.【答案】（1）當時，函數在上單調遞減；當時，函數在上單調遞減，在上單調遞增.（2）當時，函數沒有零點；當或時，函數有1個零點；當時，函數有2個零點.【解析】【分析】（1）對函數，求導得出，對進行分類討論，根據導數和單調性的關系，即可求得函數的單調性.（2）由題意可知，函數零點個數轉化為函數與圖像交點的個數，分別作出兩個函數