【摘""要】相對性眼光具有將觀察對象或現象的結構進行重組的功能，具體表現為“重新塑型整體、重新把握關系、重新聚焦對象”。相對性眼光的重組功能是對常規觀察方式的突破與超越，把觀察過程中“整體與部分、靜止與運動、虛無與存在”等關系視為相對的，這對于發現靈活多樣的解題方法具有重要作用。將相對性眼光的重組功能應用于數學學習活動設計，有助于培養與發展學生核心素養中的創新意識。【關鍵詞】相對性眼光；絕對性眼光；重組；創新意識本刊上一期刊登的《跨越學科界限的“相對性眼光”》一文，對觀察對象或現象的眼光進行了區分，提出了“絕對性眼光”與“相對性眼光”的概念。相對性眼光相較于絕對性眼光，表現為“有悖常規的變通性、與眾不同的差異性、靈活多樣的可能性和多種可能的選擇性”，它是絕對性眼光的拓展，體現了超越單一學科知識、跨越學科界限的智慧。在此基礎上，需要進一步研究：在解決數學問題過程中，相對性眼光能夠發揮怎樣的作用？本文將重點討論相對性眼光的“重組”功能在數學學習中的應用。一、什么是重組此處所指的“眼光”特指視覺觀察的方式與能力。當個體處于特定環境時，其視域中某些對象會“引人注目”，而其他對象則可能“視而不見”。例如，當一個人站在路邊準備過馬路時，其注意力會集中在交通信號燈（紅綠燈）和過往車輛上，而對周圍的建筑物、行人或樹木等則可能視而不見。這種將眼光聚焦于特定個體或部分的觀察方式具有一定的常規性。如果這種常規性觀察方式被固化，便形成了具有確定性的絕對性眼光。在數學學習中，這種絕對性眼光往往會成為認知發展的障礙。以學習“平行四邊形的面積”為例，教材中的常規思路是將平行四邊形轉化為面積相等的長方形，并利用長方形面積公式推導出平行四邊形的面積公式。其實質在于期望學生直觀“看”出兩個圖形面積相等的關系。然而，觀察圖1，看到最顯著的對象是位于兩條平行直線（圖1中的虛線）之間，彼此分離的長方形（左側）和平行四邊形（右側）。如果觀察者將這種常規的眼光絕對化，形成確定性的觀察方式和結果，那么就很難看出兩個圖形面積相等的關系。基于“邊越長，面越大”的直覺規律［1］，甚至可能會誤認為平行四邊形的面積大于長方形的面積。相對性眼光的觀察具有變通性，它將引人注目的對象或現象置于其所在背景中，將目標對象與背景中的其他對象關聯起來，形成一個整體，進而通過它們之間的關系進行解釋或判斷。因此，相對性眼光的一個顯著特征是其“整體性”和“關聯性”［2］。在圖1的觀察中，將兩個圖形之間不存在的梯形視為存在，使其成為長方形與平行四邊形的背景，此時看到的長方形、梯形和平行四邊形三個圖形，構成了一個新的整體（如圖2）。這里的觀察不再是靜態的看或看見，而是包括了在思維中的“想象性運動（FictiveMotion）”［3］，即將長方形和平行四邊形分別與中間梯形合并，從而發現合并后的兩個圖形是形狀與大小完全相同的梯形。因此，可以立即看出長方形與平行四邊形的面積相等（如圖3）。上述過程體現了相對性眼光的整體性和關聯性，即通過將作為背景的中間梯形視為存在，在此基礎上改變整體圖形的構成方式，通過圖形的合并，將原本的目標對象（長方形與平行四邊形）轉變為兩個形狀和大小完全相同的梯形（圖3中陰影部分），從而改變了整體與部分的結構關系。由此可見，相對性眼光具有通過思維操作重新認識和把握整體與部分結構關系的功能。德國心理學家、格式塔心理學創始人之一的馬克斯·韋特海默（MaxWertheimer，1880—1943）及其追隨者將這種視覺功能稱為視知覺過程中的“重組（Reorganization）”，是“創造性思維（ProductiveThinking）”所依賴的認知活動。［4］二、韋特海默問題及其常規方法格式塔心理學強調認知過程中視覺的重要性，對任何對象或現象的觀察與理解要把握整體，即建構整體的構成方式，所謂“重組”就是針對常規的構成方式，用靈活多樣的眼光重新認識，從而獲得多種不同的構成方式。在此基礎上，針對觀察對象就會形成更加豐富的發現和解釋，實現“部分之和大于整體”的認知［5］。韋特海默曾在題為《三段論與創造性思維》一文中，用一個簡單的幾何問題說明這樣的過程，這一以韋特海默的名字命名的問題在數學教育中被廣泛引用。［6］韋特海默問題：如圖4所示，ABCD是邊長為[a]的正方形，AECF是平行四邊形，ED長度為[b]。求：正方形ABCD與平行四邊形AECF的面積之和是多少？［7］如果將圖4中的整個圖形看作一個整體，對觀察者來說面臨的問題是“看見了什么？”以及“是怎樣看見的？”也即應當如何識別構成整體的部分。人們往往會依據自身經驗與認知偏好青睞明顯的對象。觀察者的既往經驗中對正方形和平行四邊形較為熟悉。加之題干中提及這兩個圖形，會自然而然地將圖4的構成方式視為“一個平行四邊形和一個正方形”重疊放置，思維中自然產生分離與合并的表象（如圖5）。按照這樣的眼光，解決問題的思路自然是分別求出長方形和平行四邊形兩個圖形的面積，然后相加。正方形面積不難求出，為[a2]，平行四邊形的底為[b-a]，對應的高位于平行四邊形外部（簡稱“形外高”），其長度等于正方形邊長a，因此平行四邊形面積為[（b-a）×a=a×b-a2]，由此可以得到正方形ABCD與平行四邊形AECF的面積之和為[a2+a×b-a2=a×b]。如果學生缺乏識別形外高的經驗，則不易看出平行四邊形底上高的長度與正方形邊長相等，因而就會使得思路受阻。這樣的方法源于對圖4整體構成方式的把握，即“整體=正方形+平行四邊形”。如果將這樣的觀察方式視為具有常規性的絕對性眼光，那么反常規的相對性眼光就會探索對整體圖形結構的重新認識。三、“重組”的威力重組圖形的整體結構，需要將構成正方形和平行四邊形的各條邊重新搭配，使得引人注目的正方形與平行四邊形從視覺中消失，讓視而不見的其他圖形浮現出來。如圖6中的正方形和平行四邊形就不再是最為明顯的對象，代之以兩個形狀、大小完全一樣的直角三角形EDC與ABF。相較于圖4，圖6整體圖形并沒有改變，但眼光的改變使得思維中的表象發生了變化，因此目標對象不再是正方形和平行四邊形，而是兩個直角三角形。這時如果讓眼光實施“分離、移動、合并”的想象性運動，就可以將兩個直角三角形的斜邊對齊放置，成為一個邊長分別為[a]和[b]的長方形（如圖7），可以立刻得到答案為[a×b]。以上重組過程通過構成方式的改變，使得觀察者重新認識和把握圖形內部線段之間的關系，從而改變了視覺中引人注目的目標對象。整個過程可以概括為“分與合”的交替，即將正方形和平行四邊形的邊與原形分離，與臨近的其他線段合并，從而實現了讓引人注目的圖形消失，讓視而不見的圖形浮現出來。重組圖形的另外一種方式是“移與補”，“移”是將靜態的對象想象為運動，“補”是將虛無的對象想象為存在。比如可以將圖4中的平行四邊形的右側邊想象為豎直向上的平移運動（如圖8）。平移過程中平行四邊形的形狀不斷變化，但其本身面積保持不變。運動過程中的一個極端狀態是將平行四邊形（圖8中的陰影部分）轉變為一個長方形，與原來的正方形合并為寬為[a]和長為[b]的長方形，從而得到正方形ABCD與平行四邊形AECF的面積之和為[a×b]。按照格式塔心理學的說法，這樣的重組過程是將原圖從壞的格式塔變形為好的格式塔。［8］綜上可以歸納出相對性眼光重組功能的表現形式：從整體構成方式的改變，到對內部關系的重新把握，從而實現對目標對象的重新認識。韋特海默把這樣的過程概括為“三個重新”：l重新塑型整體（Re-formed）l重新把握關系（Re-grasped）l重新聚焦對象（Re-centred）韋特海默問題的分析與解決是將眼光的重組功能應用于幾何圖形的觀察，通過靈活多樣的重組方式，使得問題的解決出現了超越常規的多種方法，同時使得問題的答案更加直觀。因此讓學生有更多機會經歷圖形重組的認知活動，對于提升幾何直觀十分有效。更進一步，如果將眼光的意義從視覺的“看見”拓展為思維的“看待”，那么眼光的重組功能就可以在許多問題的解決中發揮更大的作用。四、常規性問題的反常規方法在數學課程內容中有許多常規性問題，解決這些問題通常有教材中呈現的常規方法（一般方法）。從教學與教育的角度來看，常規方法具有利弊并存的雙刃性，學生通過模仿教師的講解與示范，進行記憶和反復練習，以達到解題過程與結果的“又對又快”，這種方法“易教易學”并且在應試中能夠獲得高分。然而，如果將數學教學僅限于這樣的常規方法，就會忽視并喪失《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱“2022年版課標”）所強調的發展“創新意識”的學習活動，即“勇于探索一些開放性的、非常規的實際問題和數學問題”。以教材中常見的購物問題為例：某商品單價2.8元，買5件需要多少元？面對這樣的問題，按照教材中的常規方法，通常是將其視為5個相同的個體構成一個整體，問題的答案是通過個體單價的累加與相應的乘法計算獲得，這種常規方法表現為如圖9的形式。這樣的常規方法源于人們習慣性地從個體或局部看整體的觀察方式，是一種“從小看大”的眼光。換一種“從大看小”眼光，把“5件商品”視為一個更大整體中的部分，如10件商品。這時解決問題的方法就不再是機械的列式計算，而是對整體與部分關系的把握，即“5件商品價格與10件商品價格的關系”。因為10件商品的價格為28元，所以5件商品的價格是28元的一半，即為14元（如圖10）。這樣的方法源于對原問題的整體結構進行了“重新塑型”，把“5件商品”這一整體納入到一個更大的整體中，成為其中的一部分，進而通過部分與整體的關系獲得答案。答案的獲得更主要的是依賴于對部分與整體關系的把握，列式計算則退居次要地位。因此可以說，將眼光的重組功能應用于教材中常規問題的解決，能夠發現更為豐富、巧妙的思路和方法。下面以小學數學課程中常規的“工程問題”為例進一步說明。工程問題：兩個修路隊共同修建一條公路，甲隊單獨修10天完成；乙隊單獨修15天完成。如果兩隊合作，需要多少天完成？問題的整體結構可用圖11表示。教材中的常規方法通常指向對數量關系“工作總量[÷]工作效率=工作時間”的應用，通過設數或單位“1”得到工作總量和工作效率，而后套用公式計算出答案。l設定修路長度為30米：[30÷（3010+3015）=6]（天）l設定修路長度為“1”：1÷（[110]+[115]）=6（天）實際上，如果運用反常規的相對性眼光重組工程問題的結構，能幫助學生發現更為直觀和簡潔的方法。如將兩個修路隊共同工作時間想象為30天，那么甲隊和乙隊分別可以修3條和2條同樣的路（如圖12）。這就說明兩隊如果同時工作30天，可以修5條同樣的路，那么修1條路的時間自然就是[30÷5=6]（天）。此外，還可以運用工作總量、工作時間與工作效率之間的比例關系得到答案。限于篇幅，不再贅述。以上內容反映出相對性眼光的重組功能對于發現靈活多樣的解題方法的有效性，