2024年高考必考的50題一數學課標理

(30道選擇題+20道非選擇題)

一、選擇題常考考點(30道)

1.若全集U=R，集合M={x|f+x—2>0},N={x|x—IvO},則下圖中陰影部分表示的集合是

()

A.(1,-Ko)B.

C.(-00,-2)D.(-2,1)

一、選擇題常考考點(30道)

I.若全集U=R，集合M={x|f+x—2>0},N="|x—1<0},則下圖中陰影部分表示的集合是

()

A.B.

C.(-30,-2)D.(-2,1)

2.函數y=tans:(3>())與直線)，=a相交于A、6兩點，且|弁例最小值為不，則函數

/(1)=65詁04一以)5/式的單調增區間是()

A.\2k7r--,2k7T+—](keZ)B.[2^--,2^4--](keZ)

6633

門,2/r_,7t,,TC_,5乃，

C.[2A乃----,2k4+—J(ke.z)D.[2,k/r---,2k4H----J(kGZ)

3366

【猜題理由】綜合正切函數和正弦函數的性質，考查學生的綜合運用實力

3.如右圖所示，D是△ABC的邊AB的中點，BC=6,AC=4,向量/，無的夾角為120。，則CO.C3

等于

A.18+12V3B.24

C.12D.18-1273

【猜題理由】考查向量和三角形的學問。基礎題。

4,復數z=%迎(i是虛數單位)在復平面上對應的點位于()

1-Z

A.第一象限B.其次象限C.第三象限D.第四象限

【猜題理由】該題主要考查復數的基本概念和運算，以及復平面上點的對應問題，屬于簡潔題.

22

5.方程為=+二=1(。>〃>0)的橢圓左頂點為人，左、右焦點分別為R、F2,D是它短軸上的一個頂

a~b~

點，若3O￡=D4+2Q6，則該橢圓的離心率為()

【猜題理由】圓錐曲線的概念與性質（特殊是離心率）是高考的焦點，每年必考題。橢圓、雙曲線、拋物

線三種曲線都可能考查。

6.正三棱錐V—48C（頂點在底面的射影是底而正三角形的中心）中，產分別是的

中點，P為MB上隨意一點，則直線。E與P廠所成的角的大小是（）

A.30°B.90°C.60°D.隨P點的改變而改變

【猜題理由】該題主要考查正三棱錐的概念及其異面直線所成的角的計算問題，通過證明線面垂直，得到

線線垂直.屬于中檔題.

7.英工廠對一批產品進行了抽樣檢測.右圖是依據抽樣檢測后的

產品凈重（單位：克）數據繪制的頻率分布直方圖，其中產品A頻率/組距

0.150

凈重的范圍是[96,106],樣本數據分組為[96,98）,[98,100）,

0.125

[10C,102）,[102,104）,[104,106],已知樣本中產品凈重小于0.100

0.075

10（）克的個數是36,則樣本中凈重大于或等T98克并II

0.050

小于104克的產品的個數是（）.

■>

A.90B.75C.60D.45口.

【猜題理由】本題考查了統計與概率的學問,讀懂頻率分布直方圖，會計算概率以及樣條催■嶗的數據.

8.先將函數〃x）=2sin-J的周期變為為原來的4倍，再將所得函數的圖象向右平移三個單位,

I6,6

則所得函數的圖象的解析式為（）

171

A./(x)=2sinjv/(x)=2sin

B.(2—X4---

/(A-)-2sinl4A-1

C./(x)=2sin4xD.

【猜題理由】三角函數圖像變換，是高考的重點。平移、周期、振幅三種變換依次的不同，是2024年考

試內容。

9.己知||d|=l,|b|=2]=a+乩且則向量4與〃的夾角。等于（）

A.30°B.60°C.120°D.150°

【猜題理由】從最近幾年命題來看，句量為每年必考考點，都是以選擇題呈現，從2024到2024年幾乎各

省都對向量的運算進行了考查，主要考查向量的數量積的運算，結合最近幾年的高考題,2024年向量這部分

學問仍是接著命題的重點,但應有所加強，對向量的模的考查應是重點.

10.函數y/x）是定義在R上的增函數，函數），=2010）的圖象關于點（2024,0）對稱.若實數x,y

滿意不等式/（x2-6幻+/（/-8.y+24）＜0,則x2+y2的取值范圍是（）

A.(0J6)B.(0,36)C.(16,36)D.(0,4-00)

【猜題理由】函數的性質與圓的方程都是高考必須要考的學問點，此題奇妙地將函數的性質與圓的方程融

合在一起進行考查，題目有肯定的思維含量但計算量不大，所以題型設置為選擇題，該試題立足基礎考查

了學生思維實力與運算實力以及敏捷運用所學數學學問處理相關問題的實力，有肯定的選拔作用同時對中

學數學教學具有產生較好地導向作用。

II.設/⑺是綻開式的白間項，若/（x）4如在區間［乎，行上恒成立，則實數〃？的取

值范圍是

A.（oo,5）B.（oo,5］

C.（5,+co）D.［5,-KO）

【猜題理由】二項式定理通項及其綻開式是高考常考學問點，10高考不解除與其他學問點結合應用.屬于

基礎學問、基本運算的考查。

12.在［0,2］上任取兩個數那么函數/?=/+而?+。無零點的概率為（）

1521

A.-B.-C.—D.一

6633

【猜題理由】幾何概型是新課標新增內容，因此也是考試的熱點，而且往往與函數有關學問相結合。（但

浙江省不考）

13.依據《中華人民共和國道路交通平安法》規定：車柄駕駛員血液酒精濃度在20—80mg/100ml（不含

80）之間，屬于酒后駕車，處暫扣一個月以上三個月以下駕駛證，并處200元以上500元以下罰款；血液

酒粕濃度在80mg/100ml（含80）以上時，屬醉酒駕車，處十五日以下拘留和暫扣三個月以上六個月以下

穹駁證，并處500元以上2000元以下罰款.

據《法制晚報》報道，2009年8月15日至8

月28日，全國查處酒后駕車和醉酒駕車共

28800人，如圖1是對這28800人酒后駕車血

液中酒精含量進行檢測所得結果的頻率分布

直方圖，則屬丁?醉酒駕車的人數約為

A.2160B.2880

C.4320D.8640

【猜題理由】考查統計與概率的學問，常以頻率

分布直方圖形式出現,因此要會計算概率以及樣

本中有關的數據.

14.已知P是A43C所在平面內一點，

PB+OC+2PA=0,現將一粒黃豆隨機撒

在AABC內，則黃豆落在APBC內的概率是()

【猜題理由】幾何概型往往也和幾何圖形相結合，依據長度或面積得出概率值

15.形如45132這樣的數稱為“波浪數”，即十位數字，千位數字均比與它們各自相鄰的數字大，則由1,

2,3,4,5可構成數字不重復的五位“波浪數”個數為（）

A.20B.18C.16D.II

【猜題理由】有關數字的排列組合問題是常見高考題型，此題好在題干比較新奇。

16.如圖（I）所示，一只裝了水的密封瓶子，其內部可以看成是由半徑為k5和半徑為的兩個圓柱

組成的簡潔幾何體.當這個幾何體如圖（2）水平放置時，液面高度為20。〃，當這個幾何體如圖（3）

水平放置時，液面高度為28c/〃，則這個簡潔幾何體的總高度為

（）

A.29cmB.30cmC.32cmD.48cm

圖（I）圖（2）圖（3）

【猜題理由】幾何體的表面積、體積的運算也是高考的常考題型，但其計算不是單純的表面積或體積公式

的干脆運用，往往與三視圖或與推理學問相結合。

+aa

17.已知｛%｝是遞減等比數列，a2=2,%+%=5，則i3+…+a,4+i（〃eN*）的取值范圍是

()

A.[12,16）B.[8,16）C.8,yID.y,yI

【猜題理由】數列內容高考必考內容之一，選擇題主要考查等差、等比數列的性質（尤其是中項公式）、

定義，以及前n項和S”的簡潔應用。

18.若直線mx+=4和。O：/+y2=4沒有交點，則過點（〃?,〃）的直線與橢圓J+21=1的交點個

"94

數為（）

A.0個B.1個C.至多1個D.2個

【猜題理由】多年以來直線和圓始終是高考考點之一，鑒于純粹的圓的學問很難再推陳出新，因此圓與圓

錐曲線的學問結合是高考命題的一種趨勢。

19.若函數/（工）=cix+b（a*0）有一個零點是一2,則函數g（＜）+。的零點是（）

A.2,0B.2,--C.0,--D.0,

22

【猜題理由】函數圖像的性質?一函數的零點作為新課標下新增學問點，必是高考的熱點。

_2現3XI

20.函數vy一°的圖象是

【猜題理由】作為函數的重要性質之一的圖像問題也是高考常考點，而指對函數的圖像始終是考綱要求駕

馭的。

21.若函數/(*)=1能“(一!一)(〃>0且〃=1)的定義域和值域都是[0,小則〃=()

X+I

A.2B.^2C.---D,一

22

【猜題理由】函數的定義域和值域是函數的基本要素，不僅要求理解更要求駕馭，而且本題還與對數函數

的單調性結合在一起，同時考查多個學問點，此類題目應當是高考命題的一個方向。

22.函數/(x)是定義域為R的奇函數，且x>0時，/(幻=9”一3工一1,則函數/⑴的零點個數是()

A.1B.2C.3D.4

【猜題埋由】函數的奇偶性是函數域堇要的性質之一，同時函數的奇偶性往往會和具他函數的性質結合也

用，此題就與函數的零點結合，符合高考題的特點。

X2),2

23.雙曲線=一一=1(?>0.b>0)的右焦點分別是尸，過”作傾斜角為60的直線與雙曲線右支

a'b~

有且只有一個交點，則雙曲線的離心率e的取值范圍是

(A)(1,0)(B)[2,+oo)(C)(2,3)(D)(1,21

【猜題理由】新課標下對雙曲線有關學問點的要求大大的降低了，而且在后面的簡答題中不會出現，但作

為圓錐曲線當中學問板塊之一，又不能不考查，因此在選擇題或填空題中必有一道雙曲線的題目，而且僅

僅考查的是雙曲線的定義和性質，本題恰恰具備了這個特點，既考查了定義又充分考查雙曲線的主要性質。

24.若函數/(幻=(左-1)/-〃-'(“>0且”1)在R上既是奇函數，又是減函數，則g(x)=log“(x+A)的圖

【猜題理由】近幾年越來越多的省份在高考題考查函數的圖像，而且同時與多個學問點相結合，本題更是

如此，考查函數的單調性、奇偶性，并且含參。不僅要能作圖同時還要求結合函數的性質進行計算，很有

25.編號為A、B、C、D、E的五個小球放在如右圖所示的

五個盒子中，要求每個盒子只能放一個小球，且A不

能放1,2號，B必需放在與A相鄰的盒子中，則不同

的放法有(C)種

A.42R.36C.30D.28

【猜題理由】排列組合題毫無疑問始終每年高考命題須要考慮的學問點

之一，排列組合問題解法比較固定，關鍵在于背景材料的創新改變，而本題

就契合這個特點。

26.已知平面對量“二(L2),b(—^0,且。J.b,則2。+3/>=

(-5,-10)g(-4,-8)Q(-3,-6)

【猜題理由】向量的坐標運算是向量內容的主要版塊之一，始終

是高考的重點內容之一，本題考查向量的乘法、數乘、

加法并且和向量的垂直性質結合應用。

27.已知某個幾何體的三視圖如下，

依據圖中標出的尺寸(單位：cm),可得這個幾何體的

體枳是()

C.2000cm3D.4000cm5

【猜題理由】依據三視圖還原幾何體是新課標的必考內容，而且三視圖的圖形越來越豐富，此題相對比較

新奇。(江蘇不考)

28.如圖，在正方體ABCD—AIBIGDI中，過A點作面A^D的垂線.垂足為P。則下列命題

①P是AA山D的重心

②AP也垂直于面CBiDi\j-----

③AP的延長線必通過點Ci/

@AP與面AAiD.D所成角為45s\~7/K

其中，正確的命題是()\>\

A.①@B.①②?\\

C.②??D.①??\//\

【猜題理由】在幾何體中考查點線面之間的關系和角與距普夕就因為此類題目比較

29.已知。、〃都是正數，且aW2,bW2,則〃2-21aE負數的概率值(9

【猜題理由】單純線性規劃題在高考題中越來越少出現，因為沒有太多新意，但并不是不考了，而是與其

他學問點結合應用，此題就有這個特點。

30.高三某班有60名學生(其中女生有20名)，三好學生占二，而且三好學生中女生占一半，現在從該班

任選一名學生參與座談會，則在已知沒有選上女生的條件下，選上的是三好學生的概率是()

(A)-(B)-(C)—(D)—

681012

【猜題理由】作為概率內容兩大學問板塊之一，古典概型題也是高考特別重要考查內容，而且古典概型題

相比較幾何概型題有更大的敏捷性，可以結合各種各樣的背景材料，因此可以常考常新。本題背景比較好。

二.填空題

31.已知函數/(x)=x-41nx,則曲線)，=/(%)在點(1,/(1))處的視線方程為。

【猜題理由】在填空題或選擇題中，導數題考查的學問點一般是切線問題。

32.已知工、乃是橢圓。：方+彳=1的兩個焦點，P為橢圓。上一點，且尸斗,尸鳥.

若APAE的面積為d則6=.

【猜題理由】主要考察橢圓的定義、基本性質和平面對量的學問。

33.拋物線丁=ax(a>0)與直線x=l圍成的封閉圖形的面積為三，則二項式(》+且一2產綻開式中含

3x

廠”項的系數是.

【猜題理由】本題考查了定積分的學問點，而定積分作為新課標新增學問點，應當是高考命題要考慮的。

而本題還與二項式有關學問結合，是一道好題。(浙江不考)

34.某班有50名學生，一次考試的成果久看￡N),聽從正態分布^(lOOJO2)o已知

P(90<^<100)=0.3,估計該班數學成果在110分以上的人數為。

【猜題理由】縱觀各省市的高考題，有幾個省考查該學問點，不解除有更多的省份考查該學問點。

35.在由1,2,345組成可重復數字的二位數中任取一個數，如21、22等表示的數中只有一個偶數“2”，我

們稱這樣的數只有一個偶數數字，則組成的二位數中只有一個偶數數字的個數有.

【猜題理由】此題作為一道排列組合題，關鍵在于其背景比較新奇。

36.已知宜線x+y+/〃=0與圓/+2交于不同的兩點A、B,。是坐標原點，104+081?|A8|,

那么實數m的取值范圍是.

【猜題理由】作為一道直線和圓的題目，此題比較新奇，同時直線和圓的位置關系。

37.平面上存在點P(x,y)滿意ln(x-y)+ln(x+y)=0,那么12x-y\的最小值是—.

【猜題理由】此題是一道有關線性規劃的題目，但是變形了，比較適合山東高考題的特點。

38.某程序框圖如圖所示，該程序運行后輸出的s值為.

【猜題理由】框圖(流程圖)是高考必考題，正因為是必考題，所以要

求也高，要比較新奇，此題具備這個特點。

39.已知某個幾何體的三視圖如下，依據圖中標出的尺寸(單位：cm),

可得這個幾何體的表面積是.

【猜題理由】本題考查幾何體的三視圖，高考題中此類題不外乎求幾何

體的體積或表面積。

三.解答題(第9題)

40.已知向量〃7=(sinA,cosA),=(cosB,sinB),〃z〃=sin2C,且

4B,C分別是AARC二切a,〃工所對的角.

(I)求NC的大小；(2)若sinA,sinC,sinB成等比數列，且CAC8=18,求c的值。

【猜題理由】本小題主要考查三角恒等變換、正弦定理、解三角形以及向量的等有關學問，考查運算求解

實力，是一道難度不大的綜合題。

41.設函數/(尤)=〃?力，其中向量。=(〃?,cos2x),b=(l+sin2x,1),xwR,且y=f(x)的圖象經過

(1)求實數m的值；

(2)求/(x)的最小正周期.

(3)求/(x)在［0,g］上的單調增區間.

【猜題理由】考查三角函數的公式變形，基本運算，和三角函數的圖像及其性質，考查面比較廣。

3

42.設數列伍“｝的首項4=工前〃項和為5”，且滿意2a”.1+S.=3［〃￡N*).

(I)求也及斯;

IQqQ

(II)求滿意￡＜色＜2的全部〃的值.

17Sn7

【猜題理由】本題主要考查數列遞推關系，等比數列的定義，求和公式等基礎學問，同時考查運算求解實

力。雖然是一道基礎題，但考查數列基礎學問的面比較廣。

43.已知函數/(X)=以3+3/-6or-l1,g(x)=3%2+6x+12,和直線加：y=kx+9.又/(-1)=0.

(1)求。的值：

(2)是否存在左的值，使直線〃?既是曲線)，=/(x)的切線，又是)，=/［外的切線：假如存在，求出〃的值:

假如不存在，說明理由.

(3)假如對于全部工之一2的x,都有/(x)工人r+9sg(x)成立，求〃的取值范圍.

【猜題理由】本題主要考查利用導數探討函數的單調性和極值、解不等式等基礎學問，考查綜合分析和解

決問題的實力，同時還考查分類探討的思想方法和運算求解的實力，綜合性特殊強，對學生實力要求高，

有壓軸題重量。

44.在某校組織的一次籃球定點投籃訓練中，規定每人最多投3次；在A處每投進一球得3分，在B處每

投進一球得2分：假如前兩次得分之和超過3分即停止投籃，否則投第三次，某同學在A處的命中率q1為

0.25,在B處的命中率為q2,該同學選擇先在A處投一球，以后都在B處投，用彳表示該同學投籃訓練

結束后所得的總分，其分布列為

02

J345

p0.03P3P4

PiP2

（1）求q2的值；

（2）求隨機變量J的數學期望Eg；

（3）試比較該同學選擇都在B處投籃得分超過3分與選擇上述方式投籃得分超過3分的概率的大小。

【猜題理由】本小題主要考查占典概型及其概率計算，考查取有限個值的離散型隨機變量及其分布列和均

值的概念，通過設置親密貼近現實生活的情境，考查概率思想的應用意識和創新意識。體現數學的科學價

值。

22

45.設橢圓三+方=］（。＞匕＞°）的左、右焦點分別為斗鳥，人是柄圓上的一點，4入，大鳥，原點。

到直線A"的距離為，0"卜

（I）證明”=歷；

（11）求小（0,勿使得下述命題成立：設圓f+y2=/2上隨意點%）處的切線交橢圓于0,Q2

兩點，則OQi_LOQ?.

【猜題理由】本小題主要考查橢圓的標準方程和幾何性質、直線方程、兩條直線垂直、圓的方程等基砒學

問，考查曲線和方程的關系等解析幾何的基本思想方法及推理、運算實力.

46.某批發市場對某種商品日銷售量（單位噸）進行統計，最近50天的統計結果如圖。

日銷售量11.52

（噸）

天數102515

（D計算這50天的日平均銷售量：

（2）若以頻率為概率，其每天的銷售量相互獨立。

①求5天中該種商品恰有2天的銷售量為1.5噸的概率：

②已知每噸該商品的銷售利潤為2千元，X表示該種商品兩天銷售利澗的和，求X的分布列和數學期望。

【猜題理由】本題主要考查隨機事務、互斥事務、相互獨立事務等概率學問、考查離散型隨機變量的分布

列和期望等基礎學問，考查運用概率與統計學問解決實際問題的實力.

47.已知拋物線G的頂點在原點，焦點在y軸正半軸上，點P（m,4;到其準線的距離等于5。

（I）求拋物線G的方程：

（II）如圖，過拋物線G的焦點的直線依次與拋物線G及圓=1交于A、C、D、B四點,

試證明|AC|?|B0為定值;

（HI）過A、B分別作拋物G的切線人」2,旦/「A交于點M,試求A4CM與面積之和的最小值。

【猜題理由】新課標下的圓錐曲線題一般是壓軸題，主要考查橢圓或拋物線的有關學問，本題主要考查直

線、圓、拋物線等基礎學問，考查運算求解實力、探究實力、分析問題和解決問題的實力，背景新奇，綜

合要求高。

48.如圖，在空間中的直角三角形ABC與直角梯形EFGD中，平面ABC〃平面DEFG,AD_L平面DEFG,

AC〃DG且AB=AD=DE=DG=2,AC=EF=I.

<I>求證：四點B、C、F、G共面：

(II)求平面ADGC與平面BCGF所組成的二面角余弦值;

(III)求多面體ABC-DEFG的體積.

【猜題理由】

本小題主要考查直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關系、相交平面所成二面角以及空間幾何體

的體積計算等學問，考查空間想象實力和推理論證實力、利用綜合法或向量法解決立體幾何問題的實力。

49.在數列｛4｝中，1=2,。,出=q+2”+\(neN,).

<I)求數列｛*｝的通項公式/;

(II)設數列也,｝滿意〃=210氏(4+1-應)，證明:

(1+-)(1+—)(1+—)(1+—)>而不對一切〃eN.恒成立.

仇Ebn

【猜題理由】本小題主要考查數列、數學歸納法和不等式的有關學問，考查推理論證、抽象概括、運算求

解和探究實力，考杳學生是否具有審慎思維的習慣和肯定的數學視野.

50.已知函數/(幻="2,g(x)=2elnx(x>0)(e為自然對數的底數)，它們的導數分別為/'(此、g'。)

(1)當1>0時，求證：r*)+g'(x"46：

(2)求尸")=fW-gW(x>0)的單調區間及最小值;

(3)摸索究是否存在一次函數)="+"優使得f(x)之丘+0且以外工日+人對一切x>0恒

成立，若存在，求出該一次函數的表達式：若不存在，請說明理由.

【猜題理由】本小題主要考查函數的求導、均值不等式、利用導數等學問探討函數的單調性，考查分類探

討的思想方法和運算求解的實力。題干背景新，綜合性強，不失為好壓軸題。

【參考答案】

一、選擇題常考考點（30道）

I.【標準答案】A

2.t標準答案】B

3.【標準答案】B

4.【標準答案】B

5.t標準答案】D

6.【標準答案】B

7.【標準答案】A

8.【標準答案】B

9.【標準答案】C

10.【標準答案】C

11.【標準答案】D

12.【標準答案】B

13.【標準答案】C

14.【標準答案】D

15.【標準答案】C

16.【標準答案】A

17.【標準答案】C

18.【標準答案】D

【9.【標準答案】D

20.【標準答案】A

21.【標準答案】D

22.【標準答案】C

23.【標準答案】B

24.【標準答案】A

25.【標準答案】C

26.【標準答案】B

27.【標準答案】B

28.【標準答案】B

29.【標準答案】B

30.【標準答案】B

二.填空題

31.【標準答案】3x+y-4=0

32.【標準答案】3

33.【標準答案】-9880

34.【標準答案】10

35.【標準答案】14

36.【標準答案】（-2,-夜］11［也2）

37.【標準答案】￡

38.【標準答案】410

39.【標準答案】-cm3

3

三.解答題

40.【具體解析】

(1):〃z=(sinAcosA),〃=(cos8,sin8),//??//=sin2C

:.sinAcos3+cosAsin8=sin2C,即sinC=sin2c..............3

分

??.cosC=-,又NC是三角形內角，.??ZC=-.............6

23

分

⑵?：sinA,sinC,sin8成等比數列，二sin2C=sinAsinB.............7

分

，c2=ab,又Bf=18??.H2cosc=18..............10

分

(第9題)

即ab=36即c?=36c=6..............12分

41.[具體解析]：(1)f(x)=ab=77/(1+sin2x)+cos2x,

L.兀171

???圖象經過點二,2=ni\l+sin—+cos—=2解得冊=1.

(4JI2)2

(2)當〃7=1時，/(x)=1+sin2x+cos2x=&sin2.r+—j+1,

I4J

?72萬

2

(3)XG[0,-],2XG[0,TT],A2X--G[-,—]

2444

由生W2x+生工工，得

4428

TTJT

.??/(*?)在［0,g］上的單調增區間為［0,g］.

2o

42.【具體解析】

(I)解：由2a”+1+50=3,得2生+4=3,

又4=T,所以/,

由2%+S.=3,2《+S,T=3(G2)相減，得既=3,

又生=匕所以數列｛“q是以3為首項，以，為公比的等比數列.

ax222

因此凡=1?((嚴=3?(與

222

(II)解:由題意與(I),得

因為三<(夕<：$<(少<:，

所以〃的值為3,4.

43.【具體解析】解：(D/'(x)=3〃2+6x-6a,因為尸(7)=0所以。=-2..............2

(2；因為直線機恒過點(0,9).先求直線〃?是)，=/(幻的切線.

設切點為(.%3-Vo+6x0+12),

???g(%)=6xo+6.??.切線方程為1y-(3年+6%+⑵=(6/+6)。一%),將點(0,9)代入得々=±1.

當斤=7時，切線方程為)，=9,當事=1時，切線方程為)，=12文+9.

由/，(用=0得一6x?+6x4-12=0,即有x=-l,x=2

當X=_l時，y=/(x)的切線y=-18,當X=2時，y=/(x)的切線方程為y=9

??.j=9是公切線，又由/'0)=12得—6X2+6X+12=12「.X=0或X=1,

當x=0時y=/(x)的切線為)，=12丫-11,當x=l時)，=/0)的切線為y=12x-10,

)，=12x+9,不是公切線，綜上所述攵=()時y=9是兩曲線日勺公切線……7分

⑶.(1)kx+9W#(xH5&xW3/+6x+3,當x=0,不等式恒成立，kwR.

當一2WxvO時，不等式為AN3(x+」)+6,

x

而3(x+-)+6=-3[(-x)+—!—]+6<-3-2+6=0.\^>0

x(~x)

當x>0時，不等式為AW3(x+^)+6,v3(x+-)+6>12/.A<12

XX

.?.當xN-2時，京+9Wg(x)恒成立，則0WAV12.............10分

(2)由/(x)Kkx+9得女工+9之一2?+3工2+12X—11

2()

當x=0時，9之一11恒成立，kwR,當一24x<0時有&<-2/+3X+12——

x

山，，、r2°s20、3\210520

設/(r)=-2x+3x+12-----------2(x—)H--------------t

X48X

Qi()5on

當一2Wx<0時一2(x-3)2+”也為增函數，一3也為增函數...可為>/?(-2)=8

48x

要使/(X)4攵x+9在-2Wx<0上恒成立，則AK8.............12分

由上述過程只要考慮0<Z<8,則當x>0時/'(x)=-6x2+16x+12=-6(x+1)(工-2)

/.在xG(0,2］時f1(.r)>0,在(2,+2時ff(x)<0f(x)在x=2時有極大值即/(.r)在(0,+的上的

最大值，又/(2)=9,即/(幻49而當x>0,AN0時息+9>9,1./(x)Wkx+9肯定成立，綜上所

述

44.【具體解析】(1)設該同學在A處投中為事務A,在B處投中為事務B,則事務A,B相互獨立、且

P(A?=0.25,P(4)=0.75,P(B)=q2,P［B)=1—q,.

依據分布列知：4=0時尸(,5豆)二代入)?(而尸(否)=().75(1-%)2=0.03,所以1一％=0.2,q2=0.8.

(2)當彳=2時,P)=P(ABB+~ABB)=P(ABB)+P(ABB)

=P(A)P(B)P(B)+P(A)P(B)P(B)=0.75q2(1-^2)X2=l.5q2(l-</2)=0.24

當［=3時,P2=P{ABB)=P(A)P(B)P(B)=0.25(1-%f=0.01.

當g=4時,P_i=P(ABB)=P口)P(B)P(3)=O.75%2=O.48,

當J=5時,P產P(ABB+AB)=P(ABB)+P(AB)

=P(A)P(B)P(B)+P(A)P(B)=0.25%(l-%)+025%=0.24

所以隨機變量4的分布列為

02

j345

0.030.480.24

p0.240.01

隨機變量4的數學期望售=()X0.03+2x0.24+3x0.0l+4x0.48+5x0.24=3.63

(3)該同學選擇都在B處投籃得分超過3分的概率為P(588+858+88)

=+P(BBB)+P(BB)=2(1-%)%?+=0.896；

該同學選擇(1)中方式投籃得分超過3分的概率為0.48+0.24=0.72.

由此看來該同學選擇都在B處投籃得分超過3分的概率大.

45.【具體解析】(I)證法-一：由題設及士(―c,0),鳥(c,0),不妨設點A(c,)，)，其中

22

>'>0,由于點A在橢圓上，有:+2=1,

a--b~y

---；~+

a~

,2（12、

解程y=一,從而得到4C—

aI?）

,2

直線AE,的方程為），=±-（x+c）,整理得

2ac

b2x-2acy+b2c=0.

由題設，原點。到直線AG的距離為即

c_b2c

3\/b4+4a2c2

將/=a2一6代入原式并化筒得a2=2h~,即a=岳.

/,2\

證法二：同證法一，得到點A的坐標為c,—,

I〃7

過點。作OA_LA￡,垂足為“，易知故［）'

M=1M二市K

由橢圓定義得1"；1+卜乃卜加，又忸0|=30用，所以

優

——

川

1-居

--=區

3,2aT川

解得后山=5,而優小!，得:嘮即住=缶.

（H）解法一：圓/+丫2=〃上的隨意點M（x。，%）處的切線方程為修,1+%）,=/.

當/w（0,初時，圓/+），2=/上的地意點都在橢圓內，故此圓在點4處的切線必交橢圓于兩個不同的點

Q和。2，因此點。（?，）；），。2（芍）’2）的坐標是方程組

XX，的解.當…時,由①式得

f2-v

y

代入②式，得丁+2/f”=2/,即

【％）

（2宕+%）x2-45/x+2r4-2b1yl=0,

于是x+x-4廣"%_21一紡得

于…"2mxx2￡+y：

r-x,xt2-x.x^

XX=——"——

4-卻2（$+%）+*$%]

i，4/%22/一力比、

=—4-v°2皿：J

>ol

r-nr4

2石+y；?

若OQi_LOQ”則

=--Sy；J_WX；=3八-給2（4+斕=o

2x；+y；2x；+寸-2x；+y-

所以,3--2/（x：+y：）=0.由片+），；=/，得3f4"產=。在區間（0,與內此方程的解為

”風.

3

當為=0時，必有與工0，同理求得在區間（0,份內的解為f=

另一方面，當，=手〃時，可推出牛馬+y%=0,從而OQJOQ2.

綜上所述，t=-bG（O,與使得所述命題成立.

3

坦巴竺3=25（噸）

46.【具體解析】（I）LI平均銷售量4分

50

（2）①銷售量為1.5噸的概率P=0.5

設5天中該商品有Y天的銷售量為1.5噸，

Y~8（5,0.5）2（V=2）=OS］。一0.5）3=A

7分

②X的可能取值為4,5,6,7,8

P(x=4)=0.22=0.04P(x=5)=2X0.2x0.5=0.2

P(x=6)=0.52+2x0.2x0.3=0.37

P(X=7)=2X0.5X0.3=0.3

P(X=8)=0.32=0.09塔=6.2(T?元)..............12分

47.【具體解析】

解：(1)由題知，拋物線的準線方程為)，+1=0,5=1

所以拋物線C的方程為一=4)，，

(2)設直線AB方)，=hr+1交拋物線C于點A(x,,y),B(x2,y2)

由拋物線定義知IAF|=y+1,|BF|=)，2+1

所以|AC|二y^BD\=y2

由,"二)'得42一4女工一4=0

y=kx+1

明顯△>0,則再+%=4k,-x2=-4

所以必5=宜三=1，所以14cli用?為定值1

16

,1,1

(3)解法一：由x?=4y,y=[廠，)，'=31

得直線AM方程y--xf=-^x-x})(1)

42

直線BM方程y-芍=~x->(x—X-,)(2)

由(2)—(1)得5區一12)1=7甘2后，所g=5(X]+A2)=2ky=-1

所以點M坐標為(2%,-1)

點M到直線AB距離d=?^?=2"+小

弦AB長為|AB\=Jl+6依+々)2_4工/2=J1+%2川6公+16=4(1+A:2)

AACM與△BOM面積之和

S=-(|AB|-2)-t/=-x(2+U2)x2Vl+P'=2(l+2A:2)7m?

2

當k=0時，即AB方,程為y=l時，AACM與面積之和最小值為2。

解法二；(參考解法一相應步驟給分)由解法一知

AACM與bBDM面積之和S=^(\AC\+\BD\)d

其中d為點M到宜線AB的距離：

-.1AC\+|BD|>2<|AC\\BD\=2,當且僅當k=0時等號成立。

而當k=0時,d也取到最小值2,

當k=0時，即AB方程為y=l時，AACM與面積之和最小值為2。

48.【具體解析】向量法

由AD_L^,DEFG和直角梯形EFGD可知，AD、DE、DG兩兩垂直，建立如圖的坐標系，則A

0,2),B(2,0,2),C(0,1,2),E(2,0,0),G(0,2,0),F(2,1,0)

(I)BF=(2,1,0)-(2,0,2)=(0,1,-2)

CG=(0,2,0)-(0,1,2)=(0,1,-2)

.??8尸=CG,即四邊形BCGF是平行四邊形.

故四點B、C、F、G共面.................4分

(2)FG=(0,2,0)-(2,1,0)=(-2,1,0),

設平面BCGF的法向量為n}=(兀y,z),

則《n二.?C.G=y-2z=0，

%?FG=-2x+y=0

令y=2,則〃[=(1,2,1),

而平面ADGC的法向量%=；=(1,0,0)

4?