板塊六數列

微專題35

數列求和的常用方法考點要求目標要求考題統計數列求和理解數列求和方法，能準確計算數列和2020年新課標Ⅲ卷：解答題第17題考查錯位相減法求和2021年：新課標Ⅰ卷：解答題第17題考查裂項相消法求和。新課標Ⅱ卷：填空題考查等比數列前n項和公式2022年：新課標Ⅰ卷：解答題第17題考查分組求和新課標Ⅱ卷：選擇題考查等比數列求和公式的應用2023年：新課標Ⅰ卷：解答題第18題考查錯位相減法新課標Ⅱ卷：填空題考查裂項相消求和。考察特點總結與建議備考方向1.高頻方法：錯位相減、裂項相消、分組求和是三大重點，占考查次數的70%以上。2.創新趨勢：數列求和與函數、不等式、數學文化等結合，凸顯綜合應用能力（如2023年新課標Ⅰ卷）。3.難度分布：全國卷解答題多位于第17題（中檔題），獨立命題省份可能提高難度（如浙江卷）。1.熟練掌握五大求和方法（公式法、裂項相消、錯位相減、分組求和、倒序相加）。2.關注數列與其他知識的交叉應用（如放縮法證明不等式）。3.研究地方卷特色題型（如北京卷的開放性問題）。

核心精講·題型突破1、使用分組求和法的的策略數列{an}的特征求前n項和的方法數列{an}可以看作其他兩個(或更多個)數列之和,即an=bn+cn分別求數列{bn},{cn}的前n項和,相加得解把奇數項和偶數項看作兩個數列,分別求和,相加得解,往往需要分n為奇數和偶數進行討論數列通項中含絕對值或通項中含有(－1)n先不考慮絕對值,求解數列從哪一項開始變號,把正數項和非正數項分開看作兩個數列,分別求和(此時需考慮絕對值),相加得解

2.裂項相消法求和的策略一般地,數列的通項公式為分式,且分子結構簡單、分母為兩個“結構相同”的式子相乘,求和時可以運用裂項相消法,其實質是把分式變形成兩個式子之差的形式,累加可以消掉中間的項,達到求和的目的.常見的裂項形式

3.錯位相減法求和的策略一般地,如果數列{an}是公差為d(d≠0)的等差數列,{bn}是公比為q(q≠1)的等比數列,求數列{anbn}的前n項和Sn時,可采用錯位相減法,即錯位相減法常用來求解通項公式為“等差×等比”形式的數列的前n項和,具體步驟如下:(1)寫出前n項和的計算式Sn=a1b1+a2b2+…+anbn

①;(2)等式兩邊同乘q,得qSn=a1b2+a2b3+…+anbn+1

②;(3)①-②得,(1-q)Sn=a1b1+d(b2+b3+…+bn)-anbn+1,化簡;(4)將上式兩邊同時除以(1-q)(這一步非常容易遺漏,尤其是(1-q)為負數的情況),得解獨

立

內

化

小

組

討

論

師

生

對

話熱點一分組求和已知數列{an}的前n項和為Sn，a1＝2，a2＝4，且Sn＋2－2Sn＋1＋Sn＝2.(1)證明：數列{an}是等差數列，并求{an}的通項公式；練1由Sn＋2－2Sn＋1＋Sn＝2得Sn＋2－Sn＋1－(Sn＋1－Sn)＝2，∴an＋2－an＋1＝2，又a2－a1＝4－2＝2，∴數列{an}是以2為首項，2為公差的等差數列，∴an＝2n.(2)若等比數列{bn}滿足b1＝1，b2＋b3＝0，求數列{an·bn}的前2n項和T2n.設等比數列{bn}的公比為q，q≠0，

(2024·西安二模)已知等差數列{an}的前n項和為Sn，且a6＝7，S6＝27.(1)求數列{an}的通項公式；練2設等差數列{an}的公差為d，∴數列{an}的通項公式為an＝2＋(n－1)×1＝n＋1.熱點二裂項相消法求和∵an＝n＋1，則an＋1＝n＋2，熱點三錯位相減法求和練3當n＝1時，a1＝1，滿足上式.∴an＝n(2n－1)＝2n2－n，根據等比數列{bn}的首項b1＝1，公比為2，可知bn＝2n－1.∴Tn＝1·20＋3·21＋…＋(2n－1)·2n－1，2Tn＝

1·21＋…＋(2n－3)·2n－1＋(2n－1)·2n.=1＋4(2n－1－1)－(2n－1)·2n=2·2n－(2n－1)·2n－3＝(3－2n)·2n－3.∴