/2025屆中考復習專題13：幾何選填壓軸之一題多解與題多變(1)TOC\o"1-4"\h\z\u一、宿遷中考真題：瓜豆最值問題的3類處理策略 2【變式1】直線型瓜豆最值 2【變式2】圓弧型瓜豆最值問題 3【變式3】路徑問題 3【變式4】瓜豆+將軍飲馬 4【變式5】瓜豆+胡不歸 4二、廣州市2022中考真題：加權線段和最值問題·7種解法 6【變式1】阿氏圓問題（3類） 6【變式2】加權費馬點問題 7【變式3】胡不歸問題(3類) 8【變式4】加權逆等線問題 8【變式5】瓜豆加權線段和問題 9【變式6】2024·四川瀘州·中考真題 10【變式7】2024·四川涼山·中考真題 10三、成都·2024四川師大附中九年級B卷壓軸：相似構造·一題10解 10【變式1】2024深圳坪山區中考一模 11【變式2】2023武漢中考幾何壓軸 11【變式3】2024深圳南山區部分學校中考一模壓軸 12【變式4】2025成都青白江區統考B卷壓軸 12四、深圳·2024中考真題填空壓軸：結合相似求比值·一題5解 13【變式1】四川省遂寧市九年級填空壓軸 13【變式2】線段比轉化為相似比 13【變式3】求線段比 14五、深圳市寶安中學九年級聯考壓軸：旋轉六法構造手拉手共8種解法 15【變式1】2022深圳中考填空壓軸 15【變式2】2024-2025學年深圳市九年級二十校聯考壓軸 15【變式3】湖北襄陽·中考真題 16【變式4】2020武漢市中考幾何壓軸 16六、深圳市二模壓軸：1234模型，45°與線段比構造相似·一題6解 16【變式1】12345模型 17【變式2】線段比構造相似 18【變式3】利用特殊角度解三角形 18一、宿遷中考真題：瓜豆最值問題的3類處理策略如圖，正方形ABCD的邊長為4，E為BC上一點，且BE＝1，F為AB邊上的一個動點，連接EF，以EF為邊向右側作等邊△EFG，連接CG，則CG的最小值為．【變式1】直線型瓜豆最值【練1-1】如圖，正方形ABCD的邊長為4，E為BC上一點，且BE＝1，F為AB邊上的一個動點，連接EF，以EF為底向右側作等腰直角△EFG，連接CG，則CG的最小值為．【練1-1】如圖,在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,P是對角線AC上的動點,連接DP,將直線DP繞點P順時針旋轉,使∠1=∠2,且過點D作DG⊥PG,連接CG.則CG最小值為【變式2】圓弧型瓜豆最值問題【練2-1】如圖，，為的中點，的半徑為1，點是上一動點，以為直角邊的等腰直角三角形（點、、按逆時針方向排列），則線段的長的取值范圍為．【練2-2】如圖，在△ABC中，AB＝8，AC＝，將CB繞點C逆時針旋轉90°得到CD，連接AD，則AD的最大值是_________．DDABC【變式3】路徑問題【練3-1】如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，動點E從點A運動到點D，以CE為邊在CE的右側構造正方形CEFG，連接AF，則AF的最小值為_________，點F運動的路徑長為_________．FFDAGCEB【練3-2】如圖，在正方形中，，點E在邊上，且，點P為邊上的動點，連接，過點E作，交射線于點F，則．若點M是線段的中點，則當點P從點A運動到點B時，點M運動的路徑長為．

【變式4】瓜豆+將軍飲馬【練4-1】如圖1，對于平面內的點A、P，如果將線段繞點P逆時針旋轉得到線段，就稱點B是點A關于點P的“放垂點”．如圖2，已知點，點P是y軸上一點，點B是點A關于點P的“放垂點”，連接、，則的最小值是（

）

A．4 B． C．8 D．【練4-2】如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝9，M為BC上一點，連接MA，將線段MA繞點M順時針90°得到線段MN，連接CN、DN，則CN+DN的最小值為．【變式5】瓜豆+胡不歸【練5-1】如圖,在平面直角坐標系中,點的坐標是(0,2),點的坐標是(0,-2).點是軸上的動點,點在軸上移動時,始終保持是等邊三角形(點不在第二象限),連接,求得的最小值為（ ）A. B.4 C. D.【練5-2】綜合與實踐課上，徐老師和同學們開展了一場以“最值”為主題的探究活動．【提出問題】徐老師提出了一個問題：如圖1，在矩形中，，，P為邊上的一動點，以為邊向右作等邊，連接，如何求的最小值？【探究發現】小亮發現：如圖4所示，以為邊向下構造一個等邊，便可得到，進而將的最小值轉化為的最小值的問題．（1）按照小明的想法，求證：；并求出的最小值．【拓展應用】（2）小剛受此啟發，舉一反三，提出新問題：如圖2，若將圖1當中構造的等邊三角形，改為以為邊向右構造正方形，在運動過程中，求出的最小值．（3）小紅同學深入研究了小剛的問題，并又提出了新的問題：如圖3，若將圖2當中構造的正方形改為以為邊向右構造菱形，使，請求得的最小值；再請你直接寫出的最小值________.（4）第二天徐老師對同學們說：我看到了大家在解決復雜問題時所展現出來的創造力和邏輯思維能力，這正是我們學習數學的意義所在，并又提出了新的問題：求的最大值.

二、廣州市2022中考真題：加權線段和最值問題·7種解法如圖，在菱形ABCD中，∠BAD=120°，AB=6，連接BD．(1)求BD的長；(2)點E為線段BD上一動點（不與點B，D重合），點F在邊AD上，且BE=DF，當四邊形ABEF的面積取得最小值時，CE+CF的值是否也最??？如果是，求CE+CF的最小值；如果不是，請說明理由．【變式1】阿氏圓問題（3類）【練1-1】如圖，在中，，，，圓的半徑為2，點為圓上一動點，連接，．求①；②；③；④的最小值．【練1-2】如圖，在中，點A、點在上，，，點在上，且，點是的中點，點是劣弧上的動點，則的最小值為．【變式2】加權費馬點問題【練2-1】在等邊三角形ABC中，邊長為4，P為三角形ABC內部一點，求的最小值【練2-2】如圖，在△ABC中，，，，在△ABC內部有一點P，連接，則（1）的最小值為________；（2）的最小值為________【變式3】胡不歸問題(3類)【練3-1】如圖，是等邊三角形的外接圓，其半徑為4．過點B作于點E，點P為線段上一動點（點P不與B，E重合），則的最小值為．

【練3-2】如圖，二次函數與x軸交于點A，B，對稱軸為直線l，頂點C到x軸的距離為．點P為直線l上一動點，另一點從C出發，先以每秒2個單位長度的速度沿運動到點P，再以每秒1個單位長度的速度沿運動到點A停止，則時間最短為秒．【練3-3】如圖，在長方形中，，，點在上，連接，在點的運動過程中，的最小值為．

【變式4】加權逆等線問題【練4-1】如圖，在中，，，．D，E分別是邊，上的動點，且，則的最小值為．【練4-2】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與x軸交于兩點，與y軸交于點．若點D，E分別是線段，上的動點，且，求的最小值．

【變式5】瓜豆加權線段和問題【練5-1】（原創題）已知點，點B是直線y＝－2上一個動點，將線段繞點B逆時針旋轉90°得到線段BC.（1）求OC的最小值；（2）求的最小值；（3）記，①求的最小值；②求的最小值 【練5-2】如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝，點E為邊AD上一動點，以CE為邊向右作直角三角形CEF，使∠CEF＝90°，∠CFE＝30°，連接BE，BF，求BE＋的最小值．AADBCEF【變式6】2024·四川瀘州·中考真題【練6-1】如圖，在邊長為6的正方形中，點E，F分別是邊上的動點，且滿足，與交于點O，點M是的中點，G是邊上的點，，則的最小值是（

）

A．4 B．5 C．8 D．10【變式7】2024·四川涼山·中考真題【練7-1】如圖，在菱形中，，是邊上一個動點，連接，的垂直平分線交于點，交于點．連接．

(1)求證：；(2)求的最小值．三、成都·2024四川師大附中九年級B卷壓軸：相似構造·一題10解如圖，在菱形中，，點E是上一點，連接，將繞點E順時針旋轉至，連接與交于點G，若，則．

【變式1】2024深圳坪山區中考一?！揪?-1】如圖，E是菱形邊BC上一點，，把繞點E順時針旋轉得到交于點G，，則．【變式2】2023武漢中考幾何壓軸【練2-1】問題提出：如圖（1），是菱形邊上一點，是等腰三角形，，交于點，探究與的數量關系．

問題探究：(1)先將問題特殊化，如圖（2），當時，直接寫出的大?。?2)再探究一般情形，如圖（1），求與的數量關系．問題拓展：(3)將圖（1）特殊化，如圖（3），當時，若，求的值．

【變式3】2024深圳南山區部分學校中考一模壓軸【練3-1】“轉化”是解決數學問題的重要思想方法，通過構造圖形全等或者相似建立數量關系是處理問題的重要手段．（1）【問題情景】：如圖（1），正方形中，點是線段上一點（不與點、重合），連接．將繞點順時針旋轉90°得到，連接，求的度數．以下是兩名同學通過不同的方法構造全等三角形來解決問題的思路，①小聰：過點作的延長線的垂線；②小明：在上截取，使得；請你選擇其中一名同學的解題思路，寫出完整的解答過程．（2）【類比探究】：如圖（2）點是菱形邊上一點（不與點、重合），，將繞點順時針旋轉得到，使得（），則的度數為______（用含的代數式表示）（3）【學以致用】：如圖（3），在（2）的條件下，連結，與相交于點，當時，若，求的值．【變式4】2025成都青白江區統考B卷壓軸【練4-1】如圖，在菱形中，，是邊上一點，在的右側作，且，連接，連接交于點．若為邊的三等分點，則的長為．四、深圳·2024中考真題填空壓軸：結合相似求比值·一題5解如圖，在中，，，D為上一點，且滿足，過D作交延長線于點E，則．【變式1】四川省遂寧市九年級填空壓軸【練1-1】如圖，在中，，，為上一點，若滿足，過作交延長線于點，則=．【變式2】線段比轉化為相似比【練2-1】如圖，在中，，，點在上，且軸平分角，求.【練2-2】如圖，在中，，是的一條角平分線，為中點，連接．若，，則．【練2-3】在銳角中，分別為的中線和角平分線，，且，則．【變式3】求線段比【練3-1】（深圳中考）如圖，在中，，，點D為上一動點，連接，將沿翻折得到，交于點G，，且，則．

【練3-2】（深圳中考）如圖，已知四邊形ABCD，AC與BD相交于點O，∠ABC=∠DAC=90°，，則=．五、深圳市寶安中學九年級聯考壓軸：旋轉六法構造手拉手共8種解法已知：如圖，在四邊形中，，，，連接、，若，，則的長為．【變式1】2022深圳中考填空壓軸【練1-1】已知是直角三角形，連接以為底作直角三角形且是邊上的一點，連接和且則長為．

【變式2】2024-2025學年深圳市九年級二十校聯考壓軸【練2-1】如圖，四邊形中，，若，則的長為．【變式3】湖北襄陽·中考真題【練3-1】如圖，兩個大小不同的三角板放在同一平面內，直角頂點重合于點，點在上，，與交于點，連接，若，，則．【變式4】2020武漢市中考幾何壓軸【練4-1】如圖，是內一點，，，，，則的長為．六、深圳市二模壓軸：1234模型，45°與線段比構造相似·一題6解如圖，在等腰Rt△ABC中，∠B=90°，BA=BC，D為BC上一點，且，為AD上點，連接CE，∠CED=45°，，則的長________.【變式1】12345模型【練1-1】在中，，平分，平分，相交于點，且，則．【練1-2】（廣東省中考）如圖，已知正方形ABCD的邊長為6，E為BC的中點，將△ABE沿直線AE折疊后，點B落在點F處，AF交對角線BD于點G，則FG的長是________． 【練1-3】如圖，矩形中，，以點B為圓心，適當長為半徑畫弧，分別交，于點E，F，再分別以點E，F為圓心，大于長為半徑畫弧交于點P，作射線，過點C作的垂線分別交于點M，N，則的長為（

）

A． B． C． D．4【變式2】線段比構造相似【練2-1】如圖，點，點分別在菱形的邊，上，且，交于點，延長交的延長線于，若，則的值為（

）A． B． C． D．【練2-2】如圖，菱形的邊長為4，、分別是、上的點，連接、、，與相交于點，若，，則的值為．

【變式3】利用特殊角度解三角形【練3-1】如圖，在中，，，，為中點，為上一點，連接、交于點，若，則的長為【練3-2】（2024·四川達州·中考真題）如圖，在中，．點在線段上，．若，，則的面積是．【練3-3】如圖，的半徑為1，四邊形內接于，是的直徑，若，，則．

【練3-4】（2024·廣東深圳·模擬預測）在中，，點E為邊上的中點，連接，已知點F為的中點，連接并延長，交于點D．若，則的值為．

2025屆中考復習專題13：幾何選填壓軸之一題多解與題多變(1)TOC\o"1-4"\h\z\u一、宿遷中考真題：瓜豆最值問題的3類處理策略 3【變式1】直線型瓜豆最值 5【變式2】圓弧型瓜豆最值問題 7【變式3】路徑問題 9【變式4】瓜豆+將軍飲馬 12【變式5】瓜豆+胡不歸 14二、廣州市2022中考真題：加權線段和最值問題·7種解法 19【變式1】阿氏圓問題（3類） 24【變式2】加權費馬點問題 25【變式3】胡不歸問題(3類) 29【變式4】加權逆等線問題 32【變式5】瓜豆加權線段和問題 35【變式6】2024·四川瀘州·中考真題 38【變式7】2024·四川涼山·中考真題 39三、成都·2024四川師大附中九年級B卷壓軸：相似構造·一題10解 41【變式1】2024深圳坪山區中考一模 46【變式2】2023武漢中考幾何壓軸 48【變式3】2024深圳南山區部分學校中考一模壓軸 51【變式4】2025成都青白江區統考B卷壓軸 54四、深圳·2024中考真題填空壓軸：結合相似求比值·一題5解 56【變式1】四川省遂寧市九年級填空壓軸 59【變式2】線段比轉化為相似比 60【變式3】求線段比 64五、深圳市寶安中學九年級聯考壓軸：旋轉六法構造手拉手共8種解法 67【變式1】2022深圳中考填空壓軸 71【變式2】2024-2025學年深圳市九年級二十校聯考壓軸 72【變式3】湖北襄陽·中考真題 75【變式4】2020武漢市中考幾何壓軸 77六、深圳市二模壓軸：1234模型，45°與線段比構造相似·一題6解 78【變式1】12345模型 80【變式2】線段比構造相似 83【變式3】利用特殊角度解三角形 85

一、宿遷中考真題：瓜豆最值問題的3類處理策略如圖，正方形ABCD的邊長為4，E為BC上一點，且BE＝1，F為AB邊上的一個動點，連接EF，以EF為邊向右側作等邊△EFG，連接CG，則CG的最小值為．【分析】策略一：找始末，定軌跡我們分別以BE，AE為邊，按題目要求構造等邊三角形得到G1與G2，連接G1與G2得到點G的軌跡，再作垂線CH得到最小值.前面提到過從動點軌跡和主動點軌跡的夾角與旋轉角有關，我們可以調用這個結論，得到∠AMG1＝60°，進一步得到△MBG1為等腰三角形后，求CH就不難了，可得策略二：在點F軌跡上找一點進行旋轉，解出從動點軌跡我們分別對A，B順時針旋轉60°，構造手拉手模型，再通過角度相等得到從動點軌跡，對A點旋轉會得到一個正切值為的角，即，然后進一步算出最值 或【簡證】,則對B點旋轉得到∠EMG＝∠FBE＝90°，相對來說要容易一些. 策略三：反向旋轉相關定點，構造手拉手模型，代換所求線段.講點C逆時針旋轉60°，得到點H，易證△CGE≌△HFE，則有CG＝HF，作MH⊥AB于M，HM即為所求．相比之下，先求軌跡后再求垂線段時，比較麻煩，而反向旋轉代換所求線段感覺清爽很多. 【變式1】直線型瓜豆最值【練1-1】如圖，正方形ABCD的邊長為4，E為BC上一點，且BE＝1，F為AB邊上的一個動點，連接EF，以EF為底向右側作等腰直角△EFG，連接CG，則CG的最小值為．【簡析】策略一：反向構造＋伸縮如圖從主動點F到從動點G可以理解為，將線段FE繞定點E順時針旋轉了45°再縮短為原來的，反向構造則需要把CE繞點E逆時針旋轉45°，再擴大變為原來的倍，得到EH，顯然△ECH為等腰直角三角形，進一步得到，相似比為，所以．策略二：求軌跡——以BE為底向上作等腰Rt△BHE，易得G點軌跡所在直線為BD，故CG最小值為【練1-1】如圖,在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,P是對角線AC上的動點,連接DP,將直線DP繞點P順時針旋轉,使∠1=∠2,且過點D作DG⊥PG,連接CG.則CG最小值為【答案】【分析】策略一：得到G點軌跡直線后，畫出起點G1和終點G2策略2：旋轉相似: 【變式2】圓弧型瓜豆最值問題【練2-1】如圖，，為的中點，的半徑為1，點是上一動點，以為直角邊的等腰直角三角形（點、、按逆時針方向排列），則線段的長的取值范圍為．【答案】【解答】解：【法一：解出C點軌跡】如圖，作，在上截取，連接、、、．，，，，是等腰直角三角形，，，，，，，，點的運動軌跡是以點為圓心，為半徑的圓，，的最大值為，的最小值，．【法二：反向構造手拉手】【簡析】易知，，故【練2-2】如圖，在△ABC中，AB＝8，AC＝，將CB繞點C逆時針旋轉90°得到CD，連接AD，則AD的最大值是_________．DDABC【答案】【分析】旋轉的性質、等腰直角三角形的性質、相似三角形的判定與性質、勾股定理．思路：定點為B，A、D兩點旋轉相似中的定位是一樣的，BD是斜邊，則構造以AB為斜邊的等腰直角三角形，思路2：將AB繞點A逆時針旋轉90°得到AE，連接BD，BE，DE，證△EBD∽△ABC，可得DE＝＝，由AD≤AE＋DE，可得AD的最大值．總結：熟悉模型，補全結構【解析】法一：如圖，構造等腰直角三角形ABE，由旋轉相似可知，而，故法二：將AB繞點A逆時針旋轉90°得到AE，連接BD，BE，DE．EEDABC由題意，△ABE和△BCD都是等腰直角三角形，∴BE＝，BD＝，∠ABE＝∠CBD＝45°，∴＝＝，∠EBD＝∠ABC，∴△EBD∽△ABC，∴＝＝，∴DE＝＝．∵AB＝8，AD≤AE＋DE，∴AD的最大值是．【變式3】路徑問題【練3-1】如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，動點E從點A運動到點D，以CE為邊在CE的右側構造正方形CEFG，連接AF，則AF的最小值為_________，點F運動的路徑長為_________．FFDAGCEB【答案】，【解析】法一：如圖，作等腰直角三角形AGC，易知△ACF∽△GCE，且而，由12345模型可知,故，則故AF的最小值為，又因為，故F的路徑為點E路徑的倍，故F的路徑為法二：延長AD到點P，使DP＝DC，連接FP，過點F作AD的垂線，垂足為H．FDPAGCBFDPAGCB由一線三等角全等模型可知△CDE≌△EHF，(注：也可以用旋轉相似來證)∴EH＝CD＝DP，ED＝FH，∴ED＝HP，∴FH＝HP，∴∠P＝45°．當AF⊥FP時AF最小，最小值＝＝(4＋2)＝．∵∠FHP＝90°，FH＝HP，∴FP＝＝．當動點E從點A運動到點D時，DE的長從AD變化到0，∴點F運動的路徑長為＝．【練3-2】如圖，在正方形中，，點E在邊上，且，點P為邊上的動點，連接，過點E作，交射線于點F，則．若點M是線段的中點，則當點P從點A運動到點B時，點M運動的路徑長為．

【答案】【分析】過作交延長線于點，證明，得到即可求解；過作交于點，交于點，證明，得到，故點的運動軌跡是一條平行于的線段，當點與重合時，，當點與重合時，由得到，即，從而求解．【詳解】解：過作交延長線于點

則四邊形為矩形，∴由題意可得：∵∴又∵∴∴∴過作交于點，交于點，如下圖

∵，∴在和中∴∴，故點的運動軌跡是一條平行于的線段，當點與重合時，當點與重合時，，∴∵∴∴，即解得∵、分別為、的中點∴是的中位線∴，即點運動的路徑長為【變式4】瓜豆+將軍飲馬【練4-1】如圖1，對于平面內的點A、P，如果將線段繞點P逆時針旋轉得到線段，就稱點B是點A關于點P的“放垂點”．如圖2，已知點，點P是y軸上一點，點B是點A關于點P的“放垂點”，連接、，則的最小值是（

）

A．4 B． C．8 D．【答案】B【分析】在y軸的正半軸上截取，使得，連接、，首先證明，點B在直線上運動，作點O關于直線的對稱點E，連接交于點T，當點B與T重合時，的值最小，再利用勾股定理進行求值即可．【詳解】解：如圖，在y軸的正半軸上截取，使得，連接、，且的延長線與x軸交于點M，∴、是等腰直角三角形，∴，，，∴，，∴，∴，∴，∴，∴，∴，設直線的解析式為，∴，∴,∴點B在直線上運動，作點O關于直線的對稱點E，與交于點F，連接、連接交于點T，當點B與T重合時，的值最小，∵,，∴，根據對稱得：，，，∴，∴、∵，∴，∴的最小值為：，故選：B．

【練4-2】如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝9，M為BC上一點，連接MA，將線段MA繞點M順時針90°得到線段MN，連接CN、DN，則CN+DN的最小值為．【答案】【分析】在BC上取一點H，使得BH＝BA，連接AH，HN．證明∠HTC＝45°，推出點N的運動軌跡是射線HN，設射線HN交CD的延長線于T，作點D關于NH的對稱點J，連接CJ交HT于O，連接OD．當點N與O重合時，OC+OD＝OC+OJ＝CJ，此時CN+DN的值最小．【詳解】在BC上取一點H，使得BH＝BA，連接AH，HN．∵△ABH，△AMN都是等腰直角三角形，∴AH＝AB，AN＝AM，∠BAH＝∠MAN＝45°，∴＝，∠BAM＝∠HAN，∴△BAM∽△HAN，∴∠AHN＝∠B＝90°，∵∠AHB＝45°，∴∠NHC＝45°，∴點N的運動軌跡是射線HN，設射線HN交CD的延長線于T，作點D關于NH的對稱點J，連接CJ交HT于O，連接OD．當點N與O重合時，OC+OD＝OC+OJ＝CJ，此時CN+DN的值最小，∵AB＝CD＝4，BH＝4，BC＝9，∴CH＝CT＝5，DT＝TJ＝1，∵∠CTH＝∠HTJ＝45°，∴∠CTJ＝90°，∴CJ＝＝＝【變式5】瓜豆+胡不歸【練5-1】如圖,在平面直角坐標系中,點的坐標是(0,2),點的坐標是(0,-2).點是軸上的動點,點在軸上移動時,始終保持是等邊三角形(點不在第二象限),連接,求得的最小值為（ ）A. B.4 C. D.【解析】以為邊作等邊三角形,易證如圖所示,;將射線繞點順時針轉,過、分別做該射線的垂線,垂足為、；的最小值為【練5-2】綜合與實踐課上，徐老師和同學們開展了一場以“最值”為主題的探究活動．【提出問題】徐老師提出了一個問題：如圖1，在矩形中，，，P為邊上的一動點，以為邊向右作等邊，連接，如何求的最小值？【探究發現】小亮發現：如圖4所示，以為邊向下構造一個等邊，便可得到，進而將的最小值轉化為的最小值的問題．（1）按照小明的想法，求證：；并求出的最小值．【拓展應用】（2）小剛受此啟發，舉一反三，提出新問題：如圖2，若將圖1當中構造的等邊三角形，改為以為邊向右構造正方形，在運動過程中，求出的最小值．（3）小紅同學深入研究了小剛的問題，并又提出了新的問題：如圖3，若將圖2當中構造的正方形改為以為邊向右構造菱形，使，請求得的最小值；再請你直接寫出的最小值________.（4）第二天徐老師對同學們說：我看到了大家在解決復雜問題時所展現出來的創造力和邏輯思維能力，這正是我們學習數學的意義所在，并又提出了新的問題：求的最大值.【答案】（1）見解析，；（2）；（3）【詳解】解：（1）如圖，過點M作于K，交于L，∵和都是等邊三角形，∴，，，∴，即， 在和中，，∴∴當最小時，最小，∵M為定點，∴當時，即點P與點K重合時，最小，∵四邊形是矩形，∴，，，∴，∵，∴四邊形是矩形，∴，在中，，∴，∴的最小值為；（2）如圖，以為邊向下作正方形，連接交于點O，連接，過點O作于，交于T，∵四邊形是正方形，∴，，，是等腰直角三角形，∴，即，∵，∴，∴，當BG取得最小值時，最小，∵點O為定點，∴當時，即點P與點重合時，最小，∵，∴，即，∴，∵，∴四邊形是矩形，∴，∴，∴的最小值為12，∴的最小值為，（3）①如圖，連接交于O，在下方作射線、射線，使，射線、射線交于點Q，過點Q作于，交于K，連接，∵四邊形是菱形，，∴，，，，在中，，∴，∵，∴，∵，，∴，∵，∴，，∴，，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，∴當取得最小值時，最小，∵點Q為定點，∴當，即點P與點重合時，最小，由（2）知：，∴，∴的最小值．②【簡證】如圖，易知,，故（4）由（3）可知，將射線AD繞點A順時針旋轉30°得到直線，再過點作，則有，故，過E作，則有，即，故當重合時取到最小值，作，則四邊形為矩形，故 二、廣州市2022中考真題：加權線段和最值問題·7種解法如圖，在菱形ABCD中，∠BAD=120°，AB=6，連接BD．(1)求BD的長；(2)點E為線段BD上一動點（不與點B，D重合），點F在邊AD上，且BE=DF，當四邊形ABEF的面積取得最小值時，CE+CF的值是否也最小？如果是，求CE+CF的最小值；如果不是，請說明理由．【答案】(1)；(2)最小值為12【分析】（1）證明△ABC是等邊三角形，可得BO=，即可求解；（2）過點E作AD的垂線，分別交AD和BC于點M，N，根據菱形的面積可求出MN=，設BE=，則EN=，從而得到EM=MN-EN=，再由BE=DF，可得DF=，從而得到四邊形ABEF的面積s=S△ABD-S△DEF，作CH⊥AD于H，可得當點E和F分別到達點O和點H位置時，CF和CE分別達到最小值；再由，可得當，即BE=時，s達到最小值，從而得到此時點E恰好在點O的位置，而點F也恰好在點H位置，即可求解．【詳解】（1）解∶連接AC，設AC與BD的交點為O，如圖，∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA=OC，AB∥CD，AC平分∠DAB，∵∠BAD=120°，∴∠CAB=60°，∴△ABC是等邊三角形，∴BO=AB?sin60°==，∴BD=2BO=；（2）解：如圖，過點E作AD的垂線，分別交AD和BC于點M，N，∵△ABC是等邊三角形，∴AC=AB=6，由（1）得：BD=；菱形ABCD中，對角線BD平分∠ABC，AB∥CD，BC=AB=6，∴MN⊥BC，∵∠BAD=120°，∴∠ABC=60°，∴∠EBN=30°；∴EN=BE∵，∴MN=，設BE=，則EN=，∴EM=MN-EN=，∵S菱形ABCD=AD?MN=，∴S△ABD=S菱形ABCD=，∵BE=DF，∴DF=，∴S△DEF=DF?EM==，記四邊形ABEF的面積為s，∴s=S△ABD-S△DEF=-（），∵點E在BD上，且不在端點，∴0<BE<BD，即；作CH⊥AD于H，如圖，∵CO⊥BD，CH⊥AD，而點E和F分別在BD和AD上，∴當點E和F分別到達點O和點H位置時，CF和CE分別達到最小值；在菱形ABCD中，AB∥CD，AD=CD，∵∠BAD=120°，∴∠ADC=60°，∴△ACD是等邊三角形，∴AH=DH=3，∴CH=，∵，∴當，即BE=時，s達到最小值，∵BE=DF，∴DF=3，此時點E恰好在點O的位置，而點F也恰好在點H位置，∴當四邊形ABEF面積取得最小值時，CE和CF也恰好同時達到最小值，∴CE+CF的值達到最小，其最小值為CO+CH==12．【其它幾何構造方法】法2：核心是處理，剛好有，還有CE和CF兩個動點需要拼一起，所以考慮把△CDF放大倍后拼到BE處過B作CE＋＝CE法3：過D作DG⊥CD，取△DGF∽△BCE則法4：先把DF放大倍，再把△CBE拼過來，延長CD到G使CG＝BD，作GH∥AD交CF于H，作GO⊥CG且，下略法5：CE對稱轉化為AE，過B作BI⊥AB，BI＝BD＝AB?△CDF∽△IBE由于對稱性，CE＝AE，所以拼在上面也可以~這個算湊數吧法6：先把DF放大倍，再把△CBE拼過來延長DC到G使作交AD于H作DO⊥DC，且DO＝AB＝6?△CDF∽△GDH，?△DOH≌△BCE，CE＝OH則有法7：先把BE縮小放大倍到IH，再把△CDF拼過來在BC上取，過H作HI∥BD交CE于I，作HG⊥BC，則HG＝AB?△CIH∽△CEB，BE＝HI，HI＝DF?△CDF≌△GHI?CF＝GH故【變式1】阿氏圓問題（3類）【練1-1】如圖，在中，，，，圓的半徑為2，點為圓上一動點，連接，．求①；②；③；④的最小值．【解答】解：①取的中點，連結，，，，，，，，，，，當在上時，最小，最小值為的長，，的最小值為，②，的最小值為，③在取一點，使，，，，，，，當在上，，，的最小值為，④，的最小值為．【練1-2】如圖，在中，點A、點在上，，，點在上，且，點是的中點，點是劣弧上的動點，則的最小值為．【答案】【分析】延長到，使得，連接，，利用相似三角形的性質證明，求的最小值問題轉化為求的最小值．求出即可判斷．【詳解】解：延長到，使得，連接，．，，，，，，，，，，又在中，，，，，，的最小值為【變式2】加權費馬點問題【練2-1】在等邊三角形ABC中，邊長為4，P為三角形ABC內部一點，求的最小值【簡析】本題有2種解題策略，旋轉特殊角和旋轉放縮【策略一：旋轉特殊角】如圖1，△APC繞點C逆時針旋轉90°，易知P’P＝PC，A’B即為所求方法一：如圖2，B，P，P’，A’共線時取最小，此時∠BPC＝∠APC＝135°，易知BP＝A’P’＝2，PC＝CH－PH＝，∴PP’＝，PB＋PP’＋A’P’＝方法二：作AH⊥BC于H，易知∠A’CH＝30°，∴AH＝2，CH＝，由勾股可得A’B＝【策略二：旋轉放縮】可按如下方法去旋轉放縮（方法不唯一）如圖4，將三角形BPC繞點B旋轉45°，再擴大為原來的倍，得到則補充：也可以按圖5方式旋轉【練2-2】如圖，在△ABC中，，，，在△ABC內部有一點P，連接，則（1）的最小值為________；（2）的最小值為________【簡答】（1）將最小系數提到括號外，得到中間大小系數為，故放大倍數為倍，最大系數在PC前面，故以點C為旋轉中心，旋轉△PBC．如圖1，將△PBC繞點C逆時針旋轉90°，并放大為倍，，．．（2）將最小系數提到括號外，得到，如圖2，將△APB繞點C逆時針旋轉90°，并放大為倍，，．【變式3】胡不歸問題(3類)【練3-1】如圖，是等邊三角形的外接圓，其半徑為4．過點B作于點E，點P為線段上一動點（點P不與B，E重合），則的最小值為．

【答案】6【分析】過點P作，連接并延長交于點F，連接，根據等邊三角形的性質和圓內接三角形的性質得到，，然后利用含角直角三角形的性質得到，進而求出，然后利用代入求解即可．【詳解】如圖所示，過點P作，連接并延長交于點F，連接

∵是等邊三角形，∴∵是等邊三角形的外接圓，其半徑為4∴，，∴∴∵∴∴∵，∴∴∴的最小值為的長度∵是等邊三角形，，∴∴的最小值為6【練3-2】如圖，二次函數與x軸交于點A，B，對稱軸為直線l，頂點C到x軸的距離為．點P為直線l上一動點，另一點從C出發，先以每秒2個單位長度的速度沿運動到點P，再以每秒1個單位長度的速度沿運動到點A停止，則時間最短為秒．【答案】【分析】如圖，連接，作于點D，與交點即為符合題意的點P，可得，利用角所對的直角邊等于斜邊的一半得到動點運動的時間為解題即可．【詳解】如圖，連接，作于點D，與交點即為符合題意的點P，令，則，解得或，∴A，B兩點坐標為，，∴，∵A，B兩點關于對稱，∴，∵頂點C到x軸的距離為，∴∴，∵都是的高，∴，由題意得動點運動的時間為，∵是等邊三角形，，∴，∵作，∴，∴，顯然在l上另取一點，連接，∵，∴當時，運動時間最短為，故答案為：．【練3-3】如圖，在長方形中，，，點在上，連接，在點的運動過程中，的最小值為．

【答案】【分析】在線段下方作，過點作于點，連接，求出此時的的長度便可．【詳解】解：∵四邊形是矩形，，，∴，，，∴，在線段下方作，過點作于點，連接，

∴，∴，當、、三點共線時，的值最小，此時，∴，∴，，∴，∴的最小值為：，∴的最小值為【變式4】加權逆等線問題【練4-1】如圖，在中，，，．D，E分別是邊，上的動點，且，則的最小值為．【答案】【分析】過作于，使，連接、，即可得到，，即最小值為的長．【詳解】方法一：過作于，使，連接、，∵，∴，∵，∴，∴，即，∴，∴當三點共線時有最小值，最小值為的長∵∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∴∴的最小值為方法二：，則，，∴，設，∴∴可以看成點到點和的距離之和，∴當、、三點共線時最小，最小值【練4-2】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與x軸交于兩點，與y軸交于點．若點D，E分別是線段，上的動點，且，求的最小值．

【答案】．【分析】作，證明且相似比為，故當、、共線時，為最小，進而求解．【詳解】解：作，

設，，且相似比為，則，故當、、共線時，為最小，在中，設邊上的高為，則，即，解得：，則，則，過點作軸于點，則，即點的縱坐標為：，同理可得，點的橫坐標為：，即點，由點、的坐標得，，即的最小值為．【變式5】瓜豆加權線段和問題【練5-1】（原創題）已知點，點B是直線y＝－2上一個動點，將線段繞點B逆時針旋轉90°得到線段BC.（1）求OC的最小值；（2）求的最小值；（3）記，①求的最小值；②求的最小值 【第（1）問簡析】角度1：反向旋轉構造手拉手（不用求從動點軌跡，直接轉換為垂線段最短）如圖，構造等腰直角△AOE，由旋轉相似可知角度2：構造手拉手求從動點軌跡（略，可參考第（2）問）【第（2）問簡析】，求出C點軌跡，再將軍飲馬，如圖，在B點軌跡上取一點，構造旋轉相似，易知，可知C點軌跡為，作，，補充：此時加權線段和對應三邊之比 【第（3）問簡析】①由旋轉相似可知，則②，補充：此時加權線段和對應相似比 【練5-2】如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝，點E為邊AD上一動點，以CE為邊向右作直角三角形CEF，使∠CEF＝90°，∠CFE＝30°，連接BE，BF，求BE＋的最小值．AADBCEF【答案】【解析】解：以BC為斜邊向下作Rt△BCG，使∠CBG＝30°，連接EG．AADBCHGEFG′則CG＝＝，△BGC∽△FEC，∴△EGC∽△FBC，∴＝＝，∴EG＝．作點G關于AD的對稱點G'，連接G'G交BC于點H，連接G'B，G'E．則G'G⊥BC，CH＝＝，GH＝，BH＝，G'H＝，∴BG'＝＝，∴BE＋＝BE＋EG＝BE＋EG'≥BG'＝，∴BE＋的最小值為．【變式6】2024·四川瀘州·中考真題【練6-1】如圖，在邊長為6的正方形中，點E，F分別是邊上的動點，且滿足，與交于點O，點M是的中點，G是邊上的點，，則的最小值是（

）

A．4 B．5 C．8 D．10【答案】B【分析】本題主要考查了正方形的性質，全等三角形的性質與判定，直角三角形的性質，勾股定理等等，先證明得到，進而得到，則由直角三角形的性質可得，如圖所示，在延長線上截取，連接，易證明，則，可得當H、D、F三點共線時，有最小值，即此時有最小值，最小值即為的長的一半，求出，在中，由勾股定理得，責任的最小值為5．【詳解】解：∵四邊形是正方形，∴，又∵，∴，∴，∴，∵點M是的中點，∴；如圖所示，在延長線上截取，連接，

∵，∴，∴，∴，∴當H、D、F三點共線時，有最小值，即此時有最小值，最小值即為的長的一半，∵，，∴，∴，在中，由勾股定理得，∴的最小值為5，【變式7】2024·四川涼山·中考真題【練7-1】如圖，在菱形中，，是邊上一個動點，連接，的垂直平分線交于點，交于點．連接．

(1)求證：；(2)求的最小值．【答案】(1)見詳解；(2)【分析】（1）根據菱形的性質證明，再結合是的垂直平分線，即可證明；（2）過點N作于點F，連接，，則，故，此時，在中，進行解直角三角形即可．【詳解】（1）證明：連接，

∵四邊形是菱形，∴，，∵，∴，∴，∵是的垂直平分線，∴，∴；（2）解：過點N作于點F，連接，

∵，∴，∵，∴，當點A、N、F三點共線時，取得最小值，如圖：

即，∴在中，，∴的最小值為．三、成都·2024四川師大附中九年級B卷壓軸：相似構造·一題10解如圖，在菱形中，，點E是上一點，連接，將繞點E順時針旋轉至，連接與交于點G，若，則．

【答案】解法1:構造手拉手+8字相似，設DG=1，則AD=5，，則，故，故解法2：一線三等角+等邊三角形解法3：作2條平行線構造出等腰+相似：易知，，，故，即.解法4：一線三等角，易知“紅”+“藍”=30°解法5：構造手拉手相似解法6：一線三等角+平行相似導角可知∠FCH=90°，∠HCK=∠CKF=120°，由5GH=HF可知解法7：構造2組手拉手相似+8字相似過點D作CF平行線，則∠ADM=30°，下略解法8簡析：8字相似+子母相似，由，可得，下略解法9簡析：作垂直+導邊+勾股設，則，AD=10，設NE為，則，，下略解法10簡析：作垂直+導邊+勾股設，則，即MG=2，，，設BN=x，則，下略解法11簡析：易知，，，，下略解法12簡析：求出即可解法13簡析：2組相似，,解出相關線段長即可【解法10-詳解】解：延長，交延長線于，在上截取，連接，，過于，

∵四邊形是菱形，，∴，，則，，∴，∴，即：，設菱形的邊長，，則，，由旋轉可知：，，∴，又∵，則，∴，又∵，則，∴，∴，∴，，∴，∵，則，∴，則，∵，，∴，則，∵，，∴，則，則，又∵，∴，∴，即，∵，，在中，，則，即：，整理得：，即：，亦即，則，（舍去）∴，∵，，∴【變式1】2024深圳坪山區中考一模【練1-1】如圖，E是菱形邊BC上一點，，把繞點E順時針旋轉得到交于點G，，則．【答案】【分析】根據兩邊對應成比例，且夾角相等兩三角形相似證明．連結交于，過作的平行線交于．連接．等腰三角形中，頂角，底角，得到，證明，得到，再證中，，，證明，理由相似三角形的對應邊成比例，列式代入數值進行計算，即可作答．【詳解】證明：，，，，∴．連結交于，過作的平行線交于．連接菱形中，，，，，互相垂直平分，，，．，．，，∴，，，，，，，，，，，，即，∴∴∵∴∴∴解得【變式2】2023武漢中考幾何壓軸【練2-1】問題提出：如圖（1），是菱形邊上一點，是等腰三角形，，交于點，探究與的數量關系．

問題探究：(1)先將問題特殊化，如圖（2），當時，直接寫出的大??；(2)再探究一般情形，如圖（1），求與的數量關系．問題拓展：(3)將圖（1）特殊化，如圖（3），當時，若，求的值．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）延長過點F作，證明即可得出結論．（2）在上截取，使，連接，證明，通過邊和角的關系即可證明．（3）過點A作的垂線交的延長線于點，設菱形的邊長為，由（2）知，，通過相似求出，即可解出．【詳解】（1）延長過點F作，∵，，∴，在和中∴，∴，，∴，∴，∴．

故答案為：．（2）解：在上截取，使，連接．，，．，．．，．．

（3）解：過點作的垂線交的延長線于點，設菱形的邊長為，．在中，，．，由（2）知，．．，，，在上截取，使，連接，作于點O．由（2）知，，∴，∵，∴，．∵，∴，∵，∴．．

【變式3】2024深圳南山區部分學校中考一模壓軸【練3-1】“轉化”是解決數學問題的重要思想方法，通過構造圖形全等或者相似建立數量關系是處理問題的重要手段．（1）【問題情景】：如圖（1），正方形中，點是線段上一點（不與點、重合），連接．將繞點順時針旋轉90°得到，連接，求的度數．以下是兩名同學通過不同的方法構造全等三角形來解決問題的思路，①小聰：過點作的延長線的垂線；②小明：在上截取，使得；請你選擇其中一名同學的解題思路，寫出完整的解答過程．（2）【類比探究】：如圖（2）點是菱形邊上一點（不與點、重合），，將繞點順時針旋轉得到，使得（），則的度數為______（用含的代數式表示）（3）【學以致用】：如圖（3），在（2）的條件下，連結，與相交于點，當時，若，求的值．【答案】（1）解答見解析；（2）；（3）【分析】（1）小聰解題思路：由“”可證，可得，，可得，由等腰直角三角形的性質可求解；小慧解題思路：由“”可得，可得，即可求解；（2）由“”可證，可得，由等腰三角形的性質可求解；（3）過點作交的延長線于點，設菱形的邊長為3，由題中條件得到，由相似三角形的性質；上截取，使，連接，作于點，如圖所示，通過證明，由相似三角形的性質，解直角三角形即可得到答案．【詳解】解：（1）任選一個思路求解即可，下面兩種思路求解如下：小聰解題思路：過點作交的延長線于點，如圖1，將繞點順時針旋轉得到，，，，，，，，，，，，，，，；小慧解題思路：在上截取，使得，連接，如圖所示：，，，，，又，，，，；（2）在上截取，使得，連接，如圖2，四邊形是菱形，，，，，，將繞點順時針旋轉得到，，，，，，，，，，，，故答案為：；（3）解：過點作交的延長線于點，設菱形的邊長為3，，，，，，，，，，由（2）知，，，，，，，上截取，使，連接，作于點，如圖所示：由（2）可知，，，，，，，，，，．【變式4】2025成都青白江區統考B卷壓軸【練4-1】如圖，在菱形中，，是邊上一點，在的右側作，且，連接，連接交于點．若為邊的三等分點，則的長為．【答案】或【分析】本題主要考查菱形的性質，全等三角形的性質與判定，相似三角形的性質與判定，掌握分類討論的思想方法是解題的關鍵．如圖，在的延長線上取點，使得，證明，得出，則，證明，作于點，則，證明，進而根據相似三角形的性質，求出，在上截取，連接，證明，得，過作于點，根據等腰三角形的性質和含度角的直角三角形的性質即可解決問題．【詳解】解：如圖，在的延長線上取點，使得，則，又∵，∴，∴，由，得，∴，，在菱形中，∵，∴，∴，如圖所示，連接交于點，∵，∴，∴，∴，∴，如圖，作于點，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，在上截取，連接，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，過作于點，∵，∴，∵，∴，∴，當時，，∴，當時，，∴，綜上所述，的長為或．四、深圳·2024中考真題填空壓軸：結合相似求比值·一題5解如圖，在中，，，D為上一點，且滿足，過D作交延長線于點E，則．【答案】【分析】先設，根據，，得出再對ADEC相關的三角形分析即可，勾股定理求出解法1:作平分線轉化比例【詳解】解：如圖，過點A作垂足為H,∵，，設，∴，∵，，∴，∵，∴，解得∴，，∴，，∴，過點C作垂足為M，∴，，∵,，∴，∴解法2:作垂線轉化比例，易知解法3：全等+射影+A字相似導比解法4：A字相似導比解法5：過E點作平行構造8字相似【變式1】四川省遂寧市九年級填空壓軸【練1-1】如圖，在中，，，為上一點，若滿足，過作交延長線于點，則=．【答案】【分析】由，得出，設，，推出，根據，，得出，，再分別用勾股定理求出，，故，再運用解直角三角形得出，，根據平行線分線段成比例，代入，化簡得出答案即可．【詳解】解：如圖，過點作垂足為，過點作垂足為，∵，∴，設，，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，整理得：，∵，∴，∴，∴，，∴，，∴，∵，∴，，∵，，∴，∴【變式2】線段比轉化為相似比【練2-1】如圖，在中，，，點在上，且軸平分角，求.【答案】【分析】作軸，證明△COD∽△AED，求得AE=1，再證明△CBO∽△BAE，求得OE=，進而可求出k的值.【詳解】如圖所示：作軸由題意：可證又∵∴令，則∵軸平分∴∵軸∴可證則，即，解得：∴【練2-2】如圖，在中，，是的一條角平分線，為中點，連接．若，，則．【答案】【分析】連接，過E作于F，設，，根據直角三角形斜邊上的中線性質和等腰三角形的性質證得，，，進而利用三角形的外角性質和三角形的中位線性質得到，，證明，利用相似三角形的性質和勾股定理得到；根據角平分線的定義和相似三角形的判定與性質證明得到，進而得到關于的一元二次方程，進而求解即可．【詳解】解：連接，過E作于F，設，，

∵，為中點，∴，又，∴，，，∴，，∵，∴，則，又，∴，∴，，∴，則；∵是的一條角平分線，∴，又，∴，∴，∴，則，∴，即，解得，即．【練2-3】在銳角中，分別為的中線和角平分線，，且，則．【答案】/【分析】本題主要考查了相似三角形的性質與判定，勾股定理，全等三角形的性質與判定，過點D作交于F，先證明得到，進而得到，設，則，證明，利用勾股定理得到；證明，得到，即，進一步證明，得到，則，求出，得到；求出，即可得到．【詳解】解：如圖所示，過點D作交于F，∵是的中線，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，設，則，∵，，∴，∴，∴；∵為的角平分線，∴，又∵，∴，∴，即，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴；∵，∴，∴，故答案為：．

【變式3】求線段比【練3-1】（深圳中考）如圖，在中，，，點D為上一動點，連接，將沿翻折得到，交于點G，，且，則．

【答案】【分析】于點M，于點N，則，過點G作于點P，設，根據得出，繼而求得，，，再利用，求得，利用勾股定理求得，，故，【詳解】由折疊的性質可知，是的角平分線，，用證明，從而得到，設，則，，利用勾股定理得到即，化簡得，從而得出，利用三角形的面積公式得到：．作于點M，于點N，則，過點G作于點P，

∵于點M，∴，設，則，，又∵，，∴，，，∵，即，∴，，在中，，，設，則∴∴，∵，，，∴，∵，，∴，∴，∵，，，，∴，∴，設，則，，在中，，即，化簡得：，∴，∴【練3-2】（深圳中考）如圖，已知四邊形ABCD，AC與BD相交于點O，∠ABC=∠DAC=90°，，則=．【答案】【分析】過B點作BE//AD交AC于點E，證明，得到再證明利用設利用三角形的面積公式可得答案．【詳解】解：過B點作BE//AD交AC于點E，BE⊥AD，，∴∴由，∴設則五、深圳市寶安中學九年級聯考壓軸：旋轉六法構造手拉手共8種解法已知：如圖，在四邊形中，，，，連接、，若，，則的長為．【答案】法1:通過△ABC構造手拉手公共點為A，再導角得出135°，解線段長（AB轉成AD）詳解:解：作于點，作交的延長線于點，則：，，∴，∵，∴，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，，∴∵，，∴為等腰直角三角形，∴，∴，∴，∵，∴法2：通過△ADC來構造手拉手公共也是A，思路同上（AD轉成AB）法3：利用△ABC構造手拉手，公共端點在B點處，易知∠ECD=45°，下同（BA轉成BD）法4：通過△ADC構造手拉手，公共端點在D點處（DA轉成DB） 法5：BD轉成BA，易知∠AEC=135°，解線即可 法6：DB轉成DA，∠AEC=135° 法7：構造一線三垂直，補成矩形導邊勾股法8：作垂直再構造手拉手相似【變式1】2022深圳中考填空壓軸【練1-1】已知是直角三角形，連接以為底作直角三角形且是邊上的一點，連接和且則長為．

【答案】【分析】將線段繞點順時針旋轉，得到線段，連接，HE，利用證明，得，，則，即可解決問題．【詳解】解：將線段繞點順時針旋轉，得到線段，連接，HE，

是等腰直角三角形，∴∠HBD=45°∵∠FBD=45°∴點B、F、H共線又是等腰直角三角形，，，，，，，，，，，，【變式2】2024-2025學年深圳市九年級二十校聯考壓軸【練2-1】如圖，四邊形中，，若，則的長為．【答案】【詳解】解：過A作于E，作于F，與的延長線交于點F，，，，，，，，在中，，中，，，，，，，，，得，，中，，，．【補充旋轉六法】法一：BA轉到BC法二：BC轉到BA法三：AB轉到AC法四：AC轉到AB 法五：CA轉到CB法六：CB轉到CA【變式3】湖北襄陽·中考真題【練3-1】如圖，兩個大小不同的三角板放在同一平面內，直角頂點重合于點，點在上，，與交于點，連接，若，，則．【答案】．【分析】過點C作CM⊥DE于點M，過點E作EN⊥AC于點N，先證△BCD∽△ACE，求出AE的長及∠CAE=60°，推出∠DAE=90°，在Rt△DAE中利用勾股定理求出DE的長，進一步求出CD的長，分別在Rt△DCM和Rt△AEN中，求出MC和NE的長，再證△MFC∽△NFE，利用相似三角形對應邊的比相等即可求出CF與EF的比值．【詳解】解：如圖，過點作于點，過點作于點，∵，，∴，∵在中，，∴，在與中，∵，∴，∴，∵，∵，∴，∴∽，∴，∴，∴，，∴，在中，，在中，，∴，，在中，，在中，，∵，∴∽，∴【變式4】2020武漢市中考幾何壓軸【練4-1】如圖，是內一點，，，，，則的長為．【答案】【分析】過點作的垂線，過點作的垂線，兩垂線交于點，連接，證明，由相似三角形的性質得出，證明，得出，求出，由勾股定理求出AM，最后由直角三角形