第1章三角形的證明（單元重點綜合測試）一、單選題1．已知等腰三角形的一邊長為，另一邊長為，則它周長是（）A． B． C． D．或【答案】C【分析】根據等腰三角形的性質及三角形的三邊關系進行分類討論，即可得到答案．【解析】解：當是等腰三角形的腰時，，不能構成三角形，當是等腰三角形的腰時，，能構成三角形，此時三角形的周長為：，故選：C．【點睛】本題主要考查了等腰三角形的性質、三角形的三邊關系，熟練掌握等腰三角形的性質及三角形的三邊關系，是解題的關鍵．2．如圖，在中，于點D，添加一個條件，可使用“”判定與全等的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題主要考查直角三角形全等的判定定理，熟練掌握直角三角形全等的判定條件是解題的關鍵；由題意易得，然后根據選項可進行求解．【解析】解：∵，∴，∵，∴當添加時，則可根據“”判定；當添加時，由于全等條件不足，所以無法判定；當添加時，由于全等條件不足，所以無法判定；當添加時，由于全等條件不足，所以無法判定；故選A．3．如圖，，，則有（）

A．垂直平分 B．與互相垂直平分C．垂直平分 D．平分【答案】A【分析】根據線段垂直平分線的性質即可得到答案．【解析】解：，，是線段的垂直平分線，故選：A．【點睛】本題考查的是線段垂直平分線的性質，熟知線段垂直平分線上任意一點，到線段兩端點的距離相等是解答此題的關鍵．4．如圖，在中，按以下步驟作圖：①分別以點A、C為圓心，以大于的長為半徑畫弧，兩弧交于P、Q兩點；②作直線交于點D，交于點E；③連接．若，，則的周長為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查作圖-復雜作圖，線段的垂直平分線的性質，根據線段垂直平分線的性質得到，即可求出的周長．【解析】解：根據題意得：是垂直平分線，，，，的周長為：，故選：D．5．如圖，在中，，，，，則的長為（

）.A．2 B．4 C．6 D．8【答案】B【分析】本題考查三角形內角和定理、等腰三角形的判定、三角形外角的性質及角三角形的性質，熟知這些內容是正確解題的關鍵。利用已知條件可求的度數，進而知道，根據等腰三角形的判定得，再利用三角形外角性質得，然后根據含的直角三角形三邊的關系可得到的長即可得．【解析】解：在中，，，,，,,，在中，，．故選：B．6．在下列結論中：（1）有一個外角是的等腰三角形是等邊三角形（2）有兩個外角相等的等腰三角形是等邊三角形（3）有一邊上的高也是這邊上的中線的等腰三角形是等邊三角形（4）三個外角都相等的三角形是等邊三角形其中正確的個數是（）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【答案】C【分析】根據等邊三角形的性質和定義，可得：有一個角為的等腰三角形是等邊三角形；三個內角都相等的三角形為等邊三角形；再由中線的性質和三角形內角和的定義可解答本題．【解析】解：（1）：因為外角和與其對應的內角的和是，已知有一個外角是，即是有一個內角是，有一個內角為的等腰三角形是等邊三角形．該結論正確．（2）：兩個外角相等說明該三角形中兩個內角相等，而等腰三角形的兩個底角是相等的，故不能確定該三角形是等邊三角形．該結論錯誤．（3）：等腰三角形的底邊上的高和中線本來就是重合的，“有一邊”可能是底邊，故不能保證該三角形是等邊三角形．該結論錯誤．（4）：三個外角都相等的三角形是等邊三角形．正確；故選：C．【點睛】本題考查等邊三角形的判定，解題的關鍵是靈活運用的等邊三角形的判定方法解決問題．7．如圖，圖中小正方形的邊長都為1，的頂點都在格點上，則是（

）

A．直角三角形 B．銳角三角形 C．鈍角三角形 D．無法判斷【答案】A【分析】先根據勾股定理求出各邊的長，再根據勾股定理的逆定理判斷出的形狀即可．【解析】解：由圖形可知：；；，∴，∴是直角三角形．故選：A．【點睛】本題考查的是勾股定理及其逆定理，熟知如果三角形的三邊長a，b，c滿足，那么這個三角形就是直角三角形是解答此題的關鍵．8．如圖，是的角平分線，，垂足為E，若，，，則的長為（

）

A．6 B．5 C．4 D．3【答案】D【分析】如圖所示，過點D作于F，根據角平分線的性質得到，再根據進行求解即可．【解析】解：如圖所示，過點D作于F，∵是的角平分線，，，∴，∵，∴，∴，∴，故選D．

【點睛】本題主要考查了角平分線的性質，熟知角平分線上的點到角兩邊的距離相等是解題的關鍵．9．如圖，已知中，，F是高和的交點，，則線段的長度為（

）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】C【分析】根據高和角的關系得，根據得，根據等邊對等角的性質得AD=BD，然后利用ASA即可得，即可得CD的長度，再求出AD的長度，即可得．【解析】解：∵AD、BE是三角形的高，∴，，∴，∵，∴，∴，∴AD=BD，在和中，∴（ASA），∴CD=FD，∵，，∴,∴，故選：C．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質，解題的關鍵是掌握全等三角形的判定與性質．10．如圖，點A、B、C在一條直線上，均為等邊三角形，連接和，分別交、于點M、P，交于點Q，連接，下面結論：①②

③為等邊三角形

④

⑤平分，其中正確的有（

）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】D【分析】由，，，可證，可判斷①的正誤；由，可判斷②的正誤；證明，則，可證是等邊三角形，可判斷③的正誤；由，可得，可判斷④的正誤；如圖，作于，于，由，，，可得，則平分，可判斷⑤的正誤．【解析】解：∵均為等邊三角形，∴，∴，∵，，，∴，①正確，故符合要求；∴，∴，②正確，故符合要求；∵，∴，∴，∴是等邊三角形，③正確，故符合要求；∴，∴，④正確，故符合要求；如圖，作于，于，∵，∴，，∵，∴，即，∴平分，⑤正確，故符合要求；故選：D．【點睛】本題考查了等邊三角形的判定與性質，全等三角形的判定與性質，三角形內角和定理，角平分線的判定定理，平行線的判定等知識．熟練掌握等邊三角形的判定與性質，全等三角形的判定與性質，三角形內角和定理，角平分線的判定定理，平行線的判定是解題的關鍵．二、填空題11．如圖，在等邊△ABC中，于點D，若，則．【答案】4【分析】根據△ABC是等邊三角形可知AB＝AC，再由BD⊥AC可知AD＝AC，由此即可得出結論．【解析】解：∵△ABC是等邊三角形，AB＝8，∴AB＝AC＝8，∵BD⊥AC，∴AD＝AC＝×8＝4．故答案為：4．【點睛】本題考查的是等邊三角形的性質，熟知等邊三角形三線合一的性質是解答此題的關鍵．12．如圖中，，，則．【答案】【分析】根據含30度角的直角三角形的性質可知，再結合已知條件求解即可．【解析】解：在中，，∴，又∵，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題主要考查了含30度角的直角三角形的性質，熟知含30度角的直角三角形中30度角所對的直角邊的長是斜邊長的一半是解題的關鍵．13．若等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為，則這個等腰三角形的底角度數是．【答案】或/或【分析】在等腰中，，為腰上的高，，討論：當在內部時，如圖1，先計算出，再根據等腰三角形的性質和三角形內角和可計算出；當在外部時，如圖2，先計算出，再根據等腰三角形的性質和三角形外角性質可計算出．【解析】解：在等腰中，，為腰上的高，，當在內部時，如圖1，為高，，，，；當在外部時，如圖2，為高，，，，，而，，綜上所述，這個等腰三角形底角的度數為或．故答案為：或．

【點睛】本題考查了等腰三角形的性質：等腰三角形的兩腰相等；等腰三角形的兩個底角相等；等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合．14．如圖，在中，，點在上，，交于點，的周長為，的周長為，則邊的長為．

【答案】3【分析】本題主要考查了全等三角形的性質與判定，如圖所示，連接，利用證明得到，根據三角形周長公式推出，再由，可得．【解析】解：如圖所示，連接，∵，，∴，在和中，，∴，∴，∵的周長為，的周長為，∴，∴，即，∵，∴，∴，故答案為：3．

15．如圖，，平分，點在上，于，，點是射線上的動點，則的最小值為cm．

【答案】【分析】過作，根據垂線段最短即可求出最小值．【解析】∵，平分，∴，∵，，∴，過作于點，

∵，平分，∴，∵點是射線上的動點，∴的最小值為，故答案為：．【點睛】此題考查了垂線段最短以及角平分線的性質，解題的關鍵是掌握角平分線的性質及垂線段最短的實際應用．16．如圖，是中邊的垂直平分線，若，，，則的周長是．【答案】【分析】本題考查了線段垂直平分線的性質，由線段垂直平分線的性質得到，然后得到，即可求出的周長，掌握線段垂直平分線的性質是解題的關鍵．【解析】解：∵是的垂直平分線，∴，∴，∴的周長，故答案為：．17．如圖，在中，，，于D，于E，與交于H，則．【答案】【分析】本題考查直角三角形兩個銳角互余，三角形的高的性質等知識，延長交于點M，可得在中，三邊所在的高交于一點，即，由此即可解答．【解析】解：延長交于點M，如圖，在中，三邊所在的高交于一點，∴，∵，∴，故答案為：．18．如圖，三角形中，，于點，平分，交與點，于點，且交于點，若，則，．【答案】8【分析】作于，于，于，于，連接，先證得，運用勾股定理可得，利用面積法求出，，，，，再運用勾股定理即可求得答案．【解析】解：如圖，作于，于，于，于，連接，，，，，，，，，，，，平分，于，于，，，在和中，，，，，，在中，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，在中，，故答案為：8，．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質、角平分線的性質、直角三角形的性質、三角形全等的判定與性質、勾股定理、三角形面積等知識點，熟練掌握以上知識點，添加適當的輔助線，是解此題的關鍵．三、解答題19．如圖，等邊中，分別交BC，AC于點D、E．求證：是等邊三角形．【答案】證明見詳解【分析】先由等邊三角形的性質得到，然后根據平行線的性質得到，，從而證明是等邊三角形．【解析】∵是等邊三角形，∴

，∵

，∴

，，∴，∴

是等邊三角形．【點睛】本題考查了等邊三角形的性質和判定，平行線的性質，熟練掌握等邊三角形的判定定理是關鍵．20．如圖，已知點、在的邊上，，．（1）求證：；（2）若，求的度數．【答案】（1）證明見解析；（2）．【分析】（1）作于點，利用等腰三角形三線合一的性質得到，，相減后即可得到正確的結論；（2）根據等邊三角形的判定得到是等邊三角形，根據等邊三角形的性質、等腰三角形的性質以及角的和差關系即可求解．【解析】（1）證明：如圖，過點作于．，，，，，．（2），是等邊三角形，，，，，．答：的度數為：．【點睛】本題考查了等腰三角形和等邊三角形的性質，熟練掌握等腰三角形三線合一的性質是本題的關鍵．21．在中，為延長線上一點，點在上，連接、，且．(1)求證：；(2)若，求的長．【答案】(1)見解析(2)7【分析】本題考查了三角形全等的判定與性質，勾股定理，等腰三角形的判定與性質．（1）直接證明，得到，再利用等腰三角形的判定與性質即可得出結論；（2）根據，利用勾股定理求出，由（1）知，由即可求解．【解析】（1）證明：在與中，，，，；（2）解：，，，，，．22．如圖，中，，是的中線，垂直平分．(1)求證：；(2)若，求的度數．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）由直角三角形斜邊上的中線可得，利用線段垂直平分線的性質可得，進而可證明結論；（2）由等腰三角形的性質及三角形外角的性質可得，即可求解．【解析】（1）證明：∵，是的中線，∴，∵垂直平分，∴，∴；（2）解：∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴【點睛】本題主要考查直角三角形斜邊上的中線，線段垂直平分線的性質，等腰三角形的性質，三角形外角的性質等知識的綜合運用，掌握相關的性質是解題的關鍵．23．已知．(1)用尺規完成下列作圖：（保留作圖痕跡，不寫作法）①作的平分線；②在上任取一點F，作的垂直平分線分別與、交于P、Q；(2)在（1）的條件下線段與有什么數量關系，并說明理由．【答案】(1)①圖形見解析；②圖形見解析；(2)，理由見解析．【分析】（1）①本題主要考查了尺規作角平分線的作法，尺規作圖的關鍵在于熟練掌握角平分線的作法及要求．以A為圓心，以任意長為半徑畫弧，分別與AM，AN交于兩點，再分別以兩交點為圓心，以大于兩交點長的一半為半徑畫弧，二者交于一點，過點A作射線經過兩圓弧交點，即為的角平分線；②本題主要考查了尺規作垂直平分線的作法，尺規作圖的關鍵在于熟練掌握垂直平分線的作法及要求．分別以A、F為圓心，以大于長的一半畫弧，二者分別交于兩點，連接兩交點，分別交于點，于點，則即為的垂直平分線；（2）本題考查了垂直平分線的性質和全等三角形的應用，運用全等三角形的性質即可證明，解答本題的關鍵在于運用全等三角形的性質．【解析】（1）解：①如下圖，②如下圖，（2），理由如下：如圖，在和中，∴（）∴（全等三角形的對應邊相等）．24．如圖，，，，．(1)求證：；(2)連接EC，AO，求證：AO垂直平分EC．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）先證得，可得．再由，，．可證得，即可求證；（2）由（1）可知，，．可得，從而得到，進而得到點在的垂直平分線上．再由，點也在的垂直平分線上，即可求證．【解析】（1）證明：在和中，∵，，∴，∴．∵，，∴，∵，∴，∴；（2）證明∶如圖，由（1）可知，，．∴，∴，即，∴，∴點在的垂直平分線上．又∵，∴點也在的垂直平分線上，∴垂直平分．【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質，線段垂直平分線的判定，熟練掌握全等三角形的判定和性質，線段垂直平分線的判定是解題的關鍵．25．如圖，是的兩條高，P是邊的中點，連接．(1)求證：是等腰三角形；(2)若，求的度數．【答案】(1)見解析(2)．【分析】（1）利用直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半可得，進而可得結論；（2）根據可得，利用等邊對等角得到，，然后利用三角形的內角和定理即可求得答案．【解析】（1）證明：∵是的兩條高，∴和是直角三角形，又∵P為的中點，∴，∴是等腰三角形；（2）解：∵，∴，∵P為的中點，∴，又∵，∴，，∴，，∴，又∵，，∴，∴，∴．【點睛】此題主要考查了直角三角形的性質以及等腰三角形的性質，三角內角和定理的應用，關鍵是掌握直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半．26．如圖，在中，邊的垂直平分線分別交，于點，，邊的垂直平分線分別交，于點，，，的延長線交于點．

(1)試判斷點是否在的垂直平分線上，并說明理由；(2)若，求的周長；(3)若，求的度數．【答案】(1)點在的垂直平分線上，證明見解析(2)(3)【分析】（1）連接，，，根據線段垂直平分線的性質可得，，從而可得，然后利用線段垂直平分線性質定理的逆定理即可解答.（2）根據線段垂直平分線的性質可得，，然后利用三角形的周長公式以及等量代換可得的周長，即可解答；（3）根據“等邊對等角”得，由三角形內角和可得的度數.【解析】（1）點在的垂直平分線上，理由如下：連接，，．∵，分別是，的垂直平分線，∴，，∴，∴點在的垂直平分線上；（2）∵，的垂直平分線分別交于點，，∴，，的周長；

（3）∵，∴，，∴，∵，∴，∵，∴，∴．【點睛】本題考查了線段垂直平分線的判定與性質，等腰三角形的性質，三角形內角和定理，根據題目的已知條件并結合圖形添加適當的輔助線是解題的關鍵．27．以的、為邊作和，且，，與相交于M，．(1)如圖1，求證：；(2)在圖1中，連接，則，；（都用含α的代數式表示）(3)如圖2，若，G、H分別是、的中點，求的度數．【答案】(1)見解析(2)；(3)【分析】（1）根據證明三角形全等即可；（2）連接，過點A作于P，于N，根據全等三角形的性質和對頂角相等求解即可；（3）連接，根據全等三角形的判定和性質求解即可．【解析】（1）證明：∵，∴，即，在和中，，∴；（2）解：∵，∴，∵，，∴，如圖3，連接，過點A作于P，于N，

∵，∴，，∴，∴，又∵，，∴平分，∴，∵∴．故答案為：；．（3）解：連接，

由（1）可得：，∴，，∵G、H分別是EC、BD的中點，∴，，∴，在和中，，∴，∴，，∴，∴，∵，∴．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質、三角形內角和定理和對頂角相等，解決本題的關鍵是掌握全等判定和性質．28．如圖1，在△ABD中，點E，F分別是AB和AD上的點，滿足AE=EF，連接EF并延長交BD延長線于點C．(1)若DC=DF=EF，求證：AB=BC；(2)如圖2，過B作BG⊥AD，垂足為G．（i）求證：∠ABG=∠GBD+∠C；（ii）如圖3，連接AC，若∠GBD=30°，AF=BD，△BDG的面積為4，求△AFC的面積．【答案】(1)見解析(2)（i）見解析；（ii）S△ACF＝8【分析】（1）先證明∠AEF＝∠CDF，然后證明△AEF≌△FDC（SAS），得到AF＝CF，進一步證明△ABD≌△CBF（ASA），即可證明AB＝BC；（2）（i）如圖1，延長BG交CE于H，先證明∠ABG＝∠FHG，再由∠FHG是△CBH的外角，得到∠FHG＝∠GBD+∠C，則∠ABG＝∠GBD+∠C；（ii）在AD上截取DN＝BD，連接BN，作CM⊥AD于M，先證明△BDN是等邊三角形，得到BN＝BD＝DN，∠BND＝∠BDN＝60°，則