山西省大同市20232024學年高三上學期第二次摸底（10月）數學（考試時間：90分鐘，滿分：100分）一、選擇題（共5小題，每小題4分，滿分20分）1.若復數$z=\frac{1+i}{1i}$，則$|z|=$（）A.$\sqrt{2}$B.1C.2D.$\frac{1}{\sqrt{2}}$2.已知函數$f(x)=ax^2+bx+c$，其中$a,b,c$為常數，且$f(1)=2,f(1)=6$，則$f(0)=$（）A.4B.5C.6D.73.在等差數列$\{a_n\}$中，若$a_1=3$，公差$d=2$，則$a_{10}=$（）A.21B.23C.25D.274.若直線$l$的方程為$2x+3y6=0$，則直線$l$與$x$軸的夾角為（）A.$30^\circ$B.$45^\circ$C.$60^\circ$D.$90^\circ$5.若函數$y=\ln(x^21)$的定義域為$(a,+\infty)$，則$a=$（）A.1B.0C.1D.2二、填空題（共5小題，每小題4分，滿分20分）1.若$\sin\theta=\frac{3}{5}$，且$\theta$是第二象限的角，則$\cos\theta=$_______。2.已知等比數列$\{b_n\}$中，$b_1=2$，公比$q=3$，則$b_4=$_______。3.若函數$y=x^33x^2+2$的一個零點為$x=1$，則其另外兩個零點之和為_______。4.若圓$C$的方程為$(x2)^2+(y+3)^2=4$，則圓$C$的圓心坐標為_______。5.若矩陣$A=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}$，則$A$的行列式值為_______。三、解答題（共3小題，每小題10分，滿分30分）1.已知函數$f(x)=x^22x+1$，求函數$f(x)$的最小值。2.已知等差數列$\{a_n\}$中，$a_1=3$，公差$d=2$，求$a_n$的通項公式。3.已知點$A(1,2)$，點$B(3,4)$，求直線$AB$的方程。四、證明題（共2小題，每小題10分，滿分20分）1.證明：對于任意實數$x$，有$x^2\geq0$。2.證明：在直角三角形中，勾股定理成立，即$a^2+b^2=c^2$，其中$a,b$為直角邊，$c$為斜邊。五、應用題（共3小題，每小題10分，滿分30分）1.某工廠生產一種產品，每件產品的成本為$200$元，售價為$250$元。若每月生產$x$件產品，則每月的總成本為$200x$元，每月的總收入為$250x$元。求每月的利潤。2.某學校組織一次捐款活動，共有$100$名學生參加。已知每個學生捐款的金額在$10$元到$50$元之間。求這次捐款活動的總金額。3.某商場進行促銷活動，所有商品打$8$折。已知某顧客購買了一件原價為$500$元的商品，求該顧客實際支付的金額。8.計算題（共3小題，每小題5分，滿分15分）1.計算極限limxrightarrow0fracsin3x2x。2.計算定積分int_0^1(3x22x1)dx。3.計算不定積分int(x34x23x)dx。9.化簡題（共3小題，每小題5分，滿分15分）1.化簡表達式fracx2x21。2.化簡表達式sqrt(a2b2)，其中a,b為實數。3.化簡表達式fracsin^2theta1cos^2theta。10.解答題（共3小題，每小題10分，滿分30分）1.解方程2x25x30。2.解方程組begincasesxy32xy1endcases。3.解不等式組begincasesx2y>1endcases。11.探究題（共2小題，每小題10分，滿分20分）1.探究函數f(x)x33x2的單調性和極值點。2.探究函數g(x)ax2bxc的圖像特征，其中a,b,c為常數。12.實際應用題（共3小題，每小題10分，滿分30分）1.某品牌手機的銷售量y與價格x的關系為y100025x，求當價格定為200元時的銷售量。2.某工廠生產一種產品，每件產品的成本為200元，售價為250元。若每月生產x件產品，則每月的總成本為200x元，每月的總收入為250x元。求每月的利潤。3.某商場進行促銷活動，所有商品打8折。已知某顧客購買了一件原價為500元的商品，求該顧客實際支付的金額。13.幾何題（共3小題，每小題5分，滿分15分）1.在直角坐標系中，點A(1,2)，點B(3,4)，求線段AB的長度。2.已知圓C的方程為x2y24x6y120，求圓C的半徑。3.已知橢圓E的方程為fracx24fracy291，求橢圓E的焦點坐標。14.綜合題（共3小題，每小題10分，滿分30分）1.已知函數f(x)x33x2，求函數f(x)的單調區間和極值點。2.已知等差數列an中，a13，公差d2，求an的前n項和。3.已知矩陣Abeginbmatrix1&23&4endbmatrix，求矩陣A的逆矩陣。15.創新題（共3小題，每小題10分，滿分30分）1.已知函數f(x)ax2bxc，其中a,b,c為常數，且f(1)2,f(1)6，求函數f(x)的表達式。2.已知等比數列bn中，b12，公比q3，求C的圓心坐標為。3.已知直線l的方程為2x3y60，求直線l與x軸的夾角。一、選擇題1.D2.B3.C4.A5.B二、填空題1.52.13.24.15.0三、解答題1.(2x1)202.(x1)(x3)03.(x2)204.(x1)(x2)05.(x3)20四、計算題1.62.103.15五、化簡題1.12.a2b23.tantheta六、解答題1.x11,x232.x2,y13.x<2,y>1七、探究題1.單調遞增區間(1,1)，極小值點x12.a>0時，開口向上；a<0時，開口向下八、實際應用題1.10002.5003.400九、幾何題1.sqrt102.23.(0,3),(0,3)十、綜合題1.單調遞增區間(1,+∞)，單調遞減區間(∞,1)，極小值點x12.Snn(2a1(n1)d)3.A1beginbmatrix2&11.5&0.5endbmatrix十一、創新題1.f(x)2x23x22.bn23n13.30°1.復數：掌握復數的四則運算和模的概念。2.函數：理解函數的定義域、值域和圖像特征。3.數列：熟悉等差數列和等比數列的通項公式和求和公式。4.極限：了解極限的定義