PAGEPAGE4第2講排列與組合基礎學問整合1．排列與排列數(1)排列從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素，eq\o(□,\s\up5(01))依據肯定的依次排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列．(2)排列數從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的eq\o(□,\s\up5(02))全部不同排列的個數，叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數，記作eq\o(□,\s\up5(03))Aeq\o\al(m,n).2．組合與組合數(1)組合從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素eq\o(□,\s\up5(04))合成一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合．(2)組合數從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的eq\o(□,\s\up5(05))全部不同組合的個數，叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數，記作eq\o(□,\s\up5(06))Ceq\o\al(m,n).3.排列數、組合數的公式及性質解決排列組合問題的“四項基本原則”(1)特別優先原則：假如問題中有特別元素或特別位置，優先考慮這些特別元素或特別位置．(2)先取后排原則：在既有取出又須要對取出的元素進行排列時，要先取后排，即完整地把須要排列的元素取出后，再進行排列．(3)正難則反原則：當干脆求解困難時，采納間接法解決問題．(4)先分組后安排原則：在安排問題中假如被安排的元素多于位置，這時要先進行分組，再進行安排．1．(2024·廈門模擬)5名男同學、6名女同學排成一排，要求男同學依次肯定且女同學依次也肯定，不同排法種數為()A．Ceq\o\al(5,11)B．2Ceq\o\al(5,11)C.eq\f(A\o\al(5,11),A\o\al(5,5))D.eq\f(A\o\al(6,11),A\o\al(6,6))答案A解析共11名同學排成一排有11個位置．從11個位置中選出5個位置，共有Ceq\o\al(5,11)種選法，每一種選法的5個位置讓男同學按著肯定依次去排，余下6個位置讓女同學按肯定依次去排．2．若原來站成一排的4個人重新站成一排，恰有一個人站在自己原來的位置上，則不同的站法種數為()A．4B．8C．12D．24答案B解析依據題意，分兩步考慮：第一步，先從4個人里選1人，其位置不變，其他3人都不站在自己原來的位置上，站法有Ceq\o\al(1,4)＝4(種)；其次步，對于都不站在自己原來的位置上的3個人，有2種站法．故不同的站法共有4×2＝8(種)，故選B.3．若某單位要邀請10位老師中的6位參與一個會議，其中甲、乙兩位老師不能同時參與，則邀請的不同方法有()A．84種B．98種C．112種D．140種答案D解析由題意分析不同的邀請方法有：Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(5,8)＋Ceq\o\al(6,8)＝112＋28＝140(種)．4．(2024·衡陽質檢)4位同學每人從甲、乙、丙3門課程中選修1門，則恰有2人選修課程甲的不同選法共有()A．12種B．24種C．30種D．36種答案B解析第一步選出2人選修課程甲有Ceq\o\al(2,4)＝6種方法；其次步支配剩余兩人從乙、丙中各選1門課程有2×2種選法，依據分步乘法計數原理，有6×4＝24種選法．5．甲、乙兩人從4門課程中各選修2門，則甲、乙所選的課程中至少有1門不相同的選法共有()A．30種B．36種C．60種D．72種答案A解析(1)若甲乙所選2門課程都不相同，則有Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,2)＝6種方法；(2)若甲乙所選2門課程有1門相同，先從4門課程中選擇1門相同的課程共有Ceq\o\al(1,4)種方法，再從剩余的3門課程中選擇2門課程安排給甲乙兩人共有Aeq\o\al(2,3)種方法，故此類共有Ceq\o\al(1,4)Aeq\o\al(2,3)種方法，所以一共有Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,2)＋Ceq\o\al(1,4)Aeq\o\al(2,3)＝30種方法．6．(2024·合肥調研)用數字0,1,2,3,4組成沒有重復數字且大于3000的四位數，這樣的四位數有()A．250個B．249個C．48個D．24個答案C解析①當千位上的數字為4時，滿意條件的四位數有Aeq\o\al(3,4)＝24(個)；②當千位上的數字為3時，滿意條件的四位數有Aeq\o\al(3,4)＝24(個)．由分類加法計數原理得全部滿意條件的四位數共有24＋24＝48(個)．故選C.核心考向突破考向一排列問題例1(1)(2024·佛山模擬)用數字0,1,2,3,4,5組成沒有重復數字的五位數，其中比40000大的偶數共有()A．144個B．120個C．96個D．72個答案B解析當五位數的萬位為4時，個位可以是0,2，此時滿意條件的偶數共有Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(3,4)＝48個；當五位數的萬位為5時，個位可以是0,2,4，此時滿意條件的偶數共有Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(3,4)＝72個，所以比40000大的偶數共有48＋72＝120個．選B.(2)某班要排出語文、數學、政治、英語、體育、藝術這六節課在周五的課程表，要求數學排在上午(前四節)，體育排在下午(后兩節)，則不同的排法種數是()A．720B．120C．144D．192答案D解析由題意要求數學排在上午(前四節)，體育排在下午(后兩節)，排法有Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(1,2)＝8(種)，然后排其余的4門課，排法有Aeq\o\al(4,4)＝24(種)，所以不同的排法種數是8×24＝192.(3)(2024·湖北黃岡模擬)在高三某班進行的演講競賽中，共有5位選手參與，其中3位女生，2位男生，假如2位男生不能連續出場，且女生甲不能排第一個，那么出場依次的排法種數為________．答案60解析2位男生不能連續出場的排法共有N1＝Aeq\o\al(3,3)×Aeq\o\al(2,4)＝72種，女生甲排第一個且2位男生不連續出場的排法共有N2＝Aeq\o\al(2,2)×Aeq\o\al(2,3)＝12種，所以出場依次的排法種數為N＝N1－N2＝60.觸類旁通排列應用問題分類與解法(1)對于有限制條件的排列問題，分析問題時有位置分析法、元素分析法，在實際進行排列時一般采納特別元素優先原則，即先支配有限制條件的元素或有限制條件的位置，對于分類過多的問題可以采納間接法．2對相鄰問題采納捆綁法、不相鄰問題采納插空法、定序問題采納倍縮法是解決有限制條件的排列問題的常用方法.即時訓練1.將甲、乙、丙、丁四名學生分到三個不同的班，每個班至少分到一名學生，且甲、乙兩名學生不能分到同一個班，則不同分法的種數為()A．18B．24C．30D．36答案C解析解除法．先不考慮甲、乙同班的狀況，將4人分成三組有Ceq\o\al(2,4)＝6種方法，再將三組同學安排到三個班級有Aeq\o\al(3,3)＝6種安排方法，再考慮甲、乙同班的安排方法有Aeq\o\al(3,3)＝6種，所以共有Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(3,3)－Aeq\o\al(3,3)＝30種分法．故選C.2．從5名學生中選出4名分別參與數學、物理、化學、生物競賽，其中甲不能參與生物競賽，則不同的參賽方案種數為()A．48B．72C．90D．96答案D解析依據題意，從5名學生中選出4名分別參與競賽，分兩種狀況探討：①選出的4人中沒有甲，不同的參賽方案有Aeq\o\al(4,4)＝24(種)；②選出的4人中有甲，由于甲不能參與生物競賽，則甲有3種選法，在剩余4人中任選3人，參與剩下的三科競賽，不同的參賽方案有Aeq\o\al(3,4)＝24(種)，則此時不同的參賽方案共有3×24＝72(種)．綜上，不同的參賽方案共有24＋72＝96(種)．故選D.3．(2024·天津高考)用數字1,2,3,4,5,6,7,8,9組成沒有重復數字，且至多有一個數字是偶數的四位數，這樣的四位數一共有________個(用數字作答)．答案1080解析①當組成四位數的數字中有一個偶數時，四位數的個數為Ceq\o\al(3,5)·Ceq\o\al(1,4)·Aeq\o\al(4,4)＝960.②當組成四位數的數字中不含偶數時，四位數的個數為Aeq\o\al(4,5)＝120.故符合題意的四位數一共有960＋120＝1080(個)．考向二組合問題例2(1)將7支不同的筆全部放入兩個不同的筆筒中，每個筆筒中至少放兩支筆，不同的放法有()A．92種B．112種C．82種D．132種答案B解析設有A，B兩個筆筒，筆放入A筆筒有四種狀況，分別為2支，3支，4支，5支，一旦A筆筒的放法確定，B筆筒的放法也隨之確定，且對同一筆筒的筆沒有依次要求，故總的放法為Ceq\o\al(2,7)＋Ceq\o\al(3,7)＋Ceq\o\al(4,7)＋Ceq\o\al(5,7)＝112(種)．(2)(2024·全國卷Ⅰ)從2位女生，4位男生中選3人參與科技競賽，且至少有1位女生入選，則不同的選法共有________種(用數字填寫答案)．答案16解析依據題意，沒有女生入選有Ceq\o\al(3,4)＝4種選法，從6位學生中隨意選3人有Ceq\o\al(3,6)＝20種選法，故至少有1位女生入選的不同選法共有20－4＝16種．(3)某學校開設校本選修課，其中人文類4門A1，A2，A3，A4，自然類3門B1，B2，B3，其中A1與B1上課時間一樣，其余均不沖突．一位同學共選3門，若要求每類課程中至少選一門，則該同學共有________種選課方式(用數字填空)．答案25解析當人文類選1門，自然類選2門時，共有Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(2,3)＝12種；當人文類選2門，自然類選1門時，共有Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(1,3)＝18種；而A1與B1上課時間一樣，所以A1與B1不能同時選，它們同時選的有Ceq\o\al(1,3)＋Ceq\o\al(1,2)＝5種，所以該同學共有12＋18－5＝25種選課方式．觸類旁通組合問題常有的兩類題型改變(1)“含有”或“不含有”某些元素的組合題型：“含”，則先將這些元素取出，再由另外元素補足；“不含”，則先將這些元素剔除，再從剩下的元素中去選取．2“至少”或“最多”含有幾個元素的組合題型：解這類題必需非常重視“至少”與“最多”這兩個關鍵詞的含義，謹防重復與漏解.用干脆法和間接法都可以求解，通常用干脆法，分類困難時，考慮逆向思維，用間接法處理.即時訓練4.(2024·山西康杰中學模擬)某地實行高考改革，考生除參與語文、數學、外語統一考試外，還需從物理、化學、生物、政治、歷史、地理六科中選考三科，要求物理、化學、生物三科至少選一科，政治、歷史、地理三科至少選一科，則考生的選考方法共有()A．6種B．12種C．18種D．24種答案C解析Ⅰ類：物理、化學、生物三科選一科，政治、歷史、地理三科中選兩科，有Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(2,3)＝9種選法；Ⅱ類：物理、化學、生物三科選兩科，政治、歷史、地理三科中選一科，有Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(2,3)＝9種選法，所以考生共有9＋9＝18種選考方法．故選C.5．(2024·陜西質檢)將2名老師、4名學生分成2個小組分別支配到甲、乙兩地參與社會實踐活動，每個小組由1名老師和2名學生組成，不同的支配方案共有()A．12種B．10種C．9種D．8種答案A解析支配人員去甲地可分為兩步：第一步支配老師，有Ceq\o\al(1,2)種方案；其次步支配學生，有Ceq\o\al(2,4)種方案．其余的老師和學生去乙地，所以不同的支配方案共有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,4)＝12(種)．故選A.6．某學校為了迎接市春季運動會，從5名男生和4名女生組成的田徑運動隊中選出4人參與競賽，要求男、女生都有，則男生甲與女生乙至少有1人入選的方法種數為________．答案86解析由題意，可分三類考慮：第1類，男生甲入選，女生乙不入選，則方法種數為Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(2,4)＋Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(1,4)＋Ceq\o\al(3,3)＝31；第2類，男生甲不入選，女生乙入選，則方法種數為Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(2,3)＋Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(1,3)＋Ceq\o\al(3,4)＝34；第3類，男生甲入選，女生乙入選，則方法種數為Ceq\o\al(2,3)＋Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(1,3)＋Ceq\o\al(2,4)＝21.所以入選的方法種數共有31＋34＋21＝86.考向三排列、組合的綜合應用角度1特別元素(位置)問題例3(1)(2024·福建漳州聯考)有六人排成一排，其中甲只能在排頭或排尾，乙、丙兩人必需相鄰，則滿意要求的排法有()A．34種B．48種C．96種D．144種答案C解析特別元素優先支配，先讓甲從頭、尾中選取一個位置，有Ceq\o\al(1,2)種選法，乙、丙相鄰，捆綁在一起看作一個元素，與其余三個元素全排列，最終乙、丙可以換位，故共有Ceq\o\al(1,2)·Aeq\o\al(4,4)·Aeq\o\al(2,2)＝96(種)．故選C.(2)從6名同學中選派4人分別參與數學、物理、化學、生物四科學問競賽，若其中甲、乙兩名同學不能參與生物競賽，則選派方案共有()A．180種 B．280種C．96種 D．240種答案D解析特別位置優先考慮，既然甲、乙都不能參與生物競賽，則從另外4人中選擇一人參與，有Ceq\o\al(1,4)種方案，然后從剩下的5人中選擇3人參與剩下3科，有Aeq\o\al(3,5)種方案，故共有Ceq\o\al(1,4)Aeq\o\al(3,5)＝4×60＝240種方案．故選D.角度2相鄰、相間問題例4(1)(2024·江西吉安聯考)某大廈一層有A，B，C，D四部電梯，現有3人在同一層乘坐電梯上樓，其中2人恰好乘坐同一部電梯，則不同的乘坐方式有()A．12種B．24種C．18種D．36種答案D解析元素相鄰利用“捆綁法”，先從3人中選擇2人坐同一電梯有Ceq\o\al(2,3)＝3種選法，再將2個“元素”支配坐四部電梯有Aeq\o\al(2,4)＝12種支配方法，則不同的乘坐方式有3×12＝36種．故選D.(2)(2024·貴陽模擬)3名男生和3名女生站成一排，任何2名男生都不相鄰，任何2名女生也不相鄰，共有多少種排法？解第1步，3名男生站成一排，有Aeq\o\al(3,3)種排法；第2步，插入女生，女生只能插入3名男生形成的前3個空當或后3個空當中，有2Aeq\o\al(3,3)種插法．由分步乘法計數原理可知，共有2Aeq\o\al(3,3)·Aeq\o\al(3,3)＝72種排法．角度3分組、安排問題例5(1)(2024·合肥模擬)現有三本相同的語文書和一本數學書，分發給三個學生，每個學生至少分得一本，不同分法的種數為()A．36B．9C．18D．15答案B解析安排方案為2,1,1，其中有且僅有一個學生拿兩本書，若他拿兩本語文書，則此時共有Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(2,2)種分法；若他拿一本語文書一本數學書，則此時共有Ceq\o\al(1,3)種分法．因此共有Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(2,2)＋Ceq\o\al(1,3)＝9種不同的分法．故選B.(2)若將6名老師分到3所中學任教，一所1名，一所2名，一所3名，則有________種不同的分法．答案360解析將6名老師分組，分三步完成：第1步，在6名老師中任取1名作為一組，有Ceq\o\al(1,6)種取法；第2步，在余下的5名老師中任取2名作為一組，有Ceq\o\al(2,5)種取法；第3步，余下的3名老師作為一組，有Ceq\o\al(3,3)種取法．依據分步乘法計數原理，共有Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(3,3)＝60種取法．再將這3組老師安排到3所中學，有Aeq\o\al(3,3)＝6種分法，故共有60×6＝360種不同的分法．觸類旁通解排列、組合綜合應用問題的思路即時訓練7.(2024·惠州二調)旅游體驗師小明