PAGEPAGE1考點22平面對量的概念及其線性運算1．若向量，滿意，，且，則與的夾角為A．B．C．D．【答案】A【解析】由于，故，解得，所以與兩個向量的夾角為，故選A.2．已知，且，，，則的取值范圍是()A．B．C．D．【答案】A3．已知平面對量的夾角為且，在中，，，為中點，則()A．B．C．6D．12【答案】A4．已知向量與共線且方向相同，則（）A．B．C．D．【答案】C【解析】向量與共線，∴t2﹣4＝0，解得t＝±2；又與方向相同，∴t＝2，∴＝（2，1），＝（4，2），∴＝（14，7），∴＝142+72＝245，又2﹣＝（0，0），∴＝0，∴＝245．故選：C．5．在直角三角形中，，，，在斜邊的中線上，則的最大值為（）A．B．C．D．【答案】B6．在中，，，，且是的外心，則（）A．B．C．D．【答案】D【解析】，由數量積的幾何意義知，，故.7．設向量，,則與垂直的向量的坐標可以是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】；可看出（4，6）?（﹣3，2）＝0；∴．故選：C．8．已知a＝(cosα，1，sinα)，b＝(sinα，1，cosα)，則向量a＋b與a－b的夾角為．【答案】90°9．已知空間三點A(1,1,1)、B(－1,0,4)、C(2，－2,3)，則eq\o(AB,\s\up7(→))與eq\o(CA,\s\up7(→))的夾角θ的大小是．【答案】120°【解析】eq\o(AB,\s\up7(→))＝(－2，－1,3)，eq\o(CA,\s\up7(→))＝(－1,3，－2)，eq\o(AB,\s\up7(→))·eq\o(CA,\s\up7(→))＝－7，|eq\o(AB,\s\up7(→))|＝eq\r(14)，|eq\o(CA,\s\up7(→))|＝eq\r(14)，∴cosθ＝eq\f(－7,\r(14)×\r(14))＝－eq\f(1,2)，∴θ＝120°.10．在中，，點在上，，，則__________．【答案】12【解析】由題意，依據向量的運算法則，可得，所以.11．在菱形ABCD中，若，則的值為______．【答案】12．若非零向量滿意，則__________.【答案】1【解析】結合可知，得到13．在三角形AOB中，已知，，，且，，則的值為______.【答案】【解析】因為，所以D為OB的中點，所以，所以，因為，，，所以14．已知向量，則在方向上的投影等于__________．【答案】【解析】向量，則向量在方向上的投影為：；故答案為．15．已知平面對量滿意，且，則向量的夾角為___【答案】故答案為：．16．已知向量，向量，若，則向量與的夾角為__________．【答案】【解析】，則向量的夾角為.17．已知向量，滿意，，則向量在方向上的投影為______．【答案】18．設向量，若單位向量滿意，則__________．【答案】【解析】由于，故，即，解得.19．邊長為6的正三角形中，點滿意，則的值為__________．【答案】3020.如圖，在棱長為a的正方體OABC-O1A1B1C1中，E，F分別是棱AB，BC上的動點，且AE＝BF＝x，其中0≤x≤a，以O為原點建立空間直角坐標系Oxyz.(1)寫出點E，F的坐標；(2)求證：A1F⊥C1E(3)若A1，E，F，C1四點共面，求證：eq\o(A1F,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(A1C1,\s\up7(→))＋eq\o(A1E,\s\up7(→)).【答案】(1)E(a，x,0)，F(a－x，a,0)．(2)見解析(3)見解析【解析】(1)E(a，x,0)，F(a－x，a,0)．(2)證明：∵A1(a,0，a)，C1(0，a，a)，∴eq\o(A1F,\s\up7(→))＝(－x，a，－a)，eq\o(C1E,\s\up7(→))＝(a，x－a，－a)，∴eq\o(A1F,\s\up7(→))·eq\o(C1E,\s\up7(→))＝－ax＋a(x－a)＋a2＝0，∴eq\o(A1F,\s\up7(→))⊥eq\o(C1E,\s\up7(→))，∴A1F⊥C1E.(3)證明：∵A1，E，F，C1四點共面，∴eq\o(A1E,\s\up7(→))，eq\o(A1C1,\s\up7(→))，eq\o(A1F,\s\up7(→))共面．選eq\o(A1E,\s\up7(→))與eq\o(A1C1,\s\up7(→))為在平面A1C1E上的一組基向量，則存在唯一實數對(λ1，λ2)，使eq\o(A1F,\s\up7(→))＝λ1eq\o(A1C1,\s\up7(→))＋λ2eq\o(A1E,\s\up7(→))，即(－x，a，－a)＝λ1(－a，a,0)＋λ2(0，x，－a)＝(－aλ1，aλ1＋xλ2，－aλ2)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x＝－aλ1，,a＝aλ1＋xλ2，解得λ1＝\f(1,2)，λ2＝1.,－a＝－aλ2，))于是eq\o(A1F,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(A1C1,\s\up7(→))＋eq\o(A1E,\s\up7(→)).21.如圖所示，已知空間四邊形ABCD的每條邊和對角線長都等于1，點E，F，G分別是AB，AD，CD的中點，計算：(1)eq