2025年高考第二次模擬考試高三數學（新高考Ⅱ卷）03·全解全析注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號等填寫在答題卡和試卷指定位置上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。第一部分（選擇題共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知集合，，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】求函數的定義域和值域求集合，再由集合的交運算求集合.【詳解】由，得，故.由，得，故，則.故選：B2．若復數滿足，則的虛部為（

）A． B． C．1 D．【答案】B【分析】首先求出進而得出，再根據虛部的概念即可得出答案.【詳解】由，得，得，所以，故的虛部為.故選：B3．一組數據的分位數是（

）A．10 B．12 C．4 D．3【答案】C【分析】應用百分位數定義求分位數.【詳解】將這組數據按從小到大的順序排列為，共10個數，所以，則這組數據的分位數為4.故選：C4．若非零向量滿足，則向量在上的投影向量為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】令，利用向量數量積的運算律可得，進而求投影向量.【詳解】令，且，所以，可得，所以向量在上的投影向量為.故選：A5．已知函數，若存在實數，使得對任意，恒有，則的最小正周期為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用二倍角余弦化簡函數解析式，根據、余弦函數的對稱中心求出的值，利用三角函數的最小正周期公式求出結果.【詳解】由，由存在實數，使得對任意，恒有，所以的圖象關于點對稱，所以，得，故的最小正周期為.故選：B6．已知雙曲線的左焦點為，過的直線與雙曲線的一條漸近線交于點，與雙曲線的右支交于點，若（為坐標原點），，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】用表示相關線段長，根據已知及點線距離公式、雙曲線定義得到的關系，利用雙曲線的離心率公式求出結果.【詳解】如圖，不妨令在第一象限，

因為，所以直線的方程為，又F?c,0，所以點到直線的距離為.因為，所以，故.設雙曲線的右焦點為，連接，由雙曲線的定義知，易得，在中，由余弦定理得，解得.故雙曲線的離心率.故選：D7．已知連續函數的定義域為，若，且，則函數的圖象的對稱軸為直線（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】令得，應用特殊值及排除法確定正確選項.【詳解】由題設，令，則，且，若，則，顯然，A排除；若，則，顯然，B排除；若，則，顯然，C排除；故選：D8．斐波那契數列又稱黃金分割數列，因數學家萊昂納多?斐波那契以兔子繁殖為例子而引入，故又稱為“兔子數列”.斐波那契數列用遞推的方式有如下定義：，.則（

）A．0 B．1 C．2024 D．2025【答案】A【分析】將已知等式向所求式轉化，在的等號兩邊同時乘以，構造包含平方的等式，利用累加法求解.【詳解】由，得，即，所以，，，，，以上各式相加得，所以.故選：A二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．若，，則下列不等式正確的是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】利用不等式及對數性質判斷A；作差法判斷B；特殊值法判斷C；構造，利用導數得到判斷D.【詳解】A：因為，則，，所以，故，正確.B：由，即，由，得，所以，正確.C：令，，則，錯誤.D：令，則，故時，時，所以在上遞減，在上遞增，故，即，而，所以，正確.故選：ABD10．已知函數，則下列說法正確的是（

）A．若，則的解集為B．若，則函數有2個零點C．若的值域為R，則的取值范圍為D．【答案】ACD【分析】分區間求出不等式的解集，判斷A；利用導數研究函數在0,+∞上的單調性，然后作出函數在0,+∞上的大致圖象及直線，數形結合判斷B、C；利用及函數的單調性判斷D.【詳解】A：若，當時，由，得，由，得，故不等式解集為，正確.B：當時，，則，當時，f'x<0，當時，f故在上單調遞減，在上單調遞增，又，且當時，，當時，，函數的大致圖象如圖所示，數形結合知，當時，只有1個零點，若，則時，沒有零點，所以，函數只有1個零點，錯誤.C：根據B知，函數在0,+∞上的值域為，若的值域為R，則在上的值域應包含，則，得，又，故的取值范圍為，正確.D：由題意知，由于，在上單調遞增，所以，則，正確.故選：ACD11．如圖，在棱長為2的正方體中，點是線段的中點，是底面上一動點（異于點），則下列結論正確的是（

）

A．直線與所成角的正切值為B．直線與平面所成角的余弦值的最大值為C．若，則動點的軌跡長度為D．若，則的軌跡是圓的一部分【答案】AC【分析】由題設知即與所成的角，進而求其正切值判斷A；分析結論，問題化為求直線與平面所成角的正切值的最小值，根據已知確定直線與平面所成角的平面角，進而求其正切值最小值，即可得余弦最大值判斷B；根據已知得點軌跡以為圓心，為半徑的圓的，判斷C；利用橢圓的定義判斷D.【詳解】A：由題得，故即與所成的角，如圖1，連接，易得，故，正確.

B：直線與平面所成角的余弦值最大時，其所成的角最小，即正切值最小，所以原問題轉化為求直線與平面所成角的正切值的最小值.由題意知，直線與線段始終有交點，設該交點為在平面內的射影為，如圖2，連接，則即直線與平面所成的角.根據正方體的結構特征，知是邊長為的正三角形，且三點共線，為的中心且為線段上靠近點的三等分點，所以.因為，所以最大時，即點與點（或）重合時，直線與平面所成角的正切值最小.連接，則，故，則，錯誤.C：連接，由平面，且平面，所以，在中，，所以點軌跡以為圓心，為半徑的圓的，故動點的軌跡長度為，正確.D：由于，且，所以點軌跡以為焦點的橢球面的一部分，錯誤.故選：AC第二部分（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．已知點在拋物線上，則拋物線上的點到其焦點距離的最小值為．【答案】/0.0625【分析】根據點在拋物線上求出拋物線的標準方程，利用拋物線的定義及性質求出結果.【詳解】因為點1,4在拋物線上，所以，故拋物線的標準方程為，由拋物線的定義知，拋物線上的點到其焦點的距離等于到其準線的距離，因為拋物線準線方程為,所以拋物線上點到焦點距離等于,因為,所以，故拋物線上的點到其焦點距離的最小值為.故答案為：13．一個大型電子設備制造廠有和兩條生產線負責生產電子元件.已知生產線的產品合格率為，生產線的產品合格率為，且該工廠生產的電子元件中來自生產線，來自生產線.現從該工廠生產的電子元件中隨機抽取一個進行檢測，則該電子元件在檢測不合格的條件下來自生產線的概率是．【答案】【分析】根據給定條件，利用全概率公式及貝葉斯公式求解作答.【詳解】隨機抽取一個電子元件，設“抽取的電子元件不合格”，“抽取的電子元件來自生產線”，“抽取的電子元件來自生產線”，則，，，.由全概率公式得故.故答案為：.14．若不等式恒成立，則實數的取值范圍是．【答案】【分析】應用特殊值結合不等式恒成立得的取值范圍為，再證明時不等式恒成立，即可得答案.【詳解】由題，當時恒成立，即恒成立，函數在定義域上為增函數且，故的取值范圍為.下面證明：當時不等式恒成立.令，只需證恒成立，因為，所以在上單調遞增，故，令，則只需證，易知，令，得，當時，，單調遞增；當時，，單調遞減.故，得證.所以實數的取值范圍是.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步棸。15．（13分）在銳角三角形中，分別為內角所對的邊，且.(1)求角；(2)若，求周長的取值范圍.【解析】1）由題意得，...........................................................（1分）則由正弦定理得，...........................................................（2分）由于，所以，所以，所以...................................................（4分）由于，所以，得.又，故....................................................................................................................................（6分）（2）根據，得，，..............................................（7分）則的周長為，.........（9分）由為銳角三角形，得，所以，.....................................................（10分）則，，..............................................................................................................（11分）所以，..............................................................................................................（12分）故周長的取值范圍是.........................................................................................（13分）16．（15分）某商場為了吸引顧客，舉辦了一場抽獎活動，抽獎箱中有大小相同的紅、黃、藍、綠四種顏色的球各5個，規定顧客每次消費滿500元即可獲得一次抽獎機會，每次抽獎從抽獎箱中隨機摸出3個球，然后根據摸出的球的顏色獲得相應的獎金（單位：元）：若摸出的3個球顏色完全相同，則獲得一等獎，獎金100元；若摸出的3個球顏色均不相同，則獲得二等獎，獎金50元；若摸出的3個球中有2個球的顏色相同，則獲得三等獎，獎金20元.(1)記隨機變量為顧客抽獎一次獲得的獎金金額，求的分布列及數學期望（數學期望精確到0.01）；(2)假設每位顧客最多只抽獎一次，現從所有參與抽獎的顧客中隨機抽取3人，求3人中恰有2人的獎金金額為20元的概率.【解析】（1）由題意可知隨機變量的所有可能取值為.，，，故隨機變量的分布列為1005020...................................................................................................................................（6分）隨機變量的數學期望........................................（8分）（2）由（1）知若從所有參與抽獎的顧客中隨機抽取1人，則這個人的獎金金額為20元的概率為，獎金金額為50元或100元的概率為，...................................................................................................（11分）故若從所有參與抽獎的顧客中隨機抽取3人，這3人中恰有2人的獎金金額為20元的概率為..............................................................................................................................（15分）17．（15分）如圖1，直角梯形中，，，，，，為上靠近的三等分點，將沿翻折至，且平面平面，，如圖2.(1)求證：；(2)求二面角的余弦值.【解析】（1）在題圖1中，取的中點，連接，則，因為，，，所以四邊形為正方形，則.在題圖2中，連接，則是以為底邊的等腰三角形，由題知，則，所以，所以，...............................................（2分）因為平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以..........................................................................（4分）又，且，，平面，所以平面.........................................（6分）由于平面，所以................................................................................................................（7分）（2）如圖，以為坐標原點，所在直線分別為軸，過點與平面垂直的直線為軸建立空間直角坐標系，則，，，，，.........................................（8分）故，，，由于，所以，則......................................................（9分）設平面的法向量為，則，即，令，則，所以................................................................................................（11分）設平面的法向量為，則，即，令，則，所以..........................................................................................（13分）故，易知二面角為鈍二面角，所以二面角的余弦值為.....................................（15分）18．（17分）已知橢圓，直線與交于點，過橢圓上一點（非頂點）作的切線與直線和分別交于點.(1)若，求取得最小值時橢圓的標準方程；(2)若橢圓的右頂點為，直線與軸交于點，直線與直線交于點，直線，，的斜率分別為，，，求證：，，成等差數列.【解析】（1）由于在橢圓上，所以，..........................................................................（1分）由，得，..................................................................................................................（3分）當且僅當，即時，取得最小值.............................................................................（4分）故取得最小值時橢圓的標準方程為.............................................................................（5分）（2）根據不是橢圓的頂點可知直線的斜率存在且不為0，

設直線為y=kx+mk≠0,m≠0，所以，...............................（6分）由，得由于直線與橢圓相切，所以，即，得，..............................（8分）所以（*）式可化為，即，得，故.........（9分）由題，得，所以，故直線的方程為，令，得，故.所以，....................................................................................（11分）所以直線的方程為，令，得，所以.易知，由于，所以........................................................（13分）設，故，，，.......................................................（14分）故，.......................................................（16分）故成等差數列......................................................................................................（17分）19．（17分）已知函數.(1)若，求函數的單調區間.(2)若有兩個零點.（i）求實數的取值范圍；（ii）求證：．【解析】（1）當時且，則..................................（1分）令，則，當時，，單調遞減，當時，，單調遞增，............................................................................................（2分）故，即，則在上單調遞增，.................................................（3分）故的單調遞增區間是，無單調遞減區間...................................................................................（4分）（2）（i）由題意知，令，則有兩個零點.................................................（5分），令，得，當時，，單調遞減，當時，，單調遞增，故，.....