2022學年第一學期高三第一次模擬考試

數學

考生注意：

1.本試卷共4頁，21道試題,滿分150分,考試時間120分鐘.

2.本試卷分設試卷和答題紙.試卷包括試題與答題要求.作答必須涂（選擇題）或寫（非選擇題）

在答題紙上，在試卷上作答一律不得分.

3.答卷前，務必用鋼筆或圓珠筆在答題紙正面清楚地填寫姓名、準考證號碼等相關信息.

一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，其中1?6題每題4分，7?12題每題5分）

【考生應在答題紙相應編號的空格內宜.接填寫結果

1.已知集合A={X（）vxV4p?={-L2,3,4,5}JMAc8=

9Y4-I

2.不等式--<0的解集為___________

x—2

3.已知復數zx=2+由,Z2=3+i,若zm是純虛數，則實數。=.

4.已知對數函數），=log.>0,。w1）的圖像經過點（4,2）,則實數。.

5.設等比數列{q}滿足4+4=Tq-4=-3,則q=.

6.已知方程組JX+my=2無解，則實數機的值等于_________.

wx+16y=8

7.已知角a的終邊與單位圓x2+y2=\交于點嗚，）'）則sin（>a卜

8.將半徑為2的半圓形紙片卷成一個無蓋的圓錐筒，則該圓錐筒的高為.

9.已知函數=J則曲線y=在點尸（［,［）處的切線方程是

5-著卜（0>0）,若/（^）</閨對任意的實數x都成立，

10.設函數/(x)=sin

則切的最小取值等于

11.在邊長為2的正六邊形A8CDE尸中，點P為其內部或邊界上一點，則AZZ3月的取值范

圍為.

12.己知橢圓口與雙曲線上的離心率互為倒數,且它們有共同的焦點耳、鳥,P是J與匚

71

在第一象限的交點，當/月「居==時,雙曲線「I的離心率等于__________.

6

二、選擇題（本大題共有4題，滿分18分，其中13、14題每題4分，15、16題每題5分）

【每題有且只有一個正確答案，考生應在答題紙的相應編號匕將代表答案的小方格涂黑,

選對得滿分，否則一律得零分.】

13.下列函數中，既是奇函數又在區間（0,1）上是嚴格增函數的是（）

A.y=\/xB.y=-x3C.y=IgvD.

y=sinx

14.設x￡R則＞2”是“工/1”的()

x

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

sinx-g，若對于任意a51|,在區間［0,〃?］上總存在唯一

15.設函數〃x)=€

\6）~6

確定的夕，使得/（a）+/（//）=0,則m的最小值為（)

A—D.

6吟曜

16.己知曲線C:（x2+y2＞）=\6x2y2，命題p:曲線C僅過一個橫坐標與縱坐標都是整數

的點；命題“：曲線C上的點到原點的最大距離是2.則下列說法正確的是（）

A.p、“都是真命題Bp是真命題，4是假命題

C.〃是假命題，夕是真命題D.〃、q都是假命題

三、解答題(本大題共有5題，滿分78分)

【解答下列各胭必須在答題紙相應編號的規定區域內寫出必耍的步驟.】

17.(本題滿分14分，本題共有2個小題，第(1)小題滿分7分，第(2)小題滿分7分)

如圖，長方體A3co—中，A8==4。與底面43co所成的角為45。

(I)求四棱錐A-ABC。的體積；

(2)求異面直線48與BR所成角的大小.

18.(本期滿分15分，本題具有2個小題，第(1)小題滿分7分，第(2)小題滿分8分)

已知函數/'(x)=sinx?cosx-sin2x+；,

(1)求/(力的單調遞增區訶：

(2)在AABC中，。、〃、c為角A、B、。的對邊，且滿足bcos2A=hcosA-asinB，且

0<A<工，求/(B)的取值范圍.

19、(本題滿分15分，本題共有3個小題，第(1)小題滿分3分，第(2)小題滿分5分，第(3)小

題滿分7分)

某公園有一坎如圖所示的區域。4C9,該場地由線段04、OB、4c及曲線段

圍成.經測量，ZAOB=90。，OA=03=100米，曲線8C是以0B為對稱軸的拋物線的一

部分，點C到。4、08的距離都是5()米，現擬在該區域建設一個矩形游樂場OEOF,其

中點D在線段AC或曲線段BC上，點E、F分別在線段0A、0B上，且該游樂場最短邊長不低

于30米.設=大米，游樂場的面積為S平方米.

(1)試建立平面直角坐標系，求曲線段6c的方程；

(2)求面積S關于x的函數解析式S=f(x);

(3)試確定點D的位置，使得游樂場的面積S最大.(結果精確到0.1米)

E

20、(本題滿分16分,本題共有3個小題，第(1)小題滿分4分,第(2)小題滿分5分,第(3)小題

滿分7分)

已知橢圓一+)，2=1(。＞1)的右焦點為尸，左右頂點分別為A、B,直線/過點B

a~

且與x軸垂直，點P是橢圓上異于A、B的點,直線AP交直線/于點D.

(I)若石是橢圓的上頂點，且石戶是直角三角形，求橢圓的標準方程；

(2)若。=2,ZPAB=45°,求APAF的面積；

(3)判斷以8□為直徑的圓與直線尸產的位置關系，并加以證明.

21.(本題滿分18分，本題共有3個小題，第(I)小題滿分4分，第(2)小題滿分6分，第⑶小題

滿分8分)

已知數列｛〃“｝滿足-。：+但《+]—。周。=1,2，…，〃一2).

⑴若數列｛%｝的前4項分別為4,2,%」,求4的取值范圍；

⑵已知數列｛%｝中各項互不相同.令

勾=%一“|(加=1，2,?一,〃一1),

求證：數列｛七｝是等差數列的充要條件是數列｛0｝是常數列；

(3)己知數列｛。“｝是mkmwN且m>3)個連續正整數1,2,...,相的一個排列.

工普同一4」=m+2,若求

〃？的所有取值.

崇明區2022學年第一學期高三第一次模擬考試參考答案及評分標準

一、填空題

1.{2,3,4};2.3.6;4.2;5.-8;6.

-4；

7.g;8.73;9.y=2x-\;10.2;ll.[-4J2];

12.2+6

二、選擇題

13.DJ4.A;15,B;16.A.

三、解答題

17.解(1)因為4H，平面A8CO,所以N&C4是AC與底面4BCO所成的角

所以ZAG4=45。.............................2分

所以A1A=2............................4分

14

所以匕TBCD=QS/=......................................................7分

⑵聯結3D,則BO//BQ擊

所以NA出。就是異面直線AB與BQi所成的角...........3分

△AJ3D中,/\B=AD=R,BD=2

/.八AB^BD2-^2V6小

所以cosZABD=---------------=—...........6分

"2\BBD6

所以異面直線A必與AQi所成角的大小為arccos，@..........7分

6

18.解⑴由題意/(x)=gsin2x-g(l-cos2x)+,

I.-1f、立".(c冗

=—sin2x+—cos2x=——sin2x+—,5分

222L4J

由2k---2.x+—^H—(攵eZ),

解得〃乃一包工工工左乃+三,

88

所以/(x)單調遞增區間為k冗;k冗+三(ZEZ)

7分

(2)由正弦定理，得sinBcoslA=sinBcosA-sinAsinB,

因為在三角形中工0,所以cos2A=cosA-sinA,

即(c、osA-sin^^cosA+sinA-1)=02分

當cosA=A時,A=&,

4

當cosA-\-sinA=1時，cos2A+sin2A+IsinAcosA=1,5/7140

cosA=0,A=—,

2

冗jr

由于0cA〈一，所以A=—,5分

24

故()<4<:乃,

「兀cn717萬

又一<2B+一<—,

444

—sinf2B+-71l

所以-1Wsin2B+-Wl,由/(B)=

I4j2I4J

所以/(B)的取值范圍是8分

2'2

19.解(1)以。為坐標原點，。4、。8所在直線分別為X軸、)，軸建立平面直角坐標系，如

圖所示，則A(1(X),O),C(5O,5O),8(0,60),

設曲線段8C所在拋物線的方程為y=ax2+b(a<0),

由題意可.知，點8(0,100)和C(5O,5O)在此拋物線上，

故。=-0.02/=100

所以曲線段的方程為：y=^()<x<)............................4分

(2)由題意，線段AC的方程為：y=-x+I(X)(5O<x<i(X))

當點D在曲線段BC上時，5=M-0Q2x?+100)(30<A<50)

當點D在線段AC上時，S=x(-x+l00)(50<x<?)

,、x(-0.02x2+100),30<x<50,

所以/(X)=<<)................................4分

x(-x+100),50<x<7().

⑶當3OKRK5O時，r(x)=-0.06x?+100,令-0.06x?+l00=0,得

50>/65076,.

%=—^―,%=一——(舍去)

當不￡30,^^)時，/'(x)>0;當工￡^^,50]時"'(x)v0.

因此當x=^-時，S=/[”遐|J。。。而是極大值也是最大

3I3J9

值....................4分

當50VxM70時，/(x)=—(工一50)2+2500

當x=50時，S=/(50)=2500是最人值...........6分

因為甯j

所以犬=當@時,S取得最大值，此時20()

"T

所以當點D在曲線段BC上且其到OA的距離約為66.7米時，游樂場的面積S最大.....7分

20.解⑴由題意,A(一兄0),尸(c,O)(c>O),E(O,l)

由題意，NA稗=90。,故￡￡石井=0,所以ac=l

又。2=02+1,所以/=匕正，

2

2

所以橢圓的標準方程為一■jh+y?=1................................4分

1+V5

2

2

(2)當。=2時,橢圓方程為2+y2=1,

4

由對稱性，不妨設點尸在x軸上方，則直線AP的方程為y=x+2,代入橢圓方程，得

5/+16x+12=0,解得用二一2(舍去)，x2=--,所以《一9,3.................................3

5v55J

分

所以SA卬=..................5分

JJ

2

(3)設則/+3=1

直線AP的方程為)，=^^(x+4),所以2組］,BD中點加(〃,’5」、

I/+引I%+婦

直線PF方程為%(x-c)一(.q-c)y=0......................3分

點M到直線PF的距離d=-----------1。—

自十(人「cP

("<)(.7+々)一國—耳.4/一5

所以以BO為直徑的圓與直線尸尸相切.......................................7分

21.解(1)由題意,2引2—a目1—%］，解得6>4.................................4分

（2）必要性：若數列｛4｝是等差數列，設公差為d,

則鬣=|4一4篇=同，所以數列他〃｝是常數列.......................2分

充分性：若數列｛/%｝是常數列，

則0=b；=1,2,...,/!-2）,即\am-6向|=|--%+21（m=12…，〃一2）.

所以一《向=4向一勺+2或4〃-4向=-（q向-q“+2）?

因為數列｛〃”｝的各項互不相同,所以am—cim+l=-4