/專題14解直角三角形一．選擇題1．（2022·廣西貴港）如圖，某數學興趣小組測量一棵樹的高度，在點A處測得樹頂C的仰角為，在點B處測得樹頂C的仰角為，且A，B，D三點在同一直線上，若，則這棵樹的高度是（

）A． B． C． D．2．（2022·廣西貴港）如圖，在網格正方形中，每個小正方形的邊長為1，頂點為格點，若的頂點均是格點，則的值是（

）A． B． C． D．3．（2022·福建）如圖，現有一把直尺和一塊三角尺，其中，，AB＝8，點A對應直尺的刻度為12.將該三角尺沿著直尺邊緣平移，使得△ABC移動到，點對應直尺的刻度為0，則四邊形的面積是（

）A．96 B． C．192 D．4．（2022·廣西）如圖，某博物館大廳電梯的截面圖中，AB的長為12米，AB與AC的夾角為，則高BC是（

）A．米 B．米 C．米 D．米5．（2022·貴州畢節）如圖，某地修建一座高的天橋，已知天橋斜面的坡度為，則斜坡的長度為（）A． B． C． D．6．（2022·黑龍江牡丹江）小明去爬山，在山腳看山頂角度為30°，小明在坡比為5∶12的山坡上走1300米，此時小明看山頂的角度為60°，求山高(

)A．(600－250)米B．(600－250)米C．(350＋350)米D．500米7．（2022·湖北十堰）如圖，坡角為α的斜坡上有一棵垂直于水平地面的大樹AB，當太陽光線與水平線成45°角沿斜坡照下，在斜坡上的樹影BC長為m，則大樹AB的高為（

）A． B． C． D．8．（2022·湖北荊州）如圖，在平面直角坐標系中，點A，B分別在x軸負半軸和y軸正半軸上，點C在OB上，，連接AC，過點O作交AC的延長線于P．若，則的值是（

）A． B． C． D．39．（2022·廣西玉林）如圖，從熱氣球A看一棟樓底部C的俯角是(

)A． B． C． D．10．（2022·遼寧）如圖，在矩形中，，分別以點A和C為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧相交于點M和N，作直線分別交于點E，F，則的長為（

）A． B． C． D．11．（2022·福建）如圖所示的衣架可以近似看成一個等腰三角形ABC，其中AB＝AC，，BC＝44cm，則高AD約為（

）（參考數據：，，）A．9.90cm B．11.22cm C．19.58cm D．22.44cm12．（2022·湖北武漢）由4個形狀相同，大小相等的菱形組成如圖所示的網格，菱形的頂點稱為格點，點A，B，C都在格點上，∠O=60°，則tan∠ABC=（

）A． B． C． D．二．填空題13．（2022·黑龍江綏化）定義一種運算；，．例如：當，時，，則的值為_______．14．（2022·湖南）我國魏晉時期的數學家趙爽在為天文學著作《周髀算經》作注解時，用4個全等的直角三角形和中間的小正方形拼成一個大正方形，這個圖被稱為“弦圖”，它體現了中國古代數學的成就．如圖，已知大正方形的面積是100，小正方形的面積是4，那么__．15．（2022·遼寧）如圖，為射線上一點，為射線上一點，．以為邊在其右側作菱形，且與射線交于點，得；延長交射線于點，以為邊在其右側作菱形，且與射線交于點，得；延長交射線于點，以為邊在其右側作菱形，且與射線交于點，得；…，按此規律進行下去，則的面積___________．16.（2022·山東青島）如圖，已知的平分線交于點E，且．將沿折疊使點C與點E恰好重合．下列結論正確的有：__________（填寫序號）①②點E到的距離為3③④17．（2022·廣西桂林）如圖，某雕塑MN位于河段OA上，游客P在步道上由點O出發沿OB方向行走．已知∠AOB＝30°，MN＝2OM＝40m，當觀景視角∠MPN最大時，游客P行走的距離OP是_____米．18．（2022·貴州黔東南）如圖，校園內有一株枯死的大樹，距樹12米處有一棟教學樓，為了安全，學校決定砍伐該樹，站在樓頂處，測得點的仰角為45°，點的俯角為30°，小青計算后得到如下結論：①米；②米；③若直接從點處砍伐，樹干倒向教學樓方向會對教學樓有影響；④若第一次在距點的8米處的樹干上砍伐，不會對教學樓造成危害.其中正確的是_______．（填寫序號，參考數值：，）三．解答題19．（2022·遼寧錦州）某數學小組要測量學校路燈的頂部到地面的距離，他們借助皮尺、測角僅進行測量，測量結果如下：測量項目測量數據從A處測得路燈頂部P的仰角從D處測得路燈頂部P的仰角測角儀到地面的距離兩次測量時測角儀之間的水平距離計算路燈頂部到地面的距離約為多少米?（結果精確到0.1米．參考數據；）20．（2022·山東臨沂）如圖是一座獨塔雙索結構的斜拉索大橋，主塔采用倒“Y”字形設計，某學習小組利用課余時間測量主塔頂端到橋面的距離．勘測記錄如下表：活動內容測量主塔頂端到橋面的距離成員組長：×××

組員：××××××××××××測量工具測角儀，皮尺等測量示意圖說明：左圖為斜拉索橋的側面示意圖，點A、C，D，B在同一條直線上，，點A，C分別與點B，D關于直線EF對稱測量數據的大小28°AC的長度84mCD的長度12m請利用表中提供的信息，求主塔頂端E到AB的距離（參考數據：，，）．21．（2022·山東聊城）我市某轄區內的興國寺有一座宋代仿木樓閣式空心磚塔，塔旁有一棵唐代古槐，稱為“宋塔唐槐”（如圖①）．數學興趣小組利用無人機測量古槐的高度，如圖②所示，當無人機從位于塔基B點與古槐底D點之間的地面H點，豎直起飛到正上方45米E點處時，測得塔AB的頂端A和古槐CD的頂端C的俯角分別為26.6°和76°（點B，H，D三點在同一直線上）．已知塔高為39米，塔基B與樹底D的水平距離為20米，求古槐的高度（結果精確到1米）．（參考數據：，，，，，）22．（2022·內蒙古通遼）某型號飛機的機翼形狀如圖所示，根據圖中數據計算的長度（結果保留小數點后一位，）.23．（2022·湖南）計算：．24．（2022·湖南）閱讀下列材料：在中，、、所對的邊分別為、、，求證：．證明：如圖1，過點作于點，則：在中，CD=asinB在中，根據上面的材料解決下列問題：(1)如圖2，在中，、、所對的邊分別為、、，求證：；(2)為了辦好湖南省首屆旅游發展大會，張家界市積極優化旅游環境．如圖3，規劃中的一片三角形區域需美化，已知，，米，求這片區域的面積．（結果保留根號．參考數據：，25．（2022·黑龍江大慶）如圖，為了修建跨江大橋，需要利用數學方法測量江的寬度．飛機上的測量人員在C處測得A，B兩點的俯角分別為和．若飛機離地面的高度為，且點D，A，B在同一水平直線上，試求這條江的寬度（結果精確到，參考數據：）26．（2022·湖南郴州）如圖是某水庫大壩的橫截面，壩高，背水坡BC的坡度為．為了對水庫大壩進行升級加固，降低背水坡的傾斜程度，設計人員準備把背水坡的坡度改為，求背水坡新起點A與原起點B之間的距離．（參考數據：，．結果精確到0.1m）27．（2022·海南）無人機在實際生活中應用廣泛．如圖8所示，小明利用無人機測量大樓的高度，無人機在空中P處，測得樓樓頂D處的俯角為，測得樓樓頂A處的俯角為．已知樓和樓之間的距離為100米，樓的高度為10米，從樓的A處測得樓的D處的仰角為（點A、B、C、D、P在同一平面內）．(1)填空：___________度，___________度；(2)求樓的高度（結果保留根號）；(3)求此時無人機距離地面的高度．28．（2022·遼寧）如圖，一艘貨輪在海面上航行，準備要停靠到碼頭C，貨輪航行到A處時，測得碼頭C在北偏東60°方向上．為了躲避A，C之間的暗礁，這艘貨輪調整航向，沿著北偏東30°方向繼續航行，當它航行到B處后，又沿著南偏東70°方向航行20海里到達碼頭C．求貨輪從A到B航行的距離（結果精確到0.1海里．參考數據：sin50°≈0.766，cos50°≈0.643，tan50°≈1.192）．29．（2022·四川遂寧）數學興趣小組到一公園測量塔樓高度．如圖所示，塔樓剖面和臺階的剖面在同一平面，在臺階底部點A處測得塔樓頂端點E的仰角，臺階AB長26米，臺階坡面AB的坡度，然后在點B處測得塔樓頂端點E的仰角，則塔頂到地面的高度EF約為多少米．（參考數據：，，，）30．（2022·四川廣安）八年級二班學生到某勞動教育實踐基地開展實踐活動，當天，他們先從基地門口A處向正北方向走了450米，到達菜園B處鋤草，再從B處沿正西方向到達果園C處采摘水果，再向南偏東37°方向走了300米，到達手工坊D處進行手工制作，最后從D處回到門口A處，手工坊在基地門口北偏西65°方向上．求菜園與果園之間的距離．（結果保留整數）參考數據：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.7531．（2022·內蒙古呼和浩特）“一去紫臺連朔漠，獨留青冢向黃昏”，美麗的昭君博物院作為著名景區現已成為外地游客到呼和浩特市旅游的打卡地．如圖，為測量景區中一座雕像的高度，某數學興趣小組在處用測角儀測得雕像頂部的仰角為，測得底部的俯角為．已知測角儀與水平地面垂直且高度為1米，求雕像的高．（用非特殊角的三角函數及根式表示即可）32．（2022·貴州銅仁）為了測量高速公路某橋的橋墩高度，某數學興趣小組在同一水平地面C、D兩處實地測量，如圖所示．在C處測得橋墩頂部A處的仰角為和橋墩底部B處的俯角為，在D處測得橋墩頂部A處的仰角為，測得C、D兩點之間的距離為，直線、在同一平面內，請你用以上數據，計算橋墩的高度．（結果保留整數，參考數據：）33．（2022·貴州遵義）如圖1所示是一種太陽能路燈，它由燈桿和燈管支架兩部分構成如圖2，是燈桿，是燈管支架，燈管支架與燈桿間的夾角．綜合實踐小組的同學想知道燈管支架的長度，他們在地面的點處測得燈管支架底部的仰角為60°，在點處測得燈管支架頂部的仰角為30°，測得m，m（，，在同一條直線上）．根據以上數據，解答下列問題：(1)求燈管支架底部距地面高度的長（結果保留根號）；(2)求燈管支架的長度（結果精確到0.1m，參考數據：）．34．（2022·山東煙臺）如圖，某超市計劃將門前的部分樓梯改造成無障礙通道．已知樓梯共有五級均勻分布的臺階，高AB＝0.75m，斜坡AC的坡比為1：2，將要鋪設的通道前方有一井蓋，井蓋邊緣離樓梯底部的最短距離ED＝2.55m．為防止通道遮蓋井蓋，所鋪設通道的坡角不得小于多少度？（結果精確到1）（參考數據表）計算器按鍵順序計算結果（已精確到0.001）11.3100.00314.7440.00535．（2022·湖北恩施）如圖，湖中一古亭，湖邊一古柳，一沉靜，一飄逸、碧波蕩漾，相映成趣．某活動小組賞湖之余，為了測量古亭與古柳間的距離，在古柳A處測得古亭B位于北偏東60°，他們向南走50m到達D點，測得古亭B位于北偏東45°，求古亭與古柳之間的距離AB的長（參考數據：，，結果精確到1m）．36．（2022·吉林）動感單車是一種新型的運動器械．圖①是一輛動感單車的實物圖，圖②是其側面示意圖．△BCD為主車架，AB為調節管，點A，B，C在同一直線上．已知BC長為70cm，∠BCD的度數為58°．當AB長度調至34cm時，求點A到CD的距離AE的長度（結果精確到1cm）．（參考數據：sin58°=0.85，cos58°=0.53，tan58°=1.60）37．（2022·山西）隨著科技的發展，無人機已廣泛應用于生產和生活，如代替人們在高空測量距離和角度．某校“綜合與實踐”活動小組的同學要測星AB，CD兩座樓之間的距離，他們借助無人機設計了如下測量方案：無人機在AB，CD兩樓之間上方的點O處，點O距地面AC的高度為60m，此時觀測到樓AB底部點A處的俯角為70°，樓CD上點E處的俯角為30°，沿水平方向由點O飛行24到達點F，測得點E處俯角為60°，其中點A，B，C，D，E，F，O均在同一豎直平面內．請根據以上數據求樓AB與CD之間的距離AC的長（結果精確到1m．參考數據：）．38．（2022·河南）開封清明上河園是依照北宋著名畫家張擇端的《清明上河圖》建造的，拂云閣是園內最高的建筑．某數學小組測量拂云閣DC的高度，如圖，在A處用測角儀測得拂云閣頂端D的仰角為34°，沿AC方向前進15m到達B處，又測得拂云閣頂端D的仰角為45°．已知測角儀的高度為1.5m，測量點A，B與拂云閣DC的底部C在同一水平線上，求拂云閣DC的高度（結果精確到1m．參考數據：，，）．39．（2022·四川宜賓）宜賓東樓始建于唐代，重建于宜賓建城2200周年之際的2018年，新建成的東樓（如圖1）成為長江首城會客廳、旅游休閑目的地、文化地標打卡地．某數學小組為測量東樓的高度，在梯步A處（如圖2）測得樓頂D的仰角為45°，沿坡比為7：24的斜坡AB前行25米到達平臺B處，測得樓頂D的仰角為60°，求東樓的高度DE．（結果精確到1米．參考數據：，）40．（2022·湖南岳陽）喜迎二十大，“龍舟故里”賽龍舟．丹丹在汩羅江國際龍舟競渡中心廣場點處觀看200米直道競速賽．如圖所示，賽道為東西方向，賽道起點位于點的北偏西方向上，終點位于點的北偏東方向上，米，則點到賽道的距離約為______米（結果保留整數，參考數據：）．41．（2022·湖北荊州）荊州城徽“金鳳騰飛”立于古城東門外．如圖，某校學生測量其高AB（含底座），先在點C處用測角儀測得其頂端A的仰角為32°，再由點C向城徽走6.6m到E處，測得頂端A的仰角為45°，已知B，E，C三點在同一直線上，測角儀離地面的高度CD＝EF＝1.5m，求城徽的高AB．（參考數據：，，）42．（2022·廣西賀州）如圖，在小明家附近有一座廢舊的煙囪，為了鄉村振興，美化環境，政府計劃把這片區域改造為公園．現決定用爆破的方式拆除該煙囪，為確定安全范圍，需測量煙囪的高度AB，因為不能直接到達煙囪底部B處，測量人員用高為的測角器在與煙囪底部B成一直線的C，D兩處地面上，分別測得煙囪頂部A的仰角，同時量得CD為．問煙囪AB的高度為多少米？（精確到，參考數據：）43．（2022·內蒙古包頭）如圖，是底部B不可到達的一座建筑物，A為建筑物的最高點，測角儀器的高米．某數學興趣小組為測量建筑物的高度，先在H處用測角儀器測得建筑物頂端A處的仰角為，再向前走5米到達G處，又測得建筑物頂端A處的仰角為，已知，H，G，B三點在同一水平線上，求建筑物的高度．44．（2022·湖北武漢）小紅同學在數學活動課中測量旗桿的高度，如圖，己知測角儀的高度為1.58米，她在A點觀測桿頂E的仰角為30°，接著朝旗桿方向前進20米到達C處，在D點觀測旗桿頂端E的仰角為60°，求旗桿的高度．（結果保留小數點后一位）（參考數據：）45．（2022·江蘇泰州）小強在物理課上學過平面鏡成像知識后，在老師的帶領下到某廠房做驗證實驗.如圖，老師在該廠房頂部安裝一平面鏡MN，MN與墻面AB所成的角∠MNB=118°，廠房高AB=8m，房頂AM與水平地面平行，小強在點M的正下方C處從平面鏡觀察，能看到的水平地面上最遠處D到他的距離CD是多少?（結果精確到0.1m，參考數據：sin34°≈0.56，tan34°≈0.68，tan56°≈1.48）46．（2022·山東威海）小軍同學想利用所學的“銳角三角函數”知識測量一段兩岸平行的河流寬度．他先在河岸設立A，B兩個觀測點，然后選定對岸河邊的一棵樹記為點M．測得AB＝50m，∠MAB＝22°，∠MBA＝67°．請你依據所測數據求出這段河流的寬度（結果精確到0.1m）．參考數據：sin22°≈，cos22°≈，tan22°≈，sin67°≈，cos67°≈，tan67°≈．47．（2022·黑龍江綏化）如圖所示，為了測量百貨大樓頂部廣告牌的高度，在距離百貨大樓30m的A處用儀器測得；向百貨大樓的方向走10m，到達B處時，測得，儀器高度忽略不計，求廣告牌的高度．（結果保留小數點后一位）（參考數據：，，，）48．（2022·湖南長沙）為了進一步改善人居環境，提高居民生活的幸福指數．某小區物業公司決定對小區環境進行優化改造．如圖，AB表示該小區一段長為的斜坡，坡角于點D．為方便通行，在不改變斜坡高度的情況下，把坡角降為．(1)求該斜坡的高度BD；(2)求斜坡新起點C與原起點A之間的距離．（假設圖中C，A，D三點共線）49．（2022·廣西梧州）今年，我國“巔峰使命”2022珠峰科考團對珠穆朗瑪峰進行綜合科學考察，搭建了世界最高海拔的自動氣象站，還通過釋放氣球方式進行了高空探測．某學校興趣小組開展實踐活動，通過觀測數據，計算氣球升空的高度AB．如圖，在平面內，點B，C，D在同一直線上，垂足為點B，，，，求AB的高度．（精確到）（參考數據：﹐﹐，）50．（2022·湖北鄂州）亞洲第一、中國唯一的航空貨運樞紐一一鄂州花湖機場，于2022年3月19日完成首次全貨運試飛，很多市民共同見證了這一歷史時刻．如圖，市民甲在C處看見飛機A的仰角為45°，同時另一市民乙在斜坡CF上的D處看見飛機A的仰角為30°，若斜坡CF的坡比=1：3，鉛垂高度DG=30米（點E、G、C、B在同一水平線上）．求：(1)兩位市民甲、乙之間的距離CD；(2)此時飛機的高度AB，（結果保留根號）51．（2022·四川廣元）如圖，計劃在山頂A的正下方沿直線CD方向開通穿山隧道EF．在點E處測得山頂A的仰角為45°，在距E點80m的C處測得山頂A的仰角為30°，從與F點相距10m的D處測得山頂A的仰角為45°，點C、E、F、D在同一直線上，求隧道EF的長度．52．（2022·四川眉山）數學實踐活動小組去測量眉山市某標志性建筑物的高．如圖，在樓前平地處測得樓頂處的仰角為，沿方向前進到達處，測得樓頂處的仰角為，求此建筑物的高．（結果保留整數．參考數據：，）/

專題14解直角三角形一．選擇題1．（2022·廣西貴港）如圖，某數學興趣小組測量一棵樹的高度，在點A處測得樹頂C的仰角為，在點B處測得樹頂C的仰角為，且A，B，D三點在同一直線上，若，則這棵樹的高度是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設CD=x，在Rt△ADC中，∠A=45°，可得CD=AD=x，BD=16-x，在Rt△BCD中，用∠B的正切函數值即可求解．【詳解】設CD=x，在Rt△ADC中，∠A=45°，∴CD=AD=x，∴BD=16-x，在Rt△BCD中，∠B=60°，∴，即：，解得，故選A．【點睛】本題考查三角函數，根據直角三角形的邊的關系，建立三角函數模型是解題的關鍵．2．（2022·廣西貴港）如圖，在網格正方形中，每個小正方形的邊長為1，頂點為格點，若的頂點均是格點，則的值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】過點C作AB的垂線，構造直角三角形，利用勾股定理求解即可．【詳解】解：過點C作AB的垂線交AB于一點D，如圖所示，∵每個小正方形的邊長為1，∴，設，則，在中，,在中，,∴，解得，∴，故選：C．【點睛】本題考查了解直角三角形，勾股定理等知識，解題的關鍵是能構造出直角三角形．3．（2022·福建）如圖，現有一把直尺和一塊三角尺，其中，，AB＝8，點A對應直尺的刻度為12.將該三角尺沿著直尺邊緣平移，使得△ABC移動到，點對應直尺的刻度為0，則四邊形的面積是（

）A．96 B． C．192 D．【答案】B【分析】根據直尺與三角尺的夾角為60°，根據四邊形的面積為，即可求解．【詳解】解：依題意為平行四邊形，∵，，AB＝8，．∴平行四邊形的面積=故選B【點睛】本題考查了解直角三角形，平移的性質，掌握平移的性質是解題的關鍵．4．（2022·廣西）如圖，某博物館大廳電梯的截面圖中，AB的長為12米，AB與AC的夾角為，則高BC是（

）A．米 B．米 C．米 D．米【答案】A【分析】在Rt△ACB中，利用正弦定義，sinα=，代入AB值即可求解．【詳解】解：在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∴sinα=，∴BC=sinαAB=12sinα（米），故選：A．【點睛】本題考查解直角三角形的應用，熟練掌握直角三角形邊角關系是解題的關鍵．5．（2022·貴州畢節）如圖，某地修建一座高的天橋，已知天橋斜面的坡度為，則斜坡的長度為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】直接利用坡度的定義得出的長，再利用勾股定理得出的長．【詳解】∵，，∴，解得：，則．故選：A．【點睛】本題考查解直角三角形和勾股定理的實際應用．由坡度的定義得出AC的長是解答本題的關鍵．6．（2022·黑龍江牡丹江）小明去爬山，在山腳看山頂角度為30°，小明在坡比為5∶12的山坡上走1300米，此時小明看山頂的角度為60°，求山高(

)A．(600－250)米B．(600－250)米C．(350＋350)米D．500米【答案】B【詳解】解：如答圖，∵BE：AE=5：12，∴可設BE=5k，AE=12k，∵AB=1300米，∴在Rt△ABE中，由勾股定理，得AE2+BE2=AB2，即，解得k=100．∴AE=1200米，BE=500米．設EC=x米，∵∠DBF=60°，∴DF=x米．又∵∠DAC=30°，∴AC=CD．∴1200+x=（500+x），解得x=600﹣250．∴DF=x=600﹣750．∴CD=DF+CF=600﹣250（米）．∴山高CD為（600﹣250）米．故選B．【點睛】本題考查解直角三角形的應用（仰角俯角和坡度坡角問題）；勾股定理；銳角三角函數定義；特殊角的三角函數值；待定系數法的應用．7．（2022·湖北十堰）如圖，坡角為α的斜坡上有一棵垂直于水平地面的大樹AB，當太陽光線與水平線成45°角沿斜坡照下，在斜坡上的樹影BC長為m，則大樹AB的高為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】應充分利用所給的α和45°在樹的位置構造直角三角形，進而利用三角函數求解．【詳解】解：如圖，過點C作水平線與AB的延長線交于點D，則AD⊥CD，∴∠BCD=α，∠ACD=45°．在Rt△CDB中，CD=mcosα，BD=msinα，在Rt△CDA中，AD=CD×tan45°=m×cosα×tan45°=mcosα，∴AB=AD-BD=（mcosα-msinα）=m（cosα-sinα）．故選：A．【點睛】本題考查銳角三角函數的應用．需注意構造直角三角形是常用的輔助線方法，另外，利用三角函數時要注意各邊相對．8．（2022·湖北荊州）如圖，在平面直角坐標系中，點A，B分別在x軸負半軸和y軸正半軸上，點C在OB上，，連接AC，過點O作交AC的延長線于P．若，則的值是（

）A． B． C． D．3【答案】C【分析】由可知，OP與x軸的夾角為45°，又因為，則為等腰直角形，設OC=x，OB=2x，用勾股定理求其他線段進而求解．【詳解】∵P點坐標為（1，1），則OP與x軸正方向的夾角為45°，又∵，則∠BAO=45°，為等腰直角形，∴OA=OB，設OC=x，則OB=2OC=2x，則OB=OA=3x，∴．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質、平行線的性質、勾股定理和銳角三角函數的求解，根據P點坐標推出特殊角是解題的關鍵．9．（2022·廣西玉林）如圖，從熱氣球A看一棟樓底部C的俯角是(

)A． B． C． D．【答案】D【分析】根據俯角的定義可直接得出結果．【詳解】解：根據俯角的定義，朝下看時，視線與水平面的夾角為俯角，∴∠DAC為對應的俯角，故選D．【點睛】題目主要考查對俯角定義的理解，深刻理解俯角的定義是解題關鍵．10．（2022·遼寧）如圖，在矩形中，，分別以點A和C為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧相交于點M和N，作直線分別交于點E，F，則的長為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據矩形可知為直角三角形，根據勾股定理可得的長度，在中得到，又由題知為的垂直平分線，于是，于是在中，利用銳角三角函數即可求出的長．【詳解】解：設與的交點為，四邊形為矩形，，，，為直角三角形，，，，，又由作圖知為的垂直平分線，，，在中，，，，．故選：D．【點睛】本題主要考查矩形的性質，銳角三角函數，垂直平分線，勾股定理，掌握定理以及性質是解題的關鍵．11．（2022·福建）如圖所示的衣架可以近似看成一個等腰三角形ABC，其中AB＝AC，，BC＝44cm，則高AD約為（

）（參考數據：，，）A．9.90cm B．11.22cm C．19.58cm D．22.44cm【答案】B【分析】根據等腰三角形的性質及BC＝44cm，可得cm，根據等腰三角形的性質及，可得，在中，由，求得AD的長度．【詳解】解：∵等腰三角形ABC，AB＝AC，AD為BC邊上的高，∴，∵BC＝44cm，∴cm．∵等腰三角形ABC，AB＝AC，，∴．∵AD為BC邊上的高，，∴在中，，∵，cm，∴cm．故選：B．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質以及銳角三角函數的定義，熟練掌握正切的定義是解題的關鍵．12．（2022·湖北武漢）由4個形狀相同，大小相等的菱形組成如圖所示的網格，菱形的頂點稱為格點，點A，B，C都在格點上，∠O=60°，則tan∠ABC=（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】證明四邊形ADBC為菱形，求得∠ABC=30°，利用特殊角的三角函數值即可求解．【詳解】解：連接AD，如圖：∵網格是有一個角60°為菱形，∴△AOD、△BCE、△BCD、△ACD都是等邊三角形，∴AD=BD=BC=AC，∴四邊形ADBC為菱形，且∠DBC=60°，∴∠ABD=∠ABC=30°，∴tan∠ABC=tan30°=．故選：C．【點睛】本題考查了菱形的判定和性質，特殊角的三角函數值，證明四邊形ADBC為菱形是解題的關鍵．二．填空題13．（2022·黑龍江綏化）定義一種運算；，．例如：當，時，，則的值為_______．【答案】【分析】根據代入進行計算即可．【詳解】解：====．故答案為：．【點睛】此題考查了公式的變化，以及銳角三角函數值的計算，掌握公式的轉化是解題的關鍵．14．（2022·湖南）我國魏晉時期的數學家趙爽在為天文學著作《周髀算經》作注解時，用4個全等的直角三角形和中間的小正方形拼成一個大正方形，這個圖被稱為“弦圖”，它體現了中國古代數學的成就．如圖，已知大正方形的面積是100，小正方形的面積是4，那么__．【答案】##0.75【分析】根據兩個正方形的面積可得，，設，得到，由勾股定理得，解方程可得x的值，從而解決問題．【詳解】解：∵大正方形ABCD的面積是100，∴．∵小正方形EFGH的面積是4，∴小正方形EFGH的邊長為2，∴，設，則，由勾股定理得，，解得或（負值舍去），∴，，∴．故答案為：．【點睛】本題主要考查了正方形的性質，勾股定理，三角函數等知識，利用勾股定理列方程求出AF的長是解題的關鍵．15．（2022·遼寧）如圖，為射線上一點，為射線上一點，．以為邊在其右側作菱形，且與射線交于點，得；延長交射線于點，以為邊在其右側作菱形，且與射線交于點，得；延長交射線于點，以為邊在其右側作菱形，且與射線交于點，得；…，按此規律進行下去，則的面積___________．【答案】【分析】過點作于點D，連接，分別作，然后根據菱形的性質及題意可得，則有，進而可得出規律進行求解．【詳解】解：過點作于點D，連接，分別作，如圖所示：∴，∵，∴，∵，，∴，，∴，∴，∵菱形，且，∴是等邊三角形，∴，，∵，∴，∴，∴，設，∵，∴，∴，∴，解得：，∴，∴，同理可得：，，∴，由上可得：，，∴，故答案為．【點睛】本題主要考查菱形的性質、等邊三角形的性質與判定、含30度直角三角形的性質及三角函數，熟練掌握菱形的性質、等邊三角形的性質與判定、含30度直角三角形的性質及三角函數是解題的關鍵．16.（2022·山東青島）如圖，已知的平分線交于點E，且．將沿折疊使點C與點E恰好重合．下列結論正確的有：__________（填寫序號）①②點E到的距離為3③④【答案】①④##④①【分析】根據等腰三角形的性質即可判斷①，根據角平分線的性質即可判斷②，設，則，中，，．繼而求得，設，則，根據，進而求得的值，根據，，可得，即可判斷④【詳解】解：∵∴，故①正確；如圖，過點作于，于，，平分，，是的角平分線，，，，故②不正確，.將沿折疊使點C與點E恰好重合，，設，則，中，，．，解得，故③不正確，設，則，，，，，，，解得或（舍去），，，，故④正確，故答案為：①④【點睛】本題考查了解直角三角形，三線合一，角平分線的性質，掌握以上知識是解題的關鍵．17．（2022·廣西桂林）如圖，某雕塑MN位于河段OA上，游客P在步道上由點O出發沿OB方向行走．已知∠AOB＝30°，MN＝2OM＝40m，當觀景視角∠MPN最大時，游客P行走的距離OP是_____米．【答案】20【分析】先證OB是⊙F的切線，切點為E，當點P與點E重合時，觀景視角∠MPN最大，由直角三角形的性質可求解．【詳解】解：如圖，取MN的中點F，過點F作FE⊥OB于E，以直徑MN作⊙F，∵MN＝2OM＝40m，點F是MN的中點，∴MF＝FN＝20m，OF＝40m，∵∠AOB＝30°，EF⊥OB，∴EF＝20m，OE＝EF＝20m，∴EF＝MF，又∵EF⊥OB，∴OB是⊙F的切線，切點為E，∴當點P與點E重合時，觀景視角∠MPN最大，此時OP＝20m，故答案為：20．【點睛】本題考查了解直角三角形的應用，切線的判定，直角三角形的性質，證明OB是⊙F的切線是解題的關鍵．18．（2022·貴州黔東南）如圖，校園內有一株枯死的大樹，距樹12米處有一棟教學樓，為了安全，學校決定砍伐該樹，站在樓頂處，測得點的仰角為45°，點的俯角為30°，小青計算后得到如下結論：①米；②米；③若直接從點處砍伐，樹干倒向教學樓方向會對教學樓有影響；④若第一次在距點的8米處的樹干上砍伐，不會對教學樓造成危害.其中正確的是_______．（填寫序號，參考數值：，）【答案】①③④【分析】過點D的水平線交AB于E，先證四邊形EACD為矩形，ED=AC=12米，①利用三角函數求出AB=BE+AE=DEtan45°+DEtan30°，②利用CD=AE=DEtan30°=4米，③利用AB=18.8米＞12米，④點B到砍伐點的距離為：18.8-8=10.8＜12，判斷即可．【詳解】解：過點D的水平線交AB于E，∵DE∥AC，EA∥CD，∠DCA=90°，∴四邊形EACD為矩形，∴ED=AC=12米，①AB=BE+AE=DEtan45°+DEtan30°=12+4故①正確；②∵CD=AE=DEtan30°=4米，故②不正確；③∵AB=18.8米＞12米，∴直接從點A處砍伐，樹干倒向教學樓方向會對教學樓有影響；故③正確；④∵第一次在距點A的8米處的樹干上砍伐，∴點B到砍伐點的距離為：18.8-8=10.8＜12，∴第一次在距點A的8米處的樹干上砍伐，不會對教學樓造成危害.故④正確∴其中正確的是①③④．故答案為①③④．【點睛】本題考查解直角三角形，矩形的判斷與性質，掌握解直角三角形方法，矩形的判斷與性質是解題關鍵．三．解答題19．（2022·遼寧錦州）某數學小組要測量學校路燈的頂部到地面的距離，他們借助皮尺、測角僅進行測量，測量結果如下：測量項目測量數據從A處測得路燈頂部P的仰角從D處測得路燈頂部P的仰角測角儀到地面的距離兩次測量時測角儀之間的水平距離計算路燈頂部到地面的距離約為多少米?（結果精確到0.1米．參考數據；）【答案】3.5米【分析】延長DA，交PE于點F，則DF⊥PE，先得到四邊形ABCD、CDFE是矩形，然后由解直角三角形求出AF的長度，再求出PF的長度，即可求出答案．【詳解】解：如圖：延長DA，交PE于點F，則DF⊥PE，∵，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∵AB⊥BC，∴四邊形ABCD是矩形，同理：四邊形CDFE是矩形；∴，，在直角△PDF中，有，在直角△PAF中，有，∴，即，∴，解得：；∴；∴（米）；∴路燈頂部到地面的距離約為3.5米．【點睛】本題考查了解直角三角形的應用，解直角三角形，矩形的判定和性質，解題的關鍵是熟練掌握題意，正確的作出輔助線，正確的求出PF的長度．20．（2022·山東臨沂）如圖是一座獨塔雙索結構的斜拉索大橋，主塔采用倒“Y”字形設計，某學習小組利用課余時間測量主塔頂端到橋面的距離．勘測記錄如下表：活動內容測量主塔頂端到橋面的距離成員組長：×××

組員：××××××××××××測量工具測角儀，皮尺等測量示意圖說明：左圖為斜拉索橋的側面示意圖，點A、C，D，B在同一條直線上，，點A，C分別與點B，D關于直線EF對稱測量數據的大小28°AC的長度84mCD的長度12m請利用表中提供的信息，求主塔頂端E到AB的距離（參考數據：，，）．【答案】主塔頂端E到AB的距離約為47.7m【分析】延長EF交AB于M，由題意可得，可得AM的長度，再根據解直角三角形即可．【詳解】延長EF交AB于M，，點A，C分別與點B，D關于直線EF對稱，，，，，，，答：主塔頂端E到AB的距離約為47.7m．【點睛】本題考查了解直角三角形的應用，準確理解題意并熟練掌握知識點是解題的關鍵．21．（2022·山東聊城）我市某轄區內的興國寺有一座宋代仿木樓閣式空心磚塔，塔旁有一棵唐代古槐，稱為“宋塔唐槐”（如圖①）．數學興趣小組利用無人機測量古槐的高度，如圖②所示，當無人機從位于塔基B點與古槐底D點之間的地面H點，豎直起飛到正上方45米E點處時，測得塔AB的頂端A和古槐CD的頂端C的俯角分別為26.6°和76°（點B，H，D三點在同一直線上）．已知塔高為39米，塔基B與樹底D的水平距離為20米，求古槐的高度（結果精確到1米）．（參考數據：，，，，，）【答案】古槐的高度約為13米【分析】過點A作AM⊥EH于M，過點C作CN⊥EH于N，在Rt△AME中，根據銳角三角函數求出AM=12米，進而求出CN=8米，再在Rt△ENC中，根據銳角三角函數求出EN=32.08米，即可求出答案．【詳解】解：過點A作AM⊥EH于M，過點C作CN⊥EH于N，由題意知，AM=BH，CN=DH，AB=MH，在中，∠EAM=26.6°，∴，∴米，∴BH=AM=12米，∵BD=20，∴DH=BDBH=8米，∴CN=8米，在中，∠ECN=76°，∴，∴米，∴（米），即古槐的高度約為13米．【點睛】此題主要考查解直角三角形的應用——仰角俯角問題，作出輔助線構造出直角三角形是解本題的關鍵．22．（2022·內蒙古通遼）某型號飛機的機翼形狀如圖所示，根據圖中數據計算的長度（結果保留小數點后一位，）.【答案】的長度約為9.8米【分析】延長交的垂線于點，交于點,則四邊形是矩形，根據圖示，可得四邊形是正方形，解，即可求解．【詳解】解：如圖，延長交的垂線于點，交于點,則四邊形是矩形，，四邊形是正方形，，，，，中，，，中，，米．【點睛】本題考查了解直角三角形的應用，掌握直角三角形中的邊角關系是解題的關鍵．23．（2022·湖南）計算：．【答案】【分析】先將各項化簡，再算乘法，最后從左往右計算即可得【詳解】解：原式．【點晴】本題考查特殊銳角三角函數值，零指數冪，絕對值以及負整數指數冪，解題的關鍵是掌握特殊銳角三角函數值，零指數冪，絕對值以及負整數指數冪的性質．24．（2022·湖南）閱讀下列材料：在中，、、所對的邊分別為、、，求證：．證明：如圖1，過點作于點，則：在中，CD=asinB在中，根據上面的材料解決下列問題：(1)如圖2，在中，、、所對的邊分別為、、，求證：；(2)為了辦好湖南省首屆旅游發展大會，張家界市積極優化旅游環境．如圖3，規劃中的一片三角形區域需美化，已知，，米，求這片區域的面積．（結果保留根號．參考數據：，【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）作BC邊上的高，利用三角函數表示AD后，即可建立關聯并求解；（2）作BC邊上的高，利用三角函數分別求出AE和BC，即可求解．(1)證明：如圖2，過點作于點，在中，，在中，，，；(2)解：如圖3，過點作于點，，，，在中，又，即，，．【點睛】本題考查了解直角三角形的應用，掌握直角三角形的邊角關系，即銳角三角函數的定義是解決問題的前提．25．（2022·黑龍江大慶）如圖，為了修建跨江大橋，需要利用數學方法測量江的寬度．飛機上的測量人員在C處測得A，B兩點的俯角分別為和．若飛機離地面的高度為，且點D，A，B在同一水平直線上，試求這條江的寬度（結果精確到，參考數據：）【答案】這條江的寬度AB約為732米【分析】在和中，利用銳角三角函數，用表示出的長，然后計算出AB的長；【詳解】解：如圖，∵，∴，在中，∵，∴米，在中，∵，∴（米），∴（米），答：這條江的寬度AB約為732米．【點睛】本題考查了解直角三角形的應用-仰角俯角問題．題目難度不大，解決本題的關鍵是用含表示出的長．26．（2022·湖南郴州）如圖是某水庫大壩的橫截面，壩高，背水坡BC的坡度為．為了對水庫大壩進行升級加固，降低背水坡的傾斜程度，設計人員準備把背水坡的坡度改為，求背水坡新起點A與原起點B之間的距離．（參考數據：，．結果精確到0.1m）【答案】背水坡新起點A與原起點B之間的距離約為14.6m【分析】通過解直角三角形和，分別求出AD和BD的長，由求出AB的長．【詳解】解：在中，∵背水坡BC的坡度，∴，∴．在中，∵背水坡AC的坡度，∴，∴，∴．答：背水坡新起點A與原起點B之間的距離約為14.6m．【點睛】本題考查了解直角三角形的應用，解答本題的關鍵是理解坡度、坡比的含義，構造直角三角形，利用三角函數表示相關線段的長度．27．（2022·海南）無人機在實際生活中應用廣泛．如圖8所示，小明利用無人機測量大樓的高度，無人機在空中P處，測得樓樓頂D處的俯角為，測得樓樓頂A處的俯角為．已知樓和樓之間的距離為100米，樓的高度為10米，從樓的A處測得樓的D處的仰角為（點A、B、C、D、P在同一平面內）．(1)填空：___________度，___________度；(2)求樓的高度（結果保留根號）；(3)求此時無人機距離地面的高度．【答案】(1)75；60(2)米(3)110米【分析】（1）根據平角的定義求，過點A作于點E，再利用三角形內角和求；（2）在中，求出DE的長度再根據計算即可；（3）作于點G，交于點F，證明即可．(1)過點A作于點E，由題意得：∴(2)由題意得：米，．在中，，∴，∴∴樓的高度為米．(3)作于點G，交于點F，則∵，∴．∵，∴．∵，∴．∵，∴．∴．∴．∴（AAS）．∴．∴∴無人機距離地面的高度為110米．【點睛】此題考查了解直角三角形的應用-仰角俯角問題的知識．此題難度適中，注意能借助仰角或俯角構造直角三角形并解直角三角形是解此題的關鍵．28．（2022·遼寧）如圖，一艘貨輪在海面上航行，準備要停靠到碼頭C，貨輪航行到A處時，測得碼頭C在北偏東60°方向上．為了躲避A，C之間的暗礁，這艘貨輪調整航向，沿著北偏東30°方向繼續航行，當它航行到B處后，又沿著南偏東70°方向航行20海里到達碼頭C．求貨輪從A到B航行的距離（結果精確到0.1海里．參考數據：sin50°≈0.766，cos50°≈0.643，tan50°≈1.192）．【答案】貨輪從A到B航行的距離約為30.6海里．【分析】過B作BD⊥AC于D，在Rt△BCD中，利用正弦函數求得BD=15.32海里，再在Rt△ABD中，利用含30度角的直角三角形的性質即可求解．【詳解】解：過B作BD⊥AC于D，由題意可知∠ABE=30°，∠BAC=30°，則∠C=180°-30°-30°-70°=50°，在Rt△BCD中，∠C=50°，BC=20(海里)，∴BD=BCsin50°≈20×0.766=15.32(海里)，在Rt△ABD中，∠BAD=30°，BD=15.32(海里)，∴AB=2BD=30.64≈30.6(海里)，答：貨輪從A到B航行的距離約為30.6海里．【點睛】本題考查了解直角三角形的應用—方向角問題，正確作出輔助線構造直角三角形是解題的關鍵．29．（2022·四川遂寧）數學興趣小組到一公園測量塔樓高度．如圖所示，塔樓剖面和臺階的剖面在同一平面，在臺階底部點A處測得塔樓頂端點E的仰角，臺階AB長26米，臺階坡面AB的坡度，然后在點B處測得塔樓頂端點E的仰角，則塔頂到地面的高度EF約為多少米．（參考數據：，，，）【答案】塔頂到地面的高度EF約為47米【分析】延長EF交AG于點H，則，過點B作于點P，則四邊形BFHP為矩形，設，則，根據解直角三角形建立方程求解即可．【詳解】如圖，延長EF交AG于點H，則，過點B作于點P，則四邊形BFHP為矩形，∴，．由，可設，則，由可得，解得或（舍去），∴，，設米，米，在中，即，則①在中，，即②由①②得，．答：塔頂到地面的高度EF約為47米．【點睛】本題考查了解直角三角形的實際應用，準確理解題意，熟練掌握知識點是解題的關鍵．30．（2022·四川廣安）八年級二班學生到某勞動教育實踐基地開展實踐活動，當天，他們先從基地門口A處向正北方向走了450米，到達菜園B處鋤草，再從B處沿正西方向到達果園C處采摘水果，再向南偏東37°方向走了300米，到達手工坊D處進行手工制作，最后從D處回到門口A處，手工坊在基地門口北偏西65°方向上．求菜園與果園之間的距離．（結果保留整數）參考數據：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75【答案】菜園與果園之間的距離為630米【分析】過點作，交于點，則，四邊形是矩形，在中，求得，CF=240，進而求得AE=210，在中，利用正切進行求解即可．【詳解】解：如圖，過點作，交于點，則，∵∠B=90°，四邊形是矩形，，BC=EF，在中，，∴BE=240，∴AE=AB-BE=210，在中，，，米．∴BC=EF=DF+DE=180+450=630答：菜園與果園之間的距離630米．【點睛】本題考查了解直角三角形的應用，掌握直角三角形中的邊角關系是解題的關鍵．31．（2022·內蒙古呼和浩特）“一去紫臺連朔漠，獨留青冢向黃昏”，美麗的昭君博物院作為著名景區現已成為外地游客到呼和浩特市旅游的打卡地．如圖，為測量景區中一座雕像的高度，某數學興趣小組在處用測角儀測得雕像頂部的仰角為，測得底部的俯角為．已知測角儀與水平地面垂直且高度為1米，求雕像的高．（用非特殊角的三角函數及根式表示即可）【答案】米【分析】過點作于，則四邊形是矩形，則，在與中，分別表示出，根據即可求解．【詳解】如圖，過點作于，則四邊形是矩形，，中，，，中，，，米答：雕像的高為米【點睛】本題考查了解直角三角形的實際應用，掌握直角三角形中的邊角關系是解題的關鍵．32．（2022·貴州銅仁）為了測量高速公路某橋的橋墩高度，某數學興趣小組在同一水平地面C、D兩處實地測量，如圖所示．在C處測得橋墩頂部A處的仰角為和橋墩底部B處的俯角為，在D處測得橋墩頂部A處的仰角為，測得C、D兩點之間的距離為，直線、在同一平面內，請你用以上數據，計算橋墩的高度．（結果保留整數，參考數據：）【答案】103米【分析】延長DC交AB于點E，設CE=x米，由題意可得AB⊥DE，解Rt△AEC求得AE，解Rt△BEC求得BE，解Rt△AED求得DE，根據CD=DE-CE列方程求得x即可；【詳解】解：延長DC交AB于點E，設CE=x米，∵AB、CD在同一平面內，AB⊥水平地面，點C、D在同一水平地面，∴AB⊥DE，Rt△AEC中，∠ACE=60°，EC=x米，則AE=EC?tan∠ACE=米，Rt△BEC中，∠BCE=40°，EC=x米，則BE=EC?tan∠BEC=0.84x米，Rt△AED中，∠D=30°，AE=米，則DE=AE÷tan∠D=3x米，∵CD=DE-CE=3x-x=80米，∴x=40米，∴AB=AE+BE=米，∴橋墩的高度為103米；【點睛】本題考查了解直角三角形的實際應用，掌握正切三角函數的相關概念是解題關鍵．33．（2022·貴州遵義）如圖1所示是一種太陽能路燈，它由燈桿和燈管支架兩部分構成如圖2，是燈桿，是燈管支架，燈管支架與燈桿間的夾角．綜合實踐小組的同學想知道燈管支架的長度，他們在地面的點處測得燈管支架底部的仰角為60°，在點處測得燈管支架頂部的仰角為30°，測得m，m（，，在同一條直線上）．根據以上數據，解答下列問題：(1)求燈管支架底部距地面高度的長（結果保留根號）；(2)求燈管支架的長度（結果精確到0.1m，參考數據：）．【答案】(1)(2)【分析】（1）解即可求解；（2）延長交于點，證明是等邊三角形，解，根據即可求解．(1)在中，(2)如圖，延長交于點，中，是等邊三角形答：燈管支架的長度約為．【點睛】本題考查了解直角三角形的應用，等邊三角形的性質與判定，掌握以上知識是解題的關鍵．34．（2022·山東煙臺）如圖，某超市計劃將門前的部分樓梯改造成無障礙通道．已知樓梯共有五級均勻分布的臺階，高AB＝0.75m，斜坡AC的坡比為1：2，將要鋪設的通道前方有一井蓋，井蓋邊緣離樓梯底部的最短距離ED＝2.55m．為防止通道遮蓋井蓋，所鋪設通道的坡角不得小于多少度？（結果精確到1）（參考數據表）計算器按鍵順序計算結果（已精確到0.001）11.3100.00314.7440.005【答案】不得小于11度【分析】根據題意可得DF＝AB＝0.15米，然后根據斜坡AC的坡比為1：2，可求出BC，CD的長，從而求出EB的長，最后在Rt△AEB中，利用銳角三角函數的定義進行計算即可解答．【詳解】解：如圖：由題意得：DF＝AB＝0.15（米），∵斜坡AC的坡比為1：2，∴＝，＝，∴BC＝2AB＝1.5（米），CD＝2DF＝0.3（米），∵ED＝2.55米，∴EB＝ED+BC﹣CD＝2.55+1.5﹣0.3＝3.75（米），在Rt△AEB中，tan∠AEB＝＝＝，查表可得，∠AEB≈11.310°≈11°，∴為防止通道遮蓋井蓋，所鋪設通道的坡角不得小于11度．【點睛】本題考查了解直角三角形的應用﹣坡度坡角問題，熟練掌握坡比是解題的關鍵．35．（2022·湖北恩施）如圖，湖中一古亭，湖邊一古柳，一沉靜，一飄逸、碧波蕩漾，相映成趣．某活動小組賞湖之余，為了測量古亭與古柳間的距離，在古柳A處測得古亭B位于北偏東60°，他們向南走50m到達D點，測得古亭B位于北偏東45°，求古亭與古柳之間的距離AB的長（參考數據：，，結果精確到1m）．【答案】古亭與古柳之間的距離的長約為【分析】過點作的垂直，交延長線于點，設，則，分別在和中，解直角三角形求出的長，再建立方程，解方程可得的值，由此即可得出答案．【詳解】解：如圖，過點作的垂直，交延長線于點，由題意得：，設，則，在中，，在中，，，則，解得，則，答：古亭與古柳之間的距離的長約為．【點睛】本題考查了解直角三角形的應用，通過作輔助線，構造直角三角形是解題關鍵．36．（2022·吉林）動感單車是一種新型的運動器械．圖①是一輛動感單車的實物圖，圖②是其側面示意圖．△BCD為主車架，AB為調節管，點A，B，C在同一直線上．已知BC長為70cm，∠BCD的度數為58°．當AB長度調至34cm時，求點A到CD的距離AE的長度（結果精確到1cm）．（參考數據：sin58°=0.85，cos58°=0.53，tan58°=1.60）【答案】點A到CD的距離AE的長度約為88cm．【分析】根據正弦的概念即可求解．【詳解】解：在Rt△ACE中，∠AEC=90°，∠ACE=58°，AC=AB+BC=34+70=104(cm)，∵sin∠ACE=，即sin58°=，∴AE=104×0.85=88.4≈88(cm)，∴點A到CD的距離AE的長度約為88cm．【點睛】本題考查的是解直角三角形的知識，掌握銳角三角函數的概念是解題的關鍵．37．（2022·山西）隨著科技的發展，無人機已廣泛應用于生產和生活，如代替人們在高空測量距離和角度．某校“綜合與實踐”活動小組的同學要測星AB，CD兩座樓之間的距離，他們借助無人機設計了如下測量方案：無人機在AB，CD兩樓之間上方的點O處，點O距地面AC的高度為60m，此時觀測到樓AB底部點A處的俯角為70°，樓CD上點E處的俯角為30°，沿水平方向由點O飛行24到達點F，測得點E處俯角為60°，其中點A，B，C，D，E，F，O均在同一豎直平面內．請根據以上數據求樓AB與CD之間的距離AC的長（結果精確到1m．參考數據：）．【答案】58m【分析】延長AB和CD分別與直線OF交于點G和點H，則，再根據圖形應用三角函數即可求解．【詳解】解：延長AB和CD分別與直線OF交于點G和點H，則．又∵，∴四邊形ACHG是矩形．∴．由題意，得．在中，，∴﹒∵是的外角，∴．∴．∴．在中，∴．∴．答：樓AB與CD之間的距離AC的長約為58m．【點睛】本題主要考查三角函數的綜合應用，正確構造直角三角形并應用三角函數進行求解是解題的關鍵．38．（2022·河南）開封清明上河園是依照北宋著名畫家張擇端的《清明上河圖》建造的，拂云閣是園內最高的建筑．某數學小組測量拂云閣DC的高度，如圖，在A處用測角儀測得拂云閣頂端D的仰角為34°，沿AC方向前進15m到達B處，又測得拂云閣頂端D的仰角為45°．已知測角儀的高度為1.5m，測量點A，B與拂云閣DC的底部C在同一水平線上，求拂云閣DC的高度（結果精確到1m．參考數據：，，）．【答案】拂云閣DC的高度約為32m【分析】延長交于點，則四邊形是矩形，則，，在，中，分別表示出，根據，建立方程，解方程求解可得，根據即可求解．【詳解】如圖，延長交于點，則四邊形是矩形，則，，在中，，在中，，，即，解得，(m)．拂云閣DC的高度約為32m．【點睛】本題考查了解直角三角形的應用，掌握直角三角形中的邊角關系是解題的關鍵．39．（2022·四川宜賓）宜賓東樓始建于唐代，重建于宜賓建城2200周年之際的2018年，新建成的東樓（如圖1）成為長江首城會客廳、旅游休閑目的地、文化地標打卡地．某數學小組為測量東樓的高度，在梯步A處（如圖2）測得樓頂D的仰角為45°，沿坡比為7：24的斜坡AB前行25米到達平臺B處，測得樓頂D的仰角為60°，求東樓的高度DE．（結果精確到1米．參考數據：，）【答案】【分析】根據，，設，則，根據勾股定理求得，又設，則，，求出DE，根據列出方程，解方程進而根據即可求解．【詳解】解：在中，，，設，則，由，得，解得：，∴，又設，則，在中，，則，∴，在中，，則，∴，∴，解得：，∴．∴東樓的高度約為40m．【點睛】本題考查了解直角三角形的實際應用，掌握三角形中的邊角關系是解題的關鍵．40．（2022·湖南岳陽）喜迎二十大，“龍舟故里”賽龍舟．丹丹在汩羅江國際龍舟競渡中心廣場點處觀看200米直道競速賽．如圖所示，賽道為東西方向，賽道起點位于點的北偏西方向上，終點位于點的北偏東方向上，米，則點到賽道的距離約為______米（結果保留整數，參考數據：）．【答案】87【分析】過點作，垂足為，設米，然后分別在和中，利用銳角三角函數的定義求出，的長，再根據米，列出關于的方程，進行計算即可解答．【詳解】解：過點作，垂足為，設米，在中，，∴（米），在中，，∴（米），∵米，∴，∴，∴，∴米，∴點到賽道的距離約為87米，故答案為：87．【點睛】本題考查了解直角三角形的應用—方向角問題，根據題目的已知條件并結合圖形添加適當的輔助線是解題的關鍵．41．（2022·湖北荊州）荊州城徽“金鳳騰飛”立于古城東門外．如圖，某校學生測量其高AB（含底座），先在點C處用測角儀測得其頂端A的仰角為32°，再由點C向城徽走6.6m到E處，測得頂端A的仰角為45°，已知B，E，C三點在同一直線上，測角儀離地面的高度CD＝EF＝1.5m，求城徽的高AB．（參考數據：，，）【答案】城徽的高AB約為米．【分析】如圖，延長DF交AB于M，由題意可得：所以四邊形BMFE，四邊形EFCD，四邊形BMDC都為矩形；設再表示再利用銳角的正切建立方程，解方程即可．【詳解】解：如圖，延長DF交AB于M，由題意可得：所以四邊形BMFE，四邊形EFCD，四邊形BMDC都為矩形；設而由解得：經檢驗符合題意，所以答：城徽的高AB約為米．【點睛】本題考查的是矩形的判定與性質，解直角三角形的應用，作出適當的輔助線構建直角三角形是解本題的關鍵．42．（2022·廣西賀州）如圖，在小明家附近有一座廢舊的煙囪，為了鄉村振興，美化環境，政府計劃把這片區域改造為公園．現決定用爆破的方式拆除該煙囪，為確定安全范圍，需測量煙囪的高度AB，因為不能直接到達煙囪底部B處，測量人員用高為的測角器在與煙囪底部B成一直線的C，D兩處地面上，分別測得煙囪頂部A的仰角，同時量得CD為．問煙囪AB的高度為多少米？（精確到，參考數據：）【答案】53.2【分析】設，得，，得方程，解出x，即求出AB的長．【詳解】設，在中，，得．在中，，得．．解方程，得．．答：煙囪AB的高度為53.2米【點睛】本題考查了解直角三角形的應用-仰角俯角問題，構造仰角所在的直角三角形，利用兩個直角三角形的公共邊求解是常用的解直角三角形的方法．43．（2022·內蒙古包頭）如圖，是底部B不可到達的一座建筑物，A為建筑物的最高點，測角儀器的高米．某數學興趣小組為測量建筑物的高度，先在H處用測角儀器測得建筑物頂端A處的仰角為，再向前走5米到達G處，又測得建筑物頂端A處的仰角為，已知，H，G，B三點在同一水平線上，求建筑物的高度．【答案】19米【分析】設米．在中，得到．在中，得到，．根據，列方程．【詳解】解：如圖．根據題意，，．設米．在中，∵，∴．在中，∵，∴．∵，∴，∴，∴，即．∵，∴（米）．答：建筑物的高度為19米．【點睛】本題考查了解三角形的應用問題，銳角三角函數的應用，解題的關鍵是找出直角三角形，熟練利用正切函數的定理求解．44．（2022·湖北武漢）小紅同學在數學活動課中測量旗桿的高度，如圖，己知測角儀的高度為1.58米，她在A點觀測桿頂E的仰角為30°，接著朝旗桿方向前進20米到達C處，在D點觀測旗桿頂端E的仰角為60°，求旗桿的高度．（結果保留小數點后一位）（參考數據：）【答案】旗桿的高度約為18.9米．【分析】過點D作DG⊥EF于點G，設EG=x，則EF=1.58+x．分別在Rt△AEG和Rt△DEG中，利用三角函數解直角三角形可得AG、DG，利用AD=20列出方程，進而得到EF的長度．【詳解】解：過點D作DG⊥EF于點G，設EG=x，由題意可知：∠EAG=30°，∠EDG=60°，AD=20米，GF=1.58米．在Rt△AEG中，tan∠EAG=，∴AG=x，在Rt△DEG中，tan∠EDG=，∴DG=x，∴x-x=20，解得：x≈17.3，∵EF=1.58+x=18.9(米)．答：旗桿的高度約為18.9米．【點睛】此題主要考查解直角三角形的應用-仰角俯角問題，熟練掌握銳角的三角函數概念是解題關鍵．45．（2022·江蘇泰州）小強在物理課上學過平面鏡成像知識后，在老師的帶領下到某廠房做驗證實驗.如圖，老師在該廠房頂部安裝一平面鏡MN，MN與墻面AB所成的角∠MNB=118°，廠房高AB=8m，房頂AM與水平地面平行，小強在點M的正下方C處從平面鏡觀察，能看到的水平地面上最遠處D到他的距離CD是多少?（結果精確到0.1m，參考數據：sin34°≈0.56，tan34°≈0.68，tan56°≈1.48）【答案】【分析】過M點作ME⊥MN交CD于E點，證明四邊形ABCM為矩形得到CM=AB=8，∠NMC=180°-∠BNM=62°，利用物理學入射光線與反射光線之間的關系得到∠EMD=∠EMC，且∠CME=90°-∠CMN=28°，進而求出∠CMD=56°，最后在Rt△CMD中由tan∠CMD即可求解．【詳解】解：過M點作ME⊥MN交CD于E點，如下圖所示：∵C點在M點正下方，∴CM⊥CD，即∠MCD=90°，∵房頂AM與水平地面平行，AB為墻面，∴四邊形AMCB為矩形，∴MC=AB=8，AB∥CM，∴∠NMC=180°-∠BNM=180°-118°=62°，∵地面上的點D經過平面鏡MN反射后落在點C，結合物理學知識可知：∴∠NME=90°，∴∠EMD=∠EMC=90°-∠NMC=90°-62°=28°，∴∠CMD=56°，在Rt△CMD中，，代入數據：，∴，即水平地