專題12橢圓、雙曲線、拋物線小題綜合沖刺秘籍沖刺秘籍橢圓離心率，雙曲線離心率，橢圓焦點三角形的面積公式（橢圓上一點與兩焦點組成的三角形叫做焦點三角形）雙曲線焦點三角形面積公式：拋物線（焦點在x軸上）焦點弦相關結論，直線A,B過拋物線（焦點在x軸上）焦點與拋物線交于A，B兩點，設，有沖刺訓練沖刺訓練一、單選題1．（2023·湖北武漢·統考模擬預測）已知雙曲線的離心率為，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用雙曲線的離心率公式可得出關于的等式，解之即可.【詳解】由題意可知，雙曲線的焦點在軸上，故該雙曲線的離心率為，解得.故選：A.2．（2023·江蘇徐州·校考模擬預測）已知橢圓：的右焦點為，為坐標原點，點為橢圓上的兩點，且，為中點，則的最小值為（

）A． B．1 C． D．【答案】D【分析】由橢圓的方程可得右焦點的坐標，分直線的斜率存在和不存在兩種情況討論，再由題意可得直線，的斜率之積，設直線的方程，與橢圓的方程聯立，可得兩根之和及兩根之積，進而求出直線，的斜率之積，可得參數的關系，求出的中點的軌跡方程，進而求出的最小值．【詳解】由橢圓可得，，

所以，即，所以右焦點；因為，所以，當直線的斜率不存在時，設直線的方程，代入橢圓的方程可得，解得，設，，則，解得，這時的中點在軸上，且的橫坐標為，這時的最小值為；當直線的斜率存在時，設直線的方程為，設，，，，則的中點，，聯立，整理可得：，△，即，且，，所以，，則，可得，符合△，可得的軌跡方程為，整理可得：，兩式平方相加可得：，即的軌跡方程為：，焦點在軸上的橢圓，所以，當為該橢圓的右頂點時，取等號，綜上所述：的最小值為，故選：D．3．（2023·福建福州·福州四中校考模擬預測）已知雙曲線為左焦點，分別為左?左頂點，為右支上的點，且（為坐標原點）.若直線與以線段為直徑的圓相交，則的離心率的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題意可推出，設，由勾股定理可得，結合直線與以線段為直徑的圓相交可得，由此結合的根的分布，列不等式即可求得答案.【詳解】設雙曲線的右焦點為，則，則，

為右支上的點，取的中點為B，連接，則，設，則，則，在中，，即，又直線與以線段為直徑的圓相交，故，設，則，則需使，解得，即雙曲線離心率的范圍為，即的離心率的取值范圍為，故選：D4．（2023·福建廈門·廈門一中校考一模）已知雙曲線的左、右焦點分別為、，過作一條直線與雙曲線右支交于、兩點，坐標原點為，若，，則該雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】作出圖形，分析可知為直角三角形，設，在中，利用勾股定理求出，然后在中，利用勾股定理可求出該雙曲線的離心率的值.【詳解】如下圖所示：因為，則，，所以，，因為，則，設，則，則，由勾股定理可得，即，整理可得，因為，解得，所以，，，由勾股定理可得，即，整理可得，因此，該雙曲線的離心率為.故選：B.5．（2023·海南省直轄縣級單位·文昌中學校考模擬預測）已知雙曲線為坐標原點，為雙曲線的兩個焦點，點為雙曲線上一點，若，則雙曲線的方程可以為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據雙曲線的定義及勾股定理得出，再根據點在雙曲線上求雙曲線方程.【詳解】設為雙曲線的下焦點，為雙曲線的上焦點，如圖所示，過點作于點.

因為，所以，因為，所以，所以，故，得.因為，所以，故點，將代入雙曲線中，即，化簡得，，解得或（舍去），故B項正確.故選：B.6．（2023·重慶·統考模擬預測）已知，分別為雙曲線C：的左、右焦點，點為雙曲線C在第一象限的右支上一點，以A為切點作雙曲線C的切線交x軸于點B，若，且，則雙曲線C的離心率為（

）A． B． C．2 D．【答案】D【分析】根據題意利用導數的幾何意義求切線方程，進而可求得點，再結合雙曲線的方程和定義求，利用余弦定理列式求解即可.【詳解】因為點A在第一象限，由，可得，則，點在雙曲線上，則，即，可得，可得在點處的切線方程為，令，解得，又因為，則，所以，即點，設雙曲線C的半焦距為，則，，因為，則，整理得，則，可得，且點為雙曲線C在第一象限的右支上一點，則，可得，在中，由余弦定理可得：，即，整理得，所以雙曲線C的離心率.故選：D.

【點睛】方法點睛：1．雙曲線離心率(離心率范圍)的求法求雙曲線的離心率或離心率的范圍，關鍵是根據已知條件確定a，b，c的等量關系或不等關系，然后把b用a，c代換，求e的值；2．焦點三角形的作用在焦點三角形中，可以將圓錐曲線的定義，三角形中邊角關系，如正余弦定理、勾股定理結合起來．7．（2023·遼寧·遼寧實驗中學校考模擬預測）設O為坐標原點，，是雙曲線C：的左、右焦點，過作圓O：的一條切線，切點為T．線段交C于點P，若的面積為，且，則C的方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由雙曲線定義，的面積，直角△中的銳角三角函數和△中的正弦定理、余弦定理建立，，之間的關系方程，再求解即可.【詳解】

由圓的方程知，，又，在直角△中，，且.在△中，則，故.在△中，，由正弦定理，，則，∴由雙曲線定義，，又，，則，∴，即.∵為直角，易知為鈍角，由知，，在△中，由余弦定理，，∴，∴，整理得，∴.又，將代入，解得.∴雙曲線C的方程：.故選：A【點睛】關鍵點點睛：建立起，，之間的關系，通過方程組進行求解.作為選擇題，可以適當運用解題技巧：當得到，之間的第一個關系時，可通過將選項中的，依次代入檢驗，快速選出正確選項.8．（2023·湖北恩施·校考模擬預測）已知，分別為雙曲線C：的左右焦點，且到漸近線的距離為1，過的直線與C的左、右兩支曲線分別交于兩點，且，則下列說法正確的為（

）A．的面積為2 B．雙曲線C的離心率為C． D．【答案】D【分析】利用已知條件求出b的值，對于A：利用勾股定理結合雙曲線的定義求出的面積，對于B：利用雙曲線的離心率公式運算求解；對于C：先求，再利用平面向量數量積的運算性質運算求解；對于D：根據雙曲線的定義結合勾股定理求出，代值計算即可.【詳解】設雙曲線C的半焦距為，因為雙曲線C的焦點在x軸上，且，則其中一條漸近線方程為，即，且，則到漸近線的距離，可得.對于選項A：因為，且，可得，解得，所以的面積為，故A錯誤；對于選項B：雙曲線C的離心率為，故B錯誤；對于選項C：因為，可得，所以，故C錯誤；對于選項D：設，則，因為，即，解得，所以，故D正確；故選：D.【點睛】方法點睛：1．雙曲線離心率(離心率范圍)的求法求雙曲線的離心率或離心率的范圍，關鍵是根據已知條件確定a，b，c的等量關系或不等關系，然后把b用a，c代換，求e的值．2．焦點三角形的作用在焦點三角形中，可以將圓錐曲線的定義，三角形中邊角關系，如正余弦定理、勾股定理結合起來．9．（2023·福建漳州·統考模擬預測）已知橢圓：的左、右焦點分別為、，以為圓心的圓與軸交于，兩點，與軸正半軸交于點，線段與交于點.若與的焦距的比值為，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求出以為圓心的圓的方程，求出，，求出直線的方程后結合距離公式可求的坐標，代入橢圓方程后可求離心率.【詳解】

設橢圓的半焦距為，因為以為圓心的圓過，故該圓的半徑為，故其方程為：，令，則，結合在軸正半軸上，故，令，則或，故.故，故直線.設，因為在軸的正半軸上，在軸的負半軸上，故，而，故，整理得到：，故，故，所以，故，整理得到：，故，故選：D.【點睛】思路點睛：圓錐曲線中離心率的值或范圍的計算，關鍵在于構建關于基本量的方程或方程組（不等式或不等式組），后者可通過點在橢圓上或判別式為零等合理構建.10．（2023·江蘇南京·南京市第一中學校考模擬預測）如圖，已知是雙曲線的左?右焦點，為雙曲線上兩點，滿足，且，則雙曲線的離心率為（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】根據雙曲線的定義和性質分析可得，進而可得，結合勾股定理運算求解.【詳解】延長與雙曲線交于點，因為，根據對稱性可知，設，則，可得，即，所以，則，，即，可知，在中，由勾股定理得，即，解得.故選：D.

【點睛】方法點睛：1．雙曲線離心率(離心率范圍)的求法求雙曲線的離心率或離心率的范圍，關鍵是根據已知條件確定a，b，c的等量關系或不等關系，然后把b用a，c代換，求的值；2．焦點三角形的作用在焦點三角形中，可以將圓錐曲線的定義，三角形中邊角關系，如正余弦定理、勾股定理結合起來．二、多選題11．（2023·福建福州·福建省福州第一中學校考模擬預測）拋物線有如下光學性質：從焦點發出的光線經拋物線反射后，沿平行于拋物線對稱軸的方向射出；反之，平行于拋物線對稱軸的入射光線經拋物線反射后，必過拋物線的焦點.已知平行于軸的光線從點射入，經過拋物線上的點反射，再經過上另一點反射后，沿直線射出，經過點，則（

）

A．若的方程為，則B．若的方程為，且，則C．分別延長交于點，則點在的準線上D．拋物線在點處的切線分別與直線，所成角相等【答案】BCD【分析】分別求出、的坐標，利用焦點弦公式求出弦長可判斷選項A；利用角平分線的性質求點的坐標，判斷選項B；聯立方程組求點的坐標，可判斷選項B；求出拋物線在處的切線方程及其斜率，再求出切線與直線及直線所成角的正切值，可判斷選項D．【詳解】對于選項A、B：若的方程為，則，又，直線的斜率，直線的方程為：，聯立，得，，，，，所以A選項錯誤；由，，得直線的方程為，直線的方程為，

若，則點在的平分線上，點到直線和到直線的距離相等，設，則有，由，解得，所以，B選項正確；對于選項C：拋物線，焦點坐標，準線方程，設，，由，得，即，由，得，又直線的斜率，直線的方程為：，直線的方程為：，分別延長交于點，由得，即點橫坐標為2，所以點在的準線上，C選項正確；對于選項D：設拋物線在處的切線方程為：，聯立，得，由，解得．該切線與直線所成角的正切值為．設該切線與直線所成角為，則，該切線與直線所成角的正切值與該切線與直線所成角的正切值相同，即拋物線在點處的切線分別與直線、所成角相等，D選項正確．故選：BCD.12．（2023·廣東佛山·統考模擬預測）已知雙曲線：上、下焦點分別為，，虛軸長為，是雙曲線上支上任意一點，的最小值為.設，，是直線上的動點，直線，分別與E的上支交于點，，設直線，的斜率分別為，.下列說法中正確的是（

）A．雙曲線的方程為 B．C．以為直徑的圓經過點 D．當時，平行于軸【答案】ACD【分析】根據題意，得出，，即可求出雙曲線標準方程判斷A；設，表示出，，即可判斷B；利用直線與雙曲線相交得出坐標，即可判斷C；利用，得出的值，即可判斷D.【詳解】由題知，，，，解得，所以雙曲線方程為，A正確；由A知，，，設，則，，所以，B錯；由上述知，直線方程為，直線方程為，聯立，得，因點是異于的上支點，所以，代入直線方程得，即，聯立，得，因點是異于的上支點，所以，代入直線方程得，即，則，，所以，即，所以以為直徑的圓經過點，C正確；當時，即，，所以代入坐標得，所以平行于軸，D正確.

故選：ACD13．（2023·廣東茂名·茂名市第一中學校考三模）我國首先研制成功的“雙曲線新聞燈”，如圖，利用了雙曲線的光學性質：，是雙曲線的左?右焦點，從發出的光線射在雙曲線右支上一點，經點反射后，反射光線的反向延長線過；當異于雙曲線頂點時，雙曲線在點處的切線平分.若雙曲線的方程為，則下列結論正確的是（

）

A．射線所在直線的斜率為，則B．當時，C．當過點時，光線由到再到所經過的路程為13D．若點坐標為，直線與相切，則【答案】ABD【分析】A選項，根據直線與雙曲線的交點位置可判斷.B選項，利用雙曲線定義和勾股定理化簡可得.C選項，由雙曲線定義可判斷.D選項，利用角平分線性質，結合雙曲線的定義可得.【詳解】解：因為雙曲線的方程為，所以，漸近線方程為，選項A，因為直線與雙曲線有兩個交點，所以，即A正確；選項B，由雙曲線的定義知，，若，則，因為，所以，解得，即B正確；選項C：，即C錯誤；選項D，因為平分，由角分線定理知，，所以，又，所以，解得，即D正確.故選：ABD.14．（2023·廣東深圳·統考二模）如圖，雙曲線的左?右焦點分別為，過向圓作一條切線與漸近線和分別交于點（恰好為切點，且是漸近線與圓的交點），設雙曲線的離心率為.當時，下列結論正確的是（

）

A．B．C．當點在第一象限時，D．當點在第三象限時，【答案】BC【分析】依據題意確定切點不在雙曲線上，根據勾股定理可計算，故可判斷出不正確，正確；畫出圖象，根據圖象觀察可求出漸進性的斜率，進一步計算離心率即可判斷出【詳解】因為且，所以，切點不在雙曲線上，不正確，正確；若，在中，，當分別在一二象限時（如圖1），，設的傾斜角為，則；當分別在二?三象限時（如圖2），設的傾斜角為，則，正確，錯誤.

故選：15．（2023·安徽合肥·合肥市第八中學校考模擬預測）如圖，為坐標原點，分別為雙曲線的左?右焦點，過雙曲線右支上一點作雙曲線的切線分別交兩漸近線于兩點，交軸于點，則下列結論正確的是（

）A．B．C．D．若存在點，使得，且，則雙曲線的離心率為2或【答案】AB【分析】對于A,先證明雙曲線上一點的切線方程為，與雙曲線的漸近線進行聯立，可得坐標，可得到，結合即可判斷；對于B，由A選項可得點是線段的中點，即可判斷；對于C，由即可判斷；對于D，通過可得，則能算出，結合余弦定理即可求解【詳解】對于選項，先求雙曲線上一點的切線方程，不妨先探究雙曲線在第一象限的部分（其他象限由對稱性同理可得）.由得：，所以，則在點的切線斜率為，所以在點的切線方程為：，又因為，所以在點的切線方程為：，當為右頂點時，切線方程為，易得也滿足，不失一般性，設點是雙曲線在第一象限的一點或雙曲線的右頂點，是切線與漸近線在第一象限的交點，是切線與漸近線在第四象限的交點，雙曲線的漸近線方程為，聯立，所以點，同理可得：，則，又因為，所以，即：，故A項正確；對于選項B，由A項知，，所以點是線段的中點，所以，故B項正確；對于選項，因為在點的切線方程為：，令得，所以點，則，當點在頂點時，仍然滿足，故C項錯誤；對于選項D，因為，所以，又因為，所以，解得：，即：，代入得，所以，，因為，所以，所以，解得：或6，所以離心率為或，故D項錯誤.故選：AB【點睛】結論點睛：雙曲線上一點的切線方程為，對橢圓、拋物線也有類似結論．16．（2023·山東濰坊·三模）函數的圖象是雙曲線，且直線和是它的漸近線．已知函數，則下列說法正確的是（

）A．， B．對稱軸方程是C．實軸長為 D．離心率為【答案】ABD【分析】由基本不等式可判斷A，由雙曲線的性質判斷B，C，D.【詳解】時，，當且僅當即時取等號，時，，當且僅當即時取等號，故A正確；依題意，此雙曲線兩條漸近線為和，，由雙曲線的對稱性，雙曲線的漸近線關于雙曲線的對稱軸對稱，故得雙曲線的兩條對稱軸方程為，故B正確；由雙曲線的性質，雙曲線實軸的兩個頂點為對稱軸與雙曲線的兩個交點，則由得雙曲線實軸的兩個頂點分別為，，故此雙曲線的實軸長即為，故C錯誤；依題意，此雙曲線兩條漸近線和的夾角為，則漸近線與對稱軸的夾角為，由雙曲線的性質有，所以，解得，故D正確.故選：ABD17．（2023·山東泰安·統考模擬預測）已知拋物線，為坐標原點，為拋物線的焦點，準線與軸交于點，過點作不垂直于軸的直線與交于，兩點．設為軸上一動點，為的中點，且，則（

）A．當時，直線的斜率為B．C．D．若正三角形的三個頂點都在拋物線上，則的周長為【答案】AC【分析】設直線的方程為，聯立方程，利用根與系數的關系及求k，可判斷A，由點差法及垂直關系，拋物線的定義可得判斷B，由可得平分，據此可判斷C，根據正三角及拋物線的對稱性求出DE坐標即可判斷D.【詳解】如圖，

對于選項A，設過焦點的直線的方程為，，，由，得，∴，，由可知，代入，得，，由，得，∴，則，故A正確．對于選項B，，設點的坐標為，則，．由得，所以，則直線的斜率為．因為，所以直線的斜率為，則直線的方程為．令，則，所以點的坐標為，則．由拋物線的定義可知，，所以，故B錯誤．對于選項C，因為，所以直線與直線關于軸對稱，即平分，所以，則．整理得，故C正確．對于選項D，設，因三角形為正三角形，則，又，則.因，則.則，則.得的周長為，故D錯誤.故選：AC【點睛】方法點睛：處理拋物線中焦點弦問題，根據拋物線的定義，轉化為坐標問題是常用方法之一，涉及處理中點弦問題，點差法是重要方法，恰當使用可快速得出直線斜率與中點的坐標關系，注意直線關于y軸對稱可轉化為直線傾斜角互補即直線斜率互為相反數.18．（2023·廣東汕頭·金山中學校考三模）已知，分別為橢圓的左、右焦點，為橢圓上任意一點（不在軸上），外接圓的圓心為，半徑為，內切圓的圓心為，半徑為，直線交軸于點，為坐標原點，則（

）A．最大時， B．的最小值為2C．橢圓的離心率等于 D．的取值范圍為【答案】ABD【分析】對于A，根據當在短軸的端點時，取得最大，且最大值為，再根據，代入進而即可求解；對于B，根據，然后結合平面向量數量積的幾何意義與基本不等式即可求解；對于C，運用角平分線定理即可求解；對于D，由正弦定理可得，再又結合A可得，從而得到，再根據題意得到，進而即可求解．【詳解】對于A，設，，則，且，所以，則當在短軸的端點時，取得最大，且最大值為，又，所以當最大時，，即，故A正確；對于B，過點作，垂足為點G，又點為外接圓的圓心，即為三條邊的中垂線的交點，則點G為的中點，由，又，同理，所以，當且僅當時等號成立，即的最小值為2，故B正確；對于C，由內切圓的圓心為，則，分別是，的角平分線，則由角平分線定理可得，即，故C錯誤；對于D，設，，，由正弦定理可得，即，則，即，因為，又結合A有，所以，即，所以，又因為當在短軸的端點時，最大，此時，，所以，即，所以，故，故D正確．故選：ABD．

【點睛】本題考查了橢圓的定義以及幾何性質，明確外心的位置和內角平分線性質，靈活運用正弦定理和等面積法是解答本題關鍵，考查了推理能力、運算求解能力，屬于難題．19．（2023·江蘇鎮江·江蘇省鎮江中學校考三模）已知拋物線的焦點為，準線為，直線與相交于兩點，為的中點，則（

）A．若，則B．若，則直線的斜率為C．不可能是正三角形D．當時，點到的距離的最小值為【答案】ACD【分析】利用聯立求得點坐標，結合向量數量積的運算即可判斷選項A；結合拋物線定義即可判斷選項CD；設，，根據即可判斷選項B.【詳解】對于A，代入，解得，，即，，則，所以，A正確；對于C，如圖，，所以不可能是正三角形，C正確；

對于D，由題知，，當共線時，取等號，又點到的距離為，所以點到的距離的最小值為，D正確.對于B，當直線的斜率大于時，根據上圖再作，因為，所以設，，因為都在上，所以，，，，所以，則；當直線的斜率小于時，同理可得.綜上，直線的斜率為，B錯.故選：ACD【點睛】方法點睛：直線與拋物線的位置關系問題，從以下幾個角度分析：（1）拋物線定義的結合，來分析線段的相等關系；（2）斜率與傾斜角正切值的聯系；（3）數形結合思想的應用.20．（2023·山西運城·山西省運城中學校校考二模）已知是圓上不同的兩點，橢圓的右頂點和上頂點分別為，直線分別是圓的兩條切線，為橢圓的離心率.下列選項正確的有（

）A．直線與橢圓相交B．直線與圓相交C．若橢圓的焦距為兩直線的斜率之積為，則D．若兩直線的斜率之積為，則【答案】BCD【分析】由時，點時，得到直線方程，聯立方程組，結合，可判定A錯誤；由原點到直線的距離為，可判定B正確；設，根據題意求得，進而得到，結合離心率的定義，可判定C正確；不妨設，根據得到，求得，結合離心率的定義，求得，可判定D正確.【詳解】對于A中，當時，點的坐標可以為，可得直線為，即，由，整理得，此時，所以直線與橢圓無交點，所以A錯誤；對于B中，因為，所以，設原點到直線的距離為，由點到直線的距離公式，可得，所以直線與圓相交，所以B正確；對于C中，橢圓的焦距為，可得，即，不妨設，則直線，由原點到直線的距離等于1，可得，解得，同理可得，因為，即，解得，又由，解得，所以離心率，所以C正確；對于D中，不妨設，則,，所以，解得，所以，因為，可得，所以，所以D正確.故選：BCD.

【點睛】解答圓錐曲線的最值與范圍問題的方法與策略：（1）幾何轉化代數法：若題目的條件和結論能明顯體現幾何特征和意義，則考慮利用圓錐曲線的定義、圖形、幾何性質來解決；（2）函數取值法：若題目的條件和結論的幾何特征不明顯，則可以建立目標函數，再求這個函數的最值（或值域），常用方法：（1）配方法；（2）基本不等式法；（3）單調性法；（4）三角換元法；（5）導數法等，要特別注意自變量的取值范圍.三、填空題21．（2023·云南·校聯考模擬預測）已知雙曲線方程為，左焦點關于一條漸近線的對稱點在另一條漸近線上，則該雙曲線的離心率為.【答案】2【分析】根據對稱性求出漸近線的傾斜角，再根據漸近線的斜率得，再根據離心率公式可求出結果.【詳解】如圖：設關于漸近線對稱的點在漸近線上，的中點在漸近線上，則，又，所以，所以，所以.

故答案為：.22．（2023·湖南長沙·周南中學校考二模）根據拋物線的光學性質，從拋物線的焦點發出的光，經拋物線反射后光線都平行于拋物線的軸，已知拋物線，若從點Q（3，2）發射平行于x軸的光射向拋物線的A點，經A點反射后交拋物線于B點，則.【答案】【分析】由題意求出A點坐標，由于直線過焦點，利用點斜式方程求出直線方程，聯立拋物線方程，由韋達定理求出點B坐標，利用兩點間的距離求出即可.【詳解】由條件可知AQ與x軸平行，令，可得，故A點坐標為，因為經過拋物線焦點，所以方程為，整理得，聯立，得，，所以，又，所以，，所以.故答案為：.23．（2023·山東菏澤·山東省鄄城縣第一中學校考三模）已知拋物線的焦點為，過作拋物線的切線，切點為，，則拋物線上的動點到直線的距離與到軸的距離之和的最小值為．【答案】【分析】不妨設，根據焦半徑公式求出，從而求出，再利用導數的幾何意義求出切線的斜率，即可求出，從而求出拋物線方程，再求出焦點到直線的距離，即可得解.【詳解】根據拋物線的對稱性，不妨設，由拋物線定義知，，，，或（舍去），當時，，，，解得或（舍去），拋物線的方程為，焦點，準線方程為，焦點到直線的距離，拋物線上的動點到直線的距離與到軸的距離之和的最小值為．故答案為：24．（2023·廣東茂名·茂名市第一中學校考三模）已知為坐標原點，直線過拋物線的焦點，與拋物線及其準線依次交于三點（其中點在之間），若.則的面積是.【答案】/【分析】依題意作出圖形，利用拋物線的定義結合圖形依次求得與，從而求得直線的方程，聯立拋物線方程，利用拋物線焦半徑公式與點線距離公式求得與，從而得解.【詳解】過點作垂直于準線，垂足為，過點作垂直于準線，垂足為，設準線與軸相交于點，如圖，

則，在中，，所以，所以，故在中，，所以，則.又軸，，所以，又拋物線，則，所以，所以拋物線，點.因為，所以直線的斜率，則直線，與拋物線方程聯立，消并化簡得，易得，設點，則，則，又直線，可化為，則點到直線的距離，所以.故選：B.25．（2023·湖北武漢·華中師大一附中校考模擬預測）已知為雙曲線上一點，以為切點的切線為，直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于點，則（為坐標原點）的面積為．【答案】【分析】根據給定條件，求出雙曲線漸近線方程，設出直線的方程，聯立求出點的縱坐標，再利用直線與雙曲線相切借助判別式求出三角形面積作答.【詳解】雙曲線的漸近線為，直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于點，

顯然直線不垂直于y軸，設直線，，由得點的縱坐標，由得點的縱坐標，由消去x得，于是，化簡得，直線與x軸交點的橫坐標為，所以的面積.故答案為：26．（2023·海南海口·校考模擬預測）設雙曲線E：的離心率為，直線過點和雙曲線的一個焦點，若直線與圓的相切，則【答案】【分析】先設出直線的方程，由與圓的相切，可得關于的齊次式，進而可求.【詳解】不妨設直線過點和雙曲線的右焦點，則直線的方程為，即，由直線與圓相切，可得，整理得，，又，所以，即，所以，即，解得或，又，所以，所以.故答案為：27．（2023·湖南長沙·長沙市實驗中學校考三模）已知平面上兩定點A、B，則所有滿足（且）的點P的軌跡是一個圓心在直線AB上，半徑為的圓．這個軌跡最先由古希臘數學家阿波羅尼斯發現，故稱作阿氏圓．已知棱長為3的正方體ABCDA1B1C1D1表面上動點P滿足，則點P的軌跡長度為．【答案】【分析】以為原點建立平面直角坐標系，結合題意可得點在空間內的軌跡為以為球心，半徑為2的球.再根據球的性質求解即可.【詳解】在圖1中，以為原點建立平面直角坐標系如圖2所示，設阿氏圓圓心為，半徑為，因為，所以，所以，設圓與交于點，由阿氏圓性質，知，又，所以，又，所以，解得，所以，所以點在空間內的軌跡為以為球心，半徑為2的球，當點在面內部時，如圖2所示，截面圓與分別交于點，所以點在面內的軌跡為，因為在中，，所以，所以，所以點在面內部的軌跡長為，同理，點在面內部的軌跡長為，當點在面內部時，如圖3所示，因為平面，所以平面截球所得小圓是以為圓心，以長為半徑的圓，截面圓與分別交于點，且，所以點在面內的軌跡為，且，綜上，點的軌跡長度為.故答案為：.【點睛】方法點睛：求