浙江省湖州市某校2025-2025學(xué)年高一上學(xué)期12月階段性測試數(shù)學(xué)試題考試時間：120分鐘?總分：150分?年級/班級：高一年級一、選擇題〔每題5分，共30分〕要求：從以下各題的四個選項中，選擇一個正確的答案。1.知曉函數(shù)\(f(x)=\sqrt{3}\sinx+2\cosx\)的圖像的一個周期為\(T\)，那么\(T\)的值為〔〕A.\(\frac{2\pi}{\sqrt{3}}\)B.\(\frac{2\pi}{\sqrt{3}}\)C.\(\frac{2\pi}{\sqrt{3}}\)D.\(\frac{2\pi}{\sqrt{3}}\)2.函數(shù)\(y=\log_{\frac{1}{2}}(2x-1)\)的圖像與直線\(y=2x-1\)的交點個數(shù)為〔〕A.1B.2C.3D.43.知曉向量\(\mathbf{a}=\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}\)，\(\mathbf{b}=\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}\)，假設(shè)\(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=0\)，那么\(\mathbf{a}\)與\(\mathbf{b}\)的夾角為〔〕A.\(0^\circ\)B.\(90^\circ\)C.\(180^\circ\)D.\(270^\circ\)4.知曉等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的前n項和為\(S_n\)，\(a_1=2\)，\(d=3\)，那么\(S_{10}\)的值為〔〕A.150B.180C.210D.2405.知曉函數(shù)\(y=x^3-3x^2+4\)在\(x=1\)處取得極小值，那么該函數(shù)的圖像大致為〔〕A.B.C.D.6.假設(shè)\(\sin\alpha=\frac{1}{2}\)，\(\cos\alpha=\frac{\sqrt{3}}{2}\)，那么\(\tan\alpha\)的值為〔〕A.1B.\(\sqrt{3}\)C.\(-\sqrt{3}\)D.-1二、填空題〔每題5分，共30分〕要求：把答案填在題目橫線上。1.函數(shù)\(f(x)=\frac{1}{x}+\frac{2}{x+1}\)的定義域為__________。2.知曉向量\(\mathbf{a}=\begin{pmatrix}3\\-4\end{pmatrix}\)，\(\mathbf{b}=\begin{pmatrix}4\\3\end{pmatrix}\)，那么\(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}\)的值為__________。3.等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的前5項和為35，公差為2，那么第10項\(a_{10}\)的值為__________。4.函數(shù)\(y=\log_2(x-1)\)的圖像與直線\(y=x-1\)的交點個數(shù)為__________。5.假設(shè)\(\sin\alpha=\frac{\sqrt{3}}{2}\)，\(\cos\alpha=\frac{1}{2}\)，那么\(\tan\alpha\)的值為__________。6.函數(shù)\(y=\sqrt{x-1}+\sqrt{1-x}\)的定義域為__________。三、解答題〔每題10分，共40分〕要求：解答以下各題。3.知曉函數(shù)\(f(x)=x^3-6x^2+9x+1\)，求：〔1〕函數(shù)\(f(x)\)的極值點；〔2〕函數(shù)\(f(x)\)的拐點。4.知曉等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的前n項和為\(S_n\)，\(a_1=3\)，公差\(d=2\)，求：〔1〕數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的通項公式；〔2〕數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的前10項和\(S_{10}\)。五、解答題〔每題10分，共40分〕要求：解答以下各題。5.知曉函數(shù)\(f(x)=e^{2x}-3e^x+2\)，求：〔1〕函數(shù)\(f(x)\)的零點；〔2〕函數(shù)\(f(x)\)的極值點。六、解答題〔每題10分，共40分〕要求：解答以下各題。6.知曉三角形的三邊長分別為\(a\)，\(b\)，\(c\)，且滿足\(a+b+c=12\)，\(a^2+b^2=80\)，求三角形面積的最大值。本次試卷答案如下：一、選擇題1.A解析：函數(shù)\(f(x)=\sqrt{3}\sinx+2\cosx\)可以寫成\(f(x)=2\sin(x+\frac{\pi}{6})\)，所以周期\(T=\frac{2\pi}{\omega}=\frac{2\pi}{1}=2\pi\)。2.B解析：函數(shù)\(y=\log_{\frac{1}{2}}(2x-1)\)的圖像與直線\(y=2x-1\)的交點個數(shù)取決于\(2x-1\)的取值范圍。由于\(\log_{\frac{1}{2}}(2x-1)\)的定義域為\(2x-1>0\)，即\(x>\frac{1}{2}\)，所以交點個數(shù)為2。3.B解析：向量\(\mathbf{a}\)和\(\mathbf{b}\)的點積為0，說明它們垂直，即夾角為\(90^\circ\)。4.C解析：等差數(shù)列的前n項和公式為\(S_n=\frac{n}{2}(2a_1+(n-1)d)\)，代入\(a_1=2\)，\(d=3\)，\(n=10\)得\(S_{10}=\frac{10}{2}(2\times2+(10-1)\times3)=210\)。5.A解析：函數(shù)\(y=x^3-3x^2+4\)的導(dǎo)數(shù)為\(y'=3x^2-6x\)，令\(y'=0\)得\(x=0\)或\(x=2\)。由于\(y''=6x-6\)，在\(x=1\)時\(y''>0\)，所以\(x=1\)是極小值點。6.B解析：由于\(\sin\alpha=\frac{1}{2}\)，\(\cos\alpha=\frac{\sqrt{3}}{2}\)，所以\(\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}\)。二、填空題1.\((-\infty,0)\cup(0,+\infty)\)解析：函數(shù)\(f(x)=\frac{1}{x}+\frac{2}{x+1}\)的定義域為\(x\neq0\)且\(x\neq-1\)，即\((-\infty,0)\cup(0,+\infty)\)。2.5解析：向量\(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=3\times4+(-4)\times3=12-12=0\)。3.11解析：等差數(shù)列的通項公式為\(a_n=a_1+(n-1)d\)，代入\(a_1=3\)，\(d=2\)，\(n=10\)得\(a_{10}=3+(10-1)\times2=11\)。4.1解析：函數(shù)\(y=\log_2(x-1)\)的定義域為\(x-1>0\)，即\(x>1\)，所以與直線\(y=x-1\)的交點個數(shù)為1。5.\(\frac{\sqrt{3}}{3}\)解析：由于\(\sin\alpha=\frac{\sqrt{3}}{2}\)，\(\cos\alpha=\frac{1}{2}\)，所以\(\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{\sqrt{3}}{3}\)。6.\((-\infty,1]\cup[1,+\infty)\)解析：函數(shù)\(y=\sqrt{x-1}+\sqrt{1-x}\)的定義域為\(x-1\geq0\)且\(1-x\geq0\)，即\(x\in[-\infty,1]\cup[1,+\infty)\)。本次試卷答案如下：三、解答題3.知曉函數(shù)\(f(x)=x^3-6x^2+9x+1\)，求：〔1〕函數(shù)\(f(x)\)的極值點；〔2〕函數(shù)\(f(x)\)的拐點。解析：〔1〕首先求導(dǎo)數(shù)\(f'(x)=3x^2-12x+9\)，令\(f'(x)=0\)得\(x^2-4x+3=0\)，解得\(x=1\)或\(x=3\)。然后計算二階導(dǎo)數(shù)\(f''(x)=6x-12\)，在\(x=1\)時\(f''(1)=-6\)，說明在\(x=1\)處取得極大值；在\(x=3\)時\(f''(3)=6\)，說明在\(x=3\)處取得極小值。〔2〕令\(f''(x)=0\)得\(6x-12=0\)，解得\(x=2\)。在\(x=2\)處，\(f''(x)\)由負(fù)變正，說明\(x=2\)是函數(shù)\(f(x)\)的拐點。4.知曉等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的前n項和為\(S_n\)，\(a_1=3\)，公差\(d=2\)，求：〔1〕數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的通項公式；〔2〕數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的前10項和\(S_{10}\)。解析：〔1〕等差數(shù)列的通項公式為\(a_n=a_1+(n-1)d\)，代入\(a_1=3\)，\(d=2\)得\(a_n=3+(n-1)\times2=2n+1\)。〔2〕等差數(shù)列的前n項和公式為\(S_n=\frac{n}{2}(2a_1+(n-1)d)\)，代入\(a_1=3\)，\(d=2\)，\(n=10\)得\(S_{10}=\frac{10}{2}(2\times3+(10-1)\times2)=110\)。五、解答題5.知曉函數(shù)\(f(x)=e^{2x}-3e^x+2\)，求：〔1〕函數(shù)\(f(x)\)的零點；〔2〕函數(shù)\(f(x)\)的極值點。解析：〔1〕令\(f(x)=0\)得\(e^{2x}-3e^x+2=0\)，設(shè)\(u=e^x\)，那么\(u^2-3u+2=0\)，解得\(u=1\)或\(u=2\)，即\(e^x=1\)或\(e^x=2\)，解得\(x=0\)或\(x=\ln2\)。〔2〕求導(dǎo)數(shù)\(f'(x)=2e^{2x}-3e^x\)，令\(f'(x)=0\)得\(2e^{2x}-3e^x=0\)，解得\(e^x=\frac{3}{2}\)，即\(x=\ln\frac{3}{2}\)。然后計算二階導(dǎo)數(shù)\(f''(x)=4e^{2x}-3e^x\)，在\(x=\ln\frac{3}{2}\)時\(f''(x)>0\)，說明\(x=\ln\frac{3}{2}\)是函數(shù)\(f(x)\)的極小值點。六、解答題6.知曉三角形的三邊長分別為\(a\)，\(b\)，\(c\)，且滿足\(a+b+c=12\)，\(a^2+b^2=80\)，求三角形面積的最大值。解析：由\(a+b+c=12\)得\(c=12-a-b\)，代入\(a^2+b^2=80\)得\(a^2+b^2+2ab-24a-24b+144=0\)，整理得\((a+b-12)^2+3ab=0\)。由于\(a\)，\(b\)，\(c\)是三角形的三邊長，根據(jù)三角形的性質(zhì)，\(a+b>c\)，\(a+c>b\)，\(b+c>a\)，即\(a+b>12-a-b\)，\(a+12-a-b>b\)，\(b+12-a-b>a\)，整理得\(2a+2b>12\)，\(12>2b\)，\(12>2a\)，即\(a+b>6\)，\(a<6\)，\(b<6\)。由\((a+b-12)^2+3ab=0\)得\((a+b)^2-24(a+b)+144+3ab=0\)，整理得\(3ab=24(a+b)-144\)。由\(a+b>6\)得\(3ab>24\times6-144\)，即\(ab>0\)。因此，\(a\)和\(b\)都為正數(shù)。由\(3ab=24(a+b)-144\)得\(3ab-24a-24b+144=0\)，整理得\((a-4)(b-4)=16\)。由\((a-4)(b-4)=16\)得\(b-4=\fra